解题-一道几何题的解题心路-杨广亮

一道几何题的解题心路

杨广亮 （高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001）学生问的一道几何题：

已知，中，为的中点，以为直径的圆分别与交于两点，圆在两点的切线交于点.求证：.（叶中豪提出）

此题简洁明了，既包含了我们常见的三角形、圆、中点等几何元素，又囊括了相切、垂直等几何关系.笔者初看这道题有种似曾相识的感觉，便试着做了一下，深入研究，才发现，这道题有着丰富的内涵.此题有很多种解法，笔者摘出此题的一种简便证法如下.

证明：如图1，取中点为，中点为，连结.

则，又由于，所以有

又，，则

图1

从而又为中点，

所以 .

看到上述答案，我们往往会觉得此题的解答是如此的简单、精妙，然而，让我们自己做这道题时，我想很多读者会不约而同的发出这样的感叹“几何几何，想破脑壳”啊！是的，“美丽的背后总是充满着艰涩的

笔者在做这道题时也是费了一些周折，但有很大收获，在证明过程中有了新的发现，这里将自己一步步的思考过程重新展现出来，希望能给喜欢几何的读者一些借鉴.

1对问题的思考

1.1 思维的起点

通过读题，我们首先要做的是把图给画出来，那么对于此题，题中有没有强调是怎样的三角形？

联想1：（1）特殊三角形？（2）一般三角形？

1.2 思维走向

思维分支（1）：特殊三角形.

当中时，结论显然成立.

当时，我们试着看能不能得到一些启示？

当时，以为直径的圆与交于，此时与重合.我们想，如果能证明，那么问题就解决了！

如图2，延长交于，延长交于，连结.

则为垂心.

图2

要证明，由，很自然的我们会联想：

联想2：与有什么关系？要是在上，且为中点，那就太好了！果不其然，经过仔细分析，发现前面的猜想是正确的.下面用同一法证明：设为中点，由，，

所以，

又

所以

即，为切线

同理也为切线

从而可得与重合.

则中，为中点，可得，

又为中点，所以.

经过思维分支（1）的探索，我们知道要证明结论，关键是要构造出一个等腰三角形，那么对于一般三角形的情况，联想2的构思是否也能凑效呢？

思维分支（2）：一般三角形.

同样的，如图3，延长交于，延长交于，连结.

由于，

则为垂心.在上，且为中点.

图3

联想3：是否也能证得呢？

经过探索发现，去直接证明实在是太困难，但我们已经知道“”这个结论是成立的，通过观察图3，继续想，条件“为垂心.在上，且为中点”是否暗含了结论成立的必然性？笔者很快又有了新的猜想.

联想4：是否能把“为垂心.在上，且为中点”这个条件提炼出来，单独考察，只需这个条件就能证明呢？

笔者经过证明，发现此思路是可行的，并且查阅了大量文献、书籍均未找到此结论.笔者将联想4概述为下面一个命题.

命题已知中，点为垂心，点为边中点，连结，过作直线分别交、于、求证：当且仅当.

分析：由于对任意，、可能落在相应边的延长线上，对此，我们将

采用解析式法来统一证明.

证明：如图4，充分性：当时，

设，则可得:

，，；

由，当时，.

即，，可得：

图4

，所以为：，

联立、：求得，

同理可得

即，从而.

必要性：当时，

设，······

由为中点：

，，解之得：······

从而带入可得：

，

则，从而

故.

实际上，到这里已经很明显，我们不需要证明，只需要知道为垂心，在上，且为中点便可，当然要到这一步，我们这离不开前面一步步探索的过程.因为探索，我们会才有新发现，正所谓“柳暗花明又一村”！

2 解题反思

在解题教学中，我们教师不仅要教给学生解题的方法和技巧，我们是否也可以把自己的思维真实地呈现给学生，让学生活生生的感受到教师思维生成的过程？尤其是几何教学，虽然条件与结论只有几字之遥，但我们要达到目的，却要充分挖掘出图中隐含的“线路”.将自己的思维展现出来，不仅拉近了学生与老师思维的距离，也会让学生学会如何去思考问题，如何进行有序而有效的思维.所以在解题教学中，我们教师“授之以鱼不如授之以渔”显得尤为重要.