台湾大学高考2014年-数学试题
14年高考真题——文科数学(福建卷)-推荐下载
：
（D）240 元
x y 7 0
x
y 0
y
3
0
（D） 4OM
。若圆年高考真题文科数学（解析版） 卷
福建
只有一个正确，则100a 10b c 等于________。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
|| P1P2 ||| x1 x2 | | y1 y2 | ，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“ L 距离”之和
等于定值（大于 || F1F2 || ）的点的轨迹可以是（ ）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案写在答题卡相应位置上。
19．（本小题满分 12 分）如图 16 所示，三棱锥 A BCD 中，
M
AB ⊥平面 BCD ， CD ⊥ BD 。⑴求证： CD ⊥平面 ABD ；⑵若
AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体 B
D
积。 20．（本小题满分 12 分）根据世行 2013 年新标准，人均
17．（本小题满分 12 分）在等比数列an中， a2 = 3 ， a5 = 81 。⑴求 an ；⑵设
bn log3 an ，求数列bn的前 n 项和 Sn 。
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 cos x sin x cos x。⑴求 f 5 4的值；
福建
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
下列函数正确的是（ ）
9．要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每
平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)理 (2)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014福建,理1)复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( ). A .-2-3i B .-2+3iC .2-3iD .2+3i答案:C解析:因为z=(3-2i)i =3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .故选C .2.(2014福建,理2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ). A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱答案:A解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,所以选A .3.(2014福建,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ). A .8 B .10C .12D .14答案:C解析:因为S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C .4.(2014福建,理4)若函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ).答案:B解析:由图象可知log a 3=1,所以a=3.A 选项,y=3-x =(13)x 为指数函数,在R 上单调递减,故A 不正确.B 选项,y=x 3为幂函数,图象正确.C 选项,y=(-x )3=-x 3,其图象和B 选项中y=x 3的图象关于x 轴对称,故C 不正确.D 选项,y=log 3(-x ),其图象与y=log 3x 的图象关于y 轴对称,故D 选项不正确.综上,可知选B .5.(2014福建,理5)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于( ).A.18B.20C.21D.40答案:B解析:该程序框图为循环结构,由S=0,n=1得S=0+21+1=3,n=1+1=2,判断S=3≥15不成立,执行第二次循环,S=3+22+2=9,n=2+1=3,判断S=9≥15不成立,执行第三次循环,S=9+23+3=20,n=3+1=4,判断S=20≥15成立,输出S=20.故选B.6.(2014福建,理6)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为12”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:k=1时,图象如图(1),此时△OAB的面积S=12×1×1=12,所以k=1是△OAB面积为12的充分条件;而当△OAB面积为12时,直线l有l1或l2两种可能,如图(2),k=1或k=-1.综上,可知选A.图(1)图(2)7.(2014福建,理7)已知函数f(x)={x2+1,x>0,cosx,x≤0,则下列结论正确的是().A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案:D解析:由题意,可得函数图象如下:所以f(x)不是偶函数,不是增函数,不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D.8.(2014福建,理8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是().A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:B解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B .9.(2014福建,理9)设P ,Q 分别为圆x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( ). A .5√2 B .√46+√2 C .7+√2 D .6√2答案:D 解析:设Q (x ,y ),则该点到圆心的距离d=√(x -0)2+(y -6)2=√x 2+(y -6)2=√10(1-y 2)+(y -6)2=√-9y 2-12y +46,y ∈[-1,1], ∴当y=--122×(-9)=-23时, d max =√-9×(-23)2-12×(-23)+46=√50=5√2.∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为d max +r=5√2+√2=6√2.故选D .10.(2014福建,理10)用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a )(1+b )的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ).A .(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5B .(1+a 5)(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c )5C .(1+a )5(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c 5)D .(1+a 5)(1+b )5(1+c+c 2+c 3+c 4+c 5) 答案:A解析:本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a 2+a 3+a 4+a 5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b 5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c )5种取法.所以共有(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5种取法.故选A .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2014福建,理11)若变量x ,y 满足约束条件{x -y +1≤0,x +2y -8≤0,x ≥0,则z=3x+y 的最小值为 .答案:1解析:由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数z=3x+y ,得y=-3x+z ,可知其过A (0,1)时z 取最小值,故z min =3×0+1=1. 故答案为1.12.(2014福建,理12)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案:2√3解析:由题意及余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=c 2+16-122×4×c=12,解得c=2.所以S=12bc sin A=12×4×2×sin 60°=2√3.故答案为2√3.13.(2014福建,理13)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案:160解析:设池底长x m,宽y m,则xy=4,所以y=4x,则总造价为:f (x )=20xy+2(x+y )×1×10=80+80x+20x=20(x +4x)+80,x ∈(0,+∞). 所以f (x )≥20×2√x ·4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立. 所以最低总造价是160元.14.(2014福建,理14)如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .答案:2e2解析:根据题意y=e x 与y=ln x 互为反函数,图象关于y=x 对称,所以两个阴影部分的面积相等.联立y=e 与y=e x 得x=1,所以阴影部分的面积S=2∫ 1(e -e x )d x=2(e x-e x )|01=2[(e -e)-(0-1)]=2,由几何概型可知所求概率为2e2.故答案为2e 2. 15.(2014福建,理15)若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 . 答案:6解析:根据题意可分四种情况:(1)若①正确,则a=1,b=1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;(2)若②正确,则a ≠1,b ≠1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); (3)若③正确,则a ≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);(4)若④正确,则a ≠1,b=1,c ≠2,d ≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2). 所以共有6个. 故答案为6.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)(2014福建,理16)已知函数f (x )=cos x (sin x+cos x )-12. (1)若0<α<π2,且sin α=√22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:首先结合已知角的范围,利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值,求出余弦值,注意符号的判断,然后代入已知的函数关系式,得出结果.在第(2)问中,结合式子特点,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式,得出最终的目标——y=A sin(ωx+φ)+B 形式,运用T=2πω得出周期,再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间,此时要注意复合函数的单调性.另外,也可先化简再分别求解.解法一:(1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以cos α=√22.所以f (α)=√22(√22+√22)−12=12.(2)因为 f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12 =12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4), 所以T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .解法二:f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12=12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4). (1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以α=π4,从而f (α)=√22sin (2α+π4)=√22sin 3π4=12.(2)T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .17.(本小题满分13分)(2014福建,理17)在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. (1)求证:AB ⊥CD ;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.分析:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n ,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.解:(1)∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD=BD ,AB ⊂平面ABD ,AB ⊥BD ,∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图.由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD.以B 为坐标原点,分别以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),M (0,12,12),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1).设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0),则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 0+y 0=0,12y 0+12z 0=0, 取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1).设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=|cos <n ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63,即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为√63.18.(本小题满分13分)(2014福建,理18)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.分析:在第(1)问中,主要考查古典概型概率问题,60元的组成为50+10,而摸到每个球都是等可能的,所以只要代入公式即可求得获得60元奖励的概率.而要求得分布列及期望值,依然利用古典概型,把X 的所有取值对应概率准确求出,再利用期望公式求出即可.(2)先根据两种方案中小球的面值估算期望值为60的各种可能:(10,10,50,50)和(20,20,40,40),再利用古典概型求出两种可能性方案对应的分布列和期望值进行验证;若两者的期望值相同,则需求出它的方差,利用方差大小确定更为合适的设计方案. 解:(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意,得P (X=60)=C 11C 31C 42=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X=60)=12,P (X=20)=C 32C 42=12,即X 的分布列为X 2060P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),1的分布列为X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60,X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×16=60,X 2的方差为D (X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)(2014福建,理19)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l 1:y=2x ,l 2:y=-2x.(1)求双曲线E 的离心率;(2)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点(A ,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,说明理由.分析:在第(1)问中,已知渐近线方程,即a 与b 的关系,再结合双曲线本身a ,b ,c 的关系及离心率e=ca,便可求得离心率.(2)首先根据渐近线方程设双曲线方程,然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论.显然斜率不存在时,由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x=a ,此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m ,首先由△OAB 的面积为8求出k ,m 的关系式,然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点,利用判别式的符号判断其存在性. 解法一:(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y=2x ,y=-2x ,所以b a=2, 所以√c 2-a 2a=2,故c=√5a ,从而双曲线E 的离心率e=ca=√5.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1. 设直线l 与x 轴相交于点C.当l ⊥x 轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a ,|AB|=4a , 又因为△OAB 的面积为8,所以12|OC|·|AB|=8,因此12a ·4a=8,解得a=2,此时双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为x 24−y 216=1. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时,双曲线E :x 24−y 216=1也满足条件. 设直线l 的方程为y=kx+m ,依题意,得k>2或k<-2,则C (-mk,0).记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y =kx +m ,y =2x得y 1=2m 2-k ,同理得y 2=2m 2+k ,由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|得,12|-m k |·|2m 2-k -2m2+k|=8,即m 2=4|4-k 2|=4(k 2-4).由{y =kx +m ,x 24-y 216=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-16=0.因为4-k 2<0,所以Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+16)=-16(4k 2-m 2-16),又因为m 2=4(k 2-4),所以Δ=0,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a 2=1. 设直线l 的方程为x=my+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 依题意得-12<m<12.由{x =my +t ,y =2x 得y 1=2t 1-2m ,同理得y 2=-2t 1+2m.设直线l 与x 轴相交于点C ,则C (t ,0). 由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|=8,得12|t|·|2t 1-2m +2t1+2m|=8, 所以t 2=4|1-4m 2|=4(1-4m 2). 由{x =my +t ,x 2a2-y 24a2=1得,(4m 2-1)y 2+8mty+4(t 2-a 2)=0.因为4m 2-1<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m 2t 2-16(4m 2-1)(t 2-a 2)=0, 即4m 2a 2+t 2-a 2=0,即4m 2a 2+4(1-4m 2)-a 2=0,即(1-4m 2)(a 2-4)=0, 所以a 2=4,因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法三:(1)同解法一.(2)当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).依题意得k>2或k<-2. 由{y =kx +m ,4x 2-y 2=0得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2=0,因为4-k 2<0,Δ>0,所以x 1x 2=-m 24-k2,又因为△OAB 的面积为8, 所以12|OA|·|OB|·sin ∠AOB=8, 又易知sin ∠AOB=45,所以25√x 12+y 12·√x 22+y 22=8,化简得x 1x 2=4.所以-m 24-k2=4,即m 2=4(k 2-4).由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1,由{y =kx +m ,x 2a2-y 24a2=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-4a 2=0,因为4-k 2<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+4a 2)=0, 即(k 2-4)(a 2-4)=0,所以a 2=4, 所以双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 当l ⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于8可得l :x=2,又易知l :x=2与双曲线E :x 24−y 216=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1.20.(本小题满分14分)(2014福建,理20)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值;(2)证明:当x>0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .分析:(1)由题意可知点A 的横坐标为0,先求出f (x )的导函数f'(x ),则曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g (x )=e x -x 2,只需g (x )>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g (x )的单调性,从而得证.(3)根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.先将不等式转化为e x>1c x2,利用对数的性质,进一步转化为x>ln(1cx2)=2ln x-ln c,即可构造函数h(x)=x-ln x+ln c,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0,使h(x0)>0即可得证.也可结合(2)的结论,合理利用e x>x2将x2中的一个x赋值,利用不等式的传递性来解决问题.解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)①若c≥1,则e x≤c e x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>0时,x2<c e x.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.②若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<c e x成立,只要e x>kx2成立.而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-2x =x-2x.所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)对任意给定的正数c,取x0=√c, 由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=e x2·ex2>(x2)2(x2)2,当x>x0时,e x>(x2)2(x2)2>4c(x2)2=1cx2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有13x3<e x.证明如下:令h(x)=13x3-e x,则h'(x)=x2-e x.由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即13x3<e x.取x0=3c ,当x>x0时,有1cx2<13x3<e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.21.(2014福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A -1=(2 11 2).①求矩阵A ;②求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 分析:①求得|A -1|的值,利用求逆矩阵的公式便可求得A .②结合A -1的特征多项式,解方程,从而求得A -1的特征值. 解:(1)因为矩阵A 是矩阵A -1的逆矩阵,且|A -1|=2×2-1×1=3≠0,所以A =13(2 -1-1 2)=(23 -13-13 23). (2)矩阵A -1的特征多项式为f (λ)=|λ-2 -1-1 λ-2|=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f (λ)=0,得矩阵A -1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=( 1-1)是矩阵A -1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=(11)是矩阵A -1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为{x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).①求直线l 和圆C 的普通方程;②若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.分析:①通过消参,直线是代入消去法,圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程.在②中,利用直线和圆的位置关系,得d ≤r ,从而求得a 的范围. 解:(1)直线l 的普通方程为2x-y-2a=0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 故圆C 的圆心到直线l 的距离d=√5≤4, 解得-2√5≤a ≤2√5.(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )=|x+1|+|x-2|的最小值为a. ①求a 的值;②若p ,q ,r 是正实数,且满足p+q+r=a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3.分析:①利用绝对值不等式的性质容易得证,但要注意利用|a|+|b|≥|a±b|中的哪一个.②利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+s 2)≥(am+bn+cs )2,结合所给式子特点,合理赋值,可得证结果. 解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立,所以f (x )的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因为p ,q ,r 是正实数,所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r )2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.。
2014年高考真题——理科数学(福建卷)精校版Word版含答案
2014年高考真题——理科数学（福建卷）精校版 Word版含答案2014年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数等于（）2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱3.等差数列的前项和，若，则( )4.若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（）6.直线与圆相交于两点，则是"的面积为"的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件7. 已知函数则下列结论正确的是（）A. 是偶函数B. 是增函数C.是周期函数D.的值域为8. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A. B .C. D.9. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）A. B. C. D.10. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如："1"表示一个球都不取、""表示取出一个红球，面""用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.二、填空题11、若变量满足约束条件则的最小值为________12、在中，,则等于_________13、要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16. （本小题满分13分）已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。
数学高考真题-2014福建卷理科
2014年普通高等学校招生考试福建卷(理科数学)第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．144．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()图1-1A BC D 图1-2图1-35．阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．406．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)8．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 210．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）11．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．12．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-415．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．17．（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-518．（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（本小题满分13分）已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-620．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分.请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，按所做的前两题计分.(Ⅰ)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝2112⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．(Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,小题解析)
2014年高考真题——理科数学〔福建卷〕 解析版 小题局部一.选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于〔 〕.23A i --.23B i -+.23C i -.23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，如此该几何体不可能是〔 〕.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，如此6a =( ).8A .10B .12C .14D4.假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，如此如下函数图像正确的答案是〔 〕5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，如此"1"k =是“OAB ∆的面积为12〞的〔 〕 .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 如此如下结论正确的答案是〔 〕 A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在如下向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是〔 〕A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，如此Q P ,两点间的最大距离是〔 〕A.25B.246+C.27+D. 2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理与乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1〞表示一个球都不取、“a 〞表示取出一个红球，面“ab 〞用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，如下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二.填空题11.假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 如此y x z +=3的最小值为________.【答案】1【解析】试题分析：依题意如图可得目标函数过点A 时截距最大.即min 1z =.考点：线性规划.12.在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,如此ABC ∆的面积等于_________.13.要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，如此该容器的最低总造价是_______〔单位：元〕.14.如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，如此他落到阴影局部的概率为______.15.假设集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且如下四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，如此符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.。
【恒心】2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题参考答案【纯Word版】【李炳璋全国首发】
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-．【考点】集合的运算． 2.【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点】复数的概念． 3. 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =【考点】程序框图． 4. 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型． 5. 【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 6.【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．【考点】频率分布直方图． 7.【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==． 【考点】等比数列的通项公式． 8. 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222rh r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．【考点】圆柱的侧面积与体积． 9. 【答案】2555【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题． 10.【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 【考点】二次函数的性质． 11.【答案】2-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以b=-2，a+b=-3． 【考点】导数与切线斜率． 12. 【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-， 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．【考点】向量的线性运算与数量积． 13.【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． 14. 【答案】624- 【解析】由已知sin 2sin 2sin A B C +=及正弦定理可得22a b c +=，2222222()2cos 22a b a b a b cC abab++-+-==223222262262884a b ab ab ab ab ab +---=≥=，当且仅当2232a b =即23a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为624-． 【考点】正弦定理与余弦定理．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】（1）1010-；（2）33410+-． 【解析】（1）由题意2525cos 1()55α=--=-， 所以2252510sin()sincos cossin ()444252510πππααα+=+=⨯-+⨯=-． （2）由（1）得4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=，所以5553314334cos(2)cos cos 2sin sin 2()666252510πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-． 【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式． 16.【答案】证明见解析．【解析】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA DEF ⊄平面，DE DEF ⊂平面，所以//PA DEF 平面．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以PE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ABC ⊥平面，又DE ⊂平面B D E ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直． 17.【答案】（1）2212x y +=；（2）12．【解析】（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b ，2222BF b c a =+==，又41(,)33C ，∴22241()()3312b+=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=． （2）直线2BF 方程为1x y c b +=，与椭圆方程22221x y a b+=联立方程组，解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c++，133222232222F C b b a c k a c a c cc a c +==+++，又ABbk c=-，由1F C A B ⊥得323()12b b a c c c⋅-=-+，即42242b a c c =+，∴222224()2a c a c c -=+，化简得12c e a ==． 【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率． 18.【答案】（1）150m ；（2）10m ． 【解析】yx（1）如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ，由题意43BC k =-，直线BC 方程为4(170)3y x =--．又134AB BC k k =-=，故直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)33604y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩，即(80,B ，所以22(80170)120150BC =-+=()m ； （2）设O M t =，即(0,)M t (060)t ≤≤，由（1）直线BC 的一般方程为436800x y +-=，圆M 的半径为36805t r -=，由题意要求80,(60)80,r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，由于060t ≤≤，因此36805t r -=6803313655t t -==-，∴313680,53136(60)80,5t t t t ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩∴1035t ≤≤，所以当10t =时，r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离．19.【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e ea --=，当a e >时，11a e e a -->．【解析】（1）证明：函数()f x 定义域为R ，∵()()x x f x e e f x --=+=，∴()f x 是偶函数．（2）由()1xmf x e m -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2xxf x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x xe e e-=+-，令211x x x e y e e -=+-，设1xt e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t-+==+-，∵0t <，∴12t t +≤-（1t =-时等号成立），即1213y≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-．（3）由题意，不等式3()(3)f x a x x <-+在[1,)+∞上有解，由3()(3)f x a x x <-+得330x x ax ax e e --++<，记3()3x x h x ax ax e e -=-++，2'()3(1)x x h x a x e e -=-+-，显然'(1)0h =，当1x >时，'()0h x >（因为0a >），故函数()h x 在[1,)+∞上增函数，()(1)h x h =最小，于是()0h x <在[1,)+∞上有解，等价于1(1)30h a a e e=-++<，即11()12a e e >+>．考察函数()(1)l n (1),(1g x e x x x =---≥，1'()1e g x x -=-，当1x e =-时，'()0g x =，当11x e <<-时，'()0g x >，当1x e >-时'()0g x <，即()g x 在[1,1]e -上是增函数，在(1,)e -+∞上是减函数，又(1)0g =，()0g e =，11()12e e+>，所以当11()2e x e e+<<时，()0g x >，即(1)ln 1e x x ->-，11e x x e -->，当x e >时，()0g x <，，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，因此当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小． 20.【答案】（1）证明见解析；（2）1d =-；（3）证明见解析．【解析】（1）首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，所以对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”．（2）由题意1(1)n a n d =+-，(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于(1)*2n n N -∈，又*k N ∈，则1n Z d-∈对一切正整数n 都成立，所以1d =-． （3）首先，若n d bn =（b 是常数），则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，因此{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d 是公差），设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+，而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法．作者：李炳璋（原名李东升），为人低调，和蔼亲切，耐心细致．．．．．．．．．．．．．．。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·福建(文科数学)
2014·福建卷(文科数学)1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析]把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.2．[2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．13．A[解析]由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.4．[2014·福建卷] 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1-1A．1B．2C．3D．44．B[解析]当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05．C[解析]“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.6．[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.7． [2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析]将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-28． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析]由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C [解析]设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4m 3，高为1m ．得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C. 10． [2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →10．D [解析]如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.11． [2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析]作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||) )AC图1-412．A [解析]设M (x ，y )是轨迹上任意一点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，||MF 1|＋|MF 2||＝2a ，其中a 为常数，且a >c >0，由“L －距离”定义，得|x ＋c |＋|y |＋|x －c |＋|y |＝2a ，即|y |＝12(2a －|x ＋c |－|x －c |)，当y ≥0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x <c ；－x ＋a ，x ≥c ，当y <0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，－a ＋c ，－c ≤x <c ，x －a ，x ≥c .则满足上述关系的图像只有选项A.13． [2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-513．0.18 [解析]设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18， 所以可以估计阴影部分的面积为0.18.14． [2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． (这是边文，请据需要手工删加)14．1 [解析]由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.15． [2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析]当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 16． [2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 17． [2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.18． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19． [2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个． 所以所求概率为P (M )＝310.21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 22． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 22．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x ＜ln2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，第 11 页 共 11 页 所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， 则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。
台湾“高考”国文试题的启示
台湾“高考”国文试题的启示3月26日，教育部公布《完善中华优秀传统文化教育指导纲要》，详细阐述了从小学到大学实施中华优秀传统文化教育的具体要求，强调将其“系统融入课程和教材体系”，同时增加在中考、高考升学考试中的比重。
去年10月，北京市教委宣布将降低高考英语分值，提高语文分值。
有网友以“网上忽闻语文贵，初闻涕泪满衣裳”来形容。
在笔者眼中，教育部门明确提高母语在学校教育中的重要程度，意味着长期以来备受诟病的语文教育终于突破困境，返璞归真，走上正道。
并且，从高考入手，可谓抓住了根本。
但兴奋过后细想：“中华优秀传统文化”是个相当宽泛的范畴，命题者对此如何理解，直接关涉到试题内容的组织和题型的设计，进而影响到教育部《纲要》的实施和整个母语教育变革方向。
笔者搜集由台湾地区大学入学考试中心编制的1994～2014学年度学科能力测验国文科试题，与大陆近年高考语文试题做了一番比较。
其中的异同之处，折射出两岸对汉语文本质及母语教育价值观的各自理解，也反映出共同的文化历史渊源。
一份试卷的整体结构反映了命题者对这门学科的总体把握，也包括对该学科基本规律的认识1994年，台湾地区为配合当时大学多元化入学考试制度改革，改“联考”为“大学学科能力测验”（简称“学测”），由大学入学考试中心负责统筹举办。
考试科目包括国文、英文、数学、社会与自然5科。
2002年，台湾地区正式宣布取消大学联考，实行学测和“大学入学指定科目考试”（简称“指考”）并行制，考生可以二选一或者两者都选。
自2010年始，学测成绩被作为大陆普通高校招收台湾高中毕业生的依据。
台湾大学学科能力测验国文科考试（以下简称“台湾学测国文”）与大陆普通高等学校全国统一考试语文科目（以下简称“大陆高考语文”）相比，首先是总分和考试时长存在差异。
由上表可见，大陆比台湾考试时长多了半个小时，总分多了42分。
不仅如此，试卷结构也存在明显差异，请看下表：可以说，一份试卷的整体结构反映了命题者对该学科的总体把握，也包括对该学科基本规律的认识。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—福建卷
2014年福建文科卷一．选择题1．若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ）}{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤2．复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5．命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OMC OMD OM11．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12．在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）A B C D 二．填空题13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14．在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16． 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于三．解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．19．（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．20．（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 21．（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
新东方优能中学-数学-2014年全国各省市高考试题汇编(数学理)--正文
C.5
2
D .2
3 / 123
11.已知函数 f ( x) = ax3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0，则 a 的取值范 围为（ ）
A . 2,
B . 1,
C . , 2
D . , 1
12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
150 ≈12.2.
2
若 Z ～ N ( ,
) ，则 P( Z ) =0.6826， P( 2 Z 2 ) =0.9544.
19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C . (Ⅰ) 证明： AC
0，
an an1 Sn 1，其中 为常数.
(Ⅰ)证明： an 2 an
；
（Ⅱ）是否存在 ，使得{ an }为等差数列？并说明理由.
18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标 值，由测量结果得如下频率分布直方图：
目录
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ数学理）....................................................... 2 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ数学理）..................................................... 10 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷数学理） ........................................................ 17 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷数学理） ........................................................ 22 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷数学理） ........................................................ 28 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷数学理） ........................................................ 35 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷数学理） ........................................................ 42 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷数学理） ........................................................ 48 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷数学理） ........................................................ 56 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷数学理） ........................................................ 64 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷数学理） ........................................................ 73 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷数学理） ........................................................ 80 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷数学理） ........................................................ 87 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷数学理） ........................................................ 94 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷数学理） ...................................................... 101 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷数学理） ...................................................... 106 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷数学理） ...................................................... 111 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷数学理） ...................................................... 117
台湾省2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(提分卷)完整试卷
台湾省2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（）A．162种B．150种C．120种D．114种第(2)题由直线，，曲线及x轴所围图形的面积为A．B．C．D．第(3)题某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A．4B．8C．16D．32第(6)题已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则（）A．B．C．3D．第(7)题“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则不同的报名情况总共有（）A．360种B．316种C．288种D．216种第(8)题已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（）A．2B．3C．6D．9二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（）A．点的纵坐标为B．的准线方程为C．若，则的斜率为D．面积的最小值为16第(2)题已知双曲线经过点，则（）A．的实轴长为B．的焦距为C．的离心率为D．的渐近线方程是第(3)题已知函数的一条对称轴为直线，则（）A．B ．关于点对称C ．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则的最大值为D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数，则______.第(2)题设单位向量，的夹角为，与垂直，则__________．第(3)题已知，当时，的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）求函数的值域；（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.第(2)题在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线经过点，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程及极坐标方程；（2）若射线与直线及曲线分别交于点，（原点除外），，求．第(3)题脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．第(4)题已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值.第(5)题如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高（精确到，）。
台湾省(新版)2024高考数学部编版考试(自测卷)完整试卷
台湾省（新版）2024高考数学部编版考试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若存在，使得成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要第(3)题已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(4)题已知，则下列不等式成立的是A．B．C．D．第(5)题在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数定义在上的函数满足：，当，，则与的大小关系为A．B．C．D．不能确定第(7)题已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在轴上方的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F，且该八面体的各棱长均相等，则（）A．异面直线AE与BF所成的角为60°B．BD⊥CE.C．此八面体内切球与外接球的表面积之比为D．直线AE与平面BDE 所成的角为60°第(2)题已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（）A．B．的虚部为C．复数的共轭复数D．复数是方程的一个根第(3)题已知函数，若，，，则下列正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为__________．第(2)题已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______．第(3)题记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题羽毛球运动具有拼搏、进步、积极向上的意义，同时还要求运动员具备细心和迅速的敏锐性.某大学羽毛球运动协会为了了解本校学生对羽毛球运动是否有兴趣，从该校学生中随机抽取了300人进行调查，男女人数之比是2：1，其中女生对羽毛球运动有兴趣的占80%，而男生有30人表示对羽毛球运动没有兴趣.(1)完成2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对羽毛球运动的参与度，该校举行一次羽毛球比赛.比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2：0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2：1取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为X，求X的分布列和期望.附表：，其中.a0.500.400.250.1500.1000.0500.4550.780 1.323 2.072 2.706 3.841第(2)题设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.(1)求;(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.第(3)题在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)证明：；(2)若D为BC边上的点，，，求b的值．第(4)题已知数列是公差为2的等差数列，且_______请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，并解答下面问题．(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，证明：．第(5)题已知数列满足，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,小题部分,解析版)
2014年福建文科卷一．选择题 假设集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥如此P Q ⋂等于 〔 〕}{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤复数()32i i +等于 〔 〕.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 〔 〕.2..2.1A B C D ππ阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 〔 〕.1.2.3.4A B C D命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥〞的否认是 〔 〕()()[)[)3333000000.0,.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈+∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，如此l 的方程是 〔 〕.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，如此如下说法正确的答案是〔 〕()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称假设函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，如此如下函数正确的答案是 〔 〕要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，如此该容器的最低总造价是 〔 〕.80.120.160.240A B C D 元元元元设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，如此OA OB OC OD +++等于 〔 〕 ..2.3.4A OMB OMC OMD OM圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，假设圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，如此22a b +的最大值为 〔 〕.5.29.37.49A B C D在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离〞定义为121212.PP x x y y =-+-如此平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离〞之和等于定值〔大于12||F F 〕的点的轨迹可以是〔 〕二、填空题如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为___________.在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,如此AB 等于__________.函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.16. 集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且如下三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，如此________10100=++c b a .。
2014港澳台高考卷
分别为
【】
A. 八=2S, 几=-S
s B. 八=S, 几＝ －— 2 C. 八=S, 几=-S
三!L 下
d
土
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D.
八＝— 3S ,
几＝
S
－—
2
2
2014年联考·物理科 第2页 共6页
二、实验题：本大题共2小题．共24分．按题目要求作答．
14. (8分）用螺旋测微器和游标卡尺分别测量两个工件的长度，测量结果如图1和如图2所示，读数分别
，，，＇吵勿勿勿勿,..-✓-,,:M1
C. 2nd D. 2(n-l)d
…』［广勹 M2 2夕夕夕,.
8. 如图，L1 , L2 分别为凸透镜和凹透镜， 它们组成的系统能使平行千主光轴， 直径为 d的平行入射光束
d 变为仍平行千主光轴， 直径为一的出射光束，L1与L2 之间的距离为s, 则L1的焦距八和L2的焦距儿
17. (18分）如图， 一固定光滑斜面的倾斜角为0, 斜面上有一根长为l的不可伸长的轻绳。 绳的上端固 定在0点，下端系 一个小球A, 开始时绳处千自然伸长状态。现在斜面内给A 一 垂直千绳的初速度v胪 问v。至少应多大才能使A在斜面上绕0点做圆周运动。 重力加速度大小为g。
2014年联考·物理科 第5页 共6页
2014年联考·物理科第4页共6页
三、 计算题：本大题共4小题， 共74分． 解答时应写出必要的文字说明、 方程式和主要演算步骤． 只 写出最后答案． 不能得分． 有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．
16. C 16分）“ 嫦娥一 号 “ 月球卫星最后绕月的运动可视为圆周运动，卫星距月面的高度约为h= 2.0xl02 km, 运行周期T=127分钟。若月球可视为半径约为R= l.74xl03 km、质量均匀分布的球体。 试计算月球表 面处由千月球引力而产生的重力加速度的大小gm o
台湾大学2014年高考试题-理综(自然)
5.
一般認為銀河系中心有一個超大質量的黑洞。有些天文學家估計這黑洞的質量 大 約 是 太 陽 的 四 百 萬 倍 ， 太 陽 離 此 超 大 質 量 黑 洞 的 距 離 約 為 28,000 光 年 。 如 果 太 陽、該 超 大 質 量 黑 洞 與 地 球 排 成 一 直 線，且 二 者 對 地 球 的 主 要 影 響 只 有 萬 有 引 力，則 這 個 超 大 質 量 黑 洞 和 地 球 之 間 的 萬 有 引 力，大 約 是 地 球 和 太 陽 之 間 萬 有 引 力 的 多 少 倍 ？ (28,000 光 年 大 約 是 1.8 109 天 文 單 位 ) (B) 2.5 107 (C) 2.2 103 (D) 4 106 (A) 1.2 1012 (E) 8.1 1011
帶最大？
平均水面 甲 平均水面 乙 平均水面 丙 平均水面 丁
(A) 甲 (D) 丁 2.
(B) 乙 (C) 丙 (E) 四 種 海 岸 地 形 的 潮 間 帶 都 相 同
地球歷史上氣候變遷是因為全球能量收支或分配的情況改變所造成，下列何 者不是直接造成氣候變遷的主要因素？ (A) 地 表 海 陸 分 布 情 況 改 變 (B) 大 型 的 火 山 噴 發 (D) 溫 鹽 環 流 改 變 (E) 地 球 繞 日 軌 道 的 改 變 (C) 地 球 磁 場 反 轉
2 3
(D) 105
(E) 109
16. 下 列 哪 一 項 為 氧 化 還 原 反 應 ？ (A) NH 3(g) HCl(g) NH 4 Cl(s)
(C) CaCO3(s) CaO(s) CO 2(g)
(B) BaCl2(aq) Na 2SO 4(aq ) BaSO 4(s ) + 2NaCl(aq ) (D)
中国大陆与台湾本科数学专业教育对比分析
中国大陆与台湾本科数学专业教育对比分析知识安排模式不同，例如，大陆各高校数学专业把台湾的大学必修课中的微积分和高等微积分的学习内容整合为数学分析，作为一门课程来学习，台湾的大学的线性代数和代数论两门课程的内容在大陆高校数学专业也被整合为一门课程来学习——高等代数。
两者的课程设置各有利弊，以台湾高校课程中的微积分、高等微积分和大陆各高校课程中的数学分析为例。
微积分的课程内容以计算为主，而高等微积分则是以分析为主，也就是先把计算基础打扎实以后再进行分析。
这样的课程设置方式使学生更容易适应从高中数学到大学数学的转化。
但一旦没有在大一打好基础，很容易影响接下来对高等微积分的学习。
数学分析则是把计算和分析内容相结合，两者相辅相成，可以让学生深入地掌握所学内容，但弊端是从高中单纯的计算到大学突如其来地分析确实让学生有些无所适从。
二、教材选取对比对比表3表4，可以得出，台湾各高校数学专业课一般都会使用国外的英文原文书，而内地的学校基本上都是使用国内专家所编写的教材。
现在大学所学的数学专业课程中大多数所涉及的理论都来源于国外的学者，使用英文原文书可以对该理论有更精确地传达。
此外对书中大多数专业名词的学习，有利于学生对国外专业文献的阅读。
但对于母语为国语的学生来说，自行阅读英文原文课本困难较大，预习复习时会遇到较多障碍，花费大量时间。
内地高校所使用的中文课本，均是由国内专家老师所编，教材的编写会比较符合内地学生的思维模式，而且不需要花大量的时间和精力在语言的翻译上。
此外，英文原文的课本一般经济成本在200元人民币上下，而内地课本则在20～40元人民币以内，显然内地教材课本比较符合大多数学生家庭经济能力的承受范围。
三、教育方式对比1.教室设置对比台湾高校的教室设置仍然是延续高中的模式，基本上所有的课都在同一个教室上，而且每个人的座位都会与身边人的座位有一定的距离。
而内地高校基本采取的是不同的课用不同的教室的做法，在座位的安排上也都是整排连座。
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103年學測 數學考科
二 、 多 選 題 （ 占 30 分 ）
說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之 「選擇 （填） 題答案區」 。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者， 得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項 或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
大學入學考試中心 103 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘 題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題 作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿 使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案 者，其後果由考生自行承擔。 選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能 不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一 個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
已 知 sin15
6 2 ， 則 正 三 角 形 DEF 的 邊 長 為 4
○ 33 ○ 34
–
○ 35 ○ 36
。 (化 為 最 簡 根 式 )
-6-
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103年學測 數學考科
參考公式及可能用到的數值
1. 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 S
○○
G. 已 知 是 一 個 轉 移 矩 陣 ， 並 且 其 行 列 式 (值 )為 8 。 則 a d c d
最簡分數)
a b
5
○ 30 ○ 31 。 (化 為 ○ 32
H. 如 圖 ， 正 三 角 形 ABC 的 邊 長 為 1 ， 並 且 1 2 3 15 。
1 2
8. 關 於 下 列 不 等 式 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) (2) (3) (4) (5)
13 3.5 13 3.6 13 3 10 13 3 16
1 0.6 13 3
9 . 一 物 體 由 坐 標 平 面 中 的 點 ( 3, 6) 出 發 ， 沿 著 向 量 v 所 指 的 方 向 持 續 前 進 ， 可 以
為
○ 25 ○ 26 ○ 27
。 (化 為 最 簡 根 式 )
F. 一 個 房 間 的 地 面 是 由 1 2 個 正 方 形 所 組 成 ，
如右圖。今想用長 方形瓷磚 舖滿地面，已知 每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正
方 形，即
或
。則 用 6 塊 瓷 磚 舖
滿 房 間 地 面 的 方 法 有 28 29 種 。
例：若第 B 題的答案格式是
18 19
3 6 6
3 ，而依題意計算出來的答案是 ，則考生 8
必須分別在答案卡上的第 18 列的 18 19
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
與第 19 列的
7 7 8 8 9 9 0 0
8
畫記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 卡的第 20 列的 20 21
個選項？
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 6
5 . 設 (1 2)6 a b 2 ， 其 中 a, b 為 整 數 。 請 問 b 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？
6 ( 1 ) C06 2C26 2 2 C4 23 C66
( 2 ) C16 2C36 2 2 C56
1 2 . 所 謂 某 個 年 齡 範 圍 的 失 業 率，是 指 該 年 齡 範 圍 的 失 業 人 數 與 勞 動 力 人 數 之 比，
以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示） 。下表為去年某國四 個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。 年齡範圍 失業率
35~44 歲 12.66(%)
6 6 ( 3 ) C06 2C16 2 2 C2 23 C36 2 4 C 4 25 C56 26 C66
( 4 ) 2C16 2 2 C36 23 C56
6 6 6 ( 5 ) C06 2 2 C2 2 4 C4 2 6 C6
6. 某 疾 病 可 分 為 兩 種 類 型 ： 第 一 類 占 70%， 可 藉 由 藥 物 A 治 療 ， 其 每 一 次 療 程
13.17 7.08 (3) 40~49 歲 的 失 業 率 等 於 % 2
(4) 35~39 歲 勞 動 力 人 數 少 於 40~44 歲 勞 動 力 人 數 (5) 如 果 40~44 歲 的 失 業 率 降 低 ， 則 45~49 歲 的 失 業 率 會 升 高
-4-
1 1
20 21 50
7 6 6
，而答案是 畫記，如：
7 7 8 9 9 0 0
7 50
時，則考生必須分別在答案
與第 21 列的
2 2 3 3 4 4 5 5
8
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
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第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 60 分 ） 一 、 單 選 題 （ 占 30 分 ）
道 路 上 蓋 一 家 超 級 市 場 使 其 與 A, B 等 距 ， 則 此 超 級 市 場 與 A 的 距 離 須 為
○ 21 ○ 22
公 里 。 (化 為 最 簡 根 式 )
D. 坐 標 空 間 中 有 四 點 A(2, 0, 0) 、 B (3, 4, 2) 、 C ( 2, 4, 0) 與 D ( 1,3,1) 。 若 點 P 在 直 線 CD
的 成 功 率 為 7 0 %， 且 每 一 次 療 程 的 成 功 與 否 互 相 獨 立 ； 其 餘 為 第 二 類 ， 藥 物 A 治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物 A 第一次療 程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) 0.25 (2) 0.3 (3) 0.35 (4) 0.4 (5) 0.45
n(2a ( n 1) d ) 2
首 項 為 a ， 公 比 為 r ( r ¹ 1) 的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 S
a(1 r n ) 1 r
2 . 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin( A B ) sin A cos B cos A sin B
11 . 設 a1 1 且 a1 , a2 , a3 , 為 等 差 數 列 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) 若 a100 0 ， 則 a1000 0 ( 2 ) 若 a100 0 ， 則 a1000 0 ( 3 ) 若 a1000 0 ， 則 a100 0 ( 4 ) 若 a1000 0 ， 則 a100 0 ( 5 ) a1000 a10 10(a100 a1 )
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第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 40 分 ）
說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–36） 。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 設 圓 O 之 半 徑 為 24 ， OC 26 ， OC 交 圓 O 於 A 點 ，
x2 y 2 2x 2 y 1 0 有 幾 個 交 點 ？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個
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4 . 請 問 滿 足 絕 對 值 不 等 式 4 x 12 2 x 的 實 數 x 所 形 成 的 區 間 ， 其 長 度 為 下 列 哪 一
說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」 。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多 於一個選項者，該題以零分計算。
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 請 問 下 列 哪 一 個 選 項 等 於 log 2 ( 1 ) 5log 23
CD 切 圓 O 於 D 點 ， B 為 A 點 到 OD 的 垂 足 ， 如 右
邊 的 示 意 圖 。 則 AB
○ 13 ○ 14 ○ 15 。( 化 為 最 簡 分 數 ) ○ 16 ○ 17
B. 坐 標 平 面 上，若 直 線 y ax b ( 其 中 a, b 為 實 數 ) 與 二 次 函 數 y x 2 的 圖 形 恰 交 於 一
35~39 歲 9.80(%)
40~44 歲 13.17(%)
45~49 歲 7.08(%)
請根據上表選出正確的選項。
(1) 在 上 述 四 個 年 齡 範 圍 中 ， 以 40~44 歲 的 失 業 率 為 最 高 (2) 40~44 歲 勞 動 力 人 數 多 於 45~49 歲 勞 動 力 人 數
進入第一象限。請選出正確的選項。
( 1 ) v = (1, 2) ( 2 ) v = (1, 1) ( 3 ) v = (0.001, 0) ( 4 ) v = (0.001,1) ( 5 ) v = ( 0.001,1)
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103 年學測 數學考科 1 0 . 設 f ( x ) 為 實 係 數 二 次 多 項 式 ， 且 已 知 f (1) 0 、 f (2) 0 、 f (3) 0 。
35
？
( 2 ) 3 5log 2 ( 3 ) 5log 2 log 3 ( 4 ) 5 log 2 log 3