2020浙江高考数学一轮复习§11.1 排列、组合

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2020届高三理科数学一轮复习第十一章第2节排列与组合

解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234＝561(种)，∴某一种不同取法有 561 种. (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335－C234＝C334＝种假货不能在内的不同取法有 5 984 种. (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C215＝2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种. (4)选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 种假货有 C315种，共有选取方式＋455＝2 555(种).∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)选取 3 种的总数为 C335，选取 3 种假货有 C315种，因此共有选取方式
【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至
作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种
B.18种
C.24种
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖
每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析 (1)先把 4 项工作分为 2，1，1 共 3 组，有C24AC1222C11＝6 种分法 3 个志愿者，有 A33＝6 种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式 (2)分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 C23C11A24＝36；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种则获奖情况总共有 36＋24＝60(种).
【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参
如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A.14
B.24
C.28
D.48

2020高考数学总复习排列与组合PPT课件

②Ann＝n！.
(2)组合数公式
Cnm＝AAmmnm＝
nn－1n－2…n－m＋1 m！
＝
n！ m！n－m！.
4．组合数的性质
(1)Cnm＝ Cnn－m ； (2)Cnm＋Cmn －1＝ Cnm＋1 .
1．排列与排列数有什么区别？
提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
[答案] (1)D (2)590
1．解决组合应用题的一般思路首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理． 2．组合问题的常见题型及解题思路常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．
列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
除法法
定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
2．解决排列类应用题的策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排问题直排法处理． (3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．
不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的
种数为( )
A．360
端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192 种 B．216 种 C．240 种 D．288 种
(2)(2014·重庆高考)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个

2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十一章§11.1 排列、组合

０６命题趋势高考对本章的考查比较稳定，坚持一小一大的原则，小题主要考查排列、组合或二项式定理，大题主要考查排列、组合与概率、统计的综合应用．
０７备考建议高考对本章内容的考查以中档题、容易题为主，只要立足基础、重视教材、掌握基本概念和相关公式即可．预测在２０２０年高考中题型及难度均不会有很大变化．
（８）分排问题直排处理的策略；
（９） “ 小集团” 排列问题中先整体后局部的策略；
（１０）构造模型的策略．
（２０１８天津一模，６）若４个人按原来站的位置重新站
成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有种不
同的站法
（）
Ａ．４
Ｂ．８
Ｃ．１２
Ｄ．２４
解析先从４个人里选１人，使其仍然站在自己原来的位
共有３６＋２４＝６０种不同方案．
置，有Ｃ１４＝４种选法．对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，所
以第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第
三个人原来所站的位置上，
故不同的站法共有４×２＝８种，故选Ｂ．
答案Ｂ
１－１甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留
念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的
对于排列、组合问题常用的解题策略有以下几种：
（１）特殊元素优先安排的策略；
（２）合理分类与准确分步的策略；
（３）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（４）正难则反、等价转化的策略；
（５）相邻问题捆绑处理的策略；
（６）不相邻问题插空处理的策略；
（７）定序问题除法处理的策略；

2020年高考数学一轮复习第十一章第2节排列与组合

2020年高考数学一轮复习第十一章第2节排列与组合1.将A 、B 、C 、D 、E A 、B 、C 〞或〝C 、B 、A 〞(能够不相邻)，如此的排列数有多少种( )A ．12B ．20C ．40D ．60解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A 、B 、C 且A 、B 、C 有两种排法，即35C ×2，②然后让D 、E 排在剩余两个位置上，有22A 种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为35C ×2×22A ＝40. 答案：C2．(2018·桂林模拟)四张卡片上分不标有数字〝2”〝0”〝0”〝9”，其中〝9”可当〝6”用，那么由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 ( )A ．6B ．12C ．18D ．24解析：专门元素优先处理，先在后三位中选两个位置填两个数字〝0〞，有23C 种填法，再决定用〝9〞依旧〝6〞有两种可能，最后排另两个卡片有22A 种排法，因此共可排成23C ·2·22A ＝12个四位数．答案：B3．从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有( )A ．120个B ．300个C ．240个D ．108个解析：第一步：把5放到四位数的末位上；第二步：从1,3,7中任取1个，有13C 种方法；第三步：从2,4,6,8中任取2个数字，有24C 种方法；第四步：把选出的3个数字分不放在四位数的千位、百位与十位上，有33A 种方法．故共有13C 24C 33A ＝108种方法．答案：D4．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的奥运宣传广告，1个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，2个奥运宣传广告也不能连续播放，那么不同的播放方法有________种．解析：分三步：第一步，安排3个商业广告，有33A 种不同的方法；第二步，从奥运宣传广告与公益广告中选择1个安排在最后一个播放，有13A 种不同的方法；第三步，把剩下的两个广告安排到3个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的3个空位中，有23A 种不同方法，因此共有33A 13A 23A ＝108种方法．答案：1085.(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两人从41门不相同的选法共有( )A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种解析：从反面考虑：24C ·24C －24C ＝6×6－6＝30. 答案：C6．有穷数列{a n }(n ＝1,2,3，…，6)满足a n ∈{1,2,3，…，10}，且当i ≠j (i ，j ＝1,2,3，…，6)时，a i ≠a j .假设a 1>a 2>a 3，a 4<a 5<a 6，那么符合条件的数列{a n }的个数是 ( )A ．310C 37CB ．310C 310C C ．310C 37CD ．610C 36C解析：先从10个数中任意选出3个，最大的数为a 1，最小的为a 3，另一数为a 2，如此的选法有310C 种；同理，从剩余的7个数中任选3个，有37C 种选法，由分步计数原理知共有310C 37C 种选法．答案：A7．(2018·海南、宁夏高考)7名理想者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有67C 种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有336322C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法， ∴67C ×336322C C A ×22A ＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有37C 种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有34C 种排法，∴共有37C ×34C ＝140种．答案：1408．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情形，故不同的选派方案种数为12C ·34C ＋22C ·24C ＝2×4＋1×6＝14. 法二：从4男2女中选4人共有46C 种选法，4名差不多上男生的选法有44C 种，故至少有1名女生的选派方案种数为46C －44C ＝15－1＝14. 答案：149.(2018·西宁模拟)用三种不同的颜色填涂右图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，那么不同的填涂方法种数共有( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有33A ＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有22A ＝2种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可知共有6×2＝12种涂法．答案：C10．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，那么其中数字2,3相邻的偶数有________个(用数字作答)．解析：个位数字是2或4，假设个位是2，那么十位数字必须是3，共有33A 个；假设个位是4，那么将2,3作为一个整体，与1,5进行排列，共有233A 个．因此总共有33A ＋233A ＝18个．答案：1811．10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止． (1)假设恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，那么如此的不同测试方法数是多少？(2)假设恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，那么如此的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有46A 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有24C ·22A ＝24A 种测法，再排余下4件的测试位置，有A 44种测法．因此共有不同排法45C 46A ·24A ·44A ＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中显现，从而前4次有一件正品显现．因此共有不同测试方法14A ·(16C ·33C )44A ＝576种． 12．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在以下情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)第一步：选3名男运动员，有36C 种选法．第二步：选2名女运动员，有24C 种选法．共有36C ·24C ＝120种选法． (2)法一(直截了当法)：〝至少1名女运动员〞包括以下几种情形： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有14C ·46C ＋24C ·36C ＋34C ·26C ＋44C ·16C ＝246种选法．法二(间接法)：〝至少1名女运动员〞的反面为〝全是男运动员〞．从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种．因此〝至少有1名女运动员〞的选法有510C －56C ＝246种． (3)法一(直截了当法)：〝只有男队长〞的选法为48C 种；〝只有女队长〞的选法为48C 种；〝男、女队长都入选〞的选法为38C 种；因此共有248C ＋38C ＝196种．法二(间接法)：从10人中任选5人，有510C 种选法．其中不选队长的方法有58C 种．因此〝至少1名队长〞的选法有510C －58C ＝196种选法．(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法．不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法．其中不含女运动员的选法有45C 种，因此不选女队长时共有48C －45C 种选法．因此既有队长又有女运动员的选法共有49C ＋48C －45C ＝191种．。

2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合教师用书(PDF,含解析)

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最新真题示例
§ １１．１排列、组合
第十一章计数原理１３５
考点排列、组合
高频考点
１．分类计数原理、分步计数原理（１）完成一件事有ｎ类办法，各类办法相互独立，每类办法
中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和，这就是分类计数原理．
（２）完成一件事，需要分成ｎ个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积，这就是分步计数原理．
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对应学生用书起始页码Ｐ２３５
的所有排列的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排
２．涂色问题，一般不涉及排列数和组合数的应用，是计数原理应用的典型问题．由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查学生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为高考命题的热点之一．
如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色．如果只有５种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
查，分值为４分或６分．２．二项式定理为必考题，以客观题的形式

高考第一轮复习排列与组合演示文稿

要点梳理
忆一忆知识要点
2. 排列和组合的区别和联系
名称
排列
组合
定义
种数符号计算公式关系性质
从n个不同元素中取出m个元从n个不同元素中取出m 素,按一定的顺序排成一列个元素, 把它并成一组
所有排列的的个数所有组合的个数
A
m n
A A mn m n (nn n(n !m )!1 )Ann(n nm ! 1 0)!1
高考第一轮复习排列与组合演示文稿
知识网络
Байду номын сангаас计数原理
分类计数原理分步计数原理
排列、组合
计数原理
排列组合
排列的定义
排列数公式
组合的定义
应用
组合数公式
二项式定理
组合数性质
二项式定理
通项
二项式系数性质
要点梳理
忆一忆知识要点
1．排列 (1)排列的定义：从 n 个不同的元素中取出 m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn 表示． (3)排列数公式：Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中 n， m∈N*，且 m≤n.
(2) 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
(3)某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”.
(4) 间接法和去杂法等等.

高考数学(理)创新大一轮(实用课件)浙江专用版：第十一章第2节排列与组合

－m，故(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
考点一排列问题
[例 1] 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)(一题多解)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻.
有 4 种，第二步，前排 3 人形成了 4 个空，任选一个空加一人，
第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步计数原理有 3× 4× 5× 6＝360 种方法.
考点一排列问题
[训练 1] (2)(2018· 抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( A.30 B.600 C.720 D.840 )
第2节
01
排列与组合
诊断自测
02
考点一
排列问题
例1 训练1
03
考点二
组合问题
例2 训练2
04
考点三
排列与组合的综合应用(多维探究)
例3-1 例3-2 训练3
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(
解 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A5 6× 5× 4× 3＝2 520(种). 7＝7×
(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A3 7种方法，
余下 4 人站后排，有 A4 4种方法，
共有 A3 A4 7· 4＝5 040(种).

2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版讲义：第十一章第一节排列与组合含答案

第十一章⎪⎪⎪ 计数原理、概率、随机变量及其分布列第一节排列与组合[考纲要求]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．2．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．3．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．突破点一两个计数原理[基本知识]1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．3．两个计数原理的比较一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )答案：(1)× (2)√ (3)√二、填空题1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．答案：62．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为________．答案：323．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．答案：120[全析考法]考法一分类加法计数原理与分步乘法计数原理[例1](1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A．6B．12C．24 D．36(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．[解析](1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．[答案](1)A(2)8[易错提醒](1)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．(2)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．考法二两个计数原理的综合应用在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[例2](1)(2018·合肥三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为()A．96 B．114C．168 D．240(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A．48 B．18C．24 D．36[解析](1)首先在a中种植，有4种不同方法，其次在b中种植，有3种不同方法，再次在c 中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，最后在e中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.(2)分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．[答案](1)C(2)D[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．[集训冲关]1.[考法一]教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．25种C．52种D．24种解析：选D每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法．2.[考法一]如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O2种不同的走法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．答案：53.[考法二]如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________．解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．答案：72种突破点二排列、组合[基本知识]1．排列与排列数一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.().()(5)A m n＝n A m－1n－1(6)k C k n ＝n C k －1n －1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√二、填空题1．某考生填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有________种．答案：602．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．答案：2883．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有________种．答案：14[全析考法]考法一排列问题[例1] 3名女生和5名男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A 55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．(3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法．(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一：(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A16种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A16种，其余人全排列，共有A16·A16·A66种．由分类加法计数原理得，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960(种)．法二：(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A17种，余下7个位置全排，有A77种，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960(种)．法三：(间接法)8个人全排，共A88种，其中不合条件的有甲在最左边时，有A77种，乙在最右边时，有A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种．因此共有A88－2A77＋A66＝30 960(种)．[方法技巧]求解排列应用题的7种主要方法考法二组合问题[例2]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)法一：(间接法)选取3种的总数为C 335，因此共有选取方式C 335－C 315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二：(直接法)共有选取方式C 320＋C 220C 115＋C 120C 215＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．[方法技巧]组合问题的2种题型及解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．考法三分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．[例3] (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．[解析] (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种不同的分派方法． (2)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．[答案](1)90(2)360[方法技巧]分组分配问题的3种类型及求解策略[集训冲关]1.[考法一]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B第一类：甲在左端，有A55＝120种排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝96种排法；所以共有120＋96＝216种排法．2.[考法二]在某校2018年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为() A．30 B．36C．60 D．72解析：选A因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种．其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30(种)．故选A.3.[考法三]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：选A将4名学生均分为2个小组共有C24C22A22＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A22＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A22＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是() A．2 160B．720C．240 D．120解析：选B分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，则共有10×9×8＝720种分法．2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．(2019·安徽调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.4．(2019·漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A．540 B．480C．360 D．200解析：选D由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．5．(2019·福州高三质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有() A．90种B．180种C．270种D．360种解析：选B可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A26种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有C24C22种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为A26C24C22＝180.故选B.6．(2019·北京朝阳区一模)某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为()A．18 B．24C．48 D．96解析：选B甲连续两天值班，共有(周一，周二)，(周二，周三)，(周三，周四)，(周四，周五)四种情况，剩下三个人进行全排列，有A33＝6种排法，因此共有4×6＝24种排法，故选B.[B级保分题——准做快做达标]1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4C．6 D．8解析：选D先考虑递增数列，以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.同理可得到4个递减数列，∴所求的数列的个数为2(2＋1＋1)＝8.2．(2019·芜湖一模)某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有()A．96种B．84种C．78种D．16种解析：选B先确定选的两门，选法种数为C24＝6，再确定学生选的情况，选法种数为24－2＝14，所以不同的选课方案有6×14＝84(种)，故选B.3．(2019·东莞质检)将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班，每个班至少1名，则不同分配方法的种数为()A．18 B．24C．36 D．72解析：选C先将4人分成三组，有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有6×6＝36(种)，故选C.4．(2019·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()A．12 B．24C．30 D．36解析：选C按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C12×C12＝24(种)，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.5．(2019·云南民大附中期中)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种解析：选A 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 35＋C 15×C 24×C 222！＝25种分法；再将三组学生分到3所学校有A 33＝6种分法．故共有25×6＝150种不同的保送方法．故选A.6．(2019·东北三省四市一模)6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种解析：选A 由题意知将甲、乙两本书放在两端有A 22种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，有A 33种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A 22种放法，所以不同的摆放方法有A 22×A 33×A 22＝24(种)，故选A.7．(2019·河南三门峡联考)5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )A ．A 55A 24种 B ．A 55A 25种 C ．A 55A 26种D ．(A 77－4A 66)种解析：选A 首先5名大人先排队，共有A 55种排法，然后把2个小孩插进中间的4个空中，共有A 24种排法，根据分步乘法计数原理，共有A 55A 24种排法，故选A.8．(2019·临海白云高级中学月考)2个男生和4个女生排成一排，其中男生必须相邻且不排两端的不同排法有( )A ．A 44A 13A 22种B ．A 44A 15A 22种C.A 66A 24种D.A 66A 24·A 22种解析：选A 4个女生站成一排有A 44种排法，2个男生相邻，故视作一体，采用插空法，将其放在4个女生的3个空中(不含两端)，有A 13种排法，2个男生站成一排有A 22种排法，根据分步乘法计数原理，不同排法种数为A 44A 13A 22，故选A.9．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )A ．120B ．140C ．240D ．260解析：选D 由题意，先涂A 处共有5种涂法，再涂B 处有4种涂法，再涂C 处，若C 处与A 处所涂颜色相同，则C 处有1种涂法，D 处有4种涂法；若C 处与A 处所涂颜色不同，则C 处有3种涂法，D 处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校月考)已知A ，B ，C ，D 四个家庭各有2名小孩，四个家庭准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名小孩(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选B若A家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有C23C12 C12＝12种乘坐方式，若A家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B，C，D家庭中的一个，有C13C12C12＝12种乘坐方式，所以共有12＋12＝24种乘坐方式，故选B.11．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6个不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14个不同的点．答案：1412．(2019·洛阳高三统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C23·C14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C13·C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A24种方法．由分步乘法计数原理得共有C23·A24＝36(种)．答案：3613．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：1614．(2019·江西师大附中月考)用数字1,2,3组成的五位数中，数字1,2,3均出现的五位数共有________个(用数字作答)．解析：使用间接法，首先计算全部的情况数目，共3×3×3×3×3＝243(个)，其中包含数字全部相同(即只有1个数字)的有3个，还有只含有2个数字的有C23·(2×2×2×2×2－2)＝90(个)．故1,2,3均出现(即含有3个数字)的五位数有243－3－90＝150(个)．答案：15015．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)解：(1)从4名男生中选出2人，有C24种选法，从6名女生中选出3人，有C36种选法，根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有C24C36A55＝14 400(种)．(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有C24C36A33A24＝8 640(种)．16．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21 034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有C12A33＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有C12A33＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6个五位数．故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．(2)可分为两类：末位数是0，个数有A22·A22＝4；末位数是2或4，个数有A22·C12＝4.故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．。

2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.1 排列、组合 Word版含解析

专题十一计数原理【真题典例】11.1排列、组合挖命题【考情探究】分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2020年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.破考点【考点集训】考点排列、组合1.(2018浙江萧山九中12月月考,15)现有6本不同的数学资料书,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少要有1本,至多2本,可以剩余,则不同的分法种数为.(用数字作答)答案 1 2902.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,15)某单位安排5个人在六天中值班,每天1人,每人至少值班1天,共有种不同的值班方案.(用数字作答)答案 1 8003.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),16)现将7个不同的小球放入编号分别为1、2、3的三个盒子里,要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数,则符合要求的放法有种.(用数字作答)答案455炼技法【方法集训】方法排列组合综合问题的解题方法1.(2018浙江浙东北联盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元的,1个8元的,1个10元的(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种答案C2.(2018浙江杭州第一学期教学质检,16)有红,黄,蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各4个,都分别标有字母A,B,C,D.任意取出4个,字母各不相同且三种颜色齐全的取法有种(用数字作答).答案363.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,15)现有两本相同的语文书和两本相同的数学书,分发给三名学生,每名学生至少分得一本,则所有不同的分法有种(用数字作答).答案12过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点排列、组合1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2602.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6603.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60B组统一命题、省(区、市)卷题组考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 080C组教师专用题组考点排列、组合1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D2.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D3.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A4.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D6.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B8.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B9.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案B10.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b 的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C11.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B12.(2012课标,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A13.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 56014.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案3615.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案48016.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案59017.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,5)在1,2,3,4,5,6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中,各个数位上的数字之和为9的三位数共有()A.16个B.18个C.24个D.25个答案D2.(2018浙江宁波模拟(5月),7)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图所示的方格,要求有公共顶点的两个方格颜色不同,则不同的涂色方案有()A.48种B.72种C.96种D.216种答案C3.(2018浙江台州第一学期期末质检,6)有3位男生,3位女生和1位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共32分)4.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,15)将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有种.答案185.(2019届浙江名校协作体高三联考,16)用黑白两种颜色随机地染如下6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.答案206.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动,每个游戏最多有2人同时参与(如果有2人参与同一个游戏,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方法总数是.答案1207.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,15)一条笔直的公路的一侧有9根电线杆,现要移除2根,且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留,则不同的移除方法有种.答案218.(2018浙江宁波高三上学期期末,16)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于24的情况有种(请用数字作答).答案529.(2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),15)盒子里有6个完全相同的球,每次至少取出1个球(取出不放回),取完为止,则共有种不同的取法(用数字作答).答案3210.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),16)现有男、女乒乓球选手各9人,将这些选手配成男双、女双、混双各3对,每位选手均不能兼报两项或两项以上的项目,则配对方式的总数为(用数字作答).答案9 525 60011.(2018浙江重点中学12月联考,16)甲,乙,丙,丁四名同学做传递手帕游戏(每位同学传递到另一位同学手中,记传递1次),手帕从甲手中开始传递,经过5次传递后手帕回到甲手中,则不同的传递方法的种数为.(用数字作答)答案60。

排列与组合2020年高考数学一轮考点

2020 年高考数学一考点57摆列与合一、【知精】1.摆列与合的观点名称定摆列从n 个不一样元素中拿出m m≤n)依据必定的序排成一列(合个不一样元素合成一2.摆列数与合数(1)从 n 个不一样元素中拿出m m≤n个元素的所有不一样摆列的个数，叫做从n 个()不一样元素中拿出m个元素的摆列数 .(2) 从 n 个不一样元素中拿出 m( m≤n) 个元素的所有不一样合的个数，叫做从n 个不一样元素中拿出m个元素的合数 .3.摆列数、合数的公式及性公式性m n n－n－⋯(n－m＋＝n！n1)(2)1)（n－ m）！.(1)A ＝ (m n（ n－）（ n－）⋯（ n－m＋）m nA121＝(2)C n＝m＝m！Amn！n，m∈*，且 m≤n特地0 m！（ n－m）！(Nn＝1).Cn(1)0 ！＝ 1；A n＝ n！ .m n－mm m m(2)C ＝C； C＝C＋C－ 1n n n ＋1n n【注意点】1.解受条件限制的摆列、合，往常有直接法 ( 合理分 ) 和接法 ( 清除法 ).分准一，防止出重复或漏.2.于分派，一般先分，再分派，注意均匀分与不均匀分的区，防止重复或漏 .二、【典例精】考点一摆列【例 1】有 3 名男生、 4 名女生，在以下不一样条件下，求不一样的摆列方法数.(1)5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，女生一定站在一同；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)( 一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，也不站最右侧；(6)(一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，乙不站最右侧 .【分析】(1) 从 7 人中选 5 人摆列，有5种).A ＝7×6×5×4×3＝ 2 520(7(2) 分两步达成，先选 3 人站前排，有34A7种方法，余下 4 人站后排，有A4种方法，34共有 A7·A4＝5 040( 种).(3)(捆绑法 ) 将女生看作一个整体与 34名男生一同全摆列，有 A4种方法，再将女444生全摆列，有 A4种方法，共有 A4·A4＝576(种).(4)(4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个插空法 ) 先排女生，有 A4343空位安排男生，有 A5种方法，共有 A4·A5＝1 440( 种).(5) 法一( 特别元素优先法 ) 先排甲，有5 种方法，其余6 6 人有 A 种摆列方法，6共有65×A＝ 3 600( 种 ).6法二2( 特别地点优先法 ) 左右两边地点可安排另 6 人中的两人，有 A6种排法，其525他有 A5种排法，共有A6A5＝ 3 600( 种).(6) 法一6( 特别元素优先法 ) 甲在最右侧时，其余的可全排，有 A6种方法；甲不1在最右侧时，可从余下的 5 个地点任选一个，有 A5种，而乙可排在除掉最右侧的地点后剩下的 5 此中任选一个有15A5种，其余人全摆列，只有 A5种不一样排法，共有6115 A＋A AA ＝3 720.6555法二( 间接法 )7 名学生全摆列，只有76A7种方法，此中甲在最左边时，有 A6种方6种方法，此中都包括了甲在最左边且乙在最右侧的情况，法，乙在最右侧时，有 A65765＝3 720(种).有 A5种方法，故共有A7－2A6＋A5【解法小结】摆列应用问题的分类与解法(1)关于有限制条件的摆列问题，剖析问题时有地点剖析法、元素剖析法，在实质进行摆列时一般采纳特别元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的地点，关于分类过多的问题能够采纳间接法 .(2)对相邻问题采纳捆绑法、不相邻问题采纳插空法、定序问题采纳倍缩法是解决有限制条件的摆列问题的常用方法 .考点二组合问题【例 2】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知此中有 15 种赝品 . 现从 35种商品中选用 3 种.(1)此中某一种赝品一定在内，不一样的取法有多少种？(2)此中某一种赝品不可以在内，不一样的取法有多少种？(3)恰有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？(4)起码有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？(5)至多有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？2种) ，∴某一种赝品【分析】 (1) 从余下的 34 种商品中，选用 2 种有 C34＝561(一定在内的不一样取法有 561种.(2) 从 34 种可选商品中，选用3323种 ).3 种，有 C34种或许 C35－C34＝ C34＝5 984(∴某一种赝品不可以在内的不一样取法有 5 984 种.1 2(3)从 20 种真货中选用 1 件，从 15 种赝品中选用 2 件有 C20C15＝ 2 100( 种).∴恰有 2 种赝品在内的不一样的取法有2 100 种.123123 (4) 选用 2 种赝品有 C20C15种，选用 3 种赝品有 C15种，共有选用方式C20C15＋C15＝2100＋ 455＝2 555( 种).∴起码有 2 种赝品在内的不一样的取法有 2 555 种.(5) 选用 3 种的总数为33C35，选用 3 种赝品有 C15种，所以共有选用方式33C35－C15＝ 6 545 －455＝6 090( 种 ).∴至多有 2 种赝品在内的不一样的取法有 6 090 种.【解法小结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素拿出，再由此外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选用 .(2)“起码”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这种题一定十分重视“起码”与“至多”这两个要点词的含义，提防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可以求解，往常用直接法分类复杂时，考虑逆向思想，用间接法办理.考点三分组、分派问题多维研究角度 1整体均分问题【例 3－1】国家教育部为了发展贫穷地域教育，在全国要点师范大学免费培育教育专业师范生，毕业后要分到相应的地域任教，现有 6 个免费培育的教育专业师范毕业生要均匀分到 3 所学校去任教，有 ________种不一样的分派方法 .【答案】90222【分析】先把 6 个毕业生均匀分红3 组，有C 6C 34C 2种方法，再将 3 组毕业生疏A322 23个毕业生均匀分到C 6C 4C 23到 3 所学校，有 A 3 ＝6 种方法，故 63 所学校，共有3·A 3A3＝ 90 种分派方法 . 角度 2部分均分问题【例 3－2】某学校派出 5 名优异教师去边远地域的三所中学进行教课沟通，每所中学起码派一名教师，则不一样的分派方法有 ( )A.80 种B.90 种C.120 种D.150 种【答案】D2 2 153 1【分析】分两类：一类，第一步将 5 名老师按 2，2，1 分红 3 组，其分法有 C CC2A 22 2 15 3 1种，第二步将分好的 3 组分派到 3 个学校，则有CC C3种分派方法；23A 2 ·A＝9031 1C CC 另一类，第一步将52 1 5 名老师按 3，1， 1 分红3 组，其分法有2 种，第二步将A23 1 1C 5C 2C 1 3 ＝60 种分派方法 .分好的 3 组分派到 3 个学校，则有2AA32所以不一样的分派方法的种数为 90＋60＝150( 种).角度 3 不平分问题【例 3－3】 A ，B ， C ， D ，E ， F 六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，一定坐最北面的椅子， B ，C 二人一定坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不一样的坐法有()A.24 种B.30 种C.48 种D.60 种【答案】C【分析】 B ，C 二人一定坐相邻的两把椅子，有 4 种状况， B ，C 能够互换地点，23＝6种状况，故共有 4×2×6有 A2＝2种状况；其余三人坐节余的三把椅子，有 A3＝48 种状况 .【解法小结】 1. 关于整体均分问题，常常是先分组再摆列，在解题时要注意分组后，不论它们的次序怎样，都是一种状况，所以分组后必定要除以n n 为均nA (分的组数 ) ，防止重复计数 .2. 关于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即如有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.关于不平分问题，第一要对分派数目的可能情况进行一一列举，而后再对每一种情况分类议论 . 在每一类的计数中，又要考虑是分步计数仍是分类计数，是摆列问题仍是组合问题 .三、【名校新题】1.(2019 ·福州调研 )6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【分析】“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个缝隙供 3 人选择就座，所以任3何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝ 24.2．(2019 ·厦门模拟 )5 名男同学、 6 名女同学排成一排，要求男同学次序必定且女同学次序也必定，不一样排法种数为()5655C.A11D.A11A．C11 B ． 2C1156A5A6【答案】A【分析】共 11 名同学排成一排有11 个地点．从 11 个地点中选出 5 个地点，5种选法，每一种选法的 5 个地点让男同学按着必定次序去排，余下 6 个共有 C11地点让女同学按必定次序去排．3．(2019 ·厦门模拟 )5 名男同学、 6 名女同学排成一排，要求男同学次序必定且女同学次序也必定，不一样排法种数为()5556A AA．C B ．2C C.11 D.11A A111156【答案】A【分析】共 11 名同学排成一排有 11 个地点．从 11 个地点中出 5 个地点，56 个共有 C11种法，每一种法的 5 个地点男同学按着必定序去排，余下地点女同学按必定序去排．4.(2019 ·新余二模 )7 人站成两排列，前排 3 人，后排 4 人，将甲、乙、丙三人加入列，前排加一人，后排加两人，其余人保持相地点不，不一样的加入方法种数 ()A.120B.240C.360D.480【答案】C【分析】第一步，从甲、乙、丙三人一个加到前排，有 3 种，第二步，前排3 人形成了4 个空，任一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了5 个空，任一个空加一人有 5 种，此形成6 个空，任一个空加一人，有 6 种，依据分步乘法数原理有3×4×5×6＝ 360 种方法 .5．(2019 ·合肥研 ) 用数字 0,1,2,3,4成没有重复数字且大于3000的四位数，的四位数有()A．250 个 B ．249 个 C ．48 个 D ．24 个【答案】C3【分析】①当千位上的数字 4 ，足条件的四位数有A4＝ 24( 个) ；②当千3位上的数字 3 ，足条件的四位数有 A4＝24( 个 ) ．由分加法数原理得所有足条件的四位数共有 24＋ 24＝48( 个 ) ．故 C.6.(2019 ·咸阳二模 ) 若从 1，2，3，⋯， 9 9 个整数中同取 4 个不一样的数，其和偶数，不一样的取法共有 ()A.60 种B.63 种C.65 种D.66 种【答案】【分析】共有 4 个不一样的偶数和 5 个不一样的奇数，要使和偶数， 4 个数全奇数，或全偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不一样的取法有4422 C5＋C4＋C5C4＝66( 种 ).7.(2019 ·佛山模 ) 用数字 0,1,2,3,4,5 成没有重复数字的五位数，此中比40000 大的偶数共有 ()A．144 个 B ．120 个 C ．96 个 D ．72 个【答案】B【分析】当五位数的万位为 4 时，个位能够是 0,2 ，此时知足条件的偶数共有135 时，个位能够是 0,2,4 ，此时知足条件的偶数C2A4＝ 48 个；当五位数的万位为13个，所以比 40000大的偶数共有 48＋72＝120 个．选 B.共有 CA＝72348.(2019 ·武汉模拟 ) 有六人排成一排，此中甲只好在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则知足要求的排法有()A.34 种B.48 种C.96 种D.144 种【答案】C【分析】特别元素优先安排，先让甲重新、尾中选用一个地点，有1C2种选法，乙、丙相邻，有 4 种状况，乙、丙能够互换地点，有2A2种状况，其余 3 人站节余3种状况，由分步乘法计数原理知共有123种.的 3 个地点，有 A34C2 A2A3＝969.(2019 ·福州二模 ) 福州西湖公园花展时期，安排 6 位志愿者到 4 个展区供给服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不一样的安排方案共有 ()A.90 种B.180 种C.270 种D.360 种【答案】B【分析】依据题意，分 3 步进行剖析：①在 6 位志愿者中任选 1 个，安排到甲展区，有1＝6 种状况；②在剩下的 5 个志愿者中任选 1 个，安排到乙展区，有C61种状况；③将剩下的 4 个志愿者均匀分红 2 组，而后安排到剩下的 2 个展C5＝522C4C22种状况，则一共有 6×5×6＝ 180 种不一样的安排方案 .区，有2×A2＝6A210.(2019 ·山西康杰中学模拟 ) 某地推行高考改革，考生除参加语文、数学、外语一致考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科起码选一科，政治、历史、地理三科起码选一科，则考生的选考方法共有 ()A．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】C【分析】Ⅰ类：物理、化学、生物三科选一科，政治、历史、地理三科中选两12科，有 C3C3＝9 种选法；Ⅱ类：物理、化学、生物三科选两科，政治、历史、地12理三科中选一科，有 C3C3＝ 9 种选法，所以考生共有 9＋ 9＝ 18 种选考方法．应选 C.11．(2019 ·陕西质检 ) 将 2 名教师、 4 名学生疏成 2 个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生构成，不一样的安排方案共有 ()A．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A1【分析】安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C2种方案；第二步2安排学生，有C4种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不一样的安排方案共有12C2C4＝ 12( 种) ．应选 A.12.(2019 ·福建漳州联考 ) 有六人排成一排，此中甲只好在排头或排尾，乙、丙两人一定相邻，则知足要求的排法有 () A．34种B ．48种C ．96种D ．144种【答案】C1【分析】特别元素优先安排，先让甲重新、尾中选用一个地点，有 C2种选法，乙、丙相邻，捆绑在一同看作一个元素，与其余三个元素全摆列，最后乙、丙可以换位，故共有142种) ．应选 C. C2·A4·A2＝96(13.(2019 ·合肥模拟 ) 现有三真同样的语文书和一本数学书，散发给三个学生，每个学生起码分得一本，不一样分法的种数为 ()A．36 B ．9 C ．18 D ．15【答案】B【分析】分派方案为 2,1,1 ，此中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有121C A 种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C种323分法．所以共有C13 A22＋C13＝9 种不一样的分法．应选 B.14.(2018 ·保定模拟 ) 甲、乙、丙、丁四位同学高考以后计划去A， B， C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只好去一个社区，每个社区起码一人. 此中甲一定去A 社区，乙不去 B 社区，则不一样的安排方法种数为()A.8B.7C.6D.5【答案】B【分析】依据题意，分 2 种状况：①乙和甲一同去 A 社区，此时将丙丁二人安2排到 B，C 社区即可，有A2＝2 种状况，②乙不去 A 社区，则乙一定去 C 社区，若丙丁都去 B 社区，有 1 种状况，若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出1 人，安排到 B 社区，剩下 1 人安排到 A 或 C 社区，有 2×2＝ 4 种状况，则不一样的安排方法种数有2＋1＋4＝7.15.(2019 ·惠州二调 ) 旅行体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅行，若不可以最初去甲景区旅行，不可以最后去乙景区和丁景区旅行，则小李可选的旅行路线数为()A．24 B ．18 C ．16 D ．10【答案】D【分析】分两种状况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有12C2·A种可选的路线．所以小李可选的旅行路线2312应选 D.数为 A3＋ C2·A＝10.216.(2019 ·江西吉安联考 ) 某大厦一层有 A，B，C，D四部电梯，现有 3 人在同一层乘坐电梯上楼，此中 2 人恰巧乘坐同一部电梯，则不一样的乘坐方式有() A．12种 B ．24种 C ．18种 D ．36种【答案】D【分析】元素相邻利用“捆绑法”，先从 3 人中选择 2 人坐同一电梯有 C32＝3种选法，再将 2 个“元素”安排坐四部电梯有2种安排方法，则不一样的乘A＝124坐方式有 3×12 ＝ 36 种．应选 D.17.(2019 ·广州一模 ) 把 8 个同样的小球所有放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则不一样的放法种数为 ()A.35B.70C.165D.1 860【答案】C【分析】依据题意，分 4 种状况议论：①没有空盒，将8 个同样的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 3 个，插入隔板，将小球分红 4 组，按序对应 4 个盒子，有3C7＝ 35 种放法；②有 1 个空盒，在 4 个盒中任选 3 个，放入小球，有3＝4种选法，将 8 个同样C4的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 2 个，插2入隔板，将小球分红 3 组，按序对应 3 个盒子，有 C7＝21 种分组方法，则有 4×21 ＝ 84 种放法；2③有 2 个空盒，在 4 个盒中任选 2 个，放入小球，有C4＝6 种选法，将 8 个同样的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 1 个，插1入隔板，将小球分红 2 组，按序对应 2 个盒子，有 C 7＝7 种分组方法，则有 6×7＝ 42 种方法；④有 3 个空盒，马上 8 个小球所有放进 1 个盒子，有 4 种放法 .故一共有 35＋84＋42＋ 4＝ 165 种放法 .18.(2019 ·开封模拟 ) 某班主任准备请 2019 届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选 4 人讲话，要求甲、乙两人起码一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不一样的讲话次序共有________种( 用数字作答 ).【答案】 1 080【分析】若甲、乙同时参加，有 2 2 12 2C 2C 6C 2A 2A 2＝120 种，若甲、乙有一人参加，有13 4种，进而总合的讲话次序有1 080 种.C 2C 6A 4＝96019.(2018 ·江西八所要点中学模拟 ) 摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位次序进行调整，要求此中恰有 2 人座位不调整，则不一样的调整方案的种数为________(用数字作答 ). 【答案】20【分析】从 5 人中任选31113 人有 C 5种，将 3 人地点所有进行调整，有 C 2·C 1·C 1种.3 1 1 1 种调整方案故有 N ＝ 5·C 2·C 1·C 1＝20 .C20. (2019 ·湖北黄冈模拟 ) 在高三某班进行的演讲竞赛中，共有 5 位选手参加，此中 3 位女生，2 位男生，假如 2 位男生不可以连续出场，且女生甲不可以排第一个，那么出场次序的排法种数为 ________．【答案】60【分析】位男生不可以连续出场的排法共有32种，女生甲排第一2 N 1＝ 3×A 4＝72A个且位男生不连续出场的排法共有2 2种，所以出场次序的排法种2 N 2＝ 2×A 3＝12A数为 N ＝ N 1－ N 2＝ 60.21.(2019 届山东青岛高三 9 月期初调研检测 ) 将 4 个大小同样、颜色互不同样的球所有放入编号为 1 和 2 的两个盒子里 , 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号 , 则不一样的放球方法有种.【答案】10【分析】依据放在“ 1”号盒子中的球的个数分类：（1）在“ 1”号中放 1 个，则在“ 2”号中放3 个，方法数为种；（2）在“ 1”号中放 2 个，则在“ 2”号中也放 2 个，方法数为种。

2020年浙江高三数学总复习：排列与组合复习讲义

第二节排列与组合_备考方向明确、--------------------------- f方向比券力更重要i ---------知识链条完善----------把散落的知识连起来-----------网络构建排列与组合1. 概念(公式)理解(1) 组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素顺序，组合不考虑元素顺序.⑵A：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.(3) 公式c m=A m体现了组合数与排列数的关系.Am(4) 当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证明时，常用公式A m = n!或c m= n!.(n —m ) m! (n —m )(5) 当m>2时，常利用组合数的性质将计算c m转化为计算c：』.2. 与排列(数)组合(数)有关的结论(1) 若c n=c n,贝S x=y 或x+y二n.(2) A m= n A：占A：二c：• A m.(3) c：+c：i + c： 2+…+ c m = c：?.(4) ( n+1)!=( n+1) • n!,(n+1)!-n!=n • n!.(5) k c n= n c n-r.1. 若A L=10A3,则n 等于(B )(A)1 (B)8 (C)9 (D)10解析:A2n=10A：,所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),所以n=8.2. 若c n=c4,则卫的值为(c )3!(n -3 )(A)1 (B)20 (C)35 (D)7解析:由c3 = c：,得n=7,可求出n!二7沃6®4!=^5=353!(n-3) 3!4! 3 X2 汉13. 有5张卡片分别写有数字123,4,5.(1) 从中任取4张,共有_______ 种不同取法；(2) 从中任取4张,排成一个四位数，共组成_______ 个不同的四位数.答案:(1)5 (2)1204. 大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_______ 种.(用数字作答)解析：先从3人中选择2人看成一个整体，有C2 =3(种)方法,再将这个整体和另1个人安排坐四部电梯，有A4=12(种)方法,则不同的乘坐方式有3X 12=36(种).答案:36-高频考点突破 --------- 在训练中掌握方辻------------ 考点一排列的应用问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1) 选5人排成一排；⑵排成前后两排，前排3人，后排4人；(3) 全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4) 全体排成一排，女生必须站在一起；(5) 全体排成一排，男生互不相邻.解:(1)从7人中选5人排列，有A7=7X6X 5X4X 3=2 520(种).(2) 法一分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A：种方法，共有A3• A：=5 040(种).法二（分排问题直排法）前排3人，后排4人，可视为7人排成一排, 其中前3人为前排，后4人为后排，排法有A；=5 040（种）.（3）法一（特殊元素优先法）先排甲,有5种方法,其余6人有A6种排列方法,共有5X A6 =3 600（种）.法二（特殊位置优先法）首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法,其他有A5种排法，共有A6A5=3 600（种）.（4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法,再将女生全排列,有A4种方法,共有A4• A4=576（种）.（5）（插空法）先排女生，有A4种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A3种方法，共有A4• A5=1 440（种）.圧8求解排列应用问题的主要方法1. 四位男演员与五位女演员(包含女演员甲)排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为(A )(A) A：A4-2A4A： (B) A：A6-A4A：(C) A5A 5 -2 A 4 A 4 (D) A5A；-A4A4解析：四位男演员互不相邻可用插入法，有种排法，其中女演员甲站在两端的方法有2A4A4,因此所求排法数为A5A；-2A：A4.故选A.2. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(B )(A)36 种(B)42 种(C)48 种(D)54 种解析:分两类,第一类:甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A4种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C3种排法,其他3个节目有A种排法,故有C l A3种排法.依分类加法计数原理，共有A4+C13A3=42种编排方案.考点二组合的应用问题【例2】有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.解：(1)先选后排.符合条件的课代表人员的选法有(C5C2+C4C1)种,排列方法有A5种,所以满足题意的选法有(c5c2 + c；c3) • A5=5 400(种).(2) 除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A：=840(种)选法.⑶先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有c4种选法，排列方法有C4A：种,所以选法共有C：C：A4=3 360(种).(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有c6种选法,该男生的安排方法有c3种,其余3人全排列,有A3种,因此满足题意的选法共有c3 c；A3=360(种).组合问题常见以下几个题型(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2) “至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.(3) 名额分配问题：将n个名额分给m个单位,每个单位至少有一个名额可以看作将n 个相同的小球放入m个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，其放法为将n个小球串成一串.从(n-1)个间隙里选(m-1)个插入隔板,有c防种放法,即名额分配问题隔板法.［甘迂務逊蜒1. (2018 •浙江杭州二中模拟)浙江省高考制度改革以来，学生可以从7门选考科目(物理、化学、生物、历史、地理、政治、技术)中任意选取3门作为自己的选考科目.目前报考C学校的A 专业需要选考物理、技术、化学，报考C学校的B专业需要选考技术、政治、历史，同时报考A,B专业只要考生的选考科目中有一门满足条件即可报考.甲同学想报考C学校的A和B专业，则甲同学选择选考科目的方法共有(C )(A)15 种(B)19 种(C)27 种(D)31 种解析：由已知可得，甲同学如果选了技术，那么他只要从剩下的6门科目中任意选2门即可，此时有C6=15(种)选法.若甲同学不选技术，那么他可以先从物理、化学中选择1门,再从政治、历史中选择1门,最后从剩下的2门中选择1门，此时有c12 c12 c12 =8(种)选法；或者同时选择物理和化学，再从政治和历史中选1门，此时有2种选法;或者同时选择政治和历史，再从物理和化学中选1门,也有2种选法.故甲同学选择选考科目的方法共有15+8+2+2=27种),故选C.2. 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” “立定跳远”“肺活量” “握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶” 项目,其余项目上、下午都各测试1人•则不同的安排方式有____________________________________种.(用数字作答)解析：(分类讨论思想)上午测试安排有A4种方式,下午测试分为:(1) 若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种安排方式;(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则该同学有c3种安排方式，其余三位同学选1人测试“握力”，有c；种安排方式,其余两人只有1种安排方式，则共有c3 • c3=9(种),因此安排方式共有A4 (2+9)=264(种).答案:264考点三分组、分配问题【例3】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1) 分成三份,1份1本,1份2本,1份3本；(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本；(3) 平均分成三份，每份2本；(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5) 分成三份,1份4本,另外两份每份1本；(6) 甲、乙、丙三人中，一人得4本,另外两人每人得1本；⑺甲得1本,乙得1本,丙得4本.解：(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有C6种选法；再从余下的5本中选2本,有C5种选法；最后余下3本全选,有C3种选法.故共有C；C2C3 =60(种).(2) 有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上,还应考虑再分配，共有C16C5 C A3=36O(种).(3) 无序均匀分组问题.2 2 2分配方式有^£*=15(种).A 3(4) 有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人，2 2 2共有分配方式C6C3C2• A3=C6C2C2 =90(种).A3(5) 无序部分均匀分组问题.共有竿21=15(种).(6) 有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人，4 11共有分配方式毕® • A3=90(种).A2⑺直接分配问题. 甲选1本,有C6种方法；乙从余下的5本中选1本,有c5种方法,余下4 本留给丙,有c4种方法,故共有分配方式c6 c15 c：=30（种）.©SQ觀（1）均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.（2）分配问题：先将元素分组，再将各组排列，或者逐一分配.1•将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（D ）（A）30 种（B）60 种（C）90 种（D）150 种解析:5名教师分成3组有2,2,1;3,1,1 两种情况，2 2第一种情况的分法有=15（种）,A2第二种情况的分法有c5 = 10（种）,所以5名教师分成3组的分法有15+10=25（种）,3个组分配到3个班的分法有A3=6（种）,由分步乘法计数原理知不同的分配方案有25X 6=150（种）.故选D.2.某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为（A ）(A)60 (B)40 (C)120 (D)240解析：由题意得,先将4名大学生平均分为两组，共有字=3(种)不同的分法,再将两组安排在其中的两个部门，共有3X A5=60(种)不同的安排方法.故选A.。

2020届高三一轮复习理科数学课件排列与组合

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个排列中的元素相同，则这两个排列为相同排列．( × ) 解析当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列． (2)若两个组合相同，则其中的元素完全相同且顺序相同．( × )
解析两个组合相同只需两个组合的元素完全相同即可，无需顺序相同．
(2)排列数从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Amn .
2．组合与组合数 (1)组合从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 CCmn 表示．
(2)Cmn ＝ CCnn－m
(3)Cmn ＋Cmn －1＝ CCmn＋1 n，m∈N*且 m≤n
【必记结论】
1．排列与组合的比较
名称
排列组合Biblioteka 相同点都是从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，元素无重复
排列与顺序有关
组合与顺序无关
不同点两个排列相同，当且仅当这两个排两个组合相同，当且仅当这两
6．(2018·全国Ⅰ卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 1616 种．(用数字填写答案)
解析本题主要考查组合问题．方法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4(种)选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝ 12(种)选法．故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16(种)．方法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C36＝20(种)选法，其中选出的 3 人都是男生的选法有 C34＝4(种)，∴至少有 1 位女生入选的选法有 20－ 4＝16(种)．

2020高考数学一轮复习第二讲排列与组合课件新人教版精品

●基础知识 1．排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A
(2009·全国Ⅰ，7)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A．150种 C．300种答案：D
B．180种 D．345种
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66
●易错知识一、排列和组合混淆 1．一段铁路上共有12个车站，需要为这些车站准备 132种不同的车票．这些车票中共有__________种不同的票价．答案：66 二、分类错误造成的混淆 2．在3000至8000中有__________个无重复数字的奇数．答案：1232
答案：24
【例3】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生 5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
[思路点拨] 从13人中选5人，与顺序无关是组合问题．
●回归教材 1．4·5·6·7·…·(n－1)·n等于
()
解析：由排列数公式知：4·5·6·…·(n－1)·n＝A，故选B.
答案：B
2．下列等式不正确的是
()
3．(教材改编题)从4名男生和3名女生中选出4人参加

2020版高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2排列与组合课件新人教A版

(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
知识梳理
-8-
知识梳理双基自测
12345
2.1名老师和5名同学站成一排照相,老师不站在两端的排法共有 ()
A.450种 B.460种 C.480种 D.500种
关闭
法一(元素分析法):先排老师,有A14种方法,再排学生,有A55种方法,共
有A14 ·A55=480(种)排法;
1234
4.常用结论
(1)①A�� =(n-m+1)A��-1;
②A��
=
�� -��
A��-1
;
③A�� =nA��--11. (2)①nA�� = A��++11 − A�� ;
知识梳理
-7-
知识梳理双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( )
(4)若组合式C�� = C�� ,则 x=m 成立. ( ) (5)A�� =n(n-1)(n-2)×…×(n-m) ( )
-13-
考点1
考点2
考点3
解：(1)(捆绑法)由于女生全排在一起,可把她们看成一个整体,
这样同 5 名男生合在一起有 6 个元素,排成一排有A66种排法,而其中每一种排法中,3 名女生之间又有A33种排法,因此共有A66 ·A33=4 320(种)不同排法.

高考数学一轮总复习专题11 计数原理 11.1 排列、组合

n!
A
m n
=③
(n m)!
.规定0!=1.
4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合
的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用④ Cmn 表示.
.
解析解法一: ∵a<b<c,2≤c-b≤6,∴c≥4. 当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为 C22 =1; 当c=5时,a,b∈{1,2,3},则集合A的个数为 C32 =3; 当c=6时,a,b∈{1,2,3,4},则集合A的个数为 C24 =6; 当c=7时,a,b∈{1,2,3,4,5},则集合A的个数为 C52 =10; 当c=8时,a,b∈{1,2,3,4,5,6},则集合A的个数为 C62 =15; 当c=9时,a,b∈{1,2,3,4,5,6,7},且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为 C72 1=20. 故总共有1+3+6+10+15+20=55. 解法二:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的数组成集合A,共有 C39 =84个.
考向三排列组合综合问题
例3 (2018浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老
师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的
班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的
班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班
主任,则共有
高考数学（浙江专用）
11.1 排列、组合
考点清单
考点排列、组合

2020年浙江高三数学总复习：排列与组合课时训练

第二节排列与组合课时训练【选题明细表】一、选择题1.若二，则x为(C )(A)3 (B)5(C)3或5 (D)以上都不对解析：答案为3或5,故选C.2.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本,共有不同分法(A )(A)种(B)'种(C)种(D) ' •'种解析:9个人中有6人被分到数学书，有3人被分到语文书，因为6本数学书相同且3本语文书相同故与顺序无关，只需从9人中选出3人严H J T-3给语文书剩下的6人均给数学书即可，即不同的分法共有二种.故选A.3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(C )(A) ' (C) (B) (D)解析：首先从后排的7人中抽2人，有种方法;再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有'种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是.故选C.4. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(C )3(A)3 X 3! (B)3 X (3!)(C)(3!) 4(D)9!解析：分成四个步骤完成，第1步三家全排列为'=3!,第2,3,4步对每家成员排序都是'=3!,根据分步乘法计数原理总数m=(3!) 4.故选C. 5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(B )(A)60 (B)48 (C)42 (D)36解析:用排除法,先不考虑甲不站两端.先排男生有'种,再把女生分两部分，然后在3个空中插空排列，共有居.屈.屈种然后排除甲站两端的/ ,共有排法种数-2 . = ( -2 )=6 X (12-4)=48.故选B.6. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（C ）（A）18 种（B）24 种（C）36 种（D）72 种解析：一个路口有3人的分配方法有（种）；两个路口各有2人的分配方法有’’（种）.所以由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为c詁加+空匚加=36（种）.7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张. 从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张,不同取法的种数为（C ）（A）232 （B）252 （C）472 （D）484解析:有一张红色的取法有••种;无红色的取法种数有-•,所以总的不同取法有•+ - =472（种）,故选C.8. 有大小形状完全相同的4个黑球,2个白球,放入如图所示的九个格子中，每个格子至多放入1个小球,相邻格子（即有公共边的两个正方形）中放入的小球不同色，则不同的放法共有（C ）（A）32 种（B）40 种（C）48 种（D）56 种解析:第一类，当4个黑球在4个顶角的位置时，白球放在除最中间后剩下4个格中任选两个，故有=6（种），如图.□回□□□0□0第二类，当有一个黑球在最中间时，其他三个黑球只能放在顶角位置，有=4（种）,当其中一个白球在顶角时，另一个白球只有2种放法,当白球不在顶角时，白球放在除顶角后剩下4个格中任选两个有=6种,故有4X （2+6）=32（种），如图.0□0□□0□0第三类，当4个黑球放在每外围三个格的中间时，白球从剩下5个格中任选两个有=10（种）,如图.□S□L□□0□根据分类加法计数原理，故有6+32+10=48（种）.故选C.二、填空题9.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________ 种,没有空盒的放法共有___________ 种.（用数字作答）2,1,1的3组，有 ''种.最后将3组球放入4个盒中的3个,分配方解析：把4个小球分成3组,每组至少1个,即分成小球个数分别为法有’种,因此,放法共有二X ' =144种.将4个不同的小球放入四个盒子中，没有空盒的放法共有=24种.答案：144 2410. （2018 •全国I卷）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 _______ 种.（用数字填写答案）解析:法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种，故共有+ =2X 6+4=16（种）.法二从2位女生,4位男生中选3人，共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16（种）.答案:1611. ______________________________________ 张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为______________________________________ .（用数字作答）解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有种排法；第三步:将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有2X 2X =24（种）.答案:2412. （2018 •嘉兴一中模拟）电影院一排有10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有__________ 种.解析：除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位,共可形成6个空，三人从6个空中选3个位置坐上去有种坐法,因为甲坐在中间，所以乙丙有'种坐法，所以他们每人左、右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有• ’ =40（种）.答案:4013. 某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________ 种不同的抽调方法.解析：（分类法）：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车. 可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆,有种;一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆，有种；一类是从3个车队中各抽调1辆,有种.故共有+ + =84（种）抽调方法.答案:8414. （2018 •浙江卷）从1,3,5,7,9 中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 ________ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）解析:不含有0的四位数有x X ■ =720（个）.含有0的四位数有xxx' =540（个）.综上，四位数的个数为720+540=1 260.答案:1 26015. 将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数解析：先将5人分成三组（1,1,3或2,2,1两种形式）,再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空厂1厂1厂3厂2厂"2广1档中即可，故安排方式共有（八+「）•’.=900（种）.答案:900 三、解答题16. （1）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？⑵已知集合A二{5},B={1,2},C={1,3,4}, 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解:（1）法一每个学校至少一个名额，则分去7个,剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类:若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有X 2=42（种）;若分配到3所学校有=35（种）.所以共有7+42+35=84（种）方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有=84（种）不同方法.所以名额分配的方法共有84种.⑵①从集合B中取元素2时，确定=18（个）点.②当从集合B中取元素1,且从C中取元素1,则确定的不同点有X 1=3（个）.③当从B中取元素1,且从C中取出元素3或4,则确定的不同点有= 12（个）.所以由分类加法计数原理，共确定」+ + =33（个）不同点.17. 某市工商局对35件商品进行抽样检查，已知其中有15件假货.现从35件商品中选取3件.（1）其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34件商品中，选取2件有=561（种）, 所以某一件假货必须在内的不同取法有561种.⑵从34件可选商品中，选取3件,有=5 984（种），或者-=5 984（种）.所以某一件假货不能在内的不同取法有 5 984种.⑶从20件真货中选取1件,从15件假货中选取2件有-=2 100（种）,所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种.（4）选取2件假货有••，选取3件假货有种,所以共有选取方式=2 555（种）,至少有2件假货在内的不同取法有2 555种.（5）法一（直接法）有2件假货在内，不同的取法有••种,有1件假货在内，不同的取法有••种；没有假货在内有•种,因此共有选取方式+ + =6 090（种）.法二（间接法）选取3件的总数有，因此共有选取方式-= 6 545-455=6 090（种）.。