一类时滞反馈非线性系统的分岔与控制

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一类非线性不确定时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制

一类非线性不确定时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈
控制
王岩青;赵金华;姜长生
【期刊名称】《电光与控制》
【年(卷),期】2006(013)002
【摘要】针对一类具有状态非线性不确定性的线性时滞系统,基于Lyapunov稳定性理论,利用线性矩阵不等式(LMI)方法,讨论了该类时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制器的设计问题.在非线性不确定性满足增益有界条件下,得到了该类时滞系统的满足鲁棒H∞性能的一个充分条件.通过求解一个线性矩阵不等式
─LMI,即可获得鲁棒H∞控制器.
【总页数】4页(P35-37,72)
【作者】王岩青;赵金华;姜长生
【作者单位】解放军理工大学理学院,江苏,南京,211101;中国农业发展银行山西省分行,山西,太原,030001;南京航空航天大学自动化学院,江苏,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】V233.7;TP273
【相关文献】
1.具有非线性扰动的线性多时变时滞系统的有记忆状态反馈控制 [J], 李伯忍
2.一类不确定非线性系统的鲁棒无记忆H∞控制器设计 [J], 张佳成;吴保卫
3.具有非线性扰动的不确定多个变时滞系统的有记忆非脆弱状态反馈控制（英文）
[J], 李伯忍;曾金平
4.线性不确定时滞系统的H_∞无记忆控制器设计 [J], 顾永如;李歧强;钱积新
5.不确定时滞系统的无记忆鲁棒控制 [J], 陆国平
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时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔

时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔刘杰;管俊彪【摘要】研究了一个带时滞反馈控制的三维混沌系统.首先,分析了系统的平衡点的局部稳定性;其次,以时滞作为分岔参数,得到了系统产生Hopf分岔的条件,为实现三维混沌系统的混沌控制提供了必要的理论基础.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2019(039)003【总页数】5页(P88-91,102)【关键词】时滞;Hopf分岔;稳定性【作者】刘杰;管俊彪【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江杭州 310018;杭州电子科技大学理学院,浙江杭州 310018【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言自从E.N.Lorenz[1]于1963年在实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来，混沌运动的研究引起了国内外学者的广泛关注。

各种新的混沌系统不断被发现，混沌在许多领域获得了巨大的发展[2-3]。

例如，Chen G.R.等[4]在一个简单的三维自治系统中发现了一个新的混沌吸引子——陈系统，它与Lorenz系统类似，但比Lorenz系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为；Lü J.H.等[5]发现了Lorenz系统与它的对偶Chen系统之间的临界混沌系统——Lü系统，并进一步研究了新的混沌吸引子的形成机理；Liu C.X.等[6]提出了一种新的混沌系统——Liu系统，研究了新型蝴蝶吸引子的一些基本动力学性质，如Lyapunov指数，庞加莱映射，分形维数，连续谱和混沌行为等。

随着对混沌现象的深入研究，对混沌系统的动力学性质的逐步了解，混沌现象在数据通讯、机械振动分析及故障诊断、信号检测及信息处理、图像处理等领域都得到了有效应用。

当混沌运动有害的时候，需要抑制混沌运动使系统运行到正常有序的状态。

由于混沌运动对初始条件非常敏感，其长期行为具有不可预测性，混沌控制成为混沌应用的重要部分。

混沌控制的目的是通过适当的控制方法来抑制混沌，使系统进入正常有序的周期运动。

一类非线性区间时滞随机系统的控制与仿真_解相朋

1 T ∂V 2 (t ) g (t ) g (t ) 2 ∂x 2 + tanh T ( Lx)(Q + R + h1 Z + h12 S ) tanh( Lx) − tanh T ( Lx1 ) R tanh( Lx1 ) −∫ −∫
t t − h1 t − h1
− (1 − τ (t )) tanh T ( Lxτ )Q tanh( Lxτ ) tanh T ( Lx( s )) Z tanh( Lx( s ))ds tanh T ( Lx( s )) S tanh( Lx( s ))ds tanh T ( Lx( s ))dsV (tanh( Lx) − tanh( Lx1 )) tanh T ( Lx( s ))dsW (tanh( Lx1 ) − tanh( Lxτ ))
(4)
t − h1 0
tanh T ( Lx( s)) R tanh( Lx( s ))ds
t
其中 M , N i (i = 1, 2,3, 4) 为适当维数的已知常数矩阵，F (t ) 是
− h1 t + β − h1
∫
tanh T ( Lx( s )) Z tanh( Lx( s ))dsd β tanh T ( Lx( s )) S tanh( Lx( s ))dsd β
如果存在对称正定矩阵 Q ，向量函数 v (t ) 使
得下述各积分都有意义，则不等式 t − h1 t − h1 t − h1 1 − ∫ v T ( s )Qv ( s )ds ≤ − v T ( s )dsQ ∫ v ( s )ds t − h2 t − h2 h2 − h1 ∫t − h2 成立，其中 h 2 ≥ h1 。引理 2[10] 对于适当维数的矩阵 M, N 和 F (t ) ，若

Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究

Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔研究摘要：本文研究了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔。

首先，根据Shimizu-Morioka系统的动力学特征，建立了Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型；其次，通过矩阵Lyapunov方法，针对该控制系统的稳定性问题，得出了判定条件；最后，运用中心流形定理和Hopf分岔理论，分析了该控制系统在特定参数条件下的Hopf分岔性质，得到了稳定分岔周期解的存在性和稳定性条件。

以上分析结果表明，Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统具有较好的稳定性和分岔性质，对其相关研究具有一定的理论和实际应用价值。

关键词：Shimizu-Morioka系统；时滞反馈控制；稳定性；Hopf分岔1. 引言Shimizu-Morioka系统是一种具有混沌行为的非线性动力学系统，在众多应用中具有广泛的研究和应用价值。

控制系统中的稳定性和分岔性质是相关研究的重要问题，其中时滞反馈控制是一种有效的控制方法。

本文旨在研究Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的稳定性及Hopf分岔，为Shimizu-Morioka系统的控制与应用提供理论基础。

2. Shimizu-Morioka时滞反馈控制系统的数学模型Shimizu-Morioka系统的动力学行为可以用下列微分方程组表示：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz \\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$a,b,c,k$是正实数参数。

为了更好地控制Shimizu-Morioka系统，考虑引入时滞反馈控制。

假设在$t-\tau$时刻对系统施加控制$u(t-\tau)$，则加入时滞反馈控制后的系统可以表示为：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= -a x + yz \\\frac{dy}{dt} &= bx - kyz + u(t-\tau)\\\frac{dz}{dt} &= xy - cz\end{aligned}$$其中，$u(t-\tau)$是时滞反馈项，满足$u(t) = -Kx(t-\tau)$。

一类参数激励系统的非线性时滞反馈分岔控制

一类参数激励系统的非线性时滞反馈分岔控制钱长照;陈昌萍【摘要】采用平均化方法,研究参数激励和强迫激励联合作用的非线性动力系统.以平均方程研究系统平衡点附近流形,利用分岔响应方程,研究系统的分岔动力特性与主要参数的关系.通过对两种非线性时滞控制器与线性时滞控制器的比较,分析非线性时滞控制器的分岔控制特点,比较与线性时滞控制器的优劣性.结果表明,两种平方非线性时滞控制器的控制效果均与激励幅值有关,在同等增益的条件下,激励幅值越大控制效果越好,但对于没有强迫激励的参数激励系统,该类非线性时滞控制器失效.【期刊名称】《福州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(047)003【总页数】6页(P379-384)【关键词】非线性动力系统;参数激励;分岔控制【作者】钱长照;陈昌萍【作者单位】厦门理工学院土木工程与建筑学院风工程实验研究中心,福建厦门361024;厦门理工学院土木工程与建筑学院风工程实验研究中心,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】O19;O231.20 引言参数激励非线性动力学问题是工程中常见的一类动力学问题，常具有分岔、浑沌、分维和分形等复杂的非线性动力学行为［1－2］.Nayfeh等［3］利用多尺度法详细研究含参数激励非线性动力系统的非线性特性，发现该类系统具有多种分岔模式和混沌现象.Sethna等［4］通过理论研究参数激励的van der Pol－Duffing系统的鞍－结分岔、叉形分岔、Hopf分岔等多种分岔模式.Holmes等［5］为深入研究含有参数激励的非线性动力系统的分岔与混沌问题，提出一系列研究方法.20世纪80年代中期，国内学者开始研究含有参数激励的非线性动力系统，在全局分岔的研究方法方面取得了一系列研究成果［6－9］.非线性参数激励系统中常见的分岔模式有鞍－结分岔和跨临界分岔，这些分岔在工程中表现为动力响应的跳跃、滞后及动力失稳，需要避免或加以利用.符文彬［10］针对非线性参数激励系统在稳态解的鞍－结分岔，提出利用受控系统Jacobi矩阵的非线性控制器设计方法.Ji［11］利用实验研究了基于梁端部滑模控制的轴向激励后屈曲梁这一类参数激励系统的分岔控制问题.非线性系统的时滞控制方法在近些年来引起了人们的关注，有相关成果见诸报端［12］，针对参数激励系统的线性时滞控制也有较少的研究［13－14］，但未见有对于参数激励系统的非线性时滞控制的研究.因此，本研究讨论参数激励系统非线性时滞控制的理论性，比较了线性时滞控制器和非线性时滞控制器对一类参数激励系统分岔控制的优缺点，得到一些有益的结论.1 平均方程及分岔方程的理论推导一些工程问题，如受轴向激励的屈曲梁振动［11］、斜拉索的振动［15］等，利用无量纲化等方法，其运动微分方程可表示为参数激励和强迫激励联合作用的非线性系统:考虑系统(1)受到时滞位移反馈控制作用，通过设计时滞反馈控制器，受控系统可写为:式中:gi(i=1，2，3)为反馈增益;τi(i=1，2，3)为时滞量;g1u(t－τ1)为线性时滞位移控制项;g2uu(t－τ2)和g3u2(t－τ3)分别为两种非线性时滞位移控制项，每种时滞控制项分别对应一种时滞控制器，三种时滞控制器互相独立，可以自由组合. 为利用平均法分析控制参数及控制效果，引入小参数ε并使用参数代换如下:则方程(2)可改写为:为研究控制器对系统(1)的分岔控制作用，利用平均化方法，假设方程(4)的解可写为:其中:对方程(5)求导得:其中:满足条件方程(6)求导得:将方程(5)，(6)，(8)代入到式(4)并与式(7)联立，可得平均方程:系统平均方程(9)、(10)用矩阵可以表示为:其中:分析平均方程可知，方程存在零解和非零解，分别对应于系统的零平衡点(0，0)和非零平衡点，其中非零解对应的平衡点(x*，y*)可由如下方程解出其中，零解的稳定性可由线性化矩阵的特征方程判断:由式(12)、(13)可见，非零解对应的平衡点(x*，y*)及零解的稳定性均与时滞反馈增益系数及时滞量有关.为讨论平衡点的数目随参数的变化关系，令为调谐参数，代入到方程(12)，并简化得:其中:方程(15)中μe和σe与控制器参数有关，但分别具有阻尼和频率调谐参数的意义，因此可定义为等效阻尼和等效频率调谐参数.方程(14)除了存在平凡解a=0外，还可能存在非平凡解，并满足方程:解方程(17)，可得:根据解的个数对(18)式讨论可知，当选定σe和μe时，随着参数激励幅值f的变化，系统可能从单一的零解变化为同时存在零解和非零解，还会出现多个非零解，即非受控系统存在折迭分岔和跨临界分岔两种分岔模式.以激励幅值为分岔参数，则折迭分岔点可由下式确定:而跨临界分岔点处激励幅值fcrit也可由下式得到:2 分岔响应分析由于式(12)和式(14)均是比较复杂的非线性方程和非线性方程组，直接求解比较困难，需要依靠数值计算的方法才能求解.因此，利用数值方法，获得非控制系统分岔响应曲线如图1所示，计算所取参数值:μ =1.5，ε =0.1，α =－ 1，β=0.1，p=1，ω0=1，g1=g2=g3=0，f作为变化的分岔参数.也就是说，该图反映了原系统的非线性分岔状态.综合图1和相关研究［13］，可明确如下几点:1)对某一给定频率，当激励幅值增加到某一数值fcrit(该数值由式(20)确定，如本算例中，当σ =－2时，fcrit≈6.45;σ =0时，fcrit≈5.33;σ =2时，fcrit≈6.63)，系统发生动态失稳，由于该类分岔是零平衡位置从稳定状态转换为非稳定状态，在一定情况下必然发生，所以是无法消除的亚临界分岔.但从分岔图中可以看出，可以通过控制器设计增大(或减小)fcrit的值，即改变分岔点的位置，从而保证系统在一定激励幅值范围内具有较好的稳定性;2)从式(20)中可以看出，亚临界分岔点与μe有关，而μe与时滞控制器参数有关，因此在设计时滞控制器时主要考虑控制器参数对μe的影响规律;3)当σ取某些值时，如本例中，σ=－2时，在f=fT时，解的个数发生变化，即产生折迭分岔，其特征是系统由一个稳定的零解变成三个解，而且只有当σe＜0时存在;4)折迭分岔对结构危害较大，需要消除.为进一步研究折迭分岔特性，利用平均方程(9)、(10)分析平衡点附近的流形，如图2～4所示.图1 非受控系统的分岔响应曲线Fig.1 Bifurcation curves of uncontrolled system图 2 f=4.5，σ=2的流形图Fig.2 Manifold of uncontrolled system with f=4.5，σ=2图3 f=6，σ=2的流线图Fig.3 Manifold of uncontrolled system with f=6，σ=2图4 f=7.5，σ=2的流线图Fig.4 Manifold of uncontrolled system with f=7.5，σ=2由图2～4可以看出，随着参数激励幅值f的增加，平衡点数目发生变化.当f＜fT 时，存在唯一的零平衡点，该平衡点为稳定焦点;当fT＜f＜fcrit时，存在5个平衡点，其中零平衡点为稳定焦点，2个非零鞍点和2个稳定结点;当f＞fcrit时，系统有3个平衡点，其中零平衡点退化为鞍点，另外两个平衡点为稳定结点.这与通过方程(18)分析的平衡点个数一致.本例中，由方程(19)可解得fT≈5.38，由方程(20)可解得fcrit≈ 6.45.3 时滞反馈分岔控制分析值得注意的是，参数μe，σe对分岔方程(18)的平衡点个数起决定性的作用，而参数μe，σe的大小可以通过时滞控制器控制.为控制系统分岔，可以利用方程(15)选择控制器类型和设计时滞参数.分析方程(15)可知，由于两种非线性时滞控制器对阻尼及频率调谐均与激励幅值有关.如果只存在参数激励f，不存在强迫激励p，则非线性时滞控制器起不到控制作用;而当同时存在强迫激励和参数激励时，非线性时滞控制器作用明显，而且控制效果与强迫激励幅值相关.为直观显示三种时滞控制器对系统分岔的控制作用，利用数值方法获得三种控制器作用下的系统分岔响应曲线如图5所示.图 5中计算所取参数值:μ =1.5，ε =0.1，α =－ 1，β =0.1，p=1.2，ω0=1，σ=2，τ1= τ2=τ3=π，各时滞控制器增益参数如图中所示.这样选取的目的是为了使各控制器分别独立工作，从而能够进行比较.图中，g1=g2=g3=0与原系统的分岔响应曲线对应;g1=g2=0，g3=5与非线性时滞控制器g3u2(t－τ2)单独作用下的分岔响应曲线对应，与原系统分岔响应曲线相比，消除了鞍结分岔点;g2=g3=0，g1=5对应于线性时滞控制器g1u(tτ1)单独作用，同样可以消除鞍结分岔点，同时跨临界分岔点也有较大的改变;g1=g3=0，g2=5对应于非线性时滞控制器g2uu(t－τ1)单独作用，未能消除鞍结分岔点，但鞍点－结点共存区域减小.总之，各控制器均能对系统的分岔点进行控制.其控制参数的选取原则是根据方程(15)和方程(18)的讨论.一般而言，为控制操作方便，控制器可设计只对μe和σe其中一个参数进行控制，而使另一个参数保持不变，这就是选择时滞量为τ1=τ2=τ3=π的原因.因为，此时μe保持原μ值不变，而σe随增益参数改变.由图比较可知，该参数条件下，同等增益时，g3u2(t－τ3)控制器不仅能消除鞍结分岔，还使跨临界分岔点后移，即临界值增大，同时响应幅值减小，效果最好.但值得指出的是，这是在强迫激励幅值p＞1的情况下进行的比较.事实上，由于两种非线性控制器控制效果均与强迫激励幅值有关，因此只能用于该类有强迫激励的参数激励系统中，而且强迫激励幅值越大越好.为直观显示各时滞控制器对阻尼及频率参数的调谐控制作用，取μ=0，σ=－2作时滞参数，对μe、σe的影响曲线如图6、7所示.图5 受控系统分岔图Fig.5 Bifurcation curves of controlled system图6 μe随时滞参数变化曲线Fig.6 μechanged with delay parameters图7 σe随时滞参数变化曲线Fig.7 σechanged with delay parameters由图6～7可以看出，对于参数激励和强迫激励联合作用的非线性动力系统，各类时滞控制器的时滞参数均对μe，σe有调节作用，但线性时滞控制器的调节范围只取决于控制器本身的增益参数和时滞量，而非线性控制器的调节范围不仅取决于控制器本身，还与强迫激励幅值p有关，强迫激励幅值越大，调节范围越大，相应地，对于选定时滞量情况，控制效果越好.4 结语以参数激励幅值为分岔参数，研究参数激励和强迫激励联合作用的非线性振动系统的分岔特点.结果表明，系统存在跨临界分岔和鞍结分岔两种形式.通过分岔控制方程，利用增益参数设置，分析线性时滞控制和非线性时滞对等效阻尼及等效调频参数的影响，得到了一些有意义的结论:1)对于参数激励和强迫激励联合作用的非线性系统，线性时滞控制器和非线性时滞控制器均可以改变系统的等效阻尼和等效频率调谐参数，也就是说，均能对系统的分岔进行控制.2)线性时滞控制器对阻尼及频率调谐参数的控制范围只与控制器本身的增益有关，而非线性时滞控制器的调节范围还与强迫激励幅值有关.强迫激励引起的强迫振动幅值越大，时滞控制的调节范围也就越大，相同条件下更有利于系统的分岔控制.3)当强迫激励幅值趋于零时，所设计的两类非线性时滞控制器失去作用，因此，建议把线性和非线性时滞控制器联合使用.参考文献:【相关文献】［1］BOGOLIUBOV N N，MITROPOLSKI Y A.Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations［M］.New York:Gordon and Breach，1981.［2］HSU C S.Some simple exact periodic responses for a nonlinear system under parametric excitation［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1974，41:1135－1137. ［3］NAYFEH A H.Introduction to perturbation techniques［M］.New York:Wiley－Interscience，1979.［4］ SETHNA P R，BAJAJ A K.Bifurcations in dynamical systems with internal resonances ［J］.ASME Journal of Applied Mechanics，1978，45:895－902.［5］GUCKENHEIMER J，HOLMES P J.Nonlinear oscillations，dynamical systems and bifurcations of vector fields［M］.New York:Springer－Verlag，1983.［6］陈予恕.非线性振动系统的分岔与混沌理论［M］.北京:高等教育出版社，1993.［7］张伟.非线性振动、分岔及混沌［M］.天津:天津大学出版社，1992.［8］TANG J S，FU W B，LI K A.Bifurcations of a parametrically excited oscillator with strong nonlinearity［J］.Chinese Physics，2002，11(10):1004－1007.［9］LU Q S，TO C W S.Principal resonance of a nonlinear system with two－frequency parametric and self－excitation［J］.Nonlinear Dynamics，1991(2):419－444.［10］符文彬.非线性动力系统的分岔控制研究［D］.长沙:湖南大学，2004.［11］JIJ C，HANSEN C H.Nonlinear response of a post－bulked beam subjected to a harmonic axial excitation［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，237(2):303－318. ［12］QIANC Z，TANG J S.A time delay control for a nonlinear dynamic beam under moving load［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，309(1/2):1－8.［13］钱长照.非线性动力系统的时滞反馈分岔控制研究［D］.长沙:湖南大学，2005.［14］唐驾时，符文彬，钱长照，等.非线性系统的分岔控制［M］.北京:科学出版社，2016. ［15］QIANC Z，CHEN C P.Nonlinear dynamics analysis for taut inclined cables excited by deck vibration［J］.Nonlinear Engineering，2017，6(3):241－248.。

时滞反馈非线性扭振系统的稳定性与Hopf分岔研究

动力学方程，得到了连续传动轴的频响函数。文献
类自治系统的稳定性控制，重研究了时滞参数着
对自治系统极限环幅值的影响以及Ｈｐ分岔产生ｏｆ的条件。最后用数值仿真的方法证明了该控制方法的有效性，为实现该类自治系统的控制机理提供理
摘要：究了具有Ｄｕｎ — ａｒｏ组合振子和时滞特性两惯量非线性扭振系统的稳定性和Ｈｐ分岔问题。研ｉｆｇＶｎｅｐｌｄｏｆ建立了两惯量非线性扭振系统的动力学方程，通过设计线性位移和速度时滞反馈控制器构造了扭振受控系统。采用多尺度法推导出极限环幅值与时滞参数之间的关系。在对系统零解稳定性分析的基础上，出Ｈｐ分岔产得ｏｆ
１动力学方程的建立
对于两惯量旋转机械扭振系统，设、为系
统集中惯量的转动惯量，０、０为集中惯量的转角，。２０、为集中惯量的转速，、为外力矩。两惯量非线性扭振系统力学模型如图１所示。图中Ｃ一０）示系统线性阻尼，￣（广０，。２示１（２表ｃｏ２一０）ｆ表
一
防等领域发挥着无可替代的作用。旋转机械常常由于出现扭振而影响其正常工作甚至导致设备损坏，造成重大的经济损失。年来，关于旋转机械扭振近系统的机理及控制方法研究日趋活跃。文献［］３采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴扭转系统

一类不确定非线性时变时滞系统的鲁棒控制

２问题描述
考虑非线性不确定时变时滞系统
ｆ（）Ａ（）ｔ＋１）（— （）＋ｚｔ）厂ｔ，）￡＝ｔ）Ａ（ｔｄｔ）６（（）＋（（）ｔ（ ‘
【（）（）ｔ一ｄ￡，］ｚｔ＝ｔ，∈［（）０ ’
，．、
２１００年１ ห้องสมุดไป่ตู้月
广西师范学院学报：自然科学版
ＪｕｎｌｆＧｕｎｘｅｃｅｓＥｕａｉｎＵｎｖｒｉ：ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａａｇｉａｈｒｄｃｔｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏＴｏｙＳｏ
（） △ ｔＡ￡］ｔ由［Ａ（）Ａ（）＝ＤＦ（）Ｅ０］出，中Ｄ，。Ｅ￡［Ｅ１给其Ｅ，是具有适当维数的矩阵，Ｆ（）而￡是具
Ｌｓｅｇｅｅｂｓｕ可测元的不确定矩阵，满足Ｆ（）Ｆ（），ｂ且ｔｔ ≤ ， ∈Ｒ．
、 ‘
其中：￡ ∈尺为状态向量，（）（） ” Ｕ￡ ∈Ｒ为系统的输入，Ｊ记为单位矩阵．不确定矩阵Ａ（）Ａ。ｔ满ｔ，（）
足Ａ（）ｔ＝Ａ＋△ ｔ，（）Ａ（）Ａｌｔ＝Ａ１Ａ１￡，中Ａ∈Ｒ， ∈Ｒ，已知实矩阵，Ａ（） △ ＋△ （）其Ａ１是 △ ｔ、Ａ。
（），为已知实０
收稿日期：００１３２１一ｌ —０
基金项目：国家自然科学基金资助（０６０１６８４０）作者简介：李杰（９３，，１８一）男硕士研究生，研究方向：非线性时滞系统及神经网络

一类具有未知控制方向非线性时滞系统的输出反馈镇定

＝１ … ，，，ｎ时滞常数ｄ＞．０
首先，我们引入以下的坐标变换
１
＝，
ｉ＝１ … ，．，ｎ
（）２
ｇ
因为（）＝００和ｈ（）＝，所以（（）００Ｙｔ）和ｈ（（ —ｄ）可以分别表示为Ｙｔ）
（（）＝ＹｔＹｔ）ｈ（（ —ｄ）＝Ｙｔ）Ｙｔ）．Ｙｔ）（）（），Ｙｔ）（（ —ｄｈ（（ —ｄ）（）３
维普资讯
２０
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２００８年
那函）（厂（，（在０）界中∈ 非常，∈ 某当数么数（，）。（）ｔ［。有，ｇｔｔ Ⅳ ｔ，，上其是零数ｃ是适常．和））。
维普资讯
第３４卷
第３期
２００８年７月
曲阜师范大学学报ＪｕｎｌｏＱｆＮｒｌＵｉｅｓｙｏｒａｆｕｕｏｍａｎｖｒｉｔ
Ｖｏ．４Ｎｏ３１３．
Ｊｌ０８ｕｙ２０
一
文献［ —］１等．最近，３控制方向未知的非线性系统的自适应控制设计是一个颇受关注的问题．文献［］４首次提出了基于Ｎｓａｍ增益的自适应控制策略，ｕｓｕｂ文献［］５对一类控制方向未知的不确定性
非线性系统设计了全局鲁棒跟踪控制．献［７研究了一类控制方向未知非线性系统的输出反馈镇定问文６，］题．后来，文献［］一步解决了一类不确定非线性时滞系统的输出反馈镇定问题．献［研究了具有未８进文９］知控制方向的非线性时滞系统的状态反馈自适应控制问题．本文基于文献［］［０，７和１］首次利用反推方法研究了一类控制方向未知非线性时滞系统的输出反馈自适应控制问题，它是通过一系列坐标变换，助于Ｌａｕｏ借ｙｐｎｖ函数和Ｎｓｂｕ增益函数方法，计了一个基ｕｓａｍ设于观测器的输出反馈自适应控制器．所设计的光滑控制器使得闭环系统的所有信号有界，系统的状态收且

一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

ｆ＝ＪｂＣ－２２ｍＩ（２２ａｄ）
的特征根进行讨论。
２稳定性开关的判定准则
【Ｉ憔ＩＪ２（ｄ１＝ｃｃ一）㈤ｈ＋【（十一２Ｉ２ｋｂ６￣ａ２＝ ’ ＪＪ
将入ｉ（）人，：（下代１）可得
ｈ（（２ｈ＋ｈｋ＋ｈｍ— ），２ｈｋ一２２ｏ＋＋２２２２２Ｊｔｏ＋ｋ－２ｈ
非线性系统稳定性变化的判定准则．获得了稳定并
（）４
㈩）＝
令
＿Ｐｌ
性开关的算法，里讨论的系统具体如下：这
ｆ￡ｒ（［ａ（－ｎ－）（一ｕ－））Ｉｆ１￣ｔａ（ｒｂ６（ｒ］（＝ｎ）－ｎ）ｅｔ－Ｈ）２ｔＪ
则（ＲＪｑ（Ｒｍ），（２，Ｊｈ￣（＋）ｑＰ — ｊＰ＋）ｈｃ２ｏ＿￡ｏＪ＋Ｊｍ） —
＝丁为方程（）纯虚根，４的令构造李雅普诺夫函数．来分析平衡点处的稳定性。这里假设Ａ（）但由于带有时滞系统的复杂性．常的李雅普诺夫ｆ（ｏＴ）（）（（）通Ｐ／（）＝（适用．这里我们通过对其平衡ｌ（）ｇ（（）＋，（）ｑ泐（）＝ｔ￣）ｉ（￣）ｏ－ｑｔ－ｏ点处特征方程的分析．结合李雅普诺夫方法【再ｌｉ将入下代入方程（）可得和＝∞（）４，非线性系统的定性理论【得到了一类带有时滞的２】．
｛（）９的正根）丁Ｉｒ是（）Ｏｔ，

一类非线性时滞系统的输出反馈模糊控制

Ｍａ，０６ｒ２０
文章编号：１０ —４３（０６０ —０４００４６９２０）１０４— ４
一
类非线性时滞系统的输出反馈模糊控制
张丽萍，姜海波
（城师范学院数学系，江苏盐城２４０）盐２０２
维普资讯
第１期
张丽萍，：等一类非线性时滞系统的输出反馈模糊控制
４５
ｘ（）（）ｔ一ｒ０ｔ＝ｔ，Ｅ［，］
ｉ＝１， … ，２，ｑ
系统以稳定度ａ全局渐近稳定．
摘
要：针对一类由Ｔ－ｓ模糊模型表示的非线性时滞系统，出一种输出反馈模糊控制器设计提
的新方案．先采用ＰＣ并行分布补偿）首Ｄ（的基本思想设计输出反馈控制器，然后利用ＴＳ模糊模－
型扩展的稳定性条件，出系统以稳定度口全局渐近稳定的充分条件，给最后基于Ｌ（ＭＩ线性矩阵不等式）方法，将模糊控制器的设计问题转化为ＬＰ线性矩阵不等式问题）ＭＩ（．关键词：时滞系统；Ｔ— 模糊模型；输出反馈；线性矩阵不等式Ｓ中图分类号：Ｔ７Ｐ２３文献标识码：Ａ
制理论研究的热点之一ｌ１．于Ｌ方法，６１基－ＪＭＩ提
本文在文献［，，０的基础上，３８ｌ］针对一类由ＴＳ模糊模型表示的非线性时滞系统，出了一－提种输出反馈模糊控制器设计的新方案．先采用首ＰＣ的基本思想设计输出反馈控制器，后利Ｄ然用ＴＳ模糊模型扩展的稳定性条件， — 给出系统以稳定度ａ全局渐近稳定的一个充分条件，后基最于Ｌ方法，模糊控制器的设计问题转化为ＭＩ将ＬＰ该方案不需已知系统状态，制结构简ＭＩ．控单，用了扩展的稳定性条件，于进行系统化运易

非线性动力系统的分岔与控制的开题报告

非线性动力系统的分岔与控制的开题报告
1.研究背景和意义
非线性动力系统是一类常见的数学模型，它具有广泛的应用背景，例如在机械学、天文学、气象学、生物学、经济学等领域都有重要应用。

分岔是非线性动力系统中常
见的现象之一，通过研究分岔可以深入了解非线性动力系统的稳定性和性质，对于探
索自然和人造系统演化的规律具有重要的意义。

同时，在实际应用中对非线性动力系
统进行控制也是非常重要的问题，可以实现对系统的稳定控制、优化控制等。

因此，
分岔和控制是非线性动力系统研究中的重要课题。

2.研究内容和方法
本研究的主要内容是关于非线性动力系统中的分岔和控制问题的研究。

具体来说，将以混沌系统、吸引子等经典的非线性动力系统为研究对象，通过模拟、理论分析等
方法，研究其分岔现象的性质及其对系统稳定性的影响，探究分岔在非线性动力系统
中的作用。

同时，针对非线性动力系统的控制问题，将通过控制理论和数值计算的方法，对系统的稳定性及优化控制进行研究，进一步探究非线性动力系统的控制方法和
策略。

3.研究意义和预期结果
本研究的意义在于深入探究非线性动力系统中的分岔和控制问题，加深对非线性动力系统本质的理解及其在实际应用中的价值，为应用非线性动力学研究提供重要基础。

预期结果包括：深入了解分岔现象的性质及其在非线性动力系统中的作用；探究
非线性动力系统的控制方法和策略；对重要应用领域提供基础研究支撑，推动理论发
展和应用创新。

一类非线性动力系统的时滞反馈分叉控制

一类非线性动力系统的时滞反馈分叉控制
钱长照;李克安
【期刊名称】《国防科技大学学报》
【年(卷),期】2005(027)005
【摘要】对时滞控制作用下的参数激励van der Pol-Duffing方程进行了研究,着重研究了时滞参数对该类参数激励系统的1/2亚谐共振-主参数共振分叉响应控制.首先采用摄动法从理论上推导出时滞动力系统的分叉响应方程,再采用数值模拟的方法研究了时滞参数对系统分叉响应的影响.研究结果表明,适当选取时滞参数,不仅可以改变分叉响应曲线的拓扑形态,还可以平移分叉响应曲线,即使其分叉提前或滞后,还能同时满足这两种要求.
【总页数】4页(P82-85)
【作者】钱长照;李克安
【作者单位】湖南大学,工程力学系,湖南,长沙,410082;湖南理工学院,湖南,岳阳,411400
【正文语种】中文
【中图分类】O322
【相关文献】
1.一类分叉系统的间接状态反馈H∞控制方法 [J], 姚宏;徐健学
2.一类自治系统Hopf分叉及极限环幅值的时滞反馈控制 [J], 钱长照;符文彬
3.一类严格反馈时滞系统的自适应输出反馈控制 [J], 司文杰;董训德;曾玮
4.一类高阶随机非线性时变时滞系统的状态反馈控制 [J], 井青翠; 王天成
5.一类双边电容型微谐振器吸合不稳定及其时滞速度反馈控制 [J], 尚慧琳;董章辉;刘海;刘智群
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一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析

理：
（ｍ＋／ｚｏ），ｎ＝
１模型的建立
本章所建立的ＳＩＲＳ时滞传染病模型：
ｄＸ
＝
（
＋．ｓ（ｆ）一（ｔｏ＋ｔＺｏ））一
一
）倒）
传播仍存在一定的差距，特别是对某些传染病或接触性疾病，在不同的年龄阶段，其传播概率有很大不同，某些类型的疾病在成人中的传播概率很大，如淋病，ＡＩＤＳ等，而有些疾病，如麻疹，水痘等则在儿童中的传播概率较大．因此，为了更清楚的描述
疾病的传播机理，就需在相应的传染病模型中考虑阶段结构．于是，在刻画传染病模型时，具有阶段结构的传染病模型能更好地反映生物个体的生
ｄｔ１
：
－
ｄＳ
口
＝ｃｏＸ（ｃ）＿
Ｉ－ｏｄ（一）
十通讯作者Ｅ — ｍａｉｌ：ｈｏｎｇｌｉｎｇ＠ｍａｉｌ．ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
８０
动
力
学
与
控
制
学
报
２０１４年第１２卷
重新获得易感染能力的概率，丁为疾病的潜伏别．
“ ＝・＋
，ｓ＝
１６７２－６５５３／２０１４／１２（１）／０７９．７
动力学与控制学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ

一类非线性时滞系统的T-S自适应鲁棒控制

一
种行之有效的方法。当对被控对象的动态特性知之甚少时，自适应控制为这类问题提供了解决的可能
性。本文针对一类带有高阶非线性干扰的非线性时滞系统，提出了将Ｔ．Ｓ模糊控制与自适应鲁棒控制相结
合的控制策略，将非线性系统局部线性化，自适应鲁棒控制则可以较好地解决时滞现象给系统带来的诸多不
收稿日期：２０１３－０３－２２
第４期
张杰，等：一类非线性时滞系统的Ｔ — Ｓ自适应鲁棒控制
４９
为前件变量； ∈Ｒ表示外部干扰；（ｔ）＝（ｔ），ｔ ∈｛一ｒ，Ｏ｝为已知的初始状态向量值连续函数；（ｔ。；
将系统（１）局部线性化，得到其Ｔ．ｓ模糊模型。第ｉ条规则：
１
（ｔ）ｉｓＭ１ａｎｄ …ａｎｄｐ（ｔ）ｉｓＭ咖
．
ｄ
舢 Ⅳ （）＝［Ａｍ＋ＡＡｍ（￡）ｌｘ（ｔ）＋∑ ＥＡ＋ △ Ａ（￡）］［一７＂ｋ（ｔ）］＋Ｂｉ “ （ｔ）＋ｃｃ）（￡）
＾＝ｌ・
其中，ｘ（ｔ）∈Ｒ是状态向量；ｕ（ｔ）∈Ｒ是输入向量；ｄ是大于０的数；ｆ、ｆ和ｇ是已知的光滑非线性
函数；ａｆ和 △厂表示系统自身的不确定性；表示外部干扰；表示是时滞连续函数， ∈｛０，｝，且ｒ＝ｍａｘ｛７－１，丁２， …，ｄ｝。

（应用数学专业论文）非线性复系数时滞系统的局部Hopf分岔

南京航空航天大学硕士学位论文非线性复系数时滞系统的局部Hopf分岔姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20061201南京航空航天大学硕士学位论文摘要Hopf分岔普遍存在于带参数的时滞动力系统。

和常微分方程系统不一样，一阶自治时滞系统也可发生Hopf 分岔。

对实系数的时滞系统的Hopf分岔，已有大量的研究工作，采用的方法主要是中心流行约化方法、摄动法等。

而对于具有复系数的时滞系统的Hopf分岔，研究工作并不多见。

伪振子分析法是研究实系数单状态变量时滞系统 Hopf分岔一种新方法，与以往讨论Hopf分岔的方法相比，这种方法计算过程非常简单、计算量小、易于实现，其主要思想是利用原系统的信息构造一个伪振动系统，并计算出伪振动系统的功率函数，由此研究原系统的Hopf分岔。

本文的目的是推广伪振子分析法，使其可以直接用于研究复系数非线性时滞系统的Hopf分岔。

为此，本文首先对伪振子法和Lambert W 函数等预备知识作了简要的介绍，并利用Lambert W 函数给出了判定一阶复时滞微分方程稳定性的充要条件；然后给出并证明了复时滞微分方程产生Hopf分岔的条件；最后将研究实系数单状态变量时滞系统 Hopf分岔的伪振子法推广到复系数非线性时滞系统，并利用推广的伪振子法研究了光电系统动力学中出现的Lang and Kobayashi(L.K.)方程和一般形式的二阶非线性复时滞系统的Hopf 分岔，得到了Hopf分岔的方向和分岔周期解的幅值估计，在分岔点附近，数值结果和理论分析吻合得很好。

关键词时滞微分方程，周期解，Lambert W 函数, Hopf 分岔，伪振子法非线性复系数时滞系统的局部Hopf分岔ABSTRACTA Hopf bifurcation occurs commonly in the time-delay systems described by delay differential equations (DDEs), even in first order autonomous DDEs. Compared with the intensive study of Hopf bifurcation for DDEs with real coefficients, which mainly by using the center manifold reduction, perturbation methods and so on, little effort has been made directly for the Hopf bifurcation of DDEs with complex coefficients. A pseudo-oscillator analysis is newly developed to study Hopf bifurcation for DDEs with real coefficients. It is shown that the pseudo-oscillator analysis involves easy computation only and it is more tractable compared to the current methods. The main idea of the pseudo-oscillator analysis is to construct a pseudo-oscillator associated with the original system so that the local dynamics near the Hopf bifurcation can be justified by the pseudo-power function of the generated oscillator. The aim of this paper is to generalize the pseudo-oscillator analysis so that it is applicable directly for the Hopf bifurcation of complex DDEs. For this purpose, the pseudo-oscillator analysis and Lambert W function are firstly introduced in brief. The stability conditions for first order scalar complex-coefficient DDEs are given on the basis of the Lambert W function; and the conditions that govern the existence of a Hopf bifurcation for complex-coefficient DDEs are also presented. Finally, the pseudo-oscillator analysis is generalized for the Hopf bifurcation of scalar complex nonlinear DDEs. As applications of the method, the Hopf bifurcation of the Lang-Kobayashi equation in laser dynamics and a second order scalar DDE with complex coefficients are investigated in detail. It is shown that the amplitudes of the periodic solutions near the Hopf bifurcation obtained by the pseudo-oscillator analysis are in a good agreement with the numerical results.Key words delay differential equation, periodic solution, Lambert W function Hopf bifurcation, pseudo-energy analysis南京航空航天大学硕士学位论文图、表清单1. 表2.1 方程2(/4)/16)sin (1)0t απαεα+++−= 在ε取不同值时伪振子法得到的分岔周期解的振幅与数值方法得到的振幅比较 (7)2. 图2.1 Lambert W 函数各个分支的所在区域 (9)3. 图2.2 0()W z 映射中的z 平面 (10)4. 图2.3 0()W z 将z 平面映射到w 平面 (10)5. 图2.4 (12),(),1p i q u i τ=−−=+=时u 与0[]λℜ的关系图 (13)6. 图2.5 1,0.52p i q i =−+=−时τ与0[]λℜ的关系图 (13)7. 图2.6 1,0.52p i q i =−+=−，0.3τ=时x 的时间历程图 (14)8. 图2.7 1,0.52p i q i =−+=−，0.35τ=时x 的时间历程图 (14)9. 图3.1 当/12(0.2618),2,2/6,()k k απηππ=≈=Ω=+∈]时0[]λℜ随p 变化的图 (20)10. 图3.2 当5411(16.55),/10(0.1414),p α=+≈=≈−2arctan(5/6),k k πΩ=−∈]时0[]λℜ随η变化的图 (20)11. 图4.1 当/12(0.2618),2,2/6,()k k απηππ=≈=Ω=+∈]时分岔周期解的振幅随p 的变化图 (26)12. 图4.2 当(2/31)(14.6053),/4(0.5590),απη=−≈=≈(21)arctan(1/2),()k k πΩ=−+∈]时分岔周期解的振幅随p 的变化图 (26)13. 图4.3 当/16,αη==2/4()k k ππΩ=+∈]时分岔周期解的振幅随p 的变化图 (27)14. 图4.4 当17/11/11arctan(1/9)( 1.4544),αη=≈=2arctan(2)()k k πΩ=−∈]时分岔周期解的振幅随p 的变化图 (27)15. 图4.5 当5/411(16.55),/10(0.1414),p α=+≈=≈−2arctan(5/6),k k πΩ=−∈]时分岔周期解的振幅随p 的变化图 (29)承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类分叉系统的间接状态反馈H∞控制方法

一类分叉系统的间接状态反馈H∞控制方法
姚宏;徐健学
【期刊名称】《空军工程大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(001)001
【摘要】针对工程实际中常见的一类具有非半简双零特征值高维分叉系统常出现自激振荡现象,根据非线性H∞控制理论,提出了一种非线性间接状态反馈H∞控制方法;设计了一个最优的H∞控制器,研究如何以最快速度消除系统的分叉.
【总页数】5页(P25-29)
【作者】姚宏;徐健学
【作者单位】空军工程大学,工程学院基础部,陕西,西安,710038;西安交通大学,非线性动力学研究所,陕西,西安,710049
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.一类非线性动力系统的时滞反馈分叉控制 [J], 钱长照;李克安
2.用输入-状态线性化控制一类非线性系统Hopf分叉 [J], 尹逊和;冯汝鹏;孟丽;陈丽红
3.一类自治系统Hopf分叉及极限环幅值的时滞反馈控制 [J], 钱长照;符文彬
4.一类具有积分输入到状态稳定未建模动态的高阶非线性系统的状态反馈调节 [J], 段纳;王璐;赵丛然
5.基于状态反馈的一类非线性系统动态输出反馈镇定 [J], 王银河;单荣立;韩东方
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一类非线性时滞系统的线性输出反馈全局镇定控制

一类非线性时滞系统的线性输出反馈全局镇定控制柴琳【期刊名称】《东南大学学报（英文版）》【年(卷),期】2013(000)003【摘要】The stabilization problem via the linear output feedback controller is addressed for a class of nonlinear systems subject to time-delay.The uncertainty of the system satisfies the lower-triangular growth condition and it is affected by time-delay. A linear output feedback controller with a tunable scaling gain is constructed.By selecting an appropriate Lyapunov-Krasovskii functional the scaling gain can be adjusted to render the closed-loop system globally asymptotically stable.The results can also be extended to the non-triangular nonlinear time-delay systems. The proposed control law together with the observeris linear and memoryless in nature and therefore it is easy to implement in practice. Two computer simulations are conducted to illustrate the effectiveness of the proposed theoretical results.%针对一类非线性时滞系统，基于线性的输出反馈控制器，研究了该类系统的镇定控制问题。