数学———容斥原理

数学———容斥原理

（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B

类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C

总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22

B.18

C.28

D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显

然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。答案为A。【例题2】电视台向100人调查前

一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。

【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分

【例题4】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人?() A.

13 B. 10 C. 8 D. 5【解析】:这是一道容斥原理问题。设既没有高级职称又没有硕士以上学历的人员有x人，根据容斥原理基本公式得:45+30-12 = 68-X，解得：x=5。故选D。

【例题5】大学四年级某班共有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学为多少?() A. 3 B. 7 C. 10 D. 17【解析】:如图所示，设既是奥运志愿者

又是全运志愿者的人数为:x，根据容斥原理得

(10-x)+x+(17-x) +30 = 50，解得:x=7，17-7 = 10 人。故选C。【例题6】某班56名同学参加了奥数或作文课外兴趣小组的活动，其中参加奥数的有32人，参加作文的有35人，问两种活动都参加的有多少人?( ) A. 3 B. 11 C. 21 D. 24

解析：由题可知，两种活动都参加的有32+35-56 = 11人。故选B

【例题7】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人 A.57 B.73 C.130 D.69【解析】：设A=会骑自行车的人(68)，B=会游泳的人(62)显然，

A+B=68+62=130;A∪B=85-12=73，则根据公式A∩B=A+B-A ∪B=130-73=57所以，答案为A。

【例题8】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【解析】：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪

C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

【例题9】某高校对一些学生进行问卷，在接收调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人，问接受调查的学生共有多少人？（）A.120 B.144 C.177

D.192

【解析】：根据题目所给的条件令注会为A，六级为B，计算机为C，设学生总数为x,代入上面公式为：x-15= 63+89+47- A∩B - B∩C - C∩A+24,如图所示A∩B=a+24,B∩C=c+24,C ∩A=b+24, A∩B + B∩C+ C∩A=a+b+c+72,这a+b+c是参加两种考试的人，也就是46，代入公式得x=120.【例题10】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：【解析】：由题意知：（40-x）+x+（36-x）+6+12+4+16=100，解得x=14；则只喜欢看电影的人有36-x=22. A.22人 B.28人C.30人 D.36人【例题11】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4