D102二重积分的计算13328精品
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102直角坐标系下二重积分的计算
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
dx
a
1( x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
x
若D为Y
–型区域 D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
y x 2(y) d y
x 1(y)
I
1
dy
y
f (x) f (y)d x
1
dx
00
0
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
0x
0
1
dx
1
f (x) f (y)dy
1
f (x)d x
1 f (y)d y A2
00
0
0
内容小结
直角坐标系情形 :
• 若积分区域为
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
c
1(y)
x
当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
f (x, y)dy 2
dx0
D102二重积分的计算83767
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )
r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )
r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系
D10_2二重积分的计算 高等数学高数
2
说明: 计算二重积分选择积分次序是重要的。既要考
虑区域D的形状，又要注意被积函数的特点。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先穿刺,后扫描 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
上面讨论的累次积分法仍然有效 .
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
二重积分的计算方法
练习题
一 、 计 算
1、Dyx3dxd,D y:x2y21,0y 2 3x。
2、将二重积分 f (x, y)d ,其中D 是由直线
D
y x, x 2及双曲线y 1(x 0)所围成的闭区 x
域,化为先对x 后对y 的二次积分.
3、将二次积分
dx
sinx x
f
(x,
y)dy改换积分次序。
0
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
D3
D
D1
(x2 y)d(yx2)d
D2
D1D2
D3
1 dx x 2 (x 2 y )d y 1 d1 x (y x 2 )d y 11 .
1 0
1 x 2
15
谢谢观赏
用平面x=x0截立体，
z
截得A(x0). 应用计算
“平行截面面积为
zf(x,y)
已知的立体求体积” y
A(x0 )
的方法,
y2(x)
x
b x0 a
得
f(x,y)dxd b dyx 2(x)f(x,y)d.yy1(x)
D
a 1(x)
注意D的特殊之处。
如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［Y－型］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
对非X、Y型区域
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
二重积分的计算法
2 2
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
重积分二重积分的计算课件.ppt
D
解一： x yd
2
D
1
2
x
D
ydxdy dx 1 0
x
ydy
-1
1
1 (xy 1 y2) 2 dx 1 (2x 2)dx (x2 2x) 1 4
1
20
1
1
21
解二： x yd dy x ydx 4
D
0 1
例2 计算 x2 ydxdy D 由 y 1, x 2, y x 围成.
用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将D分成若干子域,
如图可知: d dd
f (x, y)d f ( cos, sin )dd
D
D
化成两次定积分
基本类型: D : , 1( ) 2 ( )
d
d
d
1()
2()
D
f ( cos, sin )dd
d
2 ( ) f ( cos , sin )d
y y2 (x)
X型域
D
将曲顶柱体看作已知平行截面面 积的立体,利用定积分计算.
y y1(x)
a
b
在D内任取一点x,作平行于 yoz 面 z 的截面.
曲边梯形
A(x)
A(x) y2 (x) f (x, y)dy y1 ( x)
y
V
b
[
y2 (x) f (x, y)dy]dx
a y1 ( x)
D1是D在第一象限的部分，则 (xy cosx sin y)dxdy
D
(A) 2 cosx sin ydxdy
D1
(B) 2 xydxdy
D1
(C) 4 (xy cosx sin y)dxdy (D) 0
解一： x yd
2
D
1
2
x
D
ydxdy dx 1 0
x
ydy
-1
1
1 (xy 1 y2) 2 dx 1 (2x 2)dx (x2 2x) 1 4
1
20
1
1
21
解二： x yd dy x ydx 4
D
0 1
例2 计算 x2 ydxdy D 由 y 1, x 2, y x 围成.
用过极点的射线和以极点为圆心的圆周将D分成若干子域,
如图可知: d dd
f (x, y)d f ( cos, sin )dd
D
D
化成两次定积分
基本类型: D : , 1( ) 2 ( )
d
d
d
1()
2()
D
f ( cos, sin )dd
d
2 ( ) f ( cos , sin )d
y y2 (x)
X型域
D
将曲顶柱体看作已知平行截面面 积的立体,利用定积分计算.
y y1(x)
a
b
在D内任取一点x,作平行于 yoz 面 z 的截面.
曲边梯形
A(x)
A(x) y2 (x) f (x, y)dy y1 ( x)
y
V
b
[
y2 (x) f (x, y)dy]dx
a y1 ( x)
D1是D在第一象限的部分，则 (xy cosx sin y)dxdy
D
(A) 2 cosx sin ydxdy
D1
(B) 2 xydxdy
D1
(C) 4 (xy cosx sin y)dxdy (D) 0
二重积分计算法PPT
6
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
j j 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为 A ( x 0 ) 1 2 ( ( x x 0 0 ) ) f ( x 0 , y ) d . y
曲顶柱体体积为
ac
c
b
D
若 f(x ,y ) g (x )h (y )
g ( x ) h ( y ) d x d y = b d x d g ( x ) h ( y ) d y = [a g ( x ) d x ] [d h ( y ) d y ]acb来自cD11
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
x0
直线 xx0(ax0b)与D的边界至多有两个交点
3
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1(y)x1(y),
cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 yy0(cx0d)与D的边界至多有两个交点 4
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
5
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
即 f ( x , y ) d f ( c , s o ) d d i . s n
DD
❖在极坐标系下二重积分的计算
如果积分区域可表示为 D j1(q)j2(q), aqb, 则
D f( cq, o sq s ) i d n d q a bd q j j 1 2 ( q ( q ) )f( cq, o sq s ) i d n .
2D102二重积分的计算
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h, v)
x(u,
v)
x u
(u,
v)
h
o( )
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x4
x1
x(u, v
k
)
x(u,
v)
x v
(u,
v)
k
o( )
同理得
y2
y1
y u
(u,
v)
1
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例4. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f ((xt)(]u,v()t,)yd(tu,v()x) J (u(,tv)))d u
D
dv
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
则
D
:
11
y x
x 2
微积分D102二重积分计算
D 1
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
二重积分的计算法
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
第二二重积分的计算法
xydx]dy
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy
2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
D
11
[ ex e ydy]dx
00
1
交换积分次序
11
左边 dx e y f (x)dy
0 x2
1
f (x)e y |1x2 dx
0
1
f (x)(e ex2 )dx 右边
0
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
解 : xyd [ xydx]dy
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
D
1y
2
[
1
y
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
1
y3 )dy
2
[y2
y4 8
]12
11 8
例4 计算二重积分 ex ydxdy,其中区域D是由x 0、
D
x 1、y 0 和y 1围成的矩型.
解 : ex ydydx
D
11
[ ex e ydy]dx
00
1
交换积分次序
11
左边 dx e y f (x)dy
0 x2
1
f (x)e y |1x2 dx
0
1
f (x)(e ex2 )dx 右边
0
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri2
解 : xyd [ xydx]dy
D
1 y 2
2
[
-1
yx 2 2
]
y y
2
2
dy
1 2
2
[
-1
y(
y
2)2
y5 ]dy
55 8
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1x
4x
[ xydy]dx [ xydy]dx
0 x
1 x2
显然这样计算比较麻烦.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
二重积分的计算法
rkrkk
d rd rd
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k
rk
rk
20
Df(x,y)dD f(rco ,srsin )rdrd
rd d
1. 极点在积分区域外
dr
d r
Dr2()
r2()
o
r1()o r1()
设 D: 1() r 2(),则 D f(rc o,rsi)n rdrd
d
1 2 ( ())f(rco,rs si)n rdr
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
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9
例 1 改 变 积 分 1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
解 积分区域如图
0 x1 Dx :0 x1x
0 y1 Dy :0 x1 y
y1x
原 式
2(y) f(x,y)dx
D
c
1(y)
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4
当被积函数 f(x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x,y)
f2(x,y)均非负
D f ( x ,y ) d x d y D f 1 ( x ,y ) d x d y
D f2(x,y)dxdy
0
0
0
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1 e y2 2
1 0
1 2
1
1 e
.
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例8．求I= x y1 x 2 y 2 d x d y ,D :y x ,x 1 ,y 1 围 成 ；
D
y
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