实际流体恒定总流的能量方程式
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学课件_第3章_一元流体动力学基础(下)
A
2. 急变流
动压强特性：在断面上有
3.控制断面的选取： 控制断面一般取在渐变流过水断面或其 极限情况均匀流断面上。
想一想
为什么在总流分析法中需引入断面平均 流速？ 即目的所在？
因为总流过水断面上各点的流速是不相等的。为了 简化总流的计算，所以引入了断面平均流速来代替 各点的实际流速。
第五节 恒定总流连续性方程
取距基准面的铅直距离来分别表示相应断面的总水头与测 压管水头。 • 测压管水头线是根据总水头线减去流速水头绘出的。
第十一节 恒定气流能量方程式
虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样 的流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于 68m / s ) ，压强变化不大的情况下，同样可以应 用于气体。
p1 α v p2 α v z1 + + = z2 + + + hw γ 2g γ 2g
二、控制断面的选取
1、渐变流的性质 渐变流过水断面近似为平面，即 渐变流是流线接近于平行直线的流动。均匀流是渐变 流的极限。 2、动压强特性：在渐变流同一过水断面上， 各点动 压强按静压强的规律（2-11）式分布，如图的c-c断面， 即
想一想
图中，过水断面上的动压强分布符合静 压强分布规律的为： A 直管处 B 弯管处
第3章 一元流体动力学基础（下）
重点内容： 1、总流分析方法； 2、恒定总流能量方程 1）恒定总流能量方程 2）能量方程的扩展 3）能量方程的应用 掌握内容： 1、连续性方程 2、实际流体元流能量方程
第五节 补充内容 （伯努利方程基础概念）
一、概念 1.控制体：即在流场中划定的一个固定的 空间区域，该区域完全被流动流体所充满。 2.控制断面：即控制体（流管）有流体流 进流出的两个断面，如图中的1-1，2-2断面。
实际流体恒定总流的伯努利方程讲解
u2 dQ＝ u3dA＝ v3A＝v2 Q
Q 2g
2g A
2g
2g
3.水头损失积分：
h' l12
dQ
Q
物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦阻 力作功所损失的机械能
为了计算方便，设 hw 为单位重量流体
在两过流断面上的平均能量损失。
h' l12
——实际流体恒定总流的能量方程式， 也称之为恒定总流伯努利方程。
伯努利方程的目的：确立了恒定总流流动中势能和动能、 流速和压强相互转化的普遍规律。
（二）恒定总流能量方程式的应用 船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船—— “奥林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有 一比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生 了一件意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地 向“奥林匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的 船舷上,把“奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?
5.两断面间没有分流或合流
18
假设两断面间有分流或合流的情况：
19
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
2
p2
g
＋ 2 v12
2g
＋h
l1-2
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
3
p3
g
＋
3
v
2 3
2g
＋h
l1-3
结论：对于断面有分支的流动，在列方程时，只需 计入所列断面间的能量损失，不需要考虑另一股分 支流的能量损失。
水力学
V 3A
g
2g
V A
3
V 2
2g
gQ
A
Q
h gdQ
w
取平均的hw
hw g dQ hw gQ
Q
前进
一、实际液体恒定总流的能量方程的图示
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw g 2g g 2g
p V 能量方程的图 g 2g H Z
2 pa p2 v 2 Hs hl g g 2 g
D 2 1 0
2
Q 0.708 m / s 其中 v A2
2 pv pa p2 v2 Hs hl 5.28 m g g 2g
pv 5.28g 51740 Pa
【例 2】用直径 D = 100mm 的水管自开口水箱引水。水箱 水面与管道出口断面中心的高差 H = 4m 且保持恒定，水头 损失 hl = 3m。求管道流量 Q 。 1 1 【解】由总流伯努利方程 D H p v2 p v2
1 2 1 2 2 2 1 2 w Q Q
将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来， 2 2 即为总流的能量方程式。
2 2 2 2 p u p u V V p p 1 1 2 2 1 gdQ gQ (1 Z ) gdQ 1 1 gdQ (Z ) gdQ 2 2 gdQ gQ gQ hw ( Z ) gQ (Z 2 ) gQ 1 22 2g 2g gg gg Q Q Q Q Q
方程式的物理意义
2 2 p1 u1 p2 u2 Z1 Z2 g 2g g 2g
位 置 水 头 测 压 管 水 头
压 强 水 头 总 水 头
水动力学基本
3.2.3 流线与迹线
一、流线 1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组
成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地 描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y
ux uy uz 1 dx dy dz dt
量，简称压能。
u2 2g — 不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u 为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流
速水头，表示单位重量液体动能。
测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的 高度，表明单位势能，以Hp表示：
Hp
z
p
断面总水头—表明单位总能量，以H表示：
H z p u2
以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动.
点—线—面 运动轨迹 运动要素
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知 道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采 用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手 ，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式 ，来获得整个流场的运动特性。
3.恒定元流连续性方程：
根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量：
ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：
u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
uz t
(ux
动量方程
8.动量方程应用注意事项：
(1) 作好“三步”：
(a)控制体的选取：－－总流 一般选取总流边界为控制体边界， 横向边界一般取过水断面；
9.动量方程的应用
•求解固体边界的水流作用力 •求解射流冲击力
•求解水跃
恒定总流动量方程式应用举例
一、弯管内水流对管壁的作用力
弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水 压强不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯 管中液体对管壁的作用力。
取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端 断面上的 动水压力，还有 管壁对水流的反作用力。
Fp1 -Fp2cos α + R x =ρ Q (v2cosα -v1)
α R x= α -v1) -Fp1+Fp2 cos ρ Q (v 2cos
= -1983 N（方向与图示相反）
y方向的动量方程：
-F p2sin α + R y=ρ Q (v 2 sinα -0)
R y =ρ Q v 2 sinα +Fp2sinα
(b)绘计算简图：正确标示流速和作 用在水体上的力，注意各流速和 力矢量的投影方向及其正负号； (c)动量方程是矢量方程，建立坐标 系； (2)流出动量减去流入动量，未知力 的方向可以假设；
(3)∑F包括作用在控制体上的全部
外力，不能遗漏，也不能多选。当 未知力的方向不能事先确定时，可
以先假设其方向进行求解。如果求
水轮机： －HP= Pg/(γ Q ηg) （出力）
小 结：
第四章 恒定总流基本方程
z1
pg1
1v12
2g
z2
pg2
2v22
2g
hw
P32
教师：朱红钧
2、恒定总流伯努利方程的适用条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体； （3）质量力只有重力； （4）所选取的两过流断面必须是渐变流（或均匀流）断面
但两过流断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过流断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输 入或输出。
流前，先分析元流流动，然后将元流积分就可推
广到总流。
元流 总流
P8 教师：朱红钧
2、控制断面恒选在渐变流上
什么是渐变流呢?
在总流分析法中，其控制断面恒取在渐变流， 或其极限情况（均匀流）。
想一想 为什么控制断面恒选在渐变流上？
为什么不能选在急变流段呢？
P9
教师：朱红钧
非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率半径很大，接近 平行为渐变流（Gradually Varied Flow），否则为急变流 （Rapidly Varied Flow）。
际
zA
pA
g
uA2 2g
zB
pB
g
0 hw
Δh
H
0
0
应
令
uA
u
及
hw
u2 2g
u AB
式中 称为水头损失因数，由实验确定，图毕4-6托毕管托管的测速原理
用
值大于0且接近于0。
P36
教师：朱红钧
则
u 1
1
2g[(zB
pB
g
)
5实际(粘性)流体的动力学基础2
FRx p1 A1 1QV1
FRx p1 A1 1QV1
沿z方向列动量方程为：
沿y方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz Q(2V2 0)
FRy p2 A2 Q(2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 QV2
FRy p2 A2 2 QV2
x y z
Q(2V2 x 1V1x ) Q(2V2 y 1V1y ) Q(2V2 z 1V1z )
适用条件：不可压缩流体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量 方程式应为：
ρ Q1
1
1
v1 v2 v3
3 3 ρ Q3
扬 扬 程 程 提水 高度
QH m Np p
分 子
单位时间 水流获得 总能量
水泵轴功率
水泵效率
分 母
三、水轮机管路系统
1 引水渠 1 o 压力钢管
z
水轮机
2 o
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 H t z2 hl12 2g 2g
2
=
z
=
0
管轴竖直放置
弯管内水流对管壁的作用力
1
管轴水平放置
FR
FRx
V1
FRz
V1
Fry
z
1
FP1=p1A1
V2
FP1=p1A1 x y
V2
FR
FRx
2
2
y
x
FG FP2=p2A· 2
FP2=p2A· 2
沿x方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 FRx Q(0 1V1 )
实际流体恒定总流的能量方程式
实际流体恒定总流的能量方程式由于实际流体存在粘滞性，在流动过程中，要消耗一部分能量用于克服摩擦力而作功, 流体的机械能要沿程损失而减少，对机械能来说即存在着能量损失。
因此对实际流体而言, 总是2P 1 a v i rz, +^— + > Z 2P g 2g令单位重量流体从断面 1-1流至断面2-2所损失的能量为hv 则能量方程应写为上式共包含了 4个物理量，其中z 代表总流断面上单位重量流体所具有的平均位能,般又称为位置水头；P 代表断面上单位重量流体所具有的平均压能， 它反映了断面上各点Pg2平均动水压强所对应的压强高度；（Z +卫）称为测压管水头；"7代表断面上单位重量P g2g的总机械能（即位能、压能、动能的总和）称为总水头，并以2p a vH =z+止+——P g 2g在总流中任意选取两个断面，该两断面上流体所具有的总水头若为 量方程式:H i=H2+h w对于理想流体，由于没有水头损失， 6=0，则H j =H 2，即在不计能量损失情况下,总流中任何断面上的总水头损失保持不变。
为了形象的反映总流中各种能量的变化规律，可以把能量方程用图形描绘出来。
因为单z ， P及巴必分别绘于图上（如图1）. z 值在断面上各点是变化的, Pg 2g位重量流体所具有的各种机械能都具有长度的量纲,于是可用水头为纵坐标， 按一定的比例2Pg 2g流体所具有的平均动能，一般称为流速水头。
h w 为单位重量流体从一个断面流至另一个断面克服水流阻力作功所损失的平均能量,般称为水头损失。
习惯上把单位重要流体所具有H 表示，即H i 和H 2，根据能尺沿流程把断面的图1般选取断面形心点的z值来标绘，相应的亦选用形心点动水压强来标绘。
把各断面的PgZ +吕值的点连接起来可以得到一条测压管水头线（如图中虚线所示）pg，把各断面P Ot v2H…盘為描出的点连接起来可以得到一条总水头线（如图中实线所示），任意两断面之间的总水头线的降低值，即为该两断面间水头损失h w。
2-4流体流动系统的能量衡算
qm
23:26:03
16
管内流体压力的计算
将以上各值代入Bernoulli Equation
3 p2 1 147 10 1 2 2 1.26 20.94 2 1000 2 1000
解得:
p2=－71.45 kPa （表压）
即喷嘴出口处的真空度为71.45kPa。
23:26:03 1-4 流体流动系统的能量衡算 （19） 17
Bernoulli Equation是能量守恒定律在流体 流动系统中的应用，是流体力学的最重要的方 程。希望同学们通过做作业而掌握它，不然你 就不是“伯努力”了，而是“白努力”了。
The End
谢谢同学们！
即，位能=mgz
单位质量的流体所具有的位能为 gz，其单位为 J/kg。
23:26:03
1-4 流体流动系统的能量衡算 （19）
2
各项的能量形式
（2）静压能：在流体内部，任一处都有静压力。对于一个流动系
统，由于在1-1截面处流体具有一定的静压力，流体要通过该截面 进入系统，就需要对流体做一定的功，以克服这个静压力。换句话
计算结果表明，动能项数值很小，流体位能主要用于克服管路阻力。
压头损失不包括出口能量损失，因此2-2截面应取管出口内侧。若选2-2 截面为管出口外侧，计算过程有所不同，但结果一样。
23:26:03
1-4 流体流动系统的能量衡算 （19）
15
管内流体压力的计算
合成氨厂利用喷射泵输送氨。稀氨水的质量流量为1×104kg/h，密度 为1000kg/m3，入口处的表压为147kPa。管道的内径为53mm，喷嘴出口处 内径为13mm，喷嘴能量损失可忽略不计，试求喷嘴出口处的压力。 解：取稀氨水入口为1-1截面，喷嘴出口
恒定元流能量方程
dQdt( z2 z1 )
2 u2 u12 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) dQdt( ) 2g 2g
总能量方程式
u u ( p1 z1 )dQ ( p2 z2 )dQ 2g 2g
5
2 1
2 2
单位时间内γdQ重量流体 的能量平衡方程
• 先从最简单的理想液体元流情况入手。
推导步骤
1. 2. 3. 4. 5. 假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力 外力作功 p1dA1u1dt-p2dA2u2dt 动能改变 dEk=½dQdt（u22-u12） 势能变化 dEp=ρ dQ dt g Z2- ρ dQ dtgZ1 依据功能原理列等式
10
3-28
• 如将1－1、2－2断面间的机械能损失以hw’ 表示，则得出实际液体元流机械能平衡方 程式（3-28）：
2 u12 p2 u 2 ' z1 z2 hw 2g 2g
p1
• 各断面的机械能可以转换，但总机械能 沿程减少。 • 水力坡度、测管坡度
恒定总流能量方程的图示
hl1 2
沿程损失使总水头线表现为 水平直线，局部损失会出现 一垂直下降
p2
Hp2
总水头线 测压管水头线
水流轴线
Z2
H2
H1 H 2 h12 p 2 H Z 2g
13
• 对实际流体总水头线引入了水力坡度Ｊ的 概念。其定义为： dH dhw J ds ds
Z1 p1
1v12
2g
Z2
p2
2 2 v2
2g
hw
• 理想液体不存在水头损失，故其总水头线 为一水平线； • 实际液体的总水头线为一单调下降的空间 曲线；测压管水头线和位置水头线，根据 具体情况而定，可为升降曲线或直线。
《流体力学》第三章 一元流体动力学基础3.6-3.7
渐变流
急变流 渐变流
急 变 流
均匀流和不均匀流
§3-7 过流断面的压强分布
p1
A
p2
Z1
Z2
均匀流断面上微小柱体的平衡
§3-7 过流断面的压强分布
粘滞阻力对垂直于流速方向的过流断面上压强 的变化不起作用。过流断面只考虑压力和重力 的平衡，和静止流体所考虑的一致。
能量方程式说明：理想不可压缩流体 恒定流动中，各断面总水头相等，单位 重量的总能量保持不变。
实际流体的流动中，由于粘性力的存在， 单位能量方程式为：
p1 u p2 u ' Z1 Z2 hl12 2g 2g
§3-6 恒定元流能量方程
2 1
2 2
1'
2'
h
p1
u2 0 2g p2
u 2 gh
p1 p2
1'
2'
2、u 2 g
2 1 2
u 2g h
'
第七节
过流断面的压强分布
流体内部作用的力：重力、粘性力、惯性力。 重力是不变的，粘性力与惯性力则与质点流速 有关。 流速的变化包括大小的变化和方向的变化 直线惯性力、离心惯性力
§3-7 过流断面的压强分布
p1dA ldA cos p2 dA 因为： l cos Z1 Z 2
p1
p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1
A
p1
Z2
p2
p2
Z2
Z1
所以：均匀流过 流断面上压强分 布服从于水静力 学规律。
§3-7 过流断面的压强分布
水力学系统讲义课件第三章水动力学基础
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4
a du du(x, y, z,t) u u dx u dy u dz
z p C
g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA /
pB /
压强势能（压能）： p
测压管高度(压强水头) ： g
zA
O
zB
O
单测位压势管能水：头：z
p
g
35
恒定总流的能量方程
理想液体恒定微小流束能量方程推导
动能定理：某物体在运动过程中动能的改变等于其在同 一时间内所有外力所做的功。
解：ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
4y 6x 4y 6xt 6t 6y 9xt 4t
4y 6x 1 6t2 6t2
将t 2, x 2, y 4代入得，ax 4m / s2 同理可得， ay (6 y 9x) (4 y 6x)9t 2 (6 y 9t)6t 2
Q A
49 60
umax
24
（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
1/ 7
第三章水动力学基础
x，y，z，t 称为欧拉变数。 x，y，z是液体质点 在t时刻的 运动坐标
第七页，共七十二页。
对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是时
间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要通过相 对应的三个速度分量复合求导得到：
a
x
a y
dux dt
du y dt
u x t u y
t
(ux (ux
二元流：运动要素是两个坐标的函数，称为二元流
三元流：运动要素是三个坐标的函数，称为三元流
——液体一般在三元空间中流动，属于三元流动。 简化问题，在一元空间流动——一元流动
——一元分析法（流束理论）
第十二页，共七十二页。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组 成的线 ，线上任一点的流速方向与该线在该点相切。流 线上任一点的切线方向就代表该点的流速方向， 则整个液流的瞬时流线图就形象地描绘出该瞬时 整个液流的运动趋势。
一、液体最基本特征：
液体具有流动性，其静止是相对的，运动才是绝对的。
二、水动力学研究内容： 1.水动力学研究内容：研究液体的运动规律及其
在工程上的应用。
2.液体的运动规律：液体在运动状态下，作用于
液体上的力和运动要素之间的关系，以 及液体运动特性与能量转换规律等。 3.运动要素：表征液体运动状态的物理量，如速
一元流模型
流管 元流
总流 过流断面 流量 断面平均流速
恒定总流连续性方程
第二十四页，共七十二页。
3.4 恒定元流能量方程 3.4.1 理想液体恒定元流能量方程
一、原理： ——能量守恒原理。取不可压缩无粘性流体恒定流
动这样的力学模型。
能量方程(伯努利方程)实验
不可压缩流体恒定流能量方程（伯努利方程）实验一、实验背景1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。
为纪念他的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。
伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，即在水流或气流里，如果速度大，压强就小，如果速度小，压强就大。
1738年，在他的最重要的著作《流体动力学》中，伯努利将这一理论公式化，提出了流体动力学的基本方程，后人称之为“伯努利方程”。
书中还介绍了著名的伯努利实验、伯努利原理，用能量守恒定律解决了流体的流动问题，这对流体力学的发展，起到了至关重要的推动作用。
伯努利简介丹尼尔伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782），瑞士物理学家、数学家、医学家，被称为“流体力学之父”。
1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日逝世于巴塞尔。
他是伯努利这个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位。
17～20岁时，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。
他在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
伯努利在25岁时应聘为圣彼得堡科学院的数学院士，8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学成教授。
他还于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选为巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。
在1725～1749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
除流体动力学这一主要领域外，丹尼尔·伯努利的研究领域极为广泛，他的工作几乎对当时的数学和物理学的研究前沿的问题都有所涉及。
他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，因此他被推崇为数学物理方法的奠基人．二、实验目的要求1．验证流体恒定总流的能量方程；2．通过对动水力学诸多水力现象的实验分析，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性；3．掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技能。
第一章主要公式
P－轴功率，KW；
3 ) 泵的安装高度
最大吸上真空高度，
H s max
=
pa − pv ρg
(1-37)
pv－被输送液体在输送温度下的饱和蒸汽压，Pa； 允许吸上真空高度 Hsp。
允许安装高度Zsp，
H sp < H s max
∑ Z sp
=
H sp
−
u
2 s
2g
−
h f (m)
(1-38) (1-39)
τ
=
k
⎜⎜⎝⎛
du dy
⎟⎟⎠⎞
n
，n>1
式中 k——稠度指数， n——流变指数。
k 和 n 的数值均由实验来确定。
1.1.15 气体输送原理与设备 1) 离心风机全压表达式，
HT
= (p2
−
p1
)
+
u
2 2
2
ρ
(1-43) (1-44)
(1-45)
式中， ( p2 − p1 )－静风压，Pa；
ρu
通常在泵的样本中查得的Hsp是根据大气压pa＝10mH2O，水温为 20℃时得出的数值。若 操作条件和上述不符，则Hsp必须按下式进行校正。
H
' sp
=
H sp
− 10 + H a
+
pv − pv' ρg
(Байду номын сангаас-40)
式中 Ha——泵工作点的大气压，mH2O； pv——20℃下水的饱和蒸汽压，Pa； p'v——输送温度下水的饱和蒸汽压，Pa。
ρ—流体的密度，kg/m3； w—单位质量的流体所具有的功，J/kg； q—单位质量的流体所具有的热量，J/kg； h—单位质量的流体所具有的焓，J/kg。 式中以下标 1 表示的项为体系进口截面上流体的能量，下标 2 表示的项为体系出口截面 上流体的能量。 1.1.3 不可压缩理想流体的稳定流动与柏努利（Bernoulli）方程
恒定流能量方程要点
Q
h w gdQ
得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。
2 p1 1 12 p2 2 2 z1 z2 hw12 g 2 g g 2 g
上式反映了总流中不同过流断面上( z g )值和断面平均流速v的变 化规律，也就是流体运动中的能量转化关系。这是我们普遍使用的 方程。
若过流断面为渐变流，则在断面上 ( z
Q
(z
p p p ) gdQ ( z ) g dQ ( z ) gQ Q g g g
u2 Q 2 g gdQ
p )C g
积分可得
2．第二类动能积分
因 dQ udA 所以
u2 3 3 2 Q 2g gdQ 2 Au dA 2 A Q 2
p3 3v32 p1 1v12 p2 2v2 2 gq1 z1 gq z h gq z h 2 2 w1 2 3 3 w13 g 2g g 2g g 2g
对于汇流情况，也可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得总 能量守恒的伯努利方程
式中 v 3 A 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于 1；不均匀分 布时，α>1； 在渐变流时，一般α =1.05～1.1。为计算简便起见，通常取α≈1。
A
Hale Waihona Puke u 3 dA§3.5 恒定总流能量方程式
3．第三类积分
都用一个平均 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 hw 值 hw 来代替则第三类积分变为： ' h w gdQ ghw dQ gQhw
p3 3v32 p1 1v12 p2 2v2 2 gq1 z1 hw13 gq2 z2 hw23 gq3 z3 g 2g g 2g g 2g
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实际流体恒定总流的能量方程式
由于实际流体存在粘滞性，在流动过程中，要消耗一部分能量用于克服摩擦力而作功，流体的机械能要沿程损失而减少，对机械能来说即存在着能量损失。
因此对实际流体而言，总是
2211221222p v p v z z g g g g
ααρρ++>++ 令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量为'w h 则能量方程应写为
2211221222w p v p v z z h g g g g
ααρρ++=+++ 上式共包含了4个物理量，其中z 代表总流断面上单位重量流体所具有的平均位能，一般又称为位置水头；p g
ρ代表断面上单位重量流体所具有的平均压能，它反映了断面上各点平均动水压强所对应的压强高度；（p z g ρ+）称为测压管水头；2
2v g
α代表断面上单位重量流体所具有的平均动能，一般称为流速水头。
w h 为单位重量流体从一个断面流至另一个断面克服水流阻力作功所损失的平均能量，一般称为水头损失。
习惯上把单位重要流体所具有的总机械能（即位能、压能、动能的总和）称为总水头，并以H 表示，即
2
2v p H z g g
αρ=++ 在总流中任意选取两个断面，该两断面上流体所具有的总水头若为1H 和2H ，根据能量方程式：
12w H H h =+
对于理想流体，由于没有水头损失，0w h =，则12H H =，即在不计能量损失情况下，总流中任何断面上的总水头损失保持不变。
为了形象的反映总流中各种能量的变化规律，可以把能量方程用图形描绘出来。
因为单位重量流体所具有的各种机械能都具有长度的量纲，于是可用水头为纵坐标，按一定的比例
尺沿流程把断面的z ，p g ρ及2
2v g
α分别绘于图上（如图1）. z 值在断面上各点是变化的，
一般选取断面形心点的z 值来标绘，相应的p g
ρ亦选用形心点动水压强来标绘。
把各断面的p z g
ρ+值的点连接起来可以得到一条测压管水头线（如图中虚线所示），把各断面2
2v p H z g g
αρ=++描出的点连接起来可以得到一条总水头线（如图中实线所示），任意两断面之间的总水头线的降低值，即为该两断面间水头损失w h 。
实际流体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线(直线或曲线)，因为总水头线总是沿程减小的，而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线（直线或曲线）甚至可能是一条水平线，这主要看总流的几何边界变化情况而做具体分析。
总水头沿流程的降低值与流程长度之比，称为总水头线坡度，也称水力坡度，常以J 表示。
若总水头线为直线时，
12w h H H J L L
-== 当总水头线为曲线时，其坡度为变值，在某一断面处坡度可表示为
w dh dH J dL dL
=-=
图1
因总水头增量dH 始终为负值，为使J 为正值，上式中加“－”号。
总水头线坡度J 是表示单位流程上的水头损失。
对于河渠中的渐变流，其测压管水头线就是水面线，如图2所示。
应用恒定总流能量方程式时应满足下列条件：
1 水流必须是恒定流
2 作用于液体上的质量力只有重力。
3 在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流条件，但在所选取的两个断面之间，水流可以不是渐变流，如图3所示，只要把过水
断面选取在水管进口以前符合渐变流条件的断
面1-1及进口之后的断面2-2,虽然在由水池进入
管道附近有急变流发生，对1-1及2-2两过水断
面，仍然可以应用能量方程式。
4 在所取的两过水断面之间，流量保持不
变，其间没有流量加入或分出。
图
2
图3。