(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》
2020年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。
2020年高考理科数学(全国卷Ⅰ真题)——(含答案和解析)
（一）必考题：共60分.
17.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（）
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
据此结合目标函数 几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
A.0B.1C. D.2
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
2020届高考数学一轮课件：15.1 坐标系与参数方程
15.1 坐标系与参数方程
考情概览
试题类编
2010—2019年高考全国卷考情一览表
年 份 题号
2010
理 23 文 23
2011
理 23 文 23
2012
理 23 文 23
1 理 23
卷 文 23
2013 2
理 23
卷 文 23
1 理 23
卷 文 23
2014 2
理 23
卷 文 23
考点130
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解(1)☉O 的直角坐标方程为 x2+y2=1.
当 当
αα≠=π2π2时时,,记l 与ta☉nOα=交k,于则两l 的点方. 程为
y=kx-
2,l 与☉O 交于两点当且仅
当
2 1+������2
<1,解得 k<-1 或 k>1,即 α∈
π 4
,
π 2
或 α∈
π 2
,
3π 4
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= 3 ,求P的极坐标.
考点130
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试题类编
解(1)由题设可得,弧������������ , ������������ , ������������所在圆的极坐标方程分别为 ρ=2cos
试题类编
7.(2018·全国3,文理22,10分,难度★★)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
xOy
中,☉O
的参数方程为
������ ������
= =
csoins������������,(θ
2020年高考理科数学之高频考点解密30 坐标系与参数方程(解析版)
解密30 坐标系与参数方程考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值. 【答案】（1）π4sin()3ρθ=+；（2）4 【思路分析】（1）利用22cos sin 1ϕϕ+=消掉参数ϕ，求得曲线C 的直角坐标方程，再利用极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得曲线C 的极坐标；（2）设出,M N 两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求得面积的最大值.【解析】（1）可知曲线C 的普通方程为22((1)4x y -+-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即π4sin()3ρθ=+. （2）由（1）不妨设1(,)M ρθ，2π(,)2N ρθ+12(0,0)ρρ>>，1211πππ2π8|sin()sin()|4|sin(2)|4223233MON S OM ON ρρθθθ===+++=+≤△， 所以MON △面积的最大值为4.【名师点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程的相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.调研2 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）217178-. 【解析】（1）由122cos :12sin x t C y t=-+⎧⎨=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x .所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17178)1(4|1142|22=-++-⨯-=d ， 所以||PQ 的最小值为217178-.调研3 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221106x y+=，曲线2C的参数方程为1,282x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值.【答案】（1）1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C80y ++=；（2）1.【思路分析】（1）由椭圆的参数方程的公式可直接写出1C 的参数方程；由曲线2C 的参数方程消去参数可得到2C 的普通方程；（2）先由1C 的参数方程设出点P 的坐标，由题意知求PQ 的最小值即是求点P 到直线2C 的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.【解析】（1）由曲线1C 的方程为221106x y +=，得曲线1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由曲线2C的参数方程为1,282x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），得曲线2C80y ++=.（2）设)P θθ，点P 到直线2C 的距离为d ， 则PQ 的最小值即为d 的最小值，因为()6sin 82d θϕ++==，其中tan ϕ=当sin()1θϕ+=-时，d 的最小值为1，此时min 1PQ =.【名师点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.☆技巧点拨☆1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.考点2 利用参数几何意义解题调研1 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .【答案】（1）24y x =；（2【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，1274t t =-， ∴12AB t =-===调研2 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为222.1sin ρθ=+（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为(1，0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值. 【答案】（1）2212x y +=；（2）. 【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， 222,sin x y y ρρθ=+=Q ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-∴+=-=++， 121211···MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-，12t t -===Q22111sin 11sin MA MBαα+∴+==+ 【名师点睛】直线的参数方程的标准形式的应用：过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 是参数，t 可正、可负、可为0).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则（1）M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). （2）|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.（3）若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. （4）若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 调研3 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为6x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22232cos 3ρρθ-=． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上的动点，求点P 到曲线1C 的最小距离．【答案】（1）226013x x y y -+=+=，；（2）.【思路分析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，能求出曲线C 2的直角坐标方程；（2）设点P的坐标为,sin )θθ，利用点到直线的距离表示点P 到曲线1C 的最小距离，结合三角函数的图象与性质即可得到最小值. 【解析】（1）消去参数t 得到6y x =+，故曲线1C 的普通方程为60x y -+=.由22232cos 3ρρθ-=，222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩得到2223()23x y x +-=，即2213x y +=, 故曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）解法1：设点P的坐标为,sin )θθ，则点P 到曲线1C的距离π|2cos()6|d θ++==所以当πcos()16θ+=-时，d 的值最小， 所以点P 到曲线1C的最小距离为（2）解法2：设平行直线1C ：60x y -+=的直线l 的方程为0x y m -+=. 当直线1C 与椭圆2C 相切于点P 时，P 到直线1C 的距离取得最大或最小值.由22013x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2246330x mx m ++-=， 令其判别式0∆=，解得2m =±，经检验，当2m =时，点P 到直线1C的距离最小，最小值为d ==所以点P 到曲线1C的最小距离为【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 调研4 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且34PA PB =，求l 的普通方程. 【答案】（1）22(6)25x y ++=;（2）(1)y x =±-.【思路分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而可得结果.【解析】（1）将222,cos x y x ρρθ=+=代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ， 由根与系数的关系知121214cos ,24t t t t α+=-=，① ∴12,t t 同号，又34PA PB =，∴1234t t =，② 由①②可知12=32=42t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12=32=42t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩，∴14cos 72α-=或14cos α-=72-，解得2cos α=±， ∴tan 1k α==±， ∴l 的普通方程为(1)y x =±-.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．☆技巧点拨☆若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).考点3 利用ρθ,的几何意义解题调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为222cos 24sin 2(0)ρθρθρ+=>.（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）2【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为222(1)x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=.由222cos 24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=, 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组2222222cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩, 因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得222101a ρρ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩, 消去ρ得22a =-调研2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：2212012x y +=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（2）设直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .【答案】（1）22(32sin )15ρθ+=；（2）MN =. 【解析】（1）设点Q 的坐标为(,)x y ，Q Q 为线段OP 的中点，∴点P 的坐标为(2,2)x y ．由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22153x y +=，①将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．（2）方法1：把直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=， 化简得2103t =，12t t ∴== 设M 、N 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 由直线参数方程t的几何意义得弦长12MN t t =-=． 方法2：由直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为π3， ∴直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ． 由22π,3(32sin )15,θρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1π,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2π,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴弦长12MN ρρ=-=． 方法3：由直线l的参数方程1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l的普通方程为y =，联立22153y x y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩弦长3MN ==．1．（广东省2019-2020学年高三第一次教学质量检测）极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）曲线C ：224x y+=，直线l ：0x a -=；（2）(2,2)-．【思路分析】（1）根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C ．再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可；（2）圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题．【解析】（1）依题意，24ρ=，代入公式222x y ρ=+，得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由直线的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为0x a --=； （2）依题意可得，圆心O 到直线l ：0x a --=的距离1d<，1<，解得22a -<<． 故实数a 的取值范围为(2,2)-．【名师点睛】（1）本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+，与消去参数方程中参数的方法；（2）圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系．2．（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36ρθπ-=．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）224x y +=，2ρ=；（2）2．【思路分析】（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式cos x ρθ=，sin y ρθ=可得极坐标方程；（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB 的长． 【解析】（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=++=， ∴曲线C 的普通方程为224x y +=．∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． （2）把3θπ=代入cos()36ρθπ-=中，可得cos()336ρππ-=，解得ρ=B点的极径B ρ=， 由（1）易得2A ρ=，∴||2A B AB ρρ=-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用cos x ρθ=，sin y ρθ=来实现，侧重考查数学运算的核心素养．3．（贵州省安顺市2019-2020学年高三上学期第一次联考）在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点(0,2)P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值．【答案】（1）1C20y +-=，2C ：23x y =；（2）90．【思路分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案；（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案．【解析】（1）直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=； 由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2221212290PM PN t t t t +=+-=．【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键．4．（河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中考试）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），[)0,θ∈π．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：8sin()6ρθπ=+． （1）在直角坐标系xOy 中，求圆C 的圆心的直角坐标；（2）设点P ，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求证：PA PB ⋅为定值，并求出该定值． 【答案】（1）(2,；（2）证明见解析，该定值为12．【思路分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解析】（1）∵圆C的极坐标方程为8sin()4cos 6ρθθθπ=+=+，∴2sin 4cos ρθρθ=+，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2240x y x +--=．∴圆C的方程为22(2)(16x y -+-=， ∴圆C的圆心的直角坐标为(2,．（2）将直线l的参数方程代入22(2)(16x y -+-=，得22cos )120t t θθ-+-=，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1212t t =-， ∴1212PA PB t t ⋅==，故PA PB ⋅为定值，该定值为12．【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．（重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且(2,1)A ，求11AP AQ+的值． 【答案】（1）4cos ρθ=；（2． 【思路分析】（1）先得到曲线1C 的普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得到答案；（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程，得到12t t +，12t t ，将所求的11AP AQ+用12,t t 表示，从而得到答案． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为2224()x y -+=，即2240x y x +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程2224()x y -+=中，得28305t t +-=， 设P ，Q 两点的参数分别为1t ，2t ，则12128530t t t t ⎧+=-⎪⎨⎪=-<⎩，1t 、2t 异号，所以1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====． 6．（重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高三11月月考）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0α<<π），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(12cos 2)8cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P -，若114||3PA PB -=，求tan α的值． 【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43． 【思路分析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；（2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12,t t ，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12t t ⋅=230sin α-<，再由114||3PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果． 【解析】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+，即()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0α<<π知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0∆ααα=++>， 故直线l 与曲线C 有两个公共点； （2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124||sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=， 即24sin cos 3sin ααα=，∴4tan 3α=． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型． 7．（湖南省师范大学附中2019-2020学年年高三上学期11月月考）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程θπ=4()ρ∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）cos 2ρθ=-；22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12． 【思路分析】（1）由条件根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ求得C 1，C 2的极坐标方程；（2）把直线C 3的极坐标方程代入ρ2﹣+4＝0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M ⊥C 2N ，从而求得△C 2MN 的面积12⋅C 2M ⋅C 2N 的值． 【解析】（1）222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=Q1C ∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-．由2C 的直角坐标方程22(1)(2)1x y -+-=， 展开得222440x y x y +--+=，2C ∴的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1212,ρρρρ=-=∴即||MN =2C 的半径为1，即221C M C N ==．易知22222||C M C NMN +=，即2C MN ∆为等腰直角三角形，2111122C MN S ∆=⨯⨯=∴．【名师点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．8．（云南省师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期11月月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为6cos 8sin ρθθ=+，圆心为C ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)M ，当ACB ∠最小时，求||||MA MB +的值． 【答案】（1）22(3)(4)25x y -+-=；（2） 【思路分析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）根据题意得到直线l 与CM 垂直时ACB ∠最小，此时MA MB AB +=，由圆的弦长公式，得到答案．【解析】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以圆C ：26cos 8sin ρρθρθ=+可得2268x y x y +=+，整理得：22(3)(4)25x y -+-=．（2）因为直线1cos 2sin x t l y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩，，过点(1,2)M ，当ACB ∠最小时，直线l 与CM 垂直，因为CM ==，且点M 在圆C 内部，所以MA MB AB+====．【名师点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，直线与圆的位置关系，求圆的弦长，属于简单题． 9．（2019年11月四川省攀枝花市一模）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π(2,)6P ，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）23． 【思路分析】（1）先化参数方程为普通方程，再化为极坐标方程，利用曲线1C 经过点π(2,)6P 求出r 的值即可；（2）把1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+代入曲线2C 的方程，对2222121111=||||OA OB ρρ++变形化简即可．【解析】（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=．由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=． 由曲线1C 经过点π(2,)6P ，则22π242sin 4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去)， 故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π[2cos 2()](2cos 2)62ραρα++=-=，所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=． 【名师点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基础题．牢记转化公式和极坐标系中ρθ，的含义即可顺利解题．10．（山西省大同市2019-2020学期高三上学期第一次联合考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=．（1）设点,M N 分别为曲线1C 与曲线2C 上的任意一点，求||MN 的最大值；（2）设直线1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1C 交于,P Q 两点，且||1PQ =，求直线l 的普通方程．【答案】（1）7；（270y -+=70y ++=．【思路分析】（1）将曲线1C 和2C 都化成普通方程后，可知||MN 的最大值是圆心距加上两个圆的半径；（2）将直线l 的参数方程代入22(3)4x y -+=中后，利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长||PQ ，代入已知||1PQ =，可解得斜率，再由点斜式可得直线l 的方程．【解析】（1）由32cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩得2222(3)(2cos )(2sin )4x y ϕϕ-+=+=，所以曲线1C 的普通方程为22(3)4x y -+=，圆心()13,0C ，半径1=2r ．曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=，圆心()20,0C ，半径22r =．所以max 1212||||3227MN C C r r =++=++=．（2）将直线l 的参数方程代入22(3)4x y -+=中，得22(cos 4)(tsin )4t αα-+=， 整理得28cos 120t t α-+=，所以264cos 480∆α=->． 设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则128cos t t α+=，1212t t =．由||1PQ =及参数t 的几何意义，得121t t -===，解得7cos 8α=±，满足>0∆，所以sin α==所以直线l 的斜率为tan α=tan α=由点斜式得01)y x -=+或01)y x -=+，所以直线l 70y -+=70y ++=．【名师点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程，直线参数方程的几何意义，直线的点斜式方程，属于中档题．11．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）已知在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为3cos ,21sin .2x t y t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，θ为倾斜角）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+． （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于两点A B 、，求点P 到A B 、两点的距离之和的最大值．【答案】（1）22(1)(1)2x y -++=，31(,)22P -；（2）．【思路分析】（1）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线C 的直角坐标方程，直线过的定点由参数方程即可求得；（2）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于t 的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数关系，由参数t 的几何意义结合三角函数即可求得最值【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=，直线l 过定点31(,)22P -．（2）将直线l 的参数方程代入22(1)(1)2x y -++=， 得23(cos sin )02t t θθ++-= 设点A B 、对应的参数分别为12t t 、， 则12(cos sin )t t θθ+=-+，1232t t =-， 因为120t t <，所以1212PA PB t t t t +=+=-===因此，当4θπ=时，PA PB+有最大值 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦长问题，属于中档题．12．（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11x mty t =+⎧⎨=-⎩m R t ∈（，为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 上的点到直线l1，求实数m 的值．【答案】（1）l ：10x my m +--=；C ：22(1)1x y ++=；（2）12m =． 【思路分析】（1）将直线l 的参数方程中的t 消去即可得直线l 的普通方程，利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）由题意知曲线C 为以原点为圆心，圆心(1,0)O -到直线l的距离为1)1d =-=m 即可．【解析】（1）因为直线l 的参数方程为11x mtt y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）；所以消得直线l 的普通方程为l ：1(1)x m y =+-； 即l ：10x my m +--=；因为曲线C 的极坐标为2cos ρθ=-，即22cos ρρθ=-；将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩代入得曲线C 的直角坐标方程 所以方程C ：222x y x +=-，整理得C ：22(1)1x y ++=．（2）因为曲线22(1)1x y ++=是以(1,0)O -为圆心，半径为1r =的圆， 而曲线C 上的点到直线l1．故圆心(1,0)O -到直线l ：10x my m +--=的距离为1)1d =-==()22(2)51m m --=+，解得12m =．【名师点睛】（1）直角左边和极坐标之间的转化主要利公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩；（2）参数方程转化为直角坐标方程需要消参；（3）直线与圆的位置关系主要由圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断．13．（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考复习质量监测三）在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin()10806ρρθπ-++=．【思路分析】（1）已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，则可求得圆的标准方程； （2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin()276ρρθπ=+-，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解． 【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，所以C的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-++=， 即212sin()276ρρθπ=+-，设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin()10806ρρθπ-++=， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin()10806ρρθπ-++=．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题．14．（广西壮族自治区玉林市2019年高三上学期11月月考）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为512x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4cos()3ρθπ=-． （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若点(,)P x y 在圆Cy -的取值范围．【答案】（1）直线l的直角坐标方程为20x +-=；圆C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=； （2）[4,4]-；【思路分析】（1）由直线l 的参数方程，消去参数t ，即可得到直线l 的直角坐标方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C 的直角坐标方程；（2）设(12cos 2sin )P θθ+，化简得24sin()3y θπ-=+，结合三角函数的性质，即可求解． 【解析】（1）由题意，直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x +-=，又由圆C 的极坐标方程为4cos()3ρθπ=-，即22cos sin ρρθθ=+，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y r q =，可得圆C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=．（2）因为点(,)P x y 在圆C上，可设(12cos 2sin )P θθ+，22sin 4sin()3y θθθπ-=-=+， 因为2sin()[1,1]3θπ+∈-y -的取值范围是[4,4]-． 【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及合理应用圆的参数方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴建立极坐标系，点P 的极坐标(5)4π，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【答案】（1）10x y ++=，22(1)(1)2x y -++=；（2． 【思路分析】（1）利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程．利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；（2）求出P 的直角坐标，利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标，利用中点坐标公式，求出M 的坐标，利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离，利用辅助角公式，根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 【解析】（1）直线l 的普通方程10x y ++=，由)sin 2cos 2sin 4ρθθθθθπ=+=-=-， 22cos 2sin ρρθρθ∴=-，即2222x y x y +=-， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）易知P 的直角坐标()3,3--，设(1,1)Q αα-+， 则PQ的中点24(,)22M αα-+-+，设M 到直线l 的距离为d ，则24|1||sin()2|d ααα-+-+π+++-==当sin()14απ+=时，min 2d =． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了中点坐标公式，考查了点到直线距离公式，考查了圆的参数方程的应用，考查了数学运算能力．。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。
2020高考数学(苏教,理科)复习课件：第十五章 坐标系与参数方程第二节 参数方程.ppt
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，
则以下结论在解题中经常用到：
数学
((12))t|0P＝Mt|1＝＋2|tt20；|＝t1＋2 t2； (3)|AB|＝|t2－t1|；
数学
第二节 参 数 方 程
[练一练] 1．若直线的参数方程为xy＝＝21－＋32tt， (t 为参数)，则直线的斜
率为________． 解析：∵xy－－21＝－2t3t＝－32，∴tan α＝－32. 答案：－32
数学
第二节 参 数 方 程
2．参数方程为xy＝＝t32t－2＋12 (0≤t≤5)的曲线为________．(填“线 段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”) 解析：化为普通方程为 x＝3(y＋1)＋2， 即 x－3y－5＝0， 由于 x＝3t2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段． 答案：线段
(θ 为参数)
x＝acos φ y＝bsin φ
(φ 为参数)
数学
第二节 参 数 方 程
1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直 线参数方程xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα.， (t 为参数)
注意：t 是参数，α 则是直线的倾斜角． 2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．
x＝ft， y＝gt
就是曲线的参数方程．
数学
第二节 参 数 方 程
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
直线 y－y0＝tan α(x－x0)
圆 椭圆
x2＋y2＝r2 xa22＋by22＝1(a>b>0)
2020年高考数学精选专题(含答案详解)16 坐标系与参数方程
2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、填空题（共6题；共6分）1.若曲线 ρ=2√2 上有 m 个点到曲线 ρsin(θ−π4)=√2 的距离为 √2 ，则 m 的值为________. 2.在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的方程为 x 2+y 2=1 ，将其横坐标伸长为原来的 √2 倍，纵坐标不变，得到曲线 C ，则曲线 C 的普通方程为________．3.若曲线 {x =2sinθy =sin 2θ (θ 为参数),与直线 y =a 有两个公共点则实数 a 的取值范围是________.4.在极坐标系 (ρ,θ) (0≤θ<2π) 中，曲线 ρ(sin θ+cos θ)+2=0 与 ρ(sin θ−cos θ)+2=0 的交点的极坐标为________；5.已知直线 l 的参数方程为 {x =4−3t y =√3t （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ （ θ 为参数） 则它们公共点的坐标为________．6.已知直线 l:{x =−35t +2y =45t ( t 为参数)与 x 轴交于点 M ，点 N 是圆 x 2+y 2−4y =0 上的任一点，则 |MN| 的最大值为________．二、解答题（共9题；共85分）7.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =−1+tcosαy =2+tsinα( t 为参数),其中 α≠kπ+π2,(k ∈Z) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0 .（1）求曲线 C 2 的直角坐标方程;（2）已知曲线 C 1 与曲线 C 2 交于 A,B 两点,点 P(−1,2) ,求 |PA|+|PB| 的取值范围.8.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=π3 (ρ∈R) ．以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 {x =2sinαy =1−cos2α ,（ α 为参数）． （1）请写出直线 l 的参数方程;（2）求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．9.以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ ，P 是 C 1 上一动点， OP⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 的轨迹为 C 2 . （1）求曲线 C 2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点 M(0,1) ，直线l 的参数方程为 {x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），直线l 与曲线 C 2 的交点为A ，B ，当 |MA|+|MB| 取最小值时，求直线l 的普通方程.10.在同一平面直角坐标系 xOy 中，经过伸缩变换 {x ′=2x,y ′=y 后，曲线 C 1:x 2+y 2=1 变为曲线 C 2 .（1）求 C 2 的参数方程；（2）设 A(2,1) ，点 P 是 C 2 上的动点，求 △OAP 面积的最大值，及此时 P 的坐标． 11.设 A 为椭圆 C 1 ：x 24+y 224=1 上任意一点，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−10ρcosθ+24=0 ， B 为 C 2 上任意一点. （Ⅰ）写出 C 1 参数方程和 C 2 普通方程； （Ⅱ）求 |AB| 最大值和最小值.12.曲线C 的参数方程为 {x =mt +mty =t −1t （ t 为参数， m >0 ），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 θ=α 与直线 ρsin θ=2 交于点P ， 动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8. （1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1 ， P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.13.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√6sinαy =√6cosα （ α 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π3)=2 . （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；（2）直线 l 与 x 轴的交点为 P ，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点，若 |PA|+|PB|=4√3 ，求直线 m 的倾斜角.14.在极坐标系中，已知圆的圆心 C(6,π3) ，半径 r =3 ， Q 点在圆 C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆 C 的参数方程；（2）若 P 点在线段 OQ 上，且 |OP|:|PQ|=2:3 ，求动点 P 轨迹的极坐标方程.15.在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
2020年高考全国2卷理科数学带答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i 12i +=-A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e ()x xf x x--=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角1011(50)f ++B ．0 12222x y Ca b+：在的直线上， 13141516．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。
2020版高考数学复习坐标系与参数方程第1讲坐标系课件文
[通关练习] 1．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l：
π ρsinθ－4 ＝
2 .(ρ≥0，0≤θ<2π) 2
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
解：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0， 直线
设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的 极径， 记为 ρ； 以极轴 Ox 为始边， 射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ，有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐 标，记为 M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半 轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度 单位．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐 标 、 极 坐 标 分 别 为 ( x ， y) 和 ( ρ ， θ) ， 则
解析：选 A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为 ρsin θ＝1－ 1 ρcos θ，即 ρ＝ ，由 0≤x≤1，得 0≤y≤1，所以 sin θ＋cos θ
π θ∈0， 2 .故选
A.
在极坐标系中， 直线 ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0 与圆 ρ＝2cos θ 交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
所以 B
点的坐标为
2
3 a，a. 3
2
又因为 B 在圆 x ＋y －4y＝0
上，所以
3 2 a ＋a2－4a＝0， 3
4 2 即 a －4a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝3.故 a 的值为 3. 3
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》【题型归纳】题型一 曲线的极坐标方程例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）面积为12. 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.题型二 参数方程及其应用例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255.【解析】(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255； 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255. 【易错点】参数方程要变形使用.【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.题型三 极坐标与参数方程的综合应用例3、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin )4(πθ+＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（1）x ＋y －4＝0；（2）最小值为2，此时点P 的直角坐标为)21,23(【解析】(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值， 最小值为2，此时点P 的直角坐标为)21,23(.【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【巩固训练】题型一 曲线的极坐标方程1.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线C 1与曲线C 2交点的极坐标. 【答案】)4,22(π-. 【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解之得θ＝π4且ρ＝－2 2. 所以直线C 1与曲线C 3交点的极坐标为)4,22(π-.2.在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离.【答案】（1）x －3y －1＝0，表示一条直线，(x －1)2＋y 2＝1圆.【解析】(1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，∴x －3y －1＝0，表示一条直线.由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1，∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心.∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径，因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.3.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C 2关于极点的对称圆的方程.【答案】ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，故所求圆C 2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.题型二 参数方程及其应用1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【答案】A 【解析】∵∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A. 2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值.【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）1.【解析】(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0. 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)， 利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0).把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.题型三 极坐标与参数方程的综合应用1.在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由可得的极坐标方程（2）在（I ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是 xOy C 22(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t l C ,AB ||AB =l 212cos 110ρρθ++=3±cos ,sin x y ρθρθ==C 212cos 110.ρρθ++=l ()R θαρ=∈,A B 12,,ρρl C 212cos 110.ρρα++=121212cos ,11,ρραρρ+=-=由得，所以的斜率为或 2.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin )6(πθ+＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△P AB 的面积.【答案】（1）x ＋3y －8＝0；（2）23.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ. 普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为)3,2(π，)3,4(π， 联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为)611,32(π， ∴|AB |＝2，∴S △P AB ＝12×2×23sin )63(ππ+＝2 3.12||||AB ρρ=-==||AB=23cos ,tan 8αα==l33-。
2020高考精品系列之数学(理)专题18坐标系与参数方程(解析版)
专题18 坐标系与参数方程考纲解读三年高考分析1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.方程的互化和几何意义的应用是考查的重点，解题时常用到参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用几何意义将原问题转化三角函数的问题，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.2、了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.1．【2019年北京理科03】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由（t为参数），消去t，可得4x﹣3y+2＝0．则点（1，0）到直线l的距离是d．故选：D．2．【2019年天津理科12】设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：d2＝r，解得a．故答案为：．3．【2018年北京理科10】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a ＝．【解答】解：圆ρ＝2cosθ，转化成：ρ2＝2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，把直线ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a＝0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：1，解得：a＝1±．a＞0则负值舍去．故：a＝1．故答案为：1．4．【2018年天津理科12】已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径r＝1；直线化为普通方程是x+y﹣2＝0，则圆心C到该直线的距离为d，弦长|AB|＝222，∴△ABC的面积为S•|AB|•d．故答案为：．5．【2017年北京理科11】在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min＝|CP|﹣r C＝2﹣1＝1，故答案为：1．6．【2017年天津理科11】在极坐标系中，直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为．【解答】解：直线4ρcos（θ）+1＝0展开为：4ρ1＝0，化为：2x+2y+1＝0．圆ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝2y，配方为：x2+（y﹣1）2＝1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d1＝R．∴直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．7．【2019年新课标3理科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D （2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M 1是弧，曲线M 2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M 1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标．【解答】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（θ），M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（θ≤π），（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，若0≤θ，由2cosθ得cosθ，得θ，若θ，由2sinθ得sinθ，得θ或，若θ≤π，由﹣2cosθ得cosθ，得θ，综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．8．【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当θ0时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（1）当θ0时，，在直线l上任取一点（ρ，θ），则有，故l的极坐标方程为有；（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ，∵P在线段OM上，∴θ∈[，]，故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[，]．9．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．10．【2019年江苏22】在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB；（2）由直线1的方程ρsin（θ）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．11．【2018年江苏23】在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ）＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，⇒x2+y2＝4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r＝2得圆．∵直线l的方程为ρsin（θ）＝2，∴2，∴直线l的普通方程为：x y＝4．圆心C到直线l的距离为d，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．12．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故：，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．13．【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x sinα﹣y cosα+2cosα﹣sinα＝0．（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到： 1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8＝0，则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8cosα+4sinα＝0，解得：tanα＝﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．14．【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1，当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0，成立；当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanα•x，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）l的参数方程为，（t为参数，），设A，B，P对应的参数分别为t A，t B，t P，则，且t A，t B满足，∴，∵P（x，y）满足，∴AB中点P的轨迹的参数方程为：，（α为参数，）．15．【2017年江苏23】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8＝0，∴P到直线l的距离d，∴当s时，d取得最小值．16．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．17．【2017年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x＝4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0，∵|OM||OP|＝16，∴16，即（x2+y2）（1）＝16，∴x4+2x2y2+y4＝16x2，即（x2+y2）2＝16x2，两边开方得：x2+y2＝4x，整理得：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C 2上，|OA|＝2，∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，∴△AOB的最大面积S|OA|•（2）＝2．18．【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l 2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）0，M为l3与C的交点，求M的极径．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y＝k（x﹣2）①；又直线l 2的参数方程为，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x ＝﹣2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2﹣y 2＝4，即C 的普通方程为x 2﹣y 2＝4（y ≠0）； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）0，∴其普通方程为：x +y 0， 联立得：，∴ρ2＝x 2+y 25．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ．1．【安徽省安庆市市示范中学2019届髙三联考】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线的C 切线，切点为N ，求||||ON AM ．【答案】（1）24cos 6sin 120ρρθρθ--+=（2）2 【解析】 （1）由23x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩，得()()22231x y -+-=，即2246120x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=. （2）由（1）知，曲线C 表示圆心为()2,3C ，半径为1的圆.因为A （0，3），所以2AC =， 所以2213AM =-=.因为13OC = 所以13123ON =-=故2ON AM=.2．【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2x y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕ∈π），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线l 与圆C 的极坐标方程； （2）已知点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求MA MB -的值 【答案】(1) 1cos sin 2ρθρθ-=;4cos ρθ=.(2) 322. 【解析】（1）由题意得，直线l 的普通方程为102x y --=， ∴直线l 的极坐标方程为1cos sin 2ρθρθ-=.圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.∴圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）显然直线l 过点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将122222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C 的直角坐标方程得2327024t --=.设12,t t 是上述方程的两根，则12322t t +=，12704t t =-<，121232MA MB t t t t ∴-=-=+=3．【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线3πθ=和56πθ=()R ρ∈分别与曲线C 相交于A 、B 两点（A ，B 两点异于坐标原点）.（1）求曲线C 的普通方程与A 、B 两点的极坐标； （2）求直线AB 的极坐标方程及ABO ∆的面积. 【答案】（1）(3,)3A π，5(1,)6B π.（23【解析】（1）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=. 将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:13ρ=21ρ=， 故A 、B 两点的极坐标为3,3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：332A ⎫⎪⎪⎝⎭，312B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：，所以的极坐标方程为：31y x =+.所以AB 的极坐标方程为3sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且3OA =1OB =，故1332ABO S ∆==4．【福建省2019届高三模拟考试】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是32cos 12sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin()3m m R ρπθ=∈-.（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设A ，B 分别在曲线1C ，2C 上运动，若AB 的最小值是1，求m 的值.【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(3)(1)4x y +-=，2C 的直角坐标方程为30x y m -+=；（2）4m =或8m =-. 【解析】（1）由3212x cos y sin θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数，得(()22314x y +-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为(()22314x y +-=.由2sin 3mρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得sin 3cos m ρθρθ=， 而cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以3y x m =，即2C 30x y m -+=. （2）由（1）知曲线1C 是圆心为()3,1，半径2r =的圆，则圆心()3,130x y m -+=()()2233131m⨯-++-所以()()min 223312131mAB ⨯-+=-=+-，解得4m =或8m =-.5．【山东省聊城市2019届高三二模】在直角坐标系xOy 中，曲线12cos :12sin x C y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点()1,0P ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】（1）22(1)(1)4x y -++=，10x y --=；（2）83【解析】（1）曲线C 的普通方程为()()22114x y -++=， 直线l 的直角坐标方程为10x y --=.（2）点()1,0P 在直线l 上，直线l 的参数方程为21222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程化简，得2230t t +-=. 设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则122t t +=-123t t =-.所以2212122112PAPBt t t t PB PA t t t t ++=+= ()21212122t t t t t t +-=(()2223833---==-. 6．【河北省沧州市2019届高三普通高等学校招生全国统一模拟】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π 【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ， 得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π， ∴sinα=22， ∴α=4π或α=34π． 7．【山东省实验中学2019届高三4月上旬质量检测】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22143x y +=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 上的动点，求△PAB 面积的最大值．【答案】（1）2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），20x y --=（272【解析】（1）由22143x y +=，得C 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 由()2sin sin cos 242πρθρθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得直线l 的直角坐标方程为20x y --= （2）在20x y --=中分别令0y =和0x =可得：()2,0A ，()0,2B -22AB ⇒=设曲线C 上点()2cos 3sin P αα，则P 到l 距离：327sin cos 22cos 3sin 23sin 2cos 277222d αααααα⎛⎫-+ ⎪---+⎝⎭===()7sin 22αϕ-+=，其中：3cos 7ϕ=，sin 7ϕ=当()sin 1αϕ-=，max 722d +=所以PAB ∆面积的最大值为172227222+⨯= 8．【广东省东莞市2019届高三上学期期末调研】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C 的参数方程为2cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）直线l 与曲线1C 在第一象限内的交点为P ，过点P 的直线l '交曲线2C 于,A B 两点，且AB 的中点为P ，求直线l '的斜率.【答案】(1) 1C 的极坐标方程2cos ρθ=,曲线2C 的普通方程221416x y+= (2)-4【解析】（1）曲线1C 的圆心极坐标为()1,0，半径为1，所以，其极坐标方程为2cos ρθ=.由题意得：,2,4xcos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22124x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线2C 的普通方程221416x y +=.（2）当4πθ=时，2cos 2ρθ==，11x cos y sin ρθρθ==⎧⎨==⎩，所以，()1,1P于是直线l '的参数方程为11x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（α为倾斜角，t 为参数），代入2C 的普通方程，整理得关于t 的方程()()223cos 12sin 8cos 110t t ααα+++-=.①因为曲线1C 截直线l '所得线段的中点()1,1在1C 内，设,A B 对应的参数为1t ，2t ，则120t t +=. 由韦达定理得：1222sin 8cos 03cos 1t t ααα++=-=+，2sin 8cos 0αα+=，tan 4α=-.所以，直线l '的斜率为-4.9．【山东省德州市2019届高三下学期第一次练习】在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为x 2t (t 3y kt 4=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，直线2l 的参数方程为x 2m (m m y k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数).设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．()1写出C 的普通方程；()2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设31：π2ρsin θ42⎛⎫+=⎪⎝⎭，3l 与C 的交点为A 、B ，M 为线段AB 的中点，求M 的极径．【答案】（1）22143x y +=；（2）57【解析】()1直线1l 的普通方程为()324y k x =-，直线2l 的普通方程为2x y k +=-，消去k 得22143x y+=，即C 的普通方程为22143x y +=．()2设()11,A x y ，()22,B x y ，3l 化成普通方程为1x y +=．联立221143x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，1287x x ∴+=，()1212627y y x x +=-+=， 43,77M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2222435()()()777ρ=+=，M ∴的极径为57．10．【河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α． 【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ． 由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4． （2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ，得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2， 则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α， 因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π， ∴2∴α=4π或α=34π． 11．【广东省珠海市2019届高三上学期期末学业质量监测】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A ，B 均异于原点O ，且42AB =，求α的值. 【答案】（1）()()222224,24x y x y -+=+-=；（2）3π4. 【解析】（1）由222x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得1C 的普通方程为()2224x y -+=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，又sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=， 所以其极坐标方程为4cos ρθ=.设点A ，B 的极坐标分别为(),A ρα，(),B ρα， 则4cos A ρα=，4sin B ρα=， 所以4cos sin 42sin 424A B AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即()42k k Z ππαπ-=+∈， 解得()34k k Z παπ=+∈， 又0απ<<，所以34πα=. 12．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.直线l 的普通方程为32y x =+.（23【解析】（1）因为曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=.且222x y ρ+=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.直线l ：12322x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为32y x =+.（2）圆心(0,1)到直线l ：32y x =+的距离为21213d ==+，又因为半径为1，所以弦长为212132⎛⎫-= ⎪⎝⎭13．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知直线l 的参数方程为122x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为322sin 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）220x y +-=，22220x y x y +--=；（265【解析】（1）直线l 的参数方程为122x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去t ，得()21x y -=，即直线l 的普通方程为220x y +-=. 又曲线3:22sin 4C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即2cos 2sin ρθθ=+， 22cos 2sin ρρθρθ∴=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=.（2）由（1）得，直线l 的标准参数方程为155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程得，2105t -=，125t t ∴+=1210t t =-<， ()21212126545AB t t t t t t ∴=-=+-=. 14．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考】已知曲线C 的参数方程为32,12,x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），以直角坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.()1求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹.()2若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【答案】（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=,表示以()3,1为圆心，2为半径的圆 ；（2）525+. 【解析】()1由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩得32,12,x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=. 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将,,y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=.所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+=.()2由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=.所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=. 因为圆心()3,1C 到直线:210l x y -+=的距离()23111655d ⨯+-⨯+==. 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为652d r +=. 15．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次】已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.【答案】（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26525【解析】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+= 所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离()23111655d ⨯+-⨯+==， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为652d r +=. 16．【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩，（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程42)4πρθ=+.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求11||||PA PB +. 【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8f x y -++=（2）307【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.（2）将直线l 的参数方程化为2223x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得2270t t -=，所以122t t +=127t t =-，所以()21212121212|4|1130||7t t t t t t PA PB t t +--+===17．【福建省2019届高三毕业班数学学科备考关键问题指导系列适应性练习（一）】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213xy +=，2C ：40x y +-=；（2）min 2PQ =31(,)22P . 【解析】（1）1C 的普通方程为2213xy +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，3π()2sin()2|32d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22.18．【山东省淄博市2019届高三3月模拟】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5，求直线l 的普通方程．【答案】(Ⅰ) ()()22219x y -++=；（Ⅱ）34y x =和x=0. 【解析】（Ⅰ）将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得：曲线C 的直角坐标方程为：22442x y x y +-=- 即()()22219x y -++=（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=- 则()()2212121244cos 2sin 1625AB t t t t t t αα=-=+-=-+=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<得3tan 24παα==或，直线l 的普通方程为34y x =和x=0 19．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知曲线1C 的参数方程为23x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C 的直角方程为20x y -+=；（2）13()32，.【解析】（1）由曲线1C 的参数方程23x cos y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 123ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y+=又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C 的极坐标方程可化为sin cos 2ρθρθ-=故曲线2C 的直角方程为20x y -+=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OMρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ONααα+++=+= 由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON+的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭20．【山东省威海市2019届高三二模】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且曲线1C 与2C 恰有一个公共点. (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C 上两点A ，B 满足4AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 4cos ρθ=.(Ⅱ) 222+. 【解析】(Ⅰ)曲线2C 的极坐标方程为31sin()sin cos 362πρθρθρθ+=+=， 将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C 直角坐标方程为31322y x +=， 即360x y +-=，所以曲线2C 为直线．又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆， 因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点， 所以|26|||22r -==， 所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.(Ⅱ)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，1212||sin 42cos cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭uu r uu u r ‖ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭222cos 24πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为222+.1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：为参数，，曲线C 的极坐标方程为：．写出曲线C 的直角坐标方程；设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若，求直线l 的斜率．【答案】（1）；（2）。
2020年全国高考数学(理)试题及答案-全国卷III
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B I 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．62．复数113i −的虚部是 A ．310− B ．110−C ．110D ．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1et K I t −−+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6⋅=−a b ，则cos ,=+a a b A ．3135−B ．1935−C ．1735D ．19357．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．9．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．210．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1211．设双曲线C ：22221x y a b−=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ．1B ．2C ．4D ．812．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理.得t2＋(2 sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2 sinα＋2cosα)2＋20>0.所以可设该方程的两个根分别为t1.t2.
则t1＋t2＝－(2 sinα＋2cosα).t1t2＝－5.
【例2】[20xx·全国卷Ⅱ]在极坐标系中.O为极点.点M(ρ0.θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上.直线l过点A(4,0)且与OM垂直.垂足为P.
(1)当θ0＝ 时.求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时.求P点轨迹的极坐标方程．
解：(1)因为M(ρ0.θ0)在C上.当θ0＝ 时.
(1)求A.B两点间的距离；
(2)求点B到直线l的距离．
解：(1)设极点为O.在△OAB中.A .B .由余弦定理.得
AB＝ ＝ .
(2)因为直线l的方程为ρsin ＝3.
则直线l过点 .倾斜角为 .
又B .所以点B到直线l的距离为
(3 － )×sin ＝2.
■模拟演练——————————————
1．[20xx·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0.点P的极坐标是 .
所以点P的直角坐标为(1,1)．
(2)解法一：将 代入 ＋y2＝1.并整理得41t2＋110t＋25＝0.
Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0.
故可设方程的两根为t1.t2.
则t1.t2为A.B对应的参数.且t1＋t2＝－ .
依题意.点M对应的参数为 .
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又 d(α)＝
＝
2
π 2 sin α＋ 3 － 2 ，当且仅当
α＝
2kπ＋
π 6(k∈
Z)时，
d(α)取得最小值，
最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 ( 3 , 1 ) . 22
【思维点拨】 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，
求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程
后求解 .当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程
22 5 当 sin( θ＋α)＝－ 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 5 ；
当 sin( θ＋α)＝ 1 时， |PA|取得最小值，最小值为
25 5.
【易错点】 参数方程要变形使用 . 【思维点拨】 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，
常用的消参方法有代入消参、
参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件
（2）面积为
1 2.
【解析】 (1)因为 x＝ ρcos θ，y＝ ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C2 的极坐标方程为 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.
π (2) 将 θ＝ 4代入
ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋4＝ 0，
得 ρ2－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ1＝ 2 2，ρ2＝ 2.故 ρ1－ ρ2＝ 2，即 |MN |＝ 2.
y＝ 2－ 2t
(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2) 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 .
【答案】（
1） 2x＋ y－ 6＝ 0；（2）最大值为
22 5
5， 最小值为
25 5.
x＝ 2cos θ，
【解析】 (1)曲线 C 的参数方程为
【解析】 (1)C1 的普通方程为 x32＋ y2＝ 1，曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－ 4＝ 0.
(2) 由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos α， sin α).因为 C2 是直线，所以 |PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离
d(α)的最小值 .
| 3cos α＋ sin α－4|
.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 到化繁为简的解题目的 .
ρ和 θ的几何意义，直接求解，能达
【巩固训练】
题型一 曲线的极坐标方程
2
1.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x＝－ 2，圆 C2： (x－ 1)2＋( y－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系 .求直线 C1 与曲线 C2 交点的极坐标 .
【答案】 ( 2 2, ) . 4
【解析】 联立方程
ρcos θ＝－ 2，
θ＝ π4，
解之得 θ＝ 4π且 ρ＝－ 2 2.
所以直线 C1 与曲线 C3 交点的极坐标为 ( 2 2, ) . 4
2.在极坐标系中，已知极坐标方程 C1： ρcos θ－ 3ρsin θ－ 1＝ 0，C2： ρ＝ 2cos θ. (1) 求曲线 C1， C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2) 若曲线 C1， C2 交于 A， B 两点，求两点间的距离 .
由于 C2 的半径为
1 1，所以 △C2MN 的面积为 2.
【易错点】
互化公式：
x＝
ρcos
θ，
y＝ρsin
θ，
ρ2＝
x2＋
y2，
tan
θ＝
y x(
x≠
0，) 要注意
ρ，θ的取值范围及其影响
.
【思维点拨】 １．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：
x＝ ρcos θ，y＝ ρsin θ， ρ2
(θ为参数 ).直线 l 的普通方程为
y＝ 3sin θ
2x＋ y－ 6＝ 0.
(2) 曲线 C 上任意一点 P(2cos θ， 3sin θ)到 l 的距离为
1
d＝ 55|4cos θ＋ 3sin θ－ 6|.
d 25
4
则|PA|＝ sin 30 ＝° 5 |5sin(θ＋ α)－ 6|，其中 α为锐角，且 tan α＝ 3.
y＝ sin α
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
C2 的极坐标方程为 ρsin (
) ＝ 2 2. 4
(1) 写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
(2) 设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 .
【答案】（ 1） x＋ y－ 4＝ 0；（ 2）最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 ( 3 , 1 ) 22
【答案】（ 1） x－ 3y－ 1＝ 0，表示一条直线， (x－ 1)2＋ y2＝ 1 圆 . 【解析】 (1)由 C1： ρcos θ－ 3ρsin θ－ 1＝ 0，∴ x－ 3y－ 1＝ 0，表示一条直线 . 由 C2： ρ＝ 2cos θ，得 ρ2＝ 2ρcos θ.∴ x2＋ y2＝ 2x，则 (x－ 1)2＋ y2＝ 1， ∴C2 是圆心为 (1， 0)，半径 r ＝ 1 的圆 . (2) 由 (1)知，点 (1， 0)在直线 x － 3y－ 1＝ 0 上，因此直线 C1 过圆 C2的圆心 . ∴两交点 A， B 的连线段是圆 C2 的直径，因此两交点 A，B 间的距离 |AB|＝ 2r ＝ 2. 3.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x＝－ 2，圆 C2： (x－ 1)2＋( y－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系 .求圆 C2 关于极点的对称圆的方程 . 【答案】 ρ2＋ 2ρcos θ＋4ρsin θ＋ 4＝ 0. 【解析】 ∵点 ( ρ， θ)与点 (－ρ， θ)关于极点对称，设点 (ρ， θ)为对称圆上任意一点，则 (－ ρ， θ)在圆 C2 上， ∴( －ρ)2＋ 2ρcos θ＋ 4ρsin θ＋ 4＝ 0，
＝
x2＋
y2，
tan
θ＝
y x(
x≠
0，) 要注意
ρ， θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧
.
２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方 程，然后求解 .
题型二 参数方程及其应用
例 2、已知曲线
C： x2＋ y2＝ 1，直线 49
l：
x＝ 2＋t， (t 为参数 ).
2020 年高考理科数学《坐标系与参数方程》
【题型归纳】
题型一 曲线的极坐标方程 例 1 、在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－ 2，圆 C2：(x－ 1)2＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系 .
(1) 求 C1， C2 的极坐标方程； π
(2) 若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈ R)，设 C2 与 C3 的交点为 M ， N，求 △C2MN 的面积 . 【答案】（ 1）C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2，C2 的极坐标方程为 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0；
.
Байду номын сангаас
加减消
2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最
值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解
.
题型三 极坐标与参数方程的综合应用
x＝ 3cos α，
例 3、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
(α为参数 )，以坐标原点为极点，以 x 轴