自考离散数学课件

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离散概率论在计算机科学中还应用于随机算法的设计。随机算法可以在某些情况 下提供比确定算法更高效的解决方案,离散概率论为随机算法的分析提供了理论 基础。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如,在调查研究 时,离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究,最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树等)的数学分支,它不涉及连 续的量或函数,而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型,可以计算期望效用和期望收 益,从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型,可 以评估风险的大小和性质,并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等,这些运算具有一些重要的性质,如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等,这些运算具有一些重要的性质,如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性;结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。

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第一章 命题演算
设命题公式 A 中含有 n 个命题变元,且 A 的主析取范式中含有 k 个小项 mi1,mi2,…,mik,则 A 的主合取范式必含有 2n-k 个大项。如果命题公 式 A 的主析取范式为∑(i1,i2,…,ik),则 A 的主合取范式为: ∏(0,1,2,…,i1-1,i1+1,…,ik-1,ik+1,…,2n-1)。 从 A 的主析取范式求其主合取范式步骤为:
本章的学习主要是在掌握命题逻辑的基础上,理解个体,谓词,量 词等概念,学会将命题进一步用谓词逻辑表示;在熟记谓词逻辑中的等 价式和蕴含式的基础上,将一个谓词演算公式化为与它等价的前束范式; 并能运用 US、UG、ES、EG 等规则,进行谓词演算的推理。
本章的重点是带量词的公式变换,即前束范式。难点是谓词演算的
具有确切真值的陈述句称作命题。 所谓真值就是命题为真或为假的性质。
判断一个语句是否为命题,首先要判断它是否是陈述句,然后判断 是否具有唯一的真假值。
在判断一个陈述句是否具有唯一的真假时,要注意:一个陈述句的 真假暂时不能唯一地确定,但总有一天可以唯一确定,与一个陈述句的 真假不能唯一确定是两件事。
第一章 命题演算
第一章 命题演算
等值公式表和蕴含公式表整理归纳如表 1.表 2
第一章 命题演算
(3) 构造论证法
常用的推理规则有:
(1)前提引入规则:在证明的任何步骤上,都可以引入前提,简称 P 规则。
(2)结论引入规则:在证明的任何步骤上,所证明的结论都可作为后续 证明的前提,称为 T 规则。
(3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子命题公式都 可以用与之等值的命题公式置换。亦记为 T 规则。
推理理论。

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联结词可以嵌套使用,在嵌套使用时,规定如下优先顺序: ( ),┐,∧,∨,→, ,对于同一优先级的联结词,先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值:
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P,Q,R的真值分别为1,1,0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1,1,0。
2.在自然语言中,“如果P,则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中,P与Q可以无任何内 在联系。
3.在数学或其它自然科学中,“如果P,则Q”往往表达 的是前件P为真,后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为一种规定,当P为假时,无论Q是真是假,P→Q均为真。 也就是说,只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表: P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化,并指出它们的真值:
3如 两 圆O1 , O2的面积相等,则它们的半径相等;反之亦然. 4当王小红心情愉快时,她就唱歌;反之当她唱歌时,
真值为真的命题称为真命题;真值为假的命题为假命题。
说明:
1. 命题必须是陈述性语句,而不能是疑问句、命令句、 感叹句等;
2. 命题语句或者为真或者为假,二者必取其一,即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准: (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑

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科学中的许多问题。
03
例如,利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等,可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科, 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策,离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ,可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起,形成一个新的集合。
详细描述
例如,{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如,对于集合{1, 2, 3},{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
)的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系,强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如,集合{1, 2, 3}的基数是3,即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。

连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向,即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向,即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子(如necessity、possibility)的语义和语法。

《离散数学讲义》课件

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离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
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目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

《离散数学》完整课件

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第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立;
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有:集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少,它是集合的一种性 质,一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆;给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系; 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式;
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义;
3.为了研究推理,还引进演绎的概念;
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎

精品课程《离散数学》PPT课件(全)

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言1
为什么学习离散数学?
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机科学与技术 的理论基础,所以又称为计算机数学,是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研 究对象一般是有限个或可数个元素,因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课?
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数: (3) 只有 a能被2整除, a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除, a才能被2整除。
解: 令r: a能被4整除, s: a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,记作p ∨ q,符号∨称 为析取联结词。 运算规则:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点:只有参与运算的二命题全为假时,运算结果才 为假,否则为真。 相容或:二者至少有一个发生,也可二者都发生 排斥或:二者只有一个发生,即非此即彼 例如: (1)小王爱打球或爱跑步。 设p:小王爱打球。 q:小王爱跑步。 则上述命题可符号化为:p ∨ q (2)张晓静是江西人或湖南人。 设p:江西人。 q:湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为:p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)

(1)星期天天气好,带儿子去了动物园; (2)星期天天气好,却没带儿子去动物园; (3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园; (4)星期天天气不好,没带儿子去动物园。

离散数学课件第一章

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算,通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用,是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支,主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合,包含所有元素;交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合;差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数,通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图(由节点和边构成的结构)的数学分支,它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支,它研究推理的形式和规则,是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支,它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象(如集合、图、树等)的数学分支,它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学,如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合,而不是连续性和微积分。

离散数学引言ppt课件

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离散数学
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云,离散数学,高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科,离散数学,北京理工大学出版
社 – 离散数学,王孝喜等译,电子工业出版

– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处,对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念,以及如 何将图论用于实际问题的解决,并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。

离散数学PPT【共34张PPT】

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15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色,
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色(G是k-可着色的)——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的,但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图,则(G)=3,若G为偶阶轮 图,则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空,则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中,只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中,绿色边不在M中,则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径;(2)中的全不是可增广的交错路 径;(3)中是一个交错圈. 不难看出,可增广交错路径中,不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数,记为0
(1)
(2)
在图中,点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点,则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索: (1) 设V*为G的极大点独立集,证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2,奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数(n1)时,(Kn)=n;

离散数学自考第二章

离散数学自考第二章

“”表达式的读法:
· x A(x) :存在一个x,使x是…;
· x¬ A(x) :存在一个x, 使x不是…;
· ¬ x A(x) :不存在一个x, 使x是…;
· ¬ x¬ A(x) :不存在一个x, 使精选xp不pt 是…。
7
著名的苏格拉底三段论可论述如下: a. 所有人都是要死的; b. 因为苏格拉底是人; c. 所以苏格拉底总是要死的; d. 试讲其符号化为谓词公式。 e. 解M(x):表示x是人,D(x):x是要死的;a:苏格拉底。 f. 上述三段论可符号化为: g. (x)(M(x) → D(x)) h. M(a) i. D(a) j. 该三段论可用推理描述为: k. 前提:(x)(M(x) → D(x) ), M(a) , l. 结论: D(a)
在上述的谓词合式公式中,有的个体变元既可以是约束出 现,也可以是自由出现,为了避免混淆采用以下两个规 则。
1.下面介绍约束变元的改名规则: (a)在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时改掉; (b)改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
精选ppt
11
例: xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ,但不能改成 xP(x) xR(x,x) , xR(x,x)中前面的x原为自由变元,现在变为 约束变元了。
P,A,B为不含有变元X的任何谓词公式
E30 xA(x)B x(A(x)B) E31 xA(x)B x(A(x)B) E32 AxB(x) x(AB (x)) E33 A x B(x) x(AB (x))
精选ppt
21
(3)量词分配率
E23 x (A(x) B(x)) xA(x) xB(x) E24 x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x) E29 (x (A(x) B(x)) xA(x) xB(x) I17 xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) I18 x(A(x) B(x)) x(A(x) B(x)) I19 xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
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第一章
注意:条件(蕴含)
命题演算
数理逻辑中蕴含命题 P→Q 是对“ 如果……,则 ……”的一种逻辑抽 象; (除非 Q 否则¬P ) 。 P→Q 为假当且仅当 P 为真且 Q 为假。
第一章
二、命题公式 1、命题演算的合式公式规定为:
命题演算
(1)单个命题变元或命题常量(含 1 或 0)本身是一个合式公式。 (2)如果 A 是合式公式,那么¬ A 是合式公式。 (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么(A∧B)、(A∨B) 、(A→B)和(A≒B) 都是合式公式。 (4)当且仅当有限次地应用(1)(2 )(3)所得到的包含命题变元, 联结词和圆括号的符号串是合式公式。 合式公式亦称作命题公式或简称公式。
第一章
真值表方法:
命题演算
(1)如果公式 A 中有 n 个命题符,则 A 的真值表共有 2n+1 行。第 一行称为表头,在表头的第一列写出所有的命题符,从表头第二列开始, 依次写上公式 A 的生成过程中生成的子串(这些子串也是公式)。 (2)剩下的 2n 行,每一行对应一个指派。对于每一个指派,依次求 出各个子串的值,知道最后求出 A 的值。 例如:给出(P∧Q)∨(¬P ∧¬Q) 的真值表。 P Q ¬P ¬Q P∧Q ¬P∧¬Q (P∧Q)∨( ¬P∧¬ Q) 11 0 0 1 0 1 10 0 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 00 1 1 0 1 1
第一章
真值表法:
命题演算
在真值表中一个公式的真值为 F 的指派所对应的大项的合取,即为此公 式的主合取范式。 例 5 求 p∧ q∨ r 的主合取范式。 解:方法一,真值表法:列出真值表:
P 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 P ∧q 0 0 0 0 0 0 1 1 p∧q∨r 0 1 0 1 0 1 1 1
第一章
m000=¬P∧¬Q∧¬R
命题演算
n 个命题变元共有 2n 个小项,可以用二进制编码表示。下面以三个变元 为例: m100=P∧¬Q ∧¬R
m001=¬P∧¬Q∧ R m101=P∧¬Q ∧R m010=¬P∧ Q∧¬ R m110=P∧ Q∧¬R m011=¬P∧ Q∧R m111=P∧Q ∧R
第一章
命题演算
设命题公式 A 中含有 n 个命题变元, 且 A 的主析取范式中含有 k 个小项 mi1 ,m i2 ,… ,m ik ,则 A 的主合取范式必含有 2n-k 个大项。如果命题公 式 A 的主析取范式为∑(i1,i2 ,…,ik) ,则 A 的主合取范式为: ∏(0,1,2,…,i1-1,i1+1, …,ik-1,ik+1, …,2n-1)。 从 A 的主析取范式求其主合取范式步骤为: (1)求出 A 的主析取范式中未包含小项的下标。 (2)把(1)中求出的 “下标”写成对应大项。 (3)做(2)中写成的大项合取,即为 A 的主合取范式。 例 (P→Q)∧ Q (P→Q)∧ Q ∑(1,3)= m01∨ m11,
离散数学串讲
概述
离散数学课程包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论等部分。数理 逻辑包括命题演算和谓词演算,重点是公式演算与推理证明;集合论的 重点是关系理论与映射的描述;代数结构主要是从系统宏观的代数方法 去研究客观事物的各种性质与特征;图论则着重于数形结合的描述以及 各种实际应用。 离散数学国家自学考试时间为 150 分钟,在这段时间内,如果不对 离散数学的基础知识有扎实的功底,不可能得到理想的成绩。因此,考 生一定要培养对概念性知识的熟练运用,其中真值表、主析取和主合取 范式、集合关系运算、群环域及图论几部分,容易出现考试内容,所占 分值较高,考生要重点掌握。
第一章
2、指派与真值表
命题演算
一个含有命题变元的命题公式是没有确定真值的。只有在命题公式 中每个命题变元用指定的命题常量代替后,命题公式才有确定的真值, 成为命题。 设 P 为一命题公式,P1,P2 ,… ,Pn 为出现在 P 中的所有命题变元, 对 P1,P2,… ,Pn 指定一组真值称为对 P 的一种指派(解释或赋值)。 若指定的一种指派,使 P 的值为真,则称这组值为成真指派;使 P 的值 为假,则称这组值为成假指派。 含 n 个命题变元的命题公式,共有 2n 组指派。 将命题公式 P 在所有指派下取值情况,列成表,称为 P 的真值表。
推理理论 这部分常出大题考查。 (1)真值表法 (2)主范式方法及等值演算法
命题演算
第一章
命题演算
等值公式表和蕴含公式表整理归纳如表 1. 表 2
第一章
(3) 构造论证法 常用的推理规则有:
命题演算
(1)前提引入规则:在证明的任何步骤上,都可以引入前提,简称 P 规则。 (2)结论引入规则:在证明的任何步骤上,所证明的结论都可作为后续 证明的前提,称为 T 规则。 (3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式中的任何子命题公式都 可以用与之等值的命题公式置换。亦记为 T 规则。
第一章
例如:明年国庆节是个晴天。
命题演算
虽然现在谁也不知道它的真值,但是到了明年国庆节,就能判断真 假,因此它的真值仍然是唯一的。 例如:这个语句是错的。 不能判断真值。 真命题,假命题 原子命题:不能再分解更简单的命题,也称为简单命题。 复合命题:能够分解为更简单的命题。 命题联结词:否定,合取,析取,条件,双条件
命题演算
(p∨ q)→( ¬q∨¬ p) (¬p∧¬ q)∨¬ q∨¬p
¬(p∨ q) ∨(¬ q∨¬ p) ¬q∨¬p
(¬p∧(¬ q∨ q)) ∨((¬ p∨ p)∧¬q)
(¬p∧¬q)∨(¬ p∧ q) ∨(¬ p∧¬ q)∨ (p∧¬ q) (¬p∧¬q)∨(¬ p∧ q) ∨(p∧¬ q)=m00 ∨m01 ∨m10=∑(0,1,2)。
第一章
三个命题变元的大项: M000=P∨ Q∨R M100=¬P∨ Q∨R
命题演算
M001=P∨ Q∨¬ R M101=¬P∨ Q∨¬ R M010=P∨¬Q∨ R M110=¬P∨¬Q∨ R M010=P∨¬Q∨¬R M110=¬P ∨¬Q ∨R
或记为 Mi (i=0,1,2,3,4,5,6,7)。
第一章
三、等价公式与演算
命题演算
公式G,H是等价的,如果在其任意 的指派下其真值相同。
此表中最后两个重点记忆。
证明两个公式等价或永真永假或可 满足式,可用等值演算或真值表法。
第一章
四、主析取和主合取范式
命题演算
由“¬ ”,“ ∧” ,“∨ ”, “→”,“ ≒” 这五个联结词中若干个组成的命 题公式,必可由 {¬, ∨ }或{ ¬, ∧} 组成的命题公式所替代。 我们把{ ¬, ∨}及{ ¬,∧} 称作命题公式的最小联结词组。 ( 1)主析取范式 小项: n 个命题变员的合取式,称作布尔合取或小项,其中每个变员与 它的否定不能同时存在,但两者之一必须出现且仅出现一次。 两个命题变员 P 和 Q,其小项为 P∧Q ,P∧¬ Q,¬P ∧Q,¬P∧¬ Q。
或记为 m i (i=0,1,2,3,4,5,6,7)。 主析取范式:对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由小项 的析取所组成,则该等价式称作原式的主析取范式。
第一章
真值表法:
命题演算
在真值表中,一个公式的真值为 T 的指派所对应的小项的析取,即 为此公式主析取范式。 除了真值表法外,还可以用等值演算法求主析取范式。
概述
最后还要再提一下,基础知识是参加离散数学自学考试的关键,考 查基本知识的基本题大约占试卷的百分之八十左右,要求我们一定要重 点掌握。前面的选择和填空题都是考察对基本概念和原理的掌握情况, 后面的分析计算题是考查理解和运用能力。
第一章
一、命题概念
命题演算
数理逻辑的任务是采用数学方法研究抽象的思维规律,研究的中心 问题是推理,而推理基本要素是命题。 具有确切真值的陈述句称作命题。 所谓真值就是命题为真或为假的性质。 判断一个语句是否为命题,首先要判断它是否是陈述句,然后判断 是否具有唯一的真假值。 在判断一个陈述句是否具有唯一的真假时,要注意:一个陈述句的 真假暂时不能唯一地确定,但总有一天可以唯一确定,与一个陈述句的 真假不能唯一确定是两件事。
(4) 其关键是, 在求出析取范式后, 对基本积补入没有出现的命题符 (例 如把¬ p 置换称¬ p∧ (¬ q∨ q)),然后再用分配律展开。
第一章
( 2)主合取范式
命题演算
大项: n 个命题变元的析取式称作布尔析取或大项。其中每个变元与它 的否定不能同时存在,但两者之一必须出现且仅出现— 次。 两个命题变元 P 和 Q 构成的大项有 P∨ Q,P∨¬ Q,¬P∨Q,¬P∨¬ Q。 每个大项也可以编码,首先将 n 个命题变元排序,把每个命题变元对 应为 0,将命题变元的否定对应为 1,则可将 2n 个大项按二进制数编码。 记为 Mi,其下标 i 是由二进制数化为十进制数。
第一章
证明: (1)P∨Q P
命题演算
例 证明:(P∨ Q)∧(P→R)∧(Q→S)├S∨R。
(步骤 1,引用 P 规则得 P∨ Q) (2)¬P→Q T.(1)E (步骤 2,由(1),根据等价公式表 E ,引用 T 规则得¬P→Q) (3) Q→S (4)¬P→S P T.(2)(3) I
(步骤 4,由(2)(3),根据蕴含公式表 I,引用 T 规则得¬P→S)
第一章
命题演算
例写出公式(¬ p→q)→(q→ ¬p)的主析取范式。 解:方法一,真值表法:列出真值表 1 表1
从真值表看出,真值为 1 的小项有 m00 ,m01 ,m10 三项,故原式的析取 范式为 m00∨ m01∨ m10=(¬ p∧¬q)∨(¬ p∧ q)∨ (p∧¬ q)。
第一章
方法二,等值演算法: (¬p→q)→(q→¬ p)
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