第四章-曲线坐标系下张量分析
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④逆变基矢量的导数
⑤与度量张量分量导数之间的关系 (a) (b) (c)
(b)+(c)-(a) 例题:求对曲线坐标的导数
Hamilton 算子 定义 梯度
它的涵义是: 散度 旋度 Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子,计算结果与坐标系的无 关: 例如: 设张量 ,则有:
其中: 张量分量的协变导数。
所以
体积分与面积分之间转换定理
从以上分析中不难看出:
因此,对于六面微元体:
两个微元体拼接在一起时,上式对每一个微元体都成立,因此: 然而,由于公共界面处的面积微元大小相等方向相反,等式左端与相 等。其中为合成后的微元体的外表面。 任意形状的空间区域,都可以看作是六面微元体的组合。因而: 同理可以证明: 其中 算子可以是点积‘’,叉积‘’和并乘‘’ 。() 这两个等式把张量的面积分转化为张量的体积分,是张量形式的Green 公式。
第四章:曲线坐标系张量分析
张量场函数: 笛卡尔坐标系下 坐标线:只变化一个曲线坐标时,矢径的轨迹。 直线坐标系下,坐标线都是直线。 当,,,坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系 协变基: 所以: 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示: 其中称为第二类Christoffel符号,称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上:
1 将协变指标i替换为哑指标m 2 与相乘(s为求导坐标标号) 普通偏导数 3 将逆变指标i替换为哑指标m 4 与相乘(s为求导坐标标号)
由于:
可见张量分量的协变导数是张量。 1. 度量张量的协变导数为零 2. 置换张量的协变导数为零
3. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换: 求导 缩并 缩并 i,k指标:
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
() 2 关于后两个指标反对称
() 3 前两个指标可以和后两个指标互换
() 三维空间中,只有6个独立分量: 二维空间中,只有是独立分量
积分定理
预备定理: 互换i,k哑指标
注:
在一个曲面上,定义为矢量面积微元,其中为面积微元中心点处曲面外 法线方向矢量(单位向量) 取一个六面体,如图所示。 六面体左侧的面积矢量 六面体底面的面积矢量 六面体前面的面积矢量 左侧的面积矢量与右侧的面积矢量方向不同;右侧的面积矢量可以看作 是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到。 所以: 类似地有:
1 指标对称性 第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量(第二个协 变指标)对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。 由此可见,Christoffel符号相对它的两个协变指标是对称的。 ②不是张量 在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符 号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。 ③与第一类Christoffel符号之间的联系 由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量 张量进行升降。
先缩并后求导(自由指标减少2个)
4. 设 则有: 因此:
Riemann-Christoffel 张量
(二阶张量) 互换k,j指标,可得: 可以证明:
(后两个指标为求导指标;前两个指标为分量指标)
是张量,称为藜曼曲率张量(Riemann-Christoffel)(构成法:将 Christoffel 符号的m指标看作张量指标求协变导数,将Christoffel 符号的 m指标看作张量指标求协变导数,两者相减)
线积分与面积分之间转换定理
对开口曲面S1取一平面面积微元,则沿面元边Fra Baidu bibliotek的积分 所以
然而 所以,对平面微元: 由于两个平面微元拼装在一起后,上式对拼装后的曲面微元依然成立; 而任意曲面可以看作是平面微元的组合,所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例:在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零,因此,欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零,矢量(张量)的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间,如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零,则这张 曲面就可以展开成平面(曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度)。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数,可以证明: ①关于前两个指标反对称
⑤与度量张量分量导数之间的关系 (a) (b) (c)
(b)+(c)-(a) 例题:求对曲线坐标的导数
Hamilton 算子 定义 梯度
它的涵义是: 散度 旋度 Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子,计算结果与坐标系的无 关: 例如: 设张量 ,则有:
其中: 张量分量的协变导数。
所以
体积分与面积分之间转换定理
从以上分析中不难看出:
因此,对于六面微元体:
两个微元体拼接在一起时,上式对每一个微元体都成立,因此: 然而,由于公共界面处的面积微元大小相等方向相反,等式左端与相 等。其中为合成后的微元体的外表面。 任意形状的空间区域,都可以看作是六面微元体的组合。因而: 同理可以证明: 其中 算子可以是点积‘’,叉积‘’和并乘‘’ 。() 这两个等式把张量的面积分转化为张量的体积分,是张量形式的Green 公式。
第四章:曲线坐标系张量分析
张量场函数: 笛卡尔坐标系下 坐标线:只变化一个曲线坐标时,矢径的轨迹。 直线坐标系下,坐标线都是直线。 当,,,坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系 协变基: 所以: 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示: 其中称为第二类Christoffel符号,称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上:
1 将协变指标i替换为哑指标m 2 与相乘(s为求导坐标标号) 普通偏导数 3 将逆变指标i替换为哑指标m 4 与相乘(s为求导坐标标号)
由于:
可见张量分量的协变导数是张量。 1. 度量张量的协变导数为零 2. 置换张量的协变导数为零
3. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换: 求导 缩并 缩并 i,k指标:
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
() 2 关于后两个指标反对称
() 3 前两个指标可以和后两个指标互换
() 三维空间中,只有6个独立分量: 二维空间中,只有是独立分量
积分定理
预备定理: 互换i,k哑指标
注:
在一个曲面上,定义为矢量面积微元,其中为面积微元中心点处曲面外 法线方向矢量(单位向量) 取一个六面体,如图所示。 六面体左侧的面积矢量 六面体底面的面积矢量 六面体前面的面积矢量 左侧的面积矢量与右侧的面积矢量方向不同;右侧的面积矢量可以看作 是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到。 所以: 类似地有:
1 指标对称性 第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量(第二个协 变指标)对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。 由此可见,Christoffel符号相对它的两个协变指标是对称的。 ②不是张量 在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符 号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。 ③与第一类Christoffel符号之间的联系 由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量 张量进行升降。
先缩并后求导(自由指标减少2个)
4. 设 则有: 因此:
Riemann-Christoffel 张量
(二阶张量) 互换k,j指标,可得: 可以证明:
(后两个指标为求导指标;前两个指标为分量指标)
是张量,称为藜曼曲率张量(Riemann-Christoffel)(构成法:将 Christoffel 符号的m指标看作张量指标求协变导数,将Christoffel 符号的 m指标看作张量指标求协变导数,两者相减)
线积分与面积分之间转换定理
对开口曲面S1取一平面面积微元,则沿面元边Fra Baidu bibliotek的积分 所以
然而 所以,对平面微元: 由于两个平面微元拼装在一起后,上式对拼装后的曲面微元依然成立; 而任意曲面可以看作是平面微元的组合,所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例:在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零,因此,欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零,矢量(张量)的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间,如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零,则这张 曲面就可以展开成平面(曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度)。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数,可以证明: ①关于前两个指标反对称