实验四 大数定律与中心极限定理

第4章 大数定理和中心极限定理
从17世纪概率论产生开始，随着18、 19世纪科学的发展，人们注意到在某些 生物、物理和社会现象与赌博游戏之间 有某种相似性，从而由赌博起源的概率 论被应用到这些领域中，这同时也大大 推动了概率论本身的发展。
使概率论成为数学的一个分支的奠 基人是瑞士数学家j．伯努利，他建立了 概率论中第一个极限定理，即伯努利大 数定律，阐明了事件的频率稳定于它的 概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了 第二个基本极限定理（中心极限定理） 的原始形式。
是相互独立的，且：
P{i 1} p, E (i ) 2 p 1,
那么小珠最后的位置：
P{i 1} 1 p, D(i ) 4 p(1 p), i 1,2,...n
X a 1 2 ...n
高尔顿钉板试验
由中心极限定理可知， X 服从正态分布，且：
1 2 n
n 2 n i 1 i
2．已知每毫升正常成年男子的血液中， 白细胞数的平均值是7300个，均方差是 700，利用切比雪夫不等式估计成年男子 每毫升血液中，白细胞数在5200～9400 之间的概率。
【实验过程】 X , X ,, X , 1．由随机变量的独立性关系, 满足辛钦大数定律的条件 , 且各自的数学 E( X ) D( X ) [E( X )] 3 3 1 期望 1
算术平均值，即若干个数X1、 X2……Xn之和除以n，是最常用的一种 统计方法，人们经常使用并深信不疑。 但其理论根据何在，并不易讲清楚，这 是大数定律要回答的问题，在某种程度 上可以说，大数定律是整个概率论最基 本的规律之一，也是数理统计学的理论 基石。
n
大数定律从理论上回答了通过试验 来确定概率的方法：做n次独立的重复试 验，以 表示n 次试验中事件 p A发生的次 n 数，那么我们可以以很大的概率确 信 。
4.2 设计性实验
实验一 大数定律 【实验目的】 1．加深对大数定理的认识，对其背景和 应用有直观的理解 2．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应 用 【实验要求】数学期望与方差的理论知 识，Matlab软件
【实验内容】 I f ( x)dx 用蒙特卡罗方法计算定积分 ， I x dx 如 。 【实验方案】 通过概率论的想法实现数值计算的方法 叫做蒙特卡罗方法，其理论根据之一就 是大数定律。定积分的计算可以用如下 方法实现。
n
在客观实际中有许多随机变量，他 们是由大量相互独立的随机因素的综合 影响所形成的，其中每一个别因素在总 的影响中所起的作用都很微小。如测量 误差就可以看成是由很多微小的因素影 响的结果叠加而成的。
这些因素相互独立地对测量结果发 生影响，每个因素都只发生很微小的作 用，把它们的影响叠加起来就造成了误 差，类似这样的情况可以举出很多，而 在某种具体条件下，这种随机变量往往 近似的服从正态分布。
图 2.21 高尔顿钉板试验图
高尔顿钉板试验
（1） 分析并解释这种现象； （2） 如果圆珠下落到第二排后向左和向右滚落的概 率改变，则结果会如何改变？ （3） 用 Matlab 模拟这个试验，并验证理论结果。
高尔顿钉板试验
以圆珠落下的水平线建立数轴， 并假设圆珠下落位置 A 的横坐标为 a。 如果定义：当第 次碰到钉子后滚向右边，则 向左边，令 ，则 ；当第 次碰到钉子后滚
高尔顿钉板试验
【实验过程】 在 Matlab 的 Medit 窗口建立文件 goldon． m： m=10; if y==0
n=10000; p=0.5; z=unidrnd(5,1,100); for j=1:n x=10; for i=1:m y=binornd(1,p);
end hist(z) end z(j)=x; end else x=x+1; x=x-1;
(
a 168 ) 0.99 7 a 168 2.33 7
在Matlab命令窗口输入： >>times = 1000; >>R = normrnd(168,7,times,1); >>pro = sum (R>184.31)/times 结果为： pro = 0.0090 说明一个人大于184.31cm的为0.0090，符 合小于0.01的要求。
拉普拉斯在系统总结前人工作的基 础上写出了《分析的概率理论》，明确 给出了概率的古典定义，并在概率论中 引入了更有力的分析工具，将概率论推 向一个新的发展阶段。
19世纪末，俄国数学家切比雪夫、 马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法 建立了大数定律及中心极限定理的一般 形式，科学地解释了为什么实际中遇到 的许多随机变量近似服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理的客观 背景。中心极限定理是概率论中论证随 机变量和的极限分布为正态分布的定理 的总称，也是大样本统计推断的理论基 础。
4.1 验证性实验
实验一 大数定律 【实验目的】 1．加深对大数定理的认识，对其背景和 应用有直观的理解 2．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应 用
【实验要求】 大数定理的理论知识， Matlab软件 【实验内容】 X , X ,, X , 1．设随机变量 n相互独立且服 1 从参数为 Y X3的泊松分布。验证当 n 时，随机变量 依概率收敛到12。
2. 2 设计性实验
实验三 高尔顿钉板试验
【实验目的】 1.加强对正态分布的理解 2.了解独立同分布的中心极限定理 3.掌握 Matlab 软件在计算机模拟中的应用 【实验要求】 1． 了解建立 Matlab M 文件的方法，理解循环语句 for—end 和假 设语句 if—end 2．了解简单的 Matlab 程序设计，掌握用 Matlab 处理实际问题的能 力
E( X ) a (2 p 1)n,
D( X ) 4np(1 p)
由于圆珠落地坐标服从正态分布，故圆珠堆积成正态曲 线的形状。如果 p 的值发生改变，则曲线的形状和位置都将 会发生改变。由中心极限定理可知，独立同分布的若干随机 变量的和近似服从正态分布，故正态分布在实际问题处理中 占有很重要的地位。
可以通过Matlab验证，随机生成20个在[0， 10]上的均匀分布的噪声数据，计算它们的 和。重复多次，计算它们的和大于105的概 率。
在Matlab命令窗口输入： >>times = 1000; >>R = unifrnd(0,10,20,times); >>sigma = sum(R); >>pro = sum (sigma>105)/times 结果为： pro = 0.3510
依次给n赋值100 500 1000 3000 5000， 输出结果为： Ey = 12.0286 12.0125 12.0129 11.9974 12.0059 可以通过画出Ey的图形来观察它的变化 情况：
P{5200 X 9400 } P{5200 7300 X 7300 9400 7300 } P{ X 7300 2100 } 7002 1 0.8889 2 2100
高尔顿钉板试验
然后运行上述文件，运行结果如下：
2500 2000
1500
图 2.22 a=10，p=0.5 时 高尔顿试验结果的直方图
1000
500
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
从结果可以看到，当 a=10，p=0.5 时，圆珠堆积成的正态曲 线以 x=10 为对称轴。
高尔顿钉板试验
增大 p 的值，则正态曲线的对称轴向右移动， 如图 2.23。
在命令窗口输入： >> n = [100 500 1000 3000 5000] ; >>k = 1000; >>Ey=[]; >>for jj = 1:size(n,2) X = [];Y = []; for ii = 1 : n(jj)
X(:,ii) = poissrnd(3,k,1); end Y(:,jj) = sum(X(:,1:n(jj)).^2,2); Ey(jj) = mean(Y(:,jj))/n(jj); end >>Ey
实验过程为，在Matlab命令窗口输入： >> Ex = 7300; >>Dx = 700; >>p = 1- Dx^2/(9400-Ex)^2 输出结果为： p= 0.8889
实验二 中心极限定理 【实验目的】 1．加深对中心极限定理的认识，对其背 景和应用有直观的理解 2．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应 用 【实验要求】 数学中心极限定理的理论 知识，Matlab软件
高尔顿钉板试验
图 2.21 中每一个黑点表示钉在板 上的一颗钉子，每排钉子等距排列，下 一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉 子之间。假设有 排钉子，从入口处放 入小圆珠，由于钉板斜放，珠子在下落 过程中碰到钉子后以 0.5 的概率滚向左 边， 也以 0.5 的概率滚向右边。 如果 较 大， 可以看到许多珠子从 A 处滚到钉板 底端的格子中，堆成的曲线近似于正态 分布曲线。
【实验过程】 EVk 5 1．根据理论计算，易 V 20 5 V 100 k 1,2,,20 知 ， 100 ， 5 20 10 12 3 ,
N (0,1)
DVk
100 12
近似服从正态分布
所以
V 100 5 P(V 105) P 5 5 10 10 3 3 P ( 0.387) 1 P ( 0.387) 0.3483
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
2
4
6
8
10
12