材料力学课件：能量法(一)
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14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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18
Ve
W
n i 1
1 2
Fi Di
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
20
组合变形
M
据Clapeyron原理，
微段dx上
dVe
dW
1 2
FNd (Dl )
1 Mdq
2
1 Tdj
2
FN2dx M 2dx T 2dx
dx
2EA 2EI 2GIP
整个杆件的应变能为
Ve
FN2
(
x
)
dx
l 2EA
M2 (x)
dx l 2EI
T2 (x)
dx l 2GIP
T
FN
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9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学课件：能量法(一) (2)
公式中k为广义力Fk的相应广义位移
公式中的广义力Fk为相互独立的变量
14
能量法(一）
卡氏第二定理要早于克罗第—恩格塞定理
卡氏第二定理的证明：
Fk
F1 F2 Fk Fn A
1、 各Fi作用下梁的总外力功 B 2、给Fk一微增量Fk后的外力功增量
1 2 k
n
3、改变加载次序(先加Fk，后)
加Fi)的总外力功
bh5/ 2
l h/2
Vc V vcdV 2 0 0 vcbdydx
Vc F
25 F 2l 4 2c 2b 2 h 5
19
能量法(一）
➢
卡氏定理的应用：
k
V FkBiblioteka 例1：求A端的挠度P
A l
x
l M 2(x)
V 0
dx 2 EI
M(x) Px
Pl3 f A 3EI
20
能量法(一）
例2：求A端的转角
P
A l
P
M
x
k
V Fk
l M 2(x)
V 0
dx 2 EI
M(x) Px M
A
V M
M 0
附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零
21
能量法(一）
例3：EI为常数，求fA，A
k
V Fk
fA
V P
A
V ( Pa )
Pa
B
aC a
A
V
1( 2EI
a 0
和均取绝对值。求A端的挠度。
k
Vc Fk
F
A l
弹性体余能：Vc V vcdV
不考虑剪力的影响：微体处于单向
材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等 的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
材料力学课件：12 第十二章 能量法(一)
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
7
第十二章 能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
8
第十二章 能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
4
第十二章 能量法(一）
§12-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
V
M2( x )y2
2EI
2 z
dxdydz
1 2
M 2(x ) dx
l EIz
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x)dx
l 2EI y
M
2 z
(x)dx
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
18
第十二章 能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
第十二章 能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN2 F tan（压）
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学--能量法
1、求内力
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
材料力学_能量法_课件
拉压杆
E
u
1 0
1 2 d E1 2 2E
2 1
扭转杆
G
u
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积
为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的
应变能。
l
2
2
（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
1 M l l M ( x )dx U m 0 2 2EI 2EI
（4）组合变形的变形能
N ( x )dx T ( x )dx M ( x )dx U l l l 2 EA 2GI p 2 EI
2 2 2
2
2
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
1 1
d
3
1 P1d 1 4
二. 余能 1、非线性弹性 材料（拉杆）
P
P1
1
O
P
1
O
ε1
ε
P
P1
dP
P
P1
O
1
Δ1 Δ dP + 0 PdΔ 0
=矩形面积
余功公式
P1 W C 0 Δ dP
P
P1
dP
P
O
1
余能公式
UC W C 0 Δ dP
P1
UC V ucdV
§3.1
概述
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。 对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于
积蓄在物体内的应变能。
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
材料力学第十三章 能量法
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.
材料力学课件10_能量法_浙江大学
F
B
A
F D
C
例10-6. 试分析下列结构的位移
A
B
F
AB
B
V F
F A
F B
AB
V F
或 V ？ (2F )
F1 A
B
F2
AB
V F1
或 V F2
或？
q
AB
q
x
A w
B
y
解：线弹性、小变形条件下，弯矩 M 1 qLx 1 qx2
应变能
V
M 2 dx q2 L5
L 2EI
240EI
2
2
挠度 w q (L3 x 2Lx3 x4 )
24EI
外力功 W qdx w q2 L5
L
2 240EI
V W
思考：若计算梁弯曲的剪切应变能，功能相等 关系是否仍成立。
2 2
1
引起杆伸缩
2
L1 0，L2
2 2
2
L1 1 ，L2
2 2
(1
2
)
应变能 V
EAL2i 2Li
EA 2L
21
2
1 2
(1
2
)2
卡氏第一定理
0
V 1
EA 2L
21
2 2
1
2 2
2
F
V 2
EA 2L
2 2 1
2 2
2
解得
1
FL， EA
2
(1 2
2) FL EA
（2）余能定理与卡氏第二定理
V
L
M
2
dx
0 2EI
挠度
wB
V F
材料力学能量法最经典解析PPT课件
能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F2
F3
采用比例加载
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
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13
能量法(一）
三、应变能的一般表达式 1.单位体积内应变能－应变能密度
单向拉压应变能密度
dVε
dxdz dy
2
2
dxdydz
vε
dV dV
2
2
2E
•纯剪应变能密度
2
v
2
2G
14
能量法(一）
•一般情况下应变能密度
➢ 对于主应力微体：
v
1 2
11
22
33
➢ 对于非主应力微体：
本定理也适用于非比例加载。
但只适用于线弹性体
i i F1 , F2，L, Fn
12
能量法(一）
注意：
线弹性体上作用有多个广义力时：
广义位移可以用叠加法求解
外力功一般不可以用叠加法求解
特殊情况：
T
T
F
F
一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移
1 2
F2 2
W
N i 1
1 2
Fi
i
i i (F1 , F2 Fn )
10
能量法(一）
加载过程中各载荷不保持比例关系：
F
F
A
1B
2C
D
最终状态相同
1
2
考虑比例卸载过程
f1
f2
A
B
C
D
1
2
f1 c f2
1 a1 f1 a2 f2
( a1
a2 c
)
f1
1f1 同理： 2f2
W
v
1 2
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
15
能量法(一）
2. 基本变形的应变能
•单向拉压 应变能密度
2
vε 2E
FN(x)
dx
拉压杆应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
(x)= FN ( x ) ,
A
dydz A
Vε
1 2
FN2 (x) dx l EA
对于桁架
Vε
1 2
n i 1
FN2i li Ei Ai
16
能量法(一）
• 扭转 应变能密度
2
v 2G
T(x)
d dx
圆轴扭转应变能
2
V v dxdydz 2G dxdydz
(x)= T ( x )
Ip
T 2( x ) 2
1 T 2 (x )
V
2GI
2 p
dxdydz 2 l GI p
A
B
D
1
1
F
A
2C
D
22
W
？ 1
2
F111
1 2
F2 22
9
能量法(一）
加载过程中各载荷保持比例关系：
f1
f2
A
B
C
D
f1 c f2
1
2
1 a1 f1 a2 f2
F
F
A
1B
2C
D
1
2
( a1
a2 c
)
f1
1f1
同理： 2f2
第一个载荷所做之功：
W1
1 2
F11
第二个载荷所做之功：
W2
7
能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
8
能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
F
A
1B
D
W
1 2
F11
1
F
F
A
1B
2C
D
1
2
F1
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
4
能量法(一）
§13-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
W F cos
3. 组合变形的应变能
d M(x)
dx
dVε
M 2 (x )dx 2EI z
N i 1
1 2
Fi
i
11
二、克拉比隆定理(总结)
能量法(一）
Fi－广义载荷
i－相应广义位移
线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠 加原理，各广义力与相应广义位移成正比。
外力功： W n Fi i i1 2
克拉比隆定理是否说明可由 叠加法计算多个力的功？
由于外力功与加载次序无关， 不能，因为
f , f k
W
k d
F
k2
0
22
k：弹簧常数
F
为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？
非线性弹簧
dW f d , W 0 f d
f
5
能量法(一）
一般弹性体
载荷 f : 0 F
相应位移 : 0
W fd 0
线性弹性体
f k F k
W
k d
1 k2
1 F
0
能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN 2 F tan（压）
方法一
l1
FN 1l1 EA
, l2
FN 2l EA
l1
sin
l2
tan
Fl
EAsin2
cos2
1
cos
1
2 A l
A F
方法二
V
FN
2 1
l1
2EA
FN
2 2
l
2EA
F 2l
2EAsin2
dW
T(x )d
2 T 2 (x )dx
dVε 2GI p
M(x )d
•纯弯曲 d
dVε dW
Mdx EI
dVε
2 M 2 (x )dx
2EI z
FN(x)
dx
d
T(x)
d dx
d M(x)
dx
19
能量法(一）
FN(x)
dx
d
T(x)
d dx
dVε
FN2 (x )dx 2EA
dVε
T 2 (x )dx 2GI p
2
2
d
f
F
df
对比：弹性体与弹簧 思考：常数k怎样确定？
6
能量法(一）
广义力与广义位移
相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量。
外力功： 载荷在相应位移上 所作之功。
广义力： 力，力偶，一对大 小相等、方向相反的力或转向 相反的力偶等。
F A A F A A
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
dx
非圆截面轴扭转应变能
1 T 2 (x)
Vε
2
l
GIt
dx
17
能量法(一）
• 纯弯曲 应变能密度
2
vε 2E
弯曲梁应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
d M(x)
dx
(x)= M( x )y
Iz
V
M2( x )y2
1 M 2(x )
2
EI
2 z
dxdydz 2 l EIz
dx
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x
)dx
l 2EI y
M
2 z
(x
)d x
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
18
能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
d FN dx
EA
dVε
FN2 (x )dx 2EA
•扭转 d
dVε Tdx GI p
cos
2
1
cos
W F 2
Fl
EAsin2
cos2
1
cos
1
能量法(一）
C
A B
F
问题： 求节点A的位移，哪种方法优越？ 为什么关注各点位移的求解？
不同力学体系的特点、发展与联系
2
能量法(一）
第 13 章 能量法（一）
§13-1 外力功与应变能的一般表达式 §13-2 互等定理
3
能量法(一）
能量法(一）
三、应变能的一般表达式 1.单位体积内应变能－应变能密度
单向拉压应变能密度
dVε
dxdz dy
2
2
dxdydz
vε
dV dV
2
2
2E
•纯剪应变能密度
2
v
2
2G
14
能量法(一）
•一般情况下应变能密度
➢ 对于主应力微体：
v
1 2
11
22
33
➢ 对于非主应力微体：
本定理也适用于非比例加载。
但只适用于线弹性体
i i F1 , F2，L, Fn
12
能量法(一）
注意：
线弹性体上作用有多个广义力时：
广义位移可以用叠加法求解
外力功一般不可以用叠加法求解
特殊情况：
T
T
F
F
一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移
1 2
F2 2
W
N i 1
1 2
Fi
i
i i (F1 , F2 Fn )
10
能量法(一）
加载过程中各载荷不保持比例关系：
F
F
A
1B
2C
D
最终状态相同
1
2
考虑比例卸载过程
f1
f2
A
B
C
D
1
2
f1 c f2
1 a1 f1 a2 f2
( a1
a2 c
)
f1
1f1 同理： 2f2
W
v
1 2
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
15
能量法(一）
2. 基本变形的应变能
•单向拉压 应变能密度
2
vε 2E
FN(x)
dx
拉压杆应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
(x)= FN ( x ) ,
A
dydz A
Vε
1 2
FN2 (x) dx l EA
对于桁架
Vε
1 2
n i 1
FN2i li Ei Ai
16
能量法(一）
• 扭转 应变能密度
2
v 2G
T(x)
d dx
圆轴扭转应变能
2
V v dxdydz 2G dxdydz
(x)= T ( x )
Ip
T 2( x ) 2
1 T 2 (x )
V
2GI
2 p
dxdydz 2 l GI p
A
B
D
1
1
F
A
2C
D
22
W
？ 1
2
F111
1 2
F2 22
9
能量法(一）
加载过程中各载荷保持比例关系：
f1
f2
A
B
C
D
f1 c f2
1
2
1 a1 f1 a2 f2
F
F
A
1B
2C
D
1
2
( a1
a2 c
)
f1
1f1
同理： 2f2
第一个载荷所做之功：
W1
1 2
F11
第二个载荷所做之功：
W2
7
能量法(一）
例：试确定图a均布载荷q 对应的广义位移，图b铰链两侧
横截面相对转角 对应的广义力。
q
F
A
B
l
A
B
C
(a)
(b)
l
相应广义位移：面积
MM
对应广义力：一对力偶 M
8
能量法(一）
➢ 克拉比隆定理：(线弹性体上作用有多个广义力的情况)
F
A
1B
D
W
1 2
F11
1
F
F
A
1B
2C
D
1
2
F1
引言
弹性体的能量原理
在外载荷作用下， 构件发生变形
载荷在相应位移上做功 构件因变形储存了能量
F
F
能量守恒
从零开始， 缓慢加载
忽略动能与 热能的损失
V W
能量原理：是固体力学的重要原理
4
能量法(一）
§13-1 外力功与应变能的一般表达式
一、计算外力功的基本公式
刚体 线性弹簧
W F
W F cos
3. 组合变形的应变能
d M(x)
dx
dVε
M 2 (x )dx 2EI z
N i 1
1 2
Fi
i
11
二、克拉比隆定理(总结)
能量法(一）
Fi－广义载荷
i－相应广义位移
线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠 加原理，各广义力与相应广义位移成正比。
外力功： W n Fi i i1 2
克拉比隆定理是否说明可由 叠加法计算多个力的功？
由于外力功与加载次序无关， 不能，因为
f , f k
W
k d
F
k2
0
22
k：弹簧常数
F
为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？
非线性弹簧
dW f d , W 0 f d
f
5
能量法(一）
一般弹性体
载荷 f : 0 F
相应位移 : 0
W fd 0
线性弹性体
f k F k
W
k d
1 k2
1 F
0
能量法(一）
求节点A的铅垂位移 的两条研究途径
FN1 F sin（拉）, FN 2 F tan（压）
方法一
l1
FN 1l1 EA
, l2
FN 2l EA
l1
sin
l2
tan
Fl
EAsin2
cos2
1
cos
1
2 A l
A F
方法二
V
FN
2 1
l1
2EA
FN
2 2
l
2EA
F 2l
2EAsin2
dW
T(x )d
2 T 2 (x )dx
dVε 2GI p
M(x )d
•纯弯曲 d
dVε dW
Mdx EI
dVε
2 M 2 (x )dx
2EI z
FN(x)
dx
d
T(x)
d dx
d M(x)
dx
19
能量法(一）
FN(x)
dx
d
T(x)
d dx
dVε
FN2 (x )dx 2EA
dVε
T 2 (x )dx 2GI p
2
2
d
f
F
df
对比：弹性体与弹簧 思考：常数k怎样确定？
6
能量法(一）
广义力与广义位移
相应位移：载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量。
外力功： 载荷在相应位移上 所作之功。
广义力： 力，力偶，一对大 小相等、方向相反的力或转向 相反的力偶等。
F A A F A A
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
dx
非圆截面轴扭转应变能
1 T 2 (x)
Vε
2
l
GIt
dx
17
能量法(一）
• 纯弯曲 应变能密度
2
vε 2E
弯曲梁应变能
2
V v dxdydz 2E dxdydz
d M(x)
dx
(x)= M( x )y
Iz
V
M2( x )y2
1 M 2(x )
2
EI
2 z
dxdydz 2 l EIz
dx
非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能
Vε =
M
2 y
(x
)dx
l 2EI y
M
2 z
(x
)d x
l 2EIz
注：忽略了弯曲剪力的应变能
l
C
z
F y
18
能量法(一）
利用功能原理计算应变能
•单向拉压
dVε
dW
FN (x)dδ 2
d FN dx
EA
dVε
FN2 (x )dx 2EA
•扭转 d
dVε Tdx GI p
cos
2
1
cos
W F 2
Fl
EAsin2
cos2
1
cos
1
能量法(一）
C
A B
F
问题： 求节点A的位移，哪种方法优越？ 为什么关注各点位移的求解？
不同力学体系的特点、发展与联系
2
能量法(一）
第 13 章 能量法（一）
§13-1 外力功与应变能的一般表达式 §13-2 互等定理
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能量法(一）