数学分析三习题答案

数学分析三习题答案

【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】

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第页(共)

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【篇二：数学分析三试卷及答案】

lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

11

1.

求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11

解：

f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111

因为

与均不存在，

x?0yxy?0yx

故二次极限均不存在。……(9分)

zxf(xy),yy(x),

2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别

f(x,y,z)?0z?z(x)??

dz

数,求.

dx

解：对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz

f(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)

dydz?f?f?fz?0。 xy

dxdx

dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

2z2zz

z。 2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆

连续）.

22

解：z看成是x,y的复合函数如下：

wx?yx?y

。……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??

e22

代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：

2w2w

2w。……(9分) 2?

4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束

条件下的最小值，其中

目标函数: s表?2?rh?2?r2,

约束条件: ?r2h?1。……(3分)构造lagrange函数：

f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。

fr2h4r2rh0,令?……(6分) 2

f?2?r??r??0.?h

h? 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

解得h?

2r，故有r?径为r?

y3

高为h?时，制作圆桶用料最省。……(9分) 2

5. 设f(y)??e?xydx,计算f?(y).

y2

解：由含参积分的求导公式

y3y322

x2y

f?(y)2edx2?x2e?xydx?3y2e?xy

y

yy

2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y

yy3

2

7

5

x?y

3

2yex

2

yx?y2

……(5分)

72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。……(9分)

222y?y2

x2y2xy

6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.

b?c?a

xacos,

解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可 y?b?sin?.?

2

以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

,0,0。……(3分) 2??则

v?2??

(x,y)

d?d??2?2d??0?(?,?)

1

ab2

sincosc0

ab?d? ……(6分)

ab2

sin?cos?d?2?0

c

a2b2?2 ……(9分)2c.

7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd

l

22

，从z轴的正向看去，是逆时针方向. z?y?3的交线（为一椭圆）解：取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为

cos?,cos?,cos0,。……(3分)?

由stokes公式得

cos?cos?cos

3zdx5xdy2ydz

xyzl

3z5x?2y

?ds ……(6分)

x2y21

?2? ……(9分)

x2y2z2

8. 计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.

abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中

,且

2?(z,x) ?acsin2?sin?。……(3分) ?(?,?)

积分方向向下，取负号，因此，

2322

yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d

2?

02?,0

……(6分)

bac2?sin2?d2sin3?cos?d?

2?

4

abc