数理方程第一讲 定解问题1-1
数理方程第1讲-课件
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方法定解问题
初始速度分布— ut (x, t) t0 (x)
其中 ut
u t
2.2 输运问题 方程中含有对 t 的一阶偏导数
初始温度或浓度分布— u(x, y, z, t) t0 (x, y, z)
稳定场不随时间变化，故没有初始条件.
2 边界条件—待求量及其导数或两者的线性组合在边界上的值
3.在静电场问题中，由介电常数分别为 1 和 2 的两种介质组成系统的分界面 S 处的衔接条件有几个？
具体如何表述？它们的物理意义是什么？ 4.在杆的纵振动中，在 x=l 端自由，这个边界条件如何写？你能从 Hooke 定律出发证明吗？ 5.在杆的热传导问题中，若 x=0 端绝热，这个边界条件如何写？你能从一物理定律出发证明吗？ 作业：p196：9.7 (1)、(3)，9.8 (3)、(4)
v u(r, t; r0, t0 )dr0dt0
是 L[v] f (r, t; r0, t0)dr0dt0
[
v n
v]s
g(t, t0 )dt0 的解
解的叠加原理是线性问题的必然结果，对非线性问题不适用.
2 求解定解问题的一般步骤
4
1)定解问题的适定性
解的存在性 实际物理线性系统演化 发展的结果是确定的 解的唯一性 确定的状态是唯一的 解的稳定性 因测量导致定解条件的 微小改变引起的解的变 化也很微小
u n
S
b k
(u
S
u0 )
( u n
hu)
S
hu0
(h b 0) k
特别，若 u0
0 ，则 (u n
hu) S
0
→ 一维系统 (a x b)
∵ u u ，则
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
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电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
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一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程（ＰＤＦ）
驻波：
(1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，
按同一方式随时间振动，可统一表示为 T (t) ;
(2) 各点振幅 X 随点 x 而异，而与时间无关，用 X (x)表示,所以驻波可用 X (x)T (t) 表示。
设 u(x,t) = X (x)T (t) ，且 u(x, t) 不恒为零，代
XT ''−a2 X "T = 0
X '(0)T (t) = 0 X '(l)T (t) = 0
化简:
引入参数 λ
得
T '' a 2T
= X '' = −λ
X
T '' = X '' a2T X X ' (0) = X ' (l) = 0
分离变量：
T '' + λa2T = 0
⎪⎧ X '' + λX = 0
叠加
u( x,t)
=
∞
∑ ( An
n =1
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at
l
) sin
nπ
l
x
…….⑤
代入初始条件得：
⎧∞
∑ ⎪⎪
⎨ ⎪
n =1 ∞
∑ ⎪⎩ n =1
An Bn
sin
nπa l
nπx l
sin
= ϕ (x)
nπx l
=ψ
(x)
将ϕ( x),ψ ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
λ
=
n2π
l2
2
数理方程(调和方程)
第四章 调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =∆-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =∆, (21a ff -=)称为Poission 方程 当01=f 时,0=∆u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =∂∂+∂∂222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-=∂∂+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=⇒u grad div , 即ερ-=u ∆若静电场是无源的,即0=ρ,则0=∆u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，⎪⎩⎪⎨⎧===∆0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=∆=∆v u2.定解问题(1)内问题:nR ⊂Ω,有界,Γ=Ω∂,u 在Ω内满足f u =∆ 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=∂∂Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+∂∂Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =∆同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n ⎪⎩⎪⎨⎧=>+=∆=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n ⎪⎩⎪⎨⎧=++=>==1),1(01222r u zy x r r u ∆ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=∆u边界条件:⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=⎰ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设⎩⎨⎧==∆Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=∂∂⎰Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题⎪⎩⎪⎨⎧=<+=∆=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂≡urr u r r r ur r u r ru u ∆ 则原问题化为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得⇒-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:⎩⎨⎧==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±∙+=∙+=∙=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-⇒=-+-k k μμμμk ±=⇒μ,...)2,1()(=+=⇒-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==⇒k D R k k 有界 ,...)2,1()(==⇒k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()⎰⎰⎰∑∑⎰∑⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dtt k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=⇒⎰πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ∆∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=⎰πθπθ 2.扇形域()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0),0(011,02 分离变量得:()()⎩⎨⎧===+''000αλΘΘΘΘ 与()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2⎪⎭⎫⎝⎛=⇒απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=⇒+∞<k D R ()∑∞==∴1sin,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2⎰=∴3.环形域()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ∆ ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()⎩⎨⎧≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()())2,1(sin cos sin cos ln :100=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ⎰=+⇒200021ln ()θθθππd k f r c r a i ki k k i k ⎰=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ⎰=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ∀=+=+=+--,0,0,21ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==∀==--=-=-=--=⇒k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100100,,0ψψϕϕw v u +=分解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 1000,0,00:),(ψψ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ϕϕ:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()⎩⎨⎧=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==⎪⎭⎫⎝⎛=⇒k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200⎰=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01⎰=+⇒()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()ydy bk x b c b k πϕsin 200⎰=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππϕϕπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 5.非齐次问题 例()⎪⎩⎪⎨⎧=<-+==cu R r y x b a u R r )(222∆方法一:方程齐次化 令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==⇒=+-==+"=∆=-- 令 设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=∆--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===⇒ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴⎪⎩⎪⎨⎧--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ∆满足 ∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=∀=≠=⇒ααβα θθ2cos 124),(222R r bR a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:⎪⎩⎪⎨⎧=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+"+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''⇒n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ∀=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==⇒+∞<+∞<n n n n d b B A)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ∀=≠=∴边界条件()⇒+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n)(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ∀=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==⇒+∞<+∞<b b A A)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=⇒-=⇒=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=⇒-=⇒=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ⊂Ω为有界区域, ΓΩ=∂分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式 设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆udx v dS n uv udx v 证明:⎰∑⎰=∂∂=ΩΩ∆ni idx x uv udx v 122⎰∑⎰∑==∂∂∂∂-∂∂∂∂=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 ⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式 设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 ⎰⎰∂∂-∂∂=-ΓΩ∆∆dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx 0,=∇⋅∇=∂∂⎰⎰v vdx u dS n vu∆ΩΓ 0,0)(===∂∂-∂∂⎰v u dS n u v n v u ∆∆Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=g nu f u Γ∆若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00Γ∆nu u⎰⎰⎰∇-∂∂==ΩΓΩ∆dxu dS n u u udxu 2⎰∇-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==⇒.const u ≡⇒结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件 对问题(PN),⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx ⎰⎰=⇒ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为⎰⎰=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==∂⊂∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω⊂)(0M B ε. 记,\,εεεεB B ΩΩΓ==∂,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ∂==∂ (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, ⎰⎰⎰Ω∆-επdx M u r MM )(41⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎰⎰⎰⎰∂∂++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ∂∂++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,⎰⎰⎰-=Ω∆dx r M u M u MM 0)(41)(0π ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:⎰⎰-=Ω∆dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎪⎩⎪⎨⎧=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则⎰⎰=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π⎰⎰∂∂+)(0)(41M S R dS n M u R π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有⎰⎰=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ∆): ⎰⎰≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ∆): ⎰⎰≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θϕθϕθϕθθπϕθρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==⎰⎰注3.()()⎰⎰++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω∂Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=⇒≤=∆=⇒≥=∆ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013ϕθϕϕθθ⎪⎩⎪⎨⎧+++=<=∆= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200πϕθθπϕθθϕϕθθπππππ==+++=⎰⎰⎰⎰d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤ϕϕθθϕϕθθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题⎩⎨⎧=∈=gu x f u ΓΩ∆)(唯一性: 考虑相应的齐次问题⎩⎨⎧=∈=0)(0ΓΩ∆u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ⎭⎬⎫⇒ .0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑⎩⎨⎧=∈=g u x u ΓΩ∆)(0,⇒⎪⎭⎪⎬⎫====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ⊂Ω为有界区域,ΓΩ=∂.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂+=ΓΩ∆dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂-∂∂-∆-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂---∂∂--∆-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41()([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数.易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题⎩⎨⎧==ϕΓ∆u fu ,⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000ϕ注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一 单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感 应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→⇒ 2) 1),(0-=∂∂⎰⎰ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ∃≠∀ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>⇒G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠∀M M G M M G M M M M M M ⎰⎰⎰-=εΩ∆∆dx M M G M M G M M G M M G )),(),(),(),((01221⎰⎰∂∂-∂∂=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G ⎰⎰∂∂-∂∂=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221⎰⎰∂∂-∂∂+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G⎰⎰∂∂-∂∂+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位 可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位 来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=⇒ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π⎩⎨⎧=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ∆ 问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-⎰⎰∂∂= []⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π⎰∞+∞-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设∂=Γ 210R r r O M O M =⋅.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=⇒P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===⇒ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=⇒⎩⎨⎧=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ∆问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =∂∂=∂∂-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记⎰⎰-+-=⇒ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===R z y x ρπϕπθθρϕθρϕθρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 )Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式⎰⎰-+-=ππϕθθϕθγρρρπϕθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000ϕϕθϕθθϕθϕθ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000ϕϕθθθθγ-+=⇒ ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的⎰--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++ 其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k k k L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dx xT T g ds ds u u uT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
数理方程1
2.1 分类与化简 目标: 通过自变量变换,使方程的形式简化,甚至可以求 出其通解 ⎧ξ = ξ ( x, y ) 自变量变换 ⎨
α = (α1 ,L, α n ), α = α1 + L + α n .
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性
Aα ( x) Dα u + A ( x, u , Du, K , D ∑ α
=N 0
N −1
u ) = g ( x),
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数是线性的
∑ Aα ( x, u, Du,K, D α
=N
N −1
u)Dα u
x x0 y 0
∫
y
w( s, t )dsdt + f ( x) + g ( y )
( f , g为任意连续可微函数)
(4)u = u ( x, y ) : u x = u y 作变量代换s = x + y, t = x − y ⇒ u x = u s s x + ut t x = u s + ut u y = u s s y + ut t y = u s − ut ⇒ us = 0 ⇒ u = f (t ) ( f为任意函数) ⇒ u ( x, y ) = f ( x − y ) 一般地，au x + bu y = 0 (a, b为常数) ⇒ u = f (bx − ay )
b
b
解：设( x1 ,L, x n ) ∈ Ω(求解区域)，若函数 u = u ( x1 ,L, x n )在Ω内足够光滑并且在Ω内 恒满足偏微分方程(*), 则称u为(*)的经典解
数理方程-第1章第2章-研究生
1 , 2 .
用
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。 utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
FT , xdx cos 2 FT , x cos 1 0.
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
, xn ).
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
数理方程第讲
X(x)lX(x)0. (2.5) 6
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所 以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的,
所以 u (x,t)C n e- n 2 a 2 tsinnx (2 .2 2 )
n 1
仍满足方程与边界条件. 最后考虑u(x,t)能否
n
xd x
0
10
2
5n 3
3
(1 -
cos
n
)
0, 当 n为偶数 ,
4
5n 3
3
,
当
n 为奇数
.
23
因此, 所求的解为 u(x,t)
543n 0(2n1 1)3sin(2n1 01)xcos10(2n1)t
24
解题中常用到的积分表的内容:
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cosax
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有
深圳大学数理方程du第一章
深圳大学电子科学与技术学院
x=0 , u=0 x=l , u=e
l
初速度 ∂u = 0
0
x
ex
u
∂t t=0 u(x,t)指的是杆上x点在时 刻t的位移，不是此时杆
的长度，而是杆的伸长
（3）边界条件
深圳大学电子科学与技术学院
由坐标系的选取知，对 于任意时刻 t (t > 0) ，在 x = 0（左端，固定端），总 是有
l
x
+ 2B ∂2 ∂x∂y
+C
∂2 ∂y 2
+
D
∂ ∂x
+
E
∂ ∂y
+
F
Lu = f (x, y)
∆ = B 2 − AC
∆>0 （双曲型）
如一维波动方程
∆=0 （抛物线型）
如一维热传导方程
∆<0 （椭圆型）
如二维拉氏方程
∂ 2u ∂t 2
=
a2
∂ 2u ∂x 2
+
f (x,t)
∂u ∂t
=
a2
∂2u ∂x 2
热流
q
高温 u 低温
为 ∂u ∂x
，q
表示在单位时间
内流经单位面积的热量，
k 是热传导系数，负号表
0
x
示热流方向与温度梯度
方向相反。
∂u
0
∂x
温度梯度：低温→高温 热流动：高温→低温
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数理方程：定解问题的适定性
定解问题作为一个理论模型，是否能准确无误地描述 实际过程，需要对结果进一步检验，即考察解的“适 定性”： 1. 存在性：定解问题的解是否存在 2. 唯一性：实际问题的解往往是唯一的，但数学解可 能不唯一，需要舍去没有实际意义的数学解 3. 稳定性：定解条件或驱动项的微小变化是否导致解 的性质的改变
数理方法-第一讲-定解问题
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
数理方程课后习题(带答案)
T nC n co n ls atD n sin n lat
un XnTn B nsin ln x (C n cn o la ts D n sin ln a t) (C nco n la s t D nsin ln at)sin lnx
u
un
n 1
na
na n
n 1(C ncolstD nsin l t)silnx
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
2 lu(x,0) n
2l
n
Dnna0
t
sin l
xdxna0x(lx)sinl
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第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
支承, 其为:
u T k u x a 或 x xa
u x u x a
0
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值
u |s f
(2) 绝热状态
S——给定区域v 的边界
第一类边界条件
第二类边界条件
(3)热交换状态
u 0 n s
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的 ☆ 数学物理方程定义 用数学方程来描述一定的物理现象。 ☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程 四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
由温度高的地方流向温度低的地方。
u 故当 0 时， n
热量实际上是
向-n方向流去。
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
c[u( x, y, z, t ) u( x, y, z, t )]dv
1 2 V
t2
t1
u k dSdt n S
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯 （Gauss）公式得
由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内 任意一点都有
t2
t1
u u u u k k k dvdt 0. c t x x y y z z V
u 2 ( x, t ) 2u( x, t ) T x2 g dx t 2 dx
T
u 2 ( x, t ) 2u( x, t ) g dx dx 2 2 x t
令：a
2
2u( x, t ) T u 2 ( x, t ) g 2 x t 2
xx tt
即
u a u f ( x, t ), 0 x L, t 0,
2 间变量 x,y,z和时间t的函数, 忽略外力作用, 此 时方程
utt ( x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
2u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2u ( x, t ) a t 2
ds dx
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx 2 x x x x x
A、 波动方程的初始条件 u | ( x) t 0 系统各点的初位移
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t)|t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
u t t 0
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。
边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历
史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
T (u ( x x, t ) u ( x, t )) F ( x, t )x u x,
x x tt
由微分中值定理得
0, 1. Tu ( x x, t )x F ( x, t )x u x 消去 x, 并取x 0 极限得
xx tt
Tu ( x, t ) F ( x, t ) u ,
第三节 三类典型方程的导出
一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广 二、热传导方程 热传导方程 推广 三、 稳定场方程
一、 波动方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 研究对象： u( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
( x)
系统各点的初速度
2.边界条件 意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
2
(1.2.8)
F 其中 f . c
推广1
情况：当考虑的问题是一根均
匀细杆, 如果它的侧面绝热且 在同一截面上的温度分布相同, 那么温度u只与x,t有关 方程：c ρut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(cρ)
推广2
情况：扩散问题
分析：浓度→温度u，扩散系
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律： 横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma 其中：cos 1 cos ' 1
y
u f .
式(1.3.9)称为第一类边界条件，又称狄利克雷(Dirichlet) 边界条件。 (2)在边界 上给出未知函数u沿边界 的外法线方向 的值，即 u (1.3.10) f, n
cut (r ,t) k u ut (r ,t) a2u
三、稳定场方程 当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时, 由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0. 无外界作用情况拉普拉斯方程： Δu = utt + uyy + uzz = 0
T
2 2u u 2 a g ………一维波动方程 2 2 t x
自由项
------非齐次方程 ------齐次方程
忽略重力作用： 2
2 u u 2 a t 2 x2
t
设作用在该弧段上的外力密度函数为 F ( x, t ) ，那 在时刻 t 所受沿轴方向的外力近 末该弧段 MM 似地等于 F ( x, t )x. ，于是纵向方程为
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一
阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" py qy 0 , 二阶线性齐次常微分方程 y ' a2 2 y x ln x , 一阶线性非齐次常微分方程 utt 4uxx 5 f ( x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3 yy" xy ' 2 y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程 2u 2u 2u 0 , 二阶线性齐次偏微分方程 x2 y2 z2
(1.2.6)
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传 导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均 为常数
u u u u c k k k . t x x y y z z
k 令 a ，则方程(1.2.6)化为 c
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
静电场方程：
第四节、定解条件与定解问题
定解条件
初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题
定解条件
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds ma x x
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
u1周围介质的温度 k1交换系数；
u dQ k1(u u1)dSdt k dSdt n
k1 k
u u u1 S n S
第三类边界条件
概况起来，无论对弦振动问题，还是热传导问题，它 们所对应当边界条件从数学的角度看有如下三种类型： (1)在边界 上直接给出未知函数u的值，即 (1.3.9)