不等式的性质(1)
不等式的基本性质1(1)
在数学表达式： ， ， ， ，
， ， b≠4中，
不等式有（有序号表示）
2．不等式的基本性质1
（1）在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横线上填“＞”或“＜”号
5＋2________3＋2；5－2________3－2
（2）、请你自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去同一个数，看看有什么结果？讨论交流，大胆说出自己的“发现”。
3．用“移项”的方法把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
(1) (2)
四、小结巩固
比较不等式的基本性质1与等式的基本性质1有什么异同。
五、当堂检测
教材P133练习第1、2题。
想一想：移项的理论根据是什么？
自留地
不等式的基本性质1：不等式的两边都（或都）
或，不等号的方向。
三、展示提升
1．用“＞”或“＜”号填空。
（1）已知 ＞ ， （2）已知 ＞ ，
（3）已知 ＜ ， （4）已知 ＜ ，
2．把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
(1)x+6>5(2)3x>2x+2
小结：第2题的求解过程，相当于由x+6>5得x>5－6，由3x>2x+2得3x－2x>2，这就是说，解不等式时也可以“”，即把不等式一边的某一项后移到，而不改变不等号的，这与解一元一次方程中的移项相类似。
钱粮湖镇中学导学案
课题：不等式的基本性质1
学习目标：
1、在具体情景中感受到不等式是刻画现实世界的有效模型。
2、通过操作，分析得出不等式的基本性质1。
重点：不等式的概念和基本性质1。
难点：简单的不等式变形。
学ห้องสมุดไป่ตู้程序
不等式的基本性质(1)
差等公式的应用
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（1） 2 a 3, 4 b 3
-2 a+b 0
（加法法则-同向可加性）
（2） 4 b 3
3 -b 4（乘法单调性）
2a3
5 a b 7（加法法则）
A．Ø
B．R
C．(ba，＋∞)
D．(－∞，－ba)
2．设 a＝lg e，b＝lg2e，c＝lg e，则( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
解析：∵0<lg e<1，∴lg e>12lg e>lg2e. ∴a>c>b.
答案：B
3．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关 系为( )
( 2 ab) (a b 2 ab)
ba
立方和 变形
a3 b3 ab
(a b)
(a b)(a b)2 ab
0
(
a
2
)
1 2
(
b
2
)
1 2
a
b
b
a
小结：
作差比较大小（变形是关键）
常用手段:配方法，因式分
变形
解法
常见形式:变形为常数；
一个常数与几
个平方和；
几个因式的积
注：平方差，完全平方，立方和、
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
不等式的基本性质(1)
教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：（1）掌握不等式的基本性质.（2）经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.过程与方法目标：（1）能说出一个不等式为什么可以从一种情势变形为另一种情势，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.（2）进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感态度与价值观目标目标：（1）尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立. （2）关注学生对问题的实质性认识与理解.二、教学重点与难点重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.难点：能根据不等式的基本性质进行化简.三、教学准备教具：多媒体、苹果、书本.学具：教材、笔、练习本.四、教学方法直观演示法、讲授法、自学指点法、小组合作探究法.五、学法指点引导学生学习、运用、视察、思考、抽象、归纳、分析、对照等方法. 六、教学过程本节课设计了五个教学环节：(一)情景引入，提出问题；（二）新知探究；（三）巩固练习；（四）例题讲授及运用巩固；（五）课堂小结；（六）当堂检测；（一）情景引入，提出问题老师手中呈现两本一模一样的书，假如其中一本书的质量为m㎏，另一本书的质量为n㎏，我们如何来表示这两本书的质量关系呢？现在，老师手中有两个苹果（一大一小），如果一个苹果的质量为c㎏，另一个的质量为d㎏，请问：你可以用一个怎样的式子来表示这两个苹果的质量关系呢？设计意图：由两本书的质量相同，引导学生得出m=n，通过直接视察得出两个苹果的质量关系为c>d,从而得出一个等式与一个不等式。
通过回顾等式的基本性质，引导学生类比等式的基本性质来探索不等式的基本性质。
（二）新知探究Ⅰ.对于4<6，那么（1）4+2 ____ 6+2 （2）4-2 ____ 6-2 （3）4+0____ 6+0 （4）4-0____6-0 类比“等式基本性质1”,尝试总不等式的性质.新知归纳：不等式的性质1：不等式的两边________，不等号的方向 ____ 。
第1讲 不等式的性质(学生版)
不等式的性质★考试大纲解读★考点知识梳理（I ）不等式的性质1. 对称性：a b b a >⇔<；2. 传递性：a b >，b c >a c ⇒>；3. 加法法则：（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）a b >，c d >a c b d ⇒+>+；4. 乘法法则：（1）a b >，0c >ac bc ⇒>；（2）a b >，0c <ac bc ⇒< （3）0a b >>，0c d >>ac bd ⇒>； 5. 倒数法则：a b >，0ab >11a b⇒<； 6. 乘方法则：0a b >>n n a b ⇒>（n N *∈且1n >）；7. 开方法则：0a b >>>n N *∈且1n >）.注意：⑴同向可加性及同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等式；⑵不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a b b a >⇒<，a b a c >⇒+> b c +是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件.★题型分类精讲题型一 实数大小的比较作差比较两数（式）大小的依据是：0a b a b >⇔->；0a b ab <⇔-<；a b =⇔ 0a b -=.作商比较两数（式）大小的依据是：a 、0b > ，1a a b b >⇒>；a 、0b < ，1a a b b>⇒<.【例1】比较下列各组中两个数或代数式的大小：（1 （2）()()4422a b a b ++与()233a b+【例2】设0a >，0b >且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.【例3】（1）已知a ，b ，m ，n 均为正数，且1a m b n <<，比较am bn 与a mb n++的大小. （2）已知0a >，0b >且a b ≠，比较a ba b 与()2a b ab +的大小.【例4】已知0a b +>，则22a b b a +与11a b+的大小关系是__________________. 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.1. 作差法证明不等式：【例5】已知a 、b R +∈ ，n N +∈，m N +∈，且1m n ≤≤.求证：n n n m m m n m a b a b a b --+≥+.1. 作商法证明不等式：【例6】已知a ，b ，c 为互不相等的正数，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2. 用不等式性质证明不等式【例7】若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--.在使用不等式的性质时，一定要高清它们成立的前提条件. 例如：①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a b ≤，b c <a c ⇒<.②在乘法法则中，要特别注意“乘数c ”的符号，例如当0c ≠时，有22a b ac bc >⇒>；若无0c ≠这个条件，则22a b ac bc >⇒>就是错误结论.③“0a b >>()0,1nna b n N n ⇒>>∈>”成立的条件是“n 为大于1的自然数，0a b >>”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取1n =-，3a =，2b =，那么就会出现“1132-->，即1132>”的错误结论；假如去掉“0b >”这个条件，取3a =，4b =-，2n =，那么就会出现“()2234>- ” 的错误结论.注意：⑴使用不等式性质判断一些不等式是否成立是高考考查的重点内容，在正确使用不等式性质的同时，还要注意不等式与指数、对数函数性质的综合应用；⑵此类题目常用的解法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是利用赋值法排除错误答案. 【例8】适当增加不等式条件使下列命题成立. （1）若a b >，则ac bc ≤； （2）若22ac bc >，则22a b >； （3）若a b >，则()()lg 1lg 1a b +>+； （4）若a b >，c d >，则a b d c>.【例9】设11a b >>>-，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b < B. 11a b> C. 221a b > D. 2a b >【例10】设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是_________.处理此类问题严格根据不等式的基本性质和运算法则，是解答此类题目的关键. 【例10】设()2f x ax bx =+，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则()2f -的取值范围为____________________.错解：（很多学生容易犯这种错误）若由1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩ ，得332302a b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，得()324212f a b ≤-=-≤，错因在于多次运用同向不等式相加这一性质（单向性），不是等价变形，导致()2f -取值范围扩大，而正确的取值范围应为它的子集.另外，题中a ，b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的一条途径.（此外，本题可利用线性规划求解）解法一：设()()()211f mf nf -=-+ （m 、n 为待定系数）则， ()()42a b m a b n a b -=-++ 即， ()()42a b m n a n m b -=++-于是，得 42m n n m +=⎧⎨-=-⎩ ，解得31m n =⎧⎨=⎩∴ ()()()2311f f f -=-+又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤，故 ()5210f ≤-≤解法二：此题也可以这样处理：由()()11f a b f a b -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，得()()()()11121112a f f b f f ⎧=-+⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩ ∴ ()()()242311f a b f f -=-=-+ 又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤ ， ∴ ()5210f ≤-≤【例10】已知13a b -<+<且24a b <-<，求23a b +的取值范围.分析：将23a b +用a b +和a b -表示出来，再利用不等式的性质求解23a b +的取值范围.警示：此类题常见的错误解法是由a b +，a b -的范围得出a 、b 的范围，又进一步得ma nb ±的范围，容易扩大范围，本题还可以利用线性规划的方法求解.同 步 习 题（一）一、基本训练 1.下列结论对否：(1),,n n a b c d ac bd n N >=⇒>∈（ ）()222a b a b c c >⇒>（ ） ()1130a b ab a b><⇒<且 （ ）()40,0a b c d ac bd <<<<⇒> （ ）()N n b a b a n n ∈〉⇒〉,5 （ ）()b a b b a 〈〈-⇒〈6 （ ） 2. 11a b a b>⇔<成立的充要条件为 3. 已知A n (n,a n )为函数y=12+x 上的点,B n (n,b n )为函数y=x 上的点,其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c 1+n 的大小关系为___________二、能力提高4. 比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3 (2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .5. a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较m =t a log 21与n =21log +t a 的大小.6. 6. 设()2f x px qx =+，且()214f ≤-≤，()416f ≤≤，求()2f -的取值范围.同 步 习 题（二）一、基础练习1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( ) (A )22,a b a b >>若则 (B ) 22,a b a b >>若则 (C ) 22,a b a b >>若则(D ) 22,a b a b >>若则2、设110a b<< ，则 ……………………………………………………… （ ）(A ) 22a b > (B ) a b +> (C ) 2ab b < (D ) 22a b a b +>+ 3、若,0a b c a b c >>++=,则有…………………………………………… ( ) (A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错 4、若,0ac bd a b >>>, …………………………………………………………( ) (A ) 0c d >> (B ) c d > (C ) c d < (D )c 、d 大小不确定 5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ；⑵a >b ⇒a 2>b 2 ；⑶|a |>b ⇒ a >b ；⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,则)2(-f 的取值范围__________________.7、已知2,2>>b a ，试比较ab b a 与+的大小______________. 8、比较下列各数的大小： (1))11(log ),1(log an a m a a +=+=，则m _______ n 。
不等式的性质(一)
不等式的性质(一）不等式是数学中常见的数值关系表达形式之一。
与等式不同，不等式是用不等于号（>、<、≥、≤）表示的数值关系。
在数学中，不等式的性质是对不等式进行理解和应用的基础。
1. 不等关系的定义不等关系是指一个数与另一个数之间的大小关系。
数学中的不等关系分为两类：•大于关系：用符号“>”表示，表示一个数大于另一个数•小于关系：用符号“<”表示，表示一个数小于另一个数2. 不等式的基本性质2.1. 传递性不等式的传递性是指若 a > b 且 b > c，那么必定有 a > c。
例如，若 2 > 1 且 1 > -1，那么必定有 2 > -1。
2.2. 对称性不等式的对称性是指若 a > b，则必定有 b < a。
例如，若 3 > 2，那么必定有 2 < 3。
2.3. 加法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。
例如，若 2 > 1，则对于任意的正数 x，有 2 + x > 1 + x。
2.4. 减法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。
例如，若 4 > 3，则对于任意的正数 x，有 4 - x > 3 - x。
2.5. 乘法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时乘以相同的正数，不等式的关系保持不变；若在两边同时乘以相同的负数，不等式的关系发生变化，即改变不等号的方向。
例如，若 2 > 1，则对于任意的正数 x，有 2x > x。
2.6. 除法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时除以相同的正数，不等式的关系保持不变；若在两边同时除以相同的负数，不等式的关系发生变化，即改变不等号的方向。
例如，若 4 > 2，则对于任意的正数 x，有 4 / x > 2 / x。
上海统编教材——2.1.3(1)不等式的性质
不等式两边同时乘以同一个负数，不等号 改变方向。 同样地： 如果a b，c 0，则 a b ；
cc 如果a b，c 0，则 a b。
cc
证明：如果a+b>c,那么a>c-b；反之亦然.
将不等式中的任一项改变符号后，可以从 不等式的一边移到不等式的另一边.在研究 不等式时，移项常用于化简一个不等式.
性质4：如果a>b,c>d，那么a＋c>b＋d (同向相加)
说明：
这一性质可以推广到任意有限个同向不等 式两边分别相加.
即：两个或者更多个同向不等式两边分别 相加，所得不等式与原不等式同向。
例 已知a>b ,c>d ,求证：a-d>b-c
思考：较大的数的倒数是否一定比 较小的数的倒数大？
小结
2．不等式基本性质:
性质1： 设a、b 、c均为实数， （传递性）如果a>b , b>c，那么a>c
性质2： 设a、b 、c均为实数， （可加性）如果a>b，那么a＋c>b＋c
说明： 不等式两边同时加上（或同时减去）同一个实 数，不等号方向不变。
性质3： 设a、b 、c均为实数，
（可乘性）如果a>b，c>0，那么ac>bc ;
§2.1.3（1） 不等式的性质
1．等价关系(证明不等式性质的基础): (1) a>b a-b>0, (2) a=b a-b=0, (3) a<b a-b<0.
显然，对于任意给定的实数a、b， b>a a<b.
根据实数的大小关系，对任何给定的实数 a、b，或者a>b，或者a<b，或者a=b， 三者中有且仅有一种情况成立.
不等式的性质(终稿)1
1 1 b ＜ （5） a ____ 2 2
2.设a＞b，用“＜”“＞”填空
＞ （1） 2a+3____2b+3
＜ （2） 4-3a____4-3b
3.用“＜”“＞”填空
＜ (1)若3a － 2＜3b －2, 则a___b
等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除 以同一个数不为0的数，结果仍相等． 不等式的性质：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变.
不等式的性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变.
如果a＞b, c ＞ 0，那么ac
a b ). ＞ ＞ bc(或 c c
5>2
> ×2 5 × 2___2
> ×3 5 × 3___2
＜ ×(－2) 5 ×(－2)___2
5 ×(－3)___2 ＜ ×(－3)
> ÷2 5 ÷2___5 > ÷3 5 ÷3___5
＜ ÷(－2) 5 ÷(－2)___5
＜ ÷(－3) 5 ÷(－3)___5
＝ ×0 5 × 0____2
你看哪个大？ 1、比较a与2a的大小
解： ∵1 ＜2 (1)当a＞0时, a＜2a
(2)当a = 0时，a = 2a
(3)当a＜0时， a＞2a
你会填啥呢？
1、按要求填入答案
（1）若a＞b,则_______________.(根据不等式性质1)
（2）若a＞b,则_______________.(根据不等式性质2)
9.1.2 不等式的性质
不等式的性质(1)
针对练习
加上5 加上 (1)如果x 5>4， (1)如果x-5>4，那么两边都 如果 到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到 如果在 的两边都加上 (3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (3)如果在5>- 的两边都加上a+2可得到 如果在5> a+2 (4)如果在-3>- 的两边都乘以7 (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 如果在 (5)如果在8>0的两边都乘以8 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 如果在8>0的两边都乘以 可得
2、 判断 、
Q a < b∴ a − b < b − b
（√）
a b Q a < b∴ < （√） 3 3 Q a < b ∴ − 2 a < − 2 b （×）
Q −2a > 0 ∴ a > 0
Q −a < −3 ∴ a < 3
（×） （×）
我是最棒的 ☞
例１：利用不等式的性质解下 列不等式， 列不等式，并在数轴上表 示解集． 示解集．
2 ( 4 ) x > 50 3
2 解：为了使不等式 x > 50中不等号的一边变为 x，根据不等式 3 3 的性质 2，不等式两边都乘 ，不等号的方向不变， 得 2
x > 75
这个不等式的解集在数轴的表示是
０
75
5x +1 x−5 −2 > 6 4
解：不等式两边同时乘以12，得 不等式两边同时乘以12， 12 2(5x+1)2(5x+1)-2×12>3(x-5) 12>3(x去分母 10x+2-24>3x10x+2-24>3x-15 去括号 10x-3x>2410x-3x>24-2-15 7x>7 X>1
不等式的基本性质及求解方法
不等式的基本性质及求解方法在数学中，不等式是描述数值之间关系的一种表达方式。
与等式不同，不等式表达了两个数中的一个大于、小于或不等于另一个数的关系。
本文将介绍不等式的基本性质以及常见的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式的关系具有传递性，即一个数大于另一个数，那么它也大于另一个与后者相等的数。
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b。
这个性质说明了不等式的关系具有反对称性，即一个数小于等于另一个数，同时另一个数也小于等于前者，则这两个数相等。
3. 相反数性质：如果a>b，则-a<-b。
这个性质说明了不等式的两边取相反数后，不等号的方向会发生翻转。
4. 倍增性：如果a>b，并且c>0，则a*c>b*c。
这个性质说明了不等式在两边同时乘上正数的情况下，不等关系保持不变。
二、求解方法1. 加减法求解：如果a+b>c，则a>c-b；如果a-b>c，则a>c+b。
这种方法适用于对不等式进行加减运算求解的情况。
2. 乘除法求解：如果a*b>c (且b>0)，则a>c/b (其中b>0)；如果a*b<c (且b<0)，则a<c/b (其中b<0)。
这种方法适用于对不等式进行乘除运算求解的情况。
需要注意的是，在乘除法求解中，当乘（除）以负数时，不等号需要进行反向翻转。
3. 绝对值法求解：对于形如|a|>b的不等式，有两种情况：a>b 或 a<-b。
取其并集，即a>b 或 a<-b。
4. 平方法求解：对于形如x^2>a的不等式，有两种情况：x>√a 或 x<-√a。
取其并集，即x>√a 或 x<-√a。
5. 区间法求解：对于形如a<x<b的不等式，解集为(a, b)。
不等式的性质(1)
不等式的性质（1）一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R ．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了。
三、讲解范例：例1：比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小例2：已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3：已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b 的大小例4：已知1≥a ，试比较a a M -+=1和1--=a a N 的大小。
不等式的基本性质 (1)
不等式的基本性质教学目标：1、掌握不等式的基本性质，并能准确使用它们将不等式变形；2、提升学生观察、比较、归纳的水平，渗透类比的思维方法；教学重点和难点：重点：掌握不等式的基本性质并能准确使用它们将不等式变形。
难点：掌握不等式的基本性质并能准确使用它们将不等式变形。
教法：猜想、讨论、总结教学过程：一、导课解标：我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。
在等式的两边都乘以或除以一个非零的常数，等式也不变。
那么在不等式的两边实行上述变形，不等式是否也不变呢？这个节课我们来研究这个问题。
这个节课我们的目标是：1、掌握不等式的基本性质；2、能准确使用不等式的基本性质将简单的不等式变为“x>a ”或者“x<a ”的形式二、检测预习：已知x ＜y （1）22++y x ； （2）y x 3131； （3）y x --； （4）m y m x --三、精讲达标：1、等式的基本性质得出猜想：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
验证：∵3＜4∴3+2＜4+2 3-2＜4-2 3+a ＜4-a所以，我们的猜想是准确的。
不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
这个性质用数学语言表述为：a ＞b ，则a ±c ＞b ±c 。
现在，老师的年龄比你们大，2年之后，老师的年龄还是比你们大，如果过上3年、4年、5年。
a 年呢？谁能用不等式的基本性质来解释这个现象。
不等式的这条性质和等式相似。
下来我们继续研究不等式的其他性质2、在下列空格中填上“＞”或者“＜”。
2＜3，2×5 3×5；212⨯ 213⨯； 2×（-1） 3×（-1）；2×（-5） 3×（-5）；2×（21-） 3×（21-） 你发现了什么？小组交流，总结。
当给不等式两边都乘以或除以同一个正数的时候，不等号的方向和原来的方向一致，但是当给不等式的两边同时乘以或除以同一个负数的时候，不等号的方向要改变。
9.1.2不等式的性质(1)
a ＞b
a b （2 ） 2 2
a ＜b a ＜b
（3） 4a 4b
2 2 （4）1 a 1 b a＞b 3 3
利用不等式的性质解下列不等式，并把 解集表示在数轴上。
（1）x-7＞26 (3) -4x﹥3
（2）3x＜2x+1
2 （4） x 50 3
自我检测
加减都用性质1，不等号方向不改变；
乘除正数性质2，不等号方向不改变；
乘除负数性质3，不等号方向必改变
例1：设a＞b，用“＜”或“＞”填空 并口答是根据哪一条不等式基本性质。
＞ - 3； （1） a - 3____b ＞ ÷3 （2）a÷3____b （3） 0.1a____0.1b; ＞ (4) -4a____-4b ＜ (5) 2a+3____2b+3; ＞ ＞ (m2+1)b (m为常数) (6) (m2+1) a ____
不等式两边加（或减）同一个数(或式子）,不等号的方向不变。
探究结论
不等式的性质 1: 不等式两边加（或减）
同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
字母表示为：
如果a＞b，那么a±c＞b±c
探究内容
不等式两边乘（或除以）同一个数 6×( 4)＞ 2×( 4) 6÷( 4)＞ 2÷( 4) 6＞ 2 6×( 7)＞ 2×( 7) 6÷( 7)＞ 2÷( 7) a b ＞ a＞b ac ＞ bc c c -2＜3 a＜b -2×(5)__3 ＜ ×( 5)-2÷( 5)__3 ＜ ÷( 5) ＜ ×( 4)-2÷( 4)__3 -2×(4)__3 ＜ ÷( 4) ac ＜ bc
a ＜ c b c
探 究 过 程
不等式的性质一
不等式的性质一不等式是数学中常见的一种数值关系表达方式，用于描述两个数之间的大小关系。
与等式相比，不等式中的符号不仅包括等号（=），还包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）等。
不等式的性质是研究不等式在数学中的基本特点和规律的重要内容之一。
本文将介绍不等式的基本性质以及应用。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意实数 a、b、c，如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这说明不等式的大小关系具有传递性，可以通过中间比较数来判断其他数的大小关系。
2. 反身性：对于任意实数 a，a=a。
这说明不等式中的等号是可以成立的，即两个相等的数之间也可以用等号连接。
3. 对称性：如果 a<b，则-b< -a。
这说明不等式中的大小关系在取反时保持不变，即如果一个数 a 小于另一个数 b，则取相反数后，-a 大于-b。
4. 加法性：对于任意实数 a、b、c，如果 a<b，则 a+c<b+c。
这说明不等式的大小关系在两边同时加上相同的数时保持不变，即两个不等式同时加上一个数，其大小关系不变。
5. 减法性：对于任意实数 a、b，如果 a<b，则 a-c<b-c。
这说明不等式的大小关系在两边同时减去相同的数时保持不变，即两个不等式同时减去一个数，其大小关系不变。
二、不等式的应用1. 求解不等式：不等式可以用来求解关于未知数的数值范围。
通过运用不等式性质，我们可以将复杂的不等式转化为简单的形式，并找到解集合。
例题1：求解不等式 2x-5<3。
解：首先，将不等式转化为简单形式，得到 2x<8。
然后，除以 2，得到 x<4。
所以，解集合为 x 的取值范围为 (-∞, 4)。
2. 不等式的证明：通过应用不等式的性质，可以进行不等式的证明。
证明不等式的方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。
例题2：证明对于任意正实数 a，b，有a*b ≤ (a+b)/2²。
不等式的基本性质
结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。
不等式的性质-(1)
不等式性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子), 不等号的方向不变.
不等式性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的
方向不变. 不等式性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变.
( 2) 什么叫不等式的解?
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一个负数.求m 的取值范围.
解： ∵m+x = 1-2x
∴x+2x = 1-m ∴ 3x = 1-m ∴ X = (1-m)/3 ∵X 是一个负数 ∴(1-m)/3 < 0 ∴1-m < 0 ∴ -m < -1 ∴ m > 1 ∴m的取值范围为m>1
练习：
某长方体形状的容器长为5 cm，宽为3 cm, 高为 10 cm。容器内原有水的高度为3 cm,现 准备向它继续注水。用V cm3表示新注入水的 体积，写出V的取值范围。
学一学
例1:解下列不等式,并在数轴上表示解集.
(1)x-7>26
(3) 4x≤-3
解:(1) ∵
(2)3x<2x+1
(4)6-5y≥4-7y
(2) ∵3x
x-7 > 26
< 2x+1
∴X-7+7 > 26+7 ∴X > 33.
这个不等式2x+1-2x ∴X < 1
这个不等式的解集在数 轴上可表示为:
0 1
练一练：
1.解下列不等式,并在数轴上表示解集. (1)x+5>-1, (2)4x<3x-5,(3)8x-2≤7x+3 2.用不等式表示下列语句并写出解集. (1)x与3的和不小于6. (2) y与1的差不大于0.
6.1不等式的性质(1)
6.1不等式的性质（1）
1.不等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子. 2. 不等式的性质：
①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。
解：(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 0
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
2 2 4 2 ，比较 ( x 1) 与x x 1 的大小 例2.已知 x 0
• • • •
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都 大于右边,或每一个的左边都小于右边. 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左 边大于右边,而另一个的左边小于右边.
1.书P8习题6.1（1—3） 2. 设 a 0 且 a 1 , t 0 1 t 1 的大小. log t 与 log a a 比较 2 2
3.比较M a 1 a和N a a 1的大小（a 1 ）.
3 2
∴总之
loga (a 1) log a (a 1)
3 2
小结： 作差——变形——判断符号——定结论
例4.用不等号填空
不等式的性质(1)
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2：
等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍旧成立 如果a=b,那么ac=bc或 a b（c≠0），
cc
不等式是否具有类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3 那么 7+5 __＞__ 3+ 5 , 7 -5__＞__3-5 ➢如果-1< 3, 那么-1+2_<___3+2, -1- 4__<__3 - 4
今天学的是不等式的三个基本性质 ➢不等式的基：.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
➢不等式基本性质2： 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
a c
b c
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
(2)正确，根据不等式基本性质1．
(3)正确，根据不等式基本性质2． ． (4)正确，根据不等式基本性质1．
(5)不对，应分情况逐一讨论． 当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a． 当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)
例2：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并 口答是根据哪一条不等式基本性质。
如果a>b, 那么a±c>b±c
不等式基本性质1：不等式的 两边都加上（或减去）同一 个整式，_不__等__号__的__方__向__不__变__。
如果_a_>_b_,那么_a±__c_>_b_±__c_.
不等式还有什么类似的性质呢？
➢如果 7 ＞ 3 那么 7×5 _＞___ 3× 5 ,
9.1.2 不等式的性质(1)
等号的方向不变；
符号语言：若a>b,c>0,则ac>bc（或a∕c>b ∕c）
性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变． 符号语言：若a>b,c<0,则ac<bc（或a∕c<b ∕c）
练习：用“>”或“<”填空，并说明理由 已知a>b
基础训练，巩固应用
如果 a＞b，判断下列不等式是否正确： （1）-4+a＞-4+ b; （2）a-3＜b -3 ; （ （ （ （ ） ） ）
ab ＞ b2 （3）
（4）-5a＞-5 b.
;
）
应用拓展，解决问题
例 1 利用不等式的性质解下列不等式： ⑴ x7＞26； ⑵ 3x ＜ 2x1； ⑷ 4x ＞3.
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.2 不等式的性质（1）
天津市滨海新区油田四中
张淑媛
问题1：
我们学习过等式的相关性质，你能 说出等式的性质么？
等式的性质：
• 性质1：等式两边同时加（或减）同一 个数（或式子），结果仍相等； • 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同 一个不为0的数，结果仍相等．
⑵ -2＜3， -2×5 < 3×5 ，-2×4 < 3×4 -2÷6 < 3÷6 ，-2÷7 < 3÷7 ⑶ 4＜8, 4×（-4） > 8× （-4）； 4×（-2） > 8× （-2）； 4÷ （-3） > 8÷ （-3）； 4÷ （-5） > 8÷ （-5）.
问题5： 请用你发现的规律填空：
2 x ＞50； ⑶3
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②-1＜3
-1+23+2，-1+(-3)3+(-3)，
-1+03+0．
猜想1当不等式两边加（或减）同一个数
（或式子）时，不等号的方向不变．
追问 猜想1是否正确？如何验证？
性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
问题4类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质1用符号语言表示吗?
课题
9.1.2不等式的性质（1）
课型
新授课
课时
1
授课对象
授课教师
肖秀敏
教学目标
【知识与技能目标】
探索并理解不等式的性质。
【过程与方法】
体会探索过程中所应用的归纳和类比方法；
【情感态度与价值观】
培养学生对数学学习的兴趣
教学重点
探索不等式的性质；
教学难点
不等式性质3的探索及其理解。
教学方法
探究法、讲授法
（3）-2a____-2b；（4）____；
（5）-3.5b+1＿＿＿-3.5a+1．
例2设，则下列不等式中，成立的是（）.
练习设,用“＜”或“＞”填空．
四．课堂检测：优教通互动训练
五．归纳总结
（1）不等式的性质是什么？不等式性质与等式性质的联系与区别是什么？
（2）在研究不等式的性质的基本过程中体现了什么数学思想方法？
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a/c＜b/c).
2分钟
布置课后作业
必做：教科书习题9.1第4、6题．
选做：教科书复习题9第5题．
教学反思
类比思想
学生小组合作交流，
师生互动
36分钟
板书设计
9.1.2不等式的性质（1）
性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a/c＞b/c).
性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
教学资源
多媒体课件，优教通网络
教学内容及进程
进程
教学内容
时间分配
教师活动
学生活动
导入
问题导入
对于比较简单的不等式
如：，我们可以直接想出它们的解集，但是对于比较复杂的不等式如：要直接想出解集来
就困难了。因些，有必要讨论怎样解不等式。
和学习一元一次方程先讨论等式的性质一样，我们先来探索不等式有什么性质。
不等式的性质2用符号语言表示：
即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a/c＞b/c).
性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
不等式的性质3用符号语言表示：
即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a/c＜b/c).
问题6①比较上面的性质2与性质3，看看它们有什么区别？
性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了。
学生
独立思考
2
分钟
教学环节
一、复习引入
问题1：等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
二．探究新知
问题2研究等式性质的基本思路是什么？
问题3为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始．用“＜”或“＞”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗?
15＞3
5+23+2，5+(-2)3+(-2)，
16＞2，
6×5___2×5，6×(-5)___ 2×(-5)；
②-2＜3，
(-2)×6___ 3×6，(-2)× Nhomakorabea-6)___ 3×(-6)．
猜想2不等式两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变；
猜想3不等式两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
即如果a＞b，那么a±c＞b±c.
问题5研究完不等式两边加（或减）同一个数（或式子）的情况，对比等式性质,下面我们要研究什么问题？如何研究？
研究方向：
不等式两边乘（或除以）同一个数的情况．
分类研究：
不等式两边乘0；不等式两边乘（或除以）同一个正数和不等式两边乘（或除以）同一个负数．
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：
②等式性质与不等式性质的主要区别是什么？
等式的性质与不等式的性质1、2，除了一个说“等式仍然成立”，一个说“不等号方向不变”的说法不同外，其余都一样；而不等式的性质3说“不等号方向改变”，这与等式的性质说法不同。
三．运用新知
例1设a＞b，用“＜”或“＞”填空，并说明依据不等式的那条性质．
（1）3a____3b；（2）a-8____b-8；