乘幂法求解矩阵主特征值及特征向量
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
4.2乘幂法和反乘幂法
2
k 2
rj cos( (k 2) )
再利用三角函数运算性质以及 1 , 2 复数表示，不难验证
xj
令
( k 2)
(1 2 ) x j
( k 1)
12 x j
(k )
0
p (1 2 )
q 12
由方程组
xj
( k 2)
k 1 k
(k )
[1v1 (1) 2v2 ]
(k ) k 1 1 1 1 k 1 k 1 1
x 1 x 2 v ( k 1) (k ) x 1 x 2 (1) 2v2
( k 1)
x( k 1) 1 x( k ) 当k无穷大时，可以用
n
必有
故只要k充分大，
(k )
x
[1v1 k ] 1v1
k 1 k 1
(k )
可把x 作为与1相应的特征向量 的近似。
由x
(k )
(1v1 k )
k 1
k
及 lim k 0
lim
k
x
(k ) k 1
1v1
即表明序列
x
(k ) k 1
越来越接近A的对应于
1的特征向量，也即当k 时
x
(k )
1 v1
k 1
主 特 征 值
1 ?(如何算)
由 x
( k 1)
v , 及 x
k 1 1 1 1
(k )
1v1
k 1
x 1 x
xi
(k )
( k 1) i (k ) i
(i 1, 2,...n)
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
七、矩阵特征值的乘幂方法和反乘幂方法
1、用幂法计算矩阵A的主特征值和对应的特征向量。
function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc=1;jd=jd*0.1;state=1;V=V0;while((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V;[m j]=max(abs(Vk));mk=m*sign(Vk(j));tzw=abs(lambda-mk);Vk=(1/mk)*Vk;txw=norm(V-Vk);Wc=max(txw,tzw);V=Vk;lambda=mk;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;endif(Wc<=jd)disp('迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：')elsedisp('迭代次数k已经达到最大迭代次数max1，主特征值的迭代值lambda，主特征向量的迭代向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：')endVk=V;k=k-1;Wc;>> A=[1 -1;2 4];>> V0=[1,1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =33lambda =3.0000Vk =-0.50001.0000Wc =8.6919e-007>> [V,D]=eig(A)V =-0.7071 0.44720.7071 -0.8944D =2 00 3>> Dzd=max(diag(D))Dzd =3>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =1.7384e-006>> wuV=V(:,2)./VkwuV =-0.8944-0.8944>> A=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =3lambda =9Vk =0.50000.50001.0000Wc =>> [V,D]=eig(A)V =0.7071 0.5774 0.4082-0.7071 0.5774 0.40820 -0.5774 0.8165D =-1.0000 0 00 -0.0000 00 0 9.0000>> Dzd=max(diag(D))Dzd =9>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =>> wuV=V(:,2)./VkwuV =1.15471.1547-0.5774>> A=[1 2 2;1 -1 1;4 -12 1];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k已经达到最大迭代次数max1，主特征值的迭代值lambda，主特征向量的迭代向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =100lambda =-0.0909Vk =1.00001.00001.0000Wc =1.9582>> [V,D]=eig(A)V =0.9045 -0.7255 -0.72550.3015 -0.2176 - 0.0725i -0.2176 + 0.0725i-0.3015 0.5804 - 0.2902i 0.5804 + 0.2902iD =1.0000 0 00 -0.0000 + 1.0000i 00 0 -0.0000 - 1.0000i>> Dzd=max(diag(D))Dzd =1.0000>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =1.0909>> wuV=V(:,2)./VkwuV =-0.7255-0.2176 - 0.0725i0.5804 - 0.2902i（4）>> A=[-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2];>> V0=[1 1 1]';>> [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100)迭代次数k，主特征值的近似值lambda，主特征向量的近似向量Vk，相邻两次迭代的误差Wc如下：k =22lambda =6.0000Vk =1.00000.7143-0.2500Wc =8.1744e-007>> [V,D]=eig(A)V =0 0.7974 0.66670 0.5696 0.33331.0000 -0.1994 -0.6667D =2.0000 0 00 6.0000 00 0 3.0000>> Dzd=max(diag(D))Dzd =6.0000>> wuD=abs(Dzd-lambda)wuD =8.1744e-007>> wuV=V(:,2)./VkwuV =0.79740.79740.79742、用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量。
求矩阵特征向量的三种方法
求矩阵特征向量的三种方法特征向量是线性代数中一个重要的概念，用于描述矩阵变换作用后不改变方向的向量。
在本文中，将介绍矩阵特征向量的三种求解方法：特征值分解法、幂迭代法和雅可比方法。
一、特征值分解法特征值分解法是求解矩阵特征向量最常用的方法之一，其基本思想是将矩阵分解为特征向量和特征值的乘积形式。
特征值分解法的步骤如下：1.对于一个n×n的矩阵A，首先求解其特征方程：，A-λI，=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
2.解特征方程得到所有的特征值λ1，λ2，...，λn。
3.将每个特征值代入特征方程，得到对应的特征向量。
特征向量满足(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
特征值分解法的优点是求解过程简单、直观，但在实际运算中，特征值分解法可能由于求解特征方程而导致计算量大、耗时长。
二、幂迭代法幂迭代法是一种迭代算法，用于求解矩阵特征向量。
幂迭代法的基本思想是通过不断迭代，逐渐逼近矩阵的特征向量。
幂迭代法的步骤如下：1.随机选择一个向量作为初始向量X(0)，并进行归一化处理。
2.根据迭代公式X(k+1)=AX(k)求解下一次迭代的特征向量。
3.重复步骤2直到特征向量收敛。
一般通过判断向量的变化是否小于设定的阈值来确定是否收敛。
幂迭代法的优点是收敛速度快，但受到初始向量的选择的影响，可能不能找到所有的特征向量。
三、雅可比方法雅可比方法是一种基于矩阵相似变换的求解特征向量的方法。
雅可比方法的基本思想是通过一系列的正交相似变化，逐渐将矩阵变换为对角线形式，从而得到特征向量。
雅可比方法的步骤如下：1.初始化D为单位矩阵，将矩阵A进行复制得到副本B。
2. 在矩阵B中寻找绝对值最大的非对角元素(b_ij)，将其所在行列的元素，使其变为0。
3.利用一系列的旋转变换R(i,j)乘以矩阵D和B，得到新的矩阵D和B'，使得B'中新的非对角元素b_i'j'为0。
4.重复步骤2和步骤3直到矩阵B变为对角线形式。
特征值和乘幂法方法
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中 有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相
关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
搜索引擎
G xx
T
xTe 1
G: Google Matrix,
或
k C min max R( x) xC , x 0
三、Hermite矩阵特征值问题的性态
矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都 存在当矩阵 A 的原始数据有小变化 ( 小扰动 ) 时， 引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引 起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之， 称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就 单个特征值或整体特征值给出条件数进行分 析 . 对于 Hermite 矩阵，由于其特征值问题的特殊性 质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩 阵特征值的扰动定理.
1 H U AU D n
即A与以 1 , 2 ,, n 为对角元的对角阵相似
A为正定矩阵的充分必要条件是 1 , 2 ,, n全为 正数.
定理5 设 1 , 2 ,, n 是Hermite矩阵A的n个特征值， 那么
A 2 max i
H
~ 特征向量为u1, u2, …, un， C ni 1是由ui, ui+1, …, un
x ( A E) x i ~ max xCni 1, x 0 xH x H H x Ax x Ex ~ max ~ max H xCni 1, x 0 x x xCni 1, x 0 x H x
定理4
matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
数学实验“矩阵主特征值及相应特征向量的乘幂法,原点平移法,Rayleigh商加速法”实验报告(内含matlab程序)
y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps)
l = m;
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
【孟】求矩阵特征值与特征向量 乘幂和逆乘幂 注释版【孟】
第6章求矩阵特征值与特征向量第16讲乘幂法和逆幂法一、乘幂法的基本思想乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。
它的基本思想是，先任取非零初始向量，然后作迭代序列再根据增大时，各分量的变化规律，求出方阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量。
先看一个实例例1. 设矩阵用特征方程容易求得的两个特征值为下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量，计算向量序列具体计算列表如下：考虑两个相邻向量相应分量之比：由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值，随着的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A 的按模最大的特征值。
二、乘幂法的计算公式设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：│λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│其相应的特征向量为e1, e2,…, e n且它们是线性无关的。
先任取非零初始向量，作迭代序列首先将表示为所以为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论1. λ1为实根，且│λ1│>│λ2│。
当a1不为0，k充分大时，则有所以（6.2）2．为实根，且λ1=-λ2，│λ2│>│λ3│。
当a1，a2不为0，k充分大时，则有于是得从而有（6.3）（3）λ1=u+iv, λ2=u-iv,且│λ2│>│λ3│。
当k充分大时，则有（推导过程参见教材164-165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。
若迭代向量各分量单调变化，且有关系式X k+1=cX k，则属于第1种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式X k+2=cX k，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式X k+2+pX k+1+qX k≈0，则属于第3种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：（6.6）这里面的代表Yk绝对值最大的分量.例 2 乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。
解取X0=（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式X k+1=AX k，k=0,1,….计算列表如下：所以事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为三、逆幂法1. 求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的n个特征值为λ1≥λ2≥…≥λn，其相应的特征向量为e1, e2,…, e n，则的特征值为其相应的特征向量仍为e1, e2,…, e n。
矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。
,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
§1 乘幂法
因此
z
1
2Im (1)
(Re (1) k
uk 1 ),
2k x1
k
i
Re (1) k uk1 Im (1)
.
(1.25)
因为特征向量乘以非零常数因子仍是与原特征值相应的特征向量,因此
据(1.25)和(1.24)式可取
x1 4qk pk2 k i( pk k 2uk1)
(1.26)
作为与 1 相应的特征向量的近似.
a1
T 0
u1
x1T u1
.
若
T 0
u1
0 ,则
a1
0
.因为 u1 是未知的,所选的初始向量 0 可能使a1
0
或 a1 接近于0.在 a1 0 时,由于舍入误差的影响，仍可以有
n
A 0 j x j , j 1
而 1 0 .但 1x1 这一项的分量的数值按绝对值要比其他项小得多.在 a1 0 或 a1接近于0时,据(1.8)和(1.9)可知,迭代次数k要很大.这样需另
)k
其中
bj
a a
j j
xij xi1
,
j
2,3,,
n.
据(1.3)和(1.8)式，我们有
以及
lim ( k1)i k ( k )i
1
( k1)i ( k )i
1
1
1
1
j
n
bj
2
n
b
j2
( j )k 1 1
j
(
j 1
)k
1
(1.8) (1.9) (1.10)
1
b2
(
Step 1
k 1; u u0.
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 小结
1．本章介绍了乘幂法和反幂法。乘幂法用来求按模最大特征 值和对应的特征向量，反幂法用来求按模最小特征值和对应 的特征向量。 2．乘幂法和反幂法特点是算法简单，易于在计算机上实现。
第7章 矩阵特征值与特征 向量的计算
引言 乘幂法 反幂法
7.1 引言
定义：对于n阶方阵A，数λ0，若存在非零列向量x，使得Ax=λ0x，则称λ0 为A的特征值（特征根），x为A的属于λ0的特征向量。 定义： 以λ为未知量的方程|A-λE|=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式|Aλ0E|称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。 λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特 征方程|A-λE|=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。 因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量： ⒈ 计算A的特征多项式|A-λE|； ⒉ 求出A的特征方程|A-λE|=0的全部根，这是A的全部特征值； ⒊ 对A的每一个特征值λi，求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs，并 写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么 的 属于λi的全部特征向量为： k1x1＋k2x2＋……＋ksxs 其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。 对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并 且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7.3 反幂法
一、反幂法的基本思想（续）
上述方法在求u(k)时需要先求出A-1，求A的逆矩阵常常比较麻烦。为了避 免求A-1，可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k)=v(k-1)，求解这个线性方程组得 到u(k)，解线性方程组的方法可以参考第3章和第4章。一般在计算过程一 开始，首先对A进行三角分解，这样每轮迭代求解Au(k)=v(k-1)时只需要2 次回代就可以了。下面以LU分解法为例，重新给出反幂法的求解步骤： 对方阵A进行LU分解A=LU，然后任取n维非零向量v(0)作为初始向量，按 以下迭代公式反复计算： ①回代，求解单位下三角线性方程组Ly(k)=v(k-1)，得到向量y(k)。②回代， 求解上三角线性方程组Uu(k)=y(k)，得到向量u(k)。③若u(k)各分量中绝对 值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，④令v(k)=u(k)/m(k)， k=1,2,3,……。 当k足够大时，近似地认为1/m(k)≈λn，向量v(k)是A的属于λn的特征向量。
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
矩阵特征值特征向量计算例程
矩阵特征值及特征向量计算例程1.1.1 乘幂法例程该程序是用乘幂法计算实矩阵按模最大实特征值的C语言程序。
运行该程序时可根据提示按行输入（阶数小于等于100的）实矩阵，程序输出矩阵按模最大实特征值及特征向量。
1. 说明：（1）该程序计算阶数小于等于100的实矩阵的按模最大特征值及特征向量。
（2）当矩阵阶数大于100时（如120），则只要修改程序行：double m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];中101为121既可。
（3）只有当矩阵的按模最大特征值为实数时，程序有效。
（4）在按模最大特征值为实数的情况下，如果程序失败，则应适当调整误差限或最大迭代次数。
2. 乘幂法例程源代码#include <stdio.h>#include <math.h>void main(){float s,m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];int n, i,j,k ,nn;printf("请输入矩阵的阶数（小于等于100）n：\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输入矩阵的第%d行：\n",i);for(j=1;j<=n;j++)scanf("%f",&A[i][j]);}printf("请输入最大迭代次数nn：\n");scanf("%d",&nn);printf("请输入误差限e：\n");scanf("%f",&e);printf("请输入初始向量x[i]：\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("正在进行计算，请等待\n");k=0; mk=0;do{k=k+1;lm=mk;mk=0;for(i=1;i<=n;i++)if (fabs(x[i]>mk))mk=x[i];for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*x[j];y[i]=s;}for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*y[j];x[i]=s/mk;}}while ((fabs(lm-mk)>e)&&(k<nn));if (k>=nn){printf("超出最大迭代次数仍不满足误差要求，计算失败！\n"); return;}else{m=0;lm=0;for(i=1;i<=n;i++){if (fabs(y[i]>m))m=y[i];if (fabs(x[i]>lm))lm=x[i];}s=m/fabs(m)*sqrt(lm);printf("按模最大特征值为:%f\n",s);printf("对应的特征向量为：\n");for(i=1;i<=n;i++){x[i]=(y[i]/(s*s*s)+x[i]/(s*s))/2;printf("%f\n",x[i]);}}}1.1.2 化实对称矩阵为三对角矩阵例程该程序是用Househoulder变换将对称矩阵化为对称三对角矩阵的C语言程序。
用幂法求解矩阵特征值和特征向量
x= -0.3930 -0.9774 0.2921 1.0000 第五题 A=[-1 2 1; 2 -4 1; 1 1 -6 ]; v0=[1 1 1]'; tol=1e-4; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -6.4209
第4页
数值分析实验指导
x= -0.0463 -0.3746 000
( 1, 0, 1, 0, 0, 1 )T 105
1 21.30525 6 1.62139 x1 0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0 T
第1页
数值分析实验指导
2 1 1 2 1 （3） A= 1 2 1 1 2 1 1 2 T 0 104 取 =( 1, 1, 1, 1, 1 ) 参考结果： 3.7321 3 4 2 1 1 3 1 5 （4） A= 3 1 6 2 4 5 2 1 T 2 取 0 =( 1, 1, 1, 1 ) ， 10 。
第3页
数值分析实验指导
x= 0.5000 -0.8660 1.0000 -0.8660 0.5000 第四题 A=[2 1 3 4; 1 -3 1 5; 3 1 6 -2; 4 5 -2 -1 ]; v0=[1 1 1 1]'; tol=1e-2; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -8.0136
下面再考虑主特征值 1 的的计算，用 (vk )i 表示 vk 的第 i 个分量，则
( x ) ( k 1 )i (vk 1 )i 1 1 1 i , (vk )i 1 ( x1 )i ( k )i
故
9-矩阵特征值与特征向量的计算-幂法
1
x x A
1
( x )， A 则
1
x
1
x
的特征值互为倒数
, 特征向量不变
,
求 A 的按模最小的特征值
n
1
求A
1
的按模最大的特征值
n
.
( 2 ) 计算 x
(k 1)
A
1
y
(k )
解方程组
Ax
(k 1)
y
(k )
16
算法4.3（反幂法）
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注：定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但 未说明每个圆盘内都有一个特征值。
2
§1 幂法和反幂法
1.1 幂法 用于求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的 近似值。
特征值与特征向量的计算
• 3.1.1 盖氏圆
求 Ax x
• 定义3.1-1 设A = [aij]nn，称由不等式 • 所确定的复区域为A的第i个盖氏圆，记为Gi： •
n
n
G i { z : z a ii
j1 j i
a ij }
z a ii
j1 j i
a ij
B 是 A 的相似变换 同的秩 . .
则称 A 与 B 相似，或 结论：相似矩阵具有相
, 迹 , 行列式和特征值
21
) 1 ) 1
R(x
Chapter9_1_特征值和乘幂法方法.
模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A
的某个近似特征值相应的特征向量.
若A非奇异, 且Ax=λx, 则A-1x= λ-1x 因此,求A按模最小特征值就是求A-1按模最大特征值
求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法,又称
为反迭代法.
zk
xk xk
xk1 A1zk LUxk1 zk
第九章 矩阵特征值问题 的数值方法
(Numerical methods for eigenvalue problems)
引言/*Introduction*/
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中 有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械 机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相 关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
生成的n-i+1维子空间.
对
~ C ni
1
中任意非零向量x,由极值定理,有
i
~max
xCni 1, x0
xH (A E)x xH x
x H Ax
x H Ex
max x x max x x xC~ni1,x0
H
xC~ni 1, x0
H
由定理
max
xCni1且x0
k
z
T k
z
k
若λ1为A的实重根, 幂法仍然有效.
例1 试用幂法求按模最大的特征值和相应的特征向量
7 3 - 2
A
3
4
-1
- 2 -1 3
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果
k
u(k)
v(k)
mk