九年级数学重难点总结

第一章：四边形

①特殊四边形的开放性问题。（熟记定义，从本质入手）

如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，并且AF=CE=AE.

（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；

（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？ （3）四边形ACEF 有可能是正方形吗为什么？ （1）.证明： ∵ DE ⊥CB ，∴∠FDC=∠ACB=90°， ∴EF ∥CA ，∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE ，又AE=EA, ∴△ECA ≌△AFE ，∴EF=AC ， ∴四边形ACEF 是平行四边形。 （2）.当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形。 ∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠BAC=60°， 又∵CE=AE ，

∴△AEC 是等边三角形，∴EC=AC ， ∴四边形ACEF 是菱形。 (3).四边形ACEF 有不可能是正方形。

∵如果ACEF 是正方形，∴∠ACE=90°，又∵E 在BC 上，且E 是BC 垂直平

分线与AB 的交点，

∴不可能与D 重合。所以四边形ACEF 有不可能是正方形。

总结：特殊四边形的开放性问题的解决要求对特殊四边形的性质、判定非常熟悉，先由要确定的图形判定所缺少的条件，在进行添加或推导获得。

②动点问题。（在变化中找出关系）

如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2）

（1）当t=1秒时，S 的值是多少？

（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；

（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由

.

① ② ③ 解：(1)当t=1秒时， AE=CG=2cm ，BF=4cm=

2

1

BC 所以 S =21(CG+EB)·BC-2

1

(BF ·BE+CF ·CG)

=21AB ·BC-41AB ·BC=4

1

×12×8=24 (cm)2

(2)当 0≤t ≤2时

BF=4t, CF=BC-4t=8-4t

AE=CG=2t ，EB=AB-2t=12-2t

S △EFG =S 梯形CBCG -S △EBF -S △CFG

=

21×12×8-21×4t(12-2t)-2

1

×2t(8-4t) =8t 2

-32t+48

当 t>2 时，F 与G 同在CD 边上， FG=2t-4(t-2)=8-2t>0,故 t<4

S △EFG =21FG ·BC=21×(8-2t)×8=32-8t

2-32t+48 （0≤t ≤2）

(3)若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似，则

BE CG =BF CF 或 BF CG =BE

CF

∴ t t 2122-=t

t

448- 得 t=23

t t 42=t t 21248-- 得 t=3

2

综上所述，当t=

23或t=3

2

时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似。

总结：在解决动点的问题时，要善于抓住其不变的条件，如角、线段等。本题的关键是在变化的过程中找出变化的数量关系，从而解决问题。

第二章：反比例函数

反比例函数与一次函数、几何图形相结合。（待定系数法，分割法）

例一：如图，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，

边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，

OD =5．反比例函数(0)k

y x x

=>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．

（1）求k 的值． （2）求BE 的长． 解：（1）∵△OBA ∽△DOC ，∴

OC BA DC

OA

=．

∵B (6，8)，∠BAO =90︒，∴

84

63

OC DC ==． 在Rt △COD 中，OD =5，∴OC =4，DC =3．∴D (4，3)． ∵点D 在函数k y x

=的图象上，∴34

k =．

∴12k =．

（2）∵E 是12

(0)y x x

=

>图象与AB 的交点，∴AE =126=2． ∴BE =8－2=6．

例二：如图，已知(4)A n -，，(24)B -，

是一次函数y kx b =+的图象和 反比例函数m

y x

=

的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求不等式0<-

+x

m

b kx 的解集（请直接写出答案）. (4)试说明OA=OB ．

总结：本题主要考查用待定系数法确定反比例函数的比例系数k ，求出函数解析式以及利用图像得出不等式的解集，要能够熟练借助直线和y 轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题关键。