计算方法考试试卷及答案

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《计算方法》试卷（A 卷）

一、填空题（每空3分，共27分）

1、若15.3=x 是π的的近似值，则误差限是 0.05 ，有 2 位有效数字。

2、方程

013=--x x 在区间]2,1[根的牛顿迭代格式为

1

312131-)()(2

3

231

-+=---='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 。 3、对252)(2

3

-+-=x x x f ，差商 =]3,3,3,3[4

3

2

f -2 ，=]3,3,3,3,3[5

4

3

2

f 0 。

4、数值积分中的梯形公式为

)]()([2

)(b f a f a

b dx x f b

a

+-≈

⎰

，Simpson 公式为 )]()2

(4)([6)(b f b

a f a f a

b dx x f b

a

+++-≈⎰

。

5、求解微分方程初值问题⎩⎨

⎧==∈=5

.01

)0(]1,0['h y x xy

y 用欧拉公式计算得到=1y 1 ，用改进

的欧拉公式计算得到=1y 1.125 。

二、已知方程14

-=x x 在区间]2,0[内有根 （1）用二分法求该方程的根，要求误差不超过0.5。 （2）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因。 解：（1）由题意，令分。3....,.........013)2(,01)0(,1)(4

<-=>=+-=f f x x x f 列表如下：

1满足误差不超过0.5。...........................................7 分 (2) 原方程等价变形为4

1+=

x x ，迭代函数41)(+=x x ϕ，……………………….2分

则43

)1(41)(+=

'x x ϕ且在区间]2,0[上14

1

)1(41)(043

<<

+=

'

<=≤+=≤=<ϕϕϕx x ，.7分

符合简单收敛的全局收敛条件，

所以收敛的简单迭代格式可构造为：3

15+=+k k x x .............................................8 分

三、利用x x f sin )(=在点2

,6,

0π

π的函数值：(1)建立其拉格朗日插值多项式，并进行

误差分析；(2)构造差商表，建立牛顿插值多项式。

解：(1)由题意知，.1,2

;21,6;0,0221100====

==y x y x y x π

π

..........................2 分 所以过这三个点的拉格朗日插值函数为：

)02

)(62()6)(0(1)26)(06()

2)(0(21)20)(60()2)(6(0)

()()()(2211002----⋅

+----⋅+----⋅=++=ππππ

ππππππππx x x x x x x l y x l y x l y x L ........................ 5 分 x x x x x x π

πππ

ππ

27

3

)6

(6)2

(182

1

22

2222+

-

=-

+

-

-

=.....................................7分 误差分析：

)2

)(6)(0()!12()()()12(2π

πξ---+=+x x x f x R .........................8 分

由题知：1|-cos ||)(| ,sin )()

3(≤=∴=ξξf x x f

|)2

)(6(|61|)2)(6)(0()!12()(||)(|)12(2π

πππξ--≤---+=+x x x x x x f x R ...........................10 分

（2）建立差商表：

....... ..... 4 分 牛顿插值多项式为

分

6)....)(](,,[)](,[)()(1021001002x x x x x x x f x x x x f x f x N --+-+=

分8 (27)

3)6)(0(3

)0(3

022

2x x x x x ππ

πππ

+-=---

-+

=

专业班级： 姓名： 学号：

……………密………………………………封………………………………线…………………………

.

四、确定以下求积公式中的系数，使其代数精度尽可能高，并确定代数精度。

)

1()0()1()(1

1

Cf Bf Af dx x f ++-=⎰

-