专题训练(七) 四种特殊的等腰三角形的运用

专题训练(七) 四种特殊的等腰三角形的运用

►类型一等腰直角三角形

定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．

性质：(1)两条直角边相等；(2)顶角是90°，底角是45°.

判定：利用定义．

1．如图7－ZT－1，轮船从B处以每小时50 n mile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________n mile.

图7－ZT－1

2．如图7－ZT－2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.

图7－ZT－2

3．如图7－ZT－3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE 的平分线交AD于点F，判断△DBF的形状，并证明你的结论．

图7－ZT－3

4．如图7－ZT－4，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块含45°角的三角尺ADE按如图所示方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

图7－ZT－4

►类型二等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．

性质：(1)三边都相等；(2)三个角都是60°.

判定：(1)定义；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

5．如图7－ZT－5所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

图7－ZT－5

6.如图7－ZT－6，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC ＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.

图7－ZT－6

7．如图7－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°，EF交等边三角形的外角∠ACD的平分线于点F.

求证：AE＝EF.

图7－ZT－7

►类型三有一个角是30°的等腰三角形

8．2019·荆州如图7－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l 交AC于点D，则∠CBD的度数为( )

A．30°B．45°C．50°D．75°

图7－ZT－8

9．如图7－ZT－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________．

图7－ZT－9

10．如图7－ZT－10，在△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC的边BC上一点，DC＝2DB，∠ADC＝60°，CE⊥AD，垂足为E，连接BE.求证：EA＝EB＝EC.

图7－ZT－10

►类型四有一角是36°的等腰三角形

有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：(1)顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；(2)底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108°.这两类等腰三角形具有一些共性．

11．如图7－ZT－11，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为( )

A．30°B．36°

C．38°D．45°

图7－ZT－11

12．2019·益阳 如图7－ZT －12，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为________．

图7－ZT －12

13．如图7－ZT －13所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且AB ＝BD ，AD ＝DC ，则∠BAC＝________度．

图7－ZT －13

14．如图7－ZT －14，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)

(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；

(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

(3)继续按以上操作发现：在图③中画n 条线段，则图中有________个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．

图7－ZT －14

详解详析

1．[答案] 25

[解析] 由题意知∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，于是∠A ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三

角形，∴AC ＝BC ＝50×12

＝25(n mile)． 2．证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，

∴AD ＝AE ，AB ＝AC .

又∵∠DAB ＝90°＋∠CAD ，∠EAC ＝90°＋∠CAD ，

∴∠DAB ＝∠EAC .

在△ADB 和△AEC 中，

AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AC ，

∴△ADB ≌△AEC (SAS)，∴BD ＝CE .

3．解：△DBF 是等腰直角三角形．