2017年温州市摇篮杯数学竞赛高一数学试卷

浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2017.4

本试题卷分填空题和解答题两部分。全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟

第1卷 填空题（共80分）

一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）

1.设集合{|25},{|18}A x x a B x x =≤≤+=≤≤，满足A B ⊆，则实数a 的取值范围是___________.

2.设点O 是ABC ∆的外心，13,12,AB AC ==则BC AO ⋅为______________。

3.函数212

()log (23)f x x x =-+的值域为_________________。

4.已知函数()sin cos()f x x x t =++为偶函数，且t 满足不等式2

340t t --<，则t 的值是________

5.已知函数()f x 满足(1)(5)f x f x -=+,且方程()0f x =有5个不同的实根 12345,,,,x x x x x ,则12345x x x x x ++++=______________。

6.已知当6x π

=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图像的对称轴为_____________。

7. 00+的值等于___________。

8.设[]x 表示不超过x 的最大整数，r 为实数，且

17181997[][][][]3571000100010001000

r r r r +

+++++⋅⋅⋅++=.则[1000]r =_______。 9.已知平面向量,,a b c ，满足23||||4,2a b a b ==⋅=，且()()0c a c b -⋅-=，则1||2c b -的最小值为_____________。

10.设函数2

()26f x x ax a =-++的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个整数，则实数a 的取值范围_____。

第2卷（解答题，共120分）

二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分）

11.已知实数t 满足关系式33log log (0,1)a

t t y a a a a =>≠ （1）令x t a =，求()y f x =得表达式；

（2）在（1）的条件下，若(0,2)x ∈时，min 8y =，求a 和x 的值。

12.已知0ϕπ≤<，函数2()cos(2)sin 2f x x x ϕ=++的最大值是32

。

（1）求ϕ得值及函数()f x 的单调减区间；

（2）若()21f x m <+在3[,]812

x ππ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围。 13.定义在实数集R 上的函数()f x 满足：(1)(9)(9)f x f x f x +=-=+，且(0)0,(1)1f f ==。

（1）求(2)f ；

（2）若方程()0f x =在区间[2020,2020]-上有m 个根，求m 得最小值。

14.已知非零向量,a b ，||3,||4a b ==。

（1）若a b ⊥，且e 为单位向量，求||||y a e b e =⋅+⋅的最大值；

（2）若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤，求a b ⋅的取值范围。

15.已知函数2

()9(6)()f x x a x a b =++++，记[4,2](,)max |()|x M a b f x ∈--=。 （1）求(,)M a b 的最小值，并求实数,a b 的值；

（2）在（1）的条件下，请问函数

[2y =++在[4,2]x ∈--上是否都有定义，

并求出它在有定义部分的值域。