高一上学期数学12月联考试卷真题
浙江省杭州市金华卓越联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段联考数学试题含解析
2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高一数学试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，则A B ⋃=（）A.{}3,5 B.{}3,5,6 C.{}1,2,3,5,6,7 D.{}1,2,3,4,5,6,7【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，所以A B ⋃={}1,2,3,5,6,7，故选：C2.在0360 的范围内，与520- 终边相同的角是（）A.310B.200C.140D.20【答案】B 【解析】【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.【详解】与520- 终边相同的角可以表示为()523600Z k k ︒-∈，由题意可知1322036036052990k k ︒︒︒<<⇒<<-，因为Z k ∈，所以2k =，于是有5203602200︒︒⨯=- ，故选：B3.命题“22,40x x ∀≥-<”的否定是（）A.22,40x x ∃≥-≥B.22,40x x ∃<-≥C.22,40x x ∀<-≥D.22,40x x ∀<-<【答案】A 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】命题“22,40x x ∀≥-<”为全称量词命题,它的否定为22,40x x ∃≥-≥,故选：A4.设,a b 都是不等于1的正数，则“444a b >>”是“44log log a b <”成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性将不等式化简，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】因为,a b 都是不等于1的正数，由444a b >>可得1a b >>，由44log log a b <可得0a b <<，则1a b >>是0a b <<的既不充分也不必要条件，即“444a b >>”是“44log log a b <”成立的既不充分也不必要条件.故选：D5.直线:l x a =与二次函数()y f x =交点个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.以上都有可能【答案】B 【解析】【分析】数形结合判断即可.【详解】直线:l x a =为的纵坐标为R ，图像为一条与y 轴平行的直线，设二次函数为2,0y Ax Bx C A =++≠，当0A >时，1,2,1A B C ===；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：当0A <时，如1,2,1A B C =-==如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：故选：B6.设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫⎪⎝⎭C.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得3()0,(2)02f f >>，得到3(1)(02f f ⋅<，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)(02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色､智能､节俭､文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电､所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A h ⋅），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间56h t =，则当放电电流15A I =时，放电时间为（）A.28h B.28.5hC.29hD.29.5h【答案】A 【解析】【分析】将10A I=时，56h t =代入公式n C I t =⋅，结合32log 2n =即可计算15A I =时的放电时间.【详解】由题意得：561015n nC t =⨯=，则1025656153nn n t ⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭，由32log 2n =，故32log 22565656283232nt ⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故放电时间为28h .故选：A.8.已知定义在R 上的函数()(),f x g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x ∈R ，均有（）A.()()22F x F x -≥+B.()()22F x F x -≤+C.()()2222F x F x -≥+ D.()()2222F xF x -≤+【答案】C 【解析】【分析】判断函数()f x 以及()g x 的性质，化简()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦的表达式，讨论()()f x g x ≤恒成立以及()()f x g x ≤恒成立和()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，结合函数性质，即可判断选项的正误，即得答案.【详解】因为()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，()f x 在[)0,∞+上单调递减，则在(,0]-∞上单调递增，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，则()g x 图象关于2x =对称，在(,2]-∞上单调递增，当()()f x g x ≥时，()()()()()1()2F x f x g x f x g x f x =++-=⎡⎤⎣⎦，当()()f x g x ≤时，()()()()()1()2F x f x g x g x f x g x =++-=⎡⎤⎣⎦；①当()()f x g x ≤恒成立时，()()F x g x =，图象关于2x =对称，此时()()22F x F x -=+，()()2222F xF x -=+；②当()()f x g x ≥恒成立时，()()F x f x =，图象关于y 轴对称，当|2||2|x x -+≥时，()()22F x F x -≤+；当|2||2|x x -≤+时，()()22F x F x -≥+；即说明A ，B 错误；当220x -≥，即202x ≤≤时，22022x x ≤-≤+，则()()2222F x F x -≥+，当220x -≤，即22x ≥时，()()()222222F x F xF x -=-≥+，故若()()F x f x =，则()()2222F xF x -≥+，则说明D 错误；③若()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，则不妨作()F x 示意图如图：222,2x x -+关于直线2x =对称，且2222x x -≤+，则()()2222F x F x -≥+，综合上述，可知C 正确，故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.1R,1x x x∃∈+=- B.20,2x x x ∃>=C.2R,1x x x ∀∈-≥- D.0,ln 0x x ∀>>【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式，求得1x x+的取值范围，可判定A 不正确；根据当2x =时，得到22x x =，可判定B 正确；结合配方法，可判定C 正确；结合对数函数的性质，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，当0x >时，则12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立；当0x <时，则11[()2x x x x +=--+≤-=--，当且仅当=1x -时，等号成立，所以1x x+的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ ，所以A 不正确；对于B 中，当2x =时，可得22x x =，所以命题20,2x x x ∃>=为真命题，所以B 正确；对于C 中，由221331(244x x x -+=-+≥，所以命题2R,1x x x ∀∈-≥-为真命题，所以C 正确；对于D 中，当01x <<时，ln 0x <，所以命题0,ln 0x x ∀>>为假命题，所以D 不正确.故选：BC.10.已知幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()()22f x f x x x f ++<【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得幂函数为()12f x x =，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为()(R)f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象过点()4,2，可得42α=，解得12α=，即()12f x x =，所以函数()f x 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以A 正确，B 不正确；当4x ≥时，可得()()42f x f ≥=，所以C 正确；当120x x >>时，22121212()()[][(222f x f x x x x x f +++-=-0==<，因为()0f x ≥，所以1212()()()22f x f x x x f ++<，所以D 正确.故选：ACD.11.已知()2f x x bx c =++在()0,1上有两实根，则()()01f f ⋅的值可能为（）A.14B.18C.116 D.132【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示,b c 及()()01f f ⋅，再用基本不等式求出范围即可.【详解】设方程()0f x =的两个实根为12,x x ，则12,(0,1)x x ∈，显然1212(),b x x c x x =-+=，此时2221212124()4()0b c x x x x x x ∆=-=+-=-≥，即方程()0f x =有两个实根，因此1212121122(0)(1)(1)(1)(1)(1)f f c b c x x x x x x x x x x ⋅=++=--+=-⋅-221122111()(2216x x x x +-+-≤⋅=，当且仅当1212x x ==时取等号，显然()()0·10f f >，即()()10·10,16f f ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()01f f ⋅的值可能为116，132，即AB 错误，CD 正确.故选：CD12.一般地，若函数()f x 的定义域为[,]a b ，值域为[,]ka kb ，则称[,]a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[,]a b ，值域也为[,]a b ，则称[,]a b 为()f x 的“完美区间”.下列结论正确的是（）A.若[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的“完美区间”，则6b =B.函数1()f x x=存在“完美区间”C.二次函数2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”D.函数||1()||m x f x x -=存在“完美区间”，则实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃【答案】BCD 【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A ，因为函数2(6)4f x x x =-+的对称轴为2x =，故函数()f x 在[2,]b 上单增，所以其值域为2[2,46]b b -+，又因为[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的完美区间，所以246b b b -+=，解得2b =或3b =，因为2b >，所以3b =，A 错误；对于B ，函数1()f x x =在(),0∞-和()0,∞+都单调递减，假设函数1()f x x=存在完美区间[,]a b ，则11a bb a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a ，b 互为倒数且a b <，故函数1()f x x =存在完美区间，B 正确；对于C ，若2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”，则设定义域为[,]a b ，值域为[2,2].a b 当0a b <<时，易得2113()22f x x =-+在区间上单调递减，22113222113222a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减，得4a b +=，代入方程组解得1a =，3b =，C 正确.对于D ，()f x 的定义域为{}0x x ≠，假设函数1,01()1,0m x m x xf x x m x x ⎧+<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩存在“完美区间”[,]a b ，若0b <，由函数()f x 在(,0)-∞内单调递减，则11m b am a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0m =；若0a >，由函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，则11m a am bb ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即1x m x =-在(0,)+∞有两解a ，b ，得2m>，故实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃，D 正确.故选：BCD.【点睛】抓住“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a ，b 的取值，列出方程组.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()7538f x ax bx cx dx =+++-，且()25f -=，则()2f =__________.【答案】21-【解析】【分析】利用代入法，整体法进行求解即可.【详解】因为()7538f x ax bx cx dx =+++-，所以()()()()()7532222285f a b c d -=-+-+-+--=即753222213a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅=-，所以()75322222813821f a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅-=--=-，故答案为：21-14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤.若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______.【答案】8π【解析】【分析】先求出圆心角为α，再根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：由题意4πα=，所以该扇形的面积2812S r πα==.故答案为：8π.15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量()3mg /my 与时间()1h 02t t ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数，12t ≥），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到()30.25mg /m 以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根据题意，求得参数a 的值，得到含药量()3mg /m y 与时间()h t 的函数关系式，令0.25y ≤，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为12(0)2y t t =≤≤，又由点1(,1)2在曲线116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，可得121116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =，所以含药量()3mg /m y 与时间()h t 的函数关系式为1212,0211,162t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，当12t >时，令10.254y ≤=，即1211164t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得1122t -≥，解得1t ≥，所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.故答案为：1.16.设函数()2461f x ax bx a =+-+，当[]4,4x ∈-时，恒有()0f x ≥成立，则10a b +的最小值为__________.【答案】13-【解析】【分析】将()2461f x ax bx a =+-+化为()216)(4f x x a bx -=++，和10a b +比较系数，求得x 的值，结合()0f x ≥恒成立，即可求得答案.【详解】由题意得()216)(4f x x a bx -=++，令246101x x -=，解得3x =或12x =-，当3x =时，()033031f a b =++≥，即1103a b +≥-，当12x =-时，1012152f a b ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝-⎭，则102a b +≤，验证：3x =时，38b a -=，1103a b +=-，即112,4221a b ==-时，10a b +取到最小值13-，故答案为：13-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）2916；（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案；（2）根据指数幂的运算性质以及对数的运算法则，即可求得答案.【详解】（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭13()44(0.25)3(0.4)1(2)4⨯--⨯-=-+-+511292164161+=-+=；（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭312log 3lg5332=-+⨯33lg51lg21(lg 5lg 2)022=-+--=-+=.18.已知集合{}(){}|234,|812A x a x a a B x x =+≤≤-∈=≤≤R .（1）若集合B 是集合A 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围.【答案】（1）16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()(),410,-∞+∞ 【解析】【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可.（2）由题意分集合A 是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可.【小问1详解】由题意若集合B 是集合A 的充分条件，则当且仅当B A ⊆，即当且仅当283412a a +≤⎧⎨-≥⎩，解得1663a ≤≤，即a 的取值范围为16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当A =∅时，满足题意，即满足A B ⋂=∅，此时234a a +>-，解得3a <；当A ≠∅且A B ⋂=∅时，当且仅当3348a a ≥⎧⎨-<⎩或3212a a ≥⎧⎨+>⎩，解得34a ≤<或10a >；综上所述，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为()(),410,-∞+∞ .19.已知函数()221x f x a =-+.（1）求()0f ；（2）探究()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）若()f x 为奇函数，求满足()()22f ax f <的x 的取值范围.【答案】（1）1a -（2）单调递增，证明见解析（3）(,1)-∞【解析】【分析】（1）根据函数解析式，将0x =代入，即得答案；（2）判断函数单调递增，根据函数单调性的定义即可证明该结论；（3）根据函数为奇函数求出a ，则根据函数的单调性解不等式，即可求得答案.【小问1详解】由于()221x f x a =-+，故()012102f a a =-=-+；【小问2详解】探究：()f x 在R 上单调递增，证明如下：()f x 的定义域为R ，任取1212,R,x x x x ∈<，则()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++，因为1212,22x x x x ∴<<，12120,120x x +>+>，故()()()121222201212x x x x ⋅-<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】因为()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++，即222222*********x x x x x a -⋅=+=+=++++，所以1a =，则()()22f ax f <，即()()22f x f <，而()f x 在R 上单调递增，故22,1x x <∴<，即x 的取值范围为(,1)-∞.20.已知函数sin cos sin cos y αααα=++⋅当sin cos t αα=+时，t ⎡∈⎣（1）若t =，求tan α的值；（2）求函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域.【答案】（1）1（2）11,2⎡-+⎢⎣【解析】【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.（2）先利用换元法由（1）可得21122y t t =+-；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.【小问1详解】πsin cos4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，t =.∴π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：π2π,Z 4k k α=+∈.∴ππtan tan 2πtan 144k α⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.【小问2详解】sin cos t αα=+，22sin cos 1αα+=.∴()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，∴21sin cos 2t αα-=.则22111sin cos sin cos 222t y t t t αααα-=++⋅=+=+-，t ⎡∈⎣.函数21122y t t =+-在区间1⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间⎡-⎣上单调递增.∴当1t =-时，()2min 1111122y =⨯---=-.又 当t =(2111222y =⨯=当t =时，211112222y =⨯+=>-.∴当t =时，max 12y =.故函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域为11,2⎡-+⎢⎣.21.若正数,a b 满足24a b +=.（1）求ab 的最大值；（2）求511a b++的最小值.【答案】（1）2（2）72105+【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有422a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号，即当2,1a b ==时，ab 有最大值【小问2详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有125a b ++=，于是有()151111017212772515155a b a b a b b a ⎛++⎛⎫⎛⎫+++=++≥+= ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1101a b b a +=+时取等号，即当且仅当2210,36a b --==时，511a b ++有最小值75+.22.已知函数()()ln 11,20,ln ,0.x x f x x x ⎧--+-<<⎪=⎨>⎪⎩．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程(21)f x m -=有4个不同的解，记为()12341234,,,,x x x x x x x x <<<，且312415x x x x λ⋅->恒成立，求λ的取值范围．【答案】（1）(1,0),(1,)-+∞（2）5510λ->．【解析】【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；（2）根据题意可得出31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-，分离参数可得233342521x x x λ-+->-，令321t x =-，换元后利用均值不等式求解.【小问1详解】（1）()()()ln 2,21ln ,10ln ,01ln ,1x x x x f x x x x x ⎧-+-<≤-⎪---<<⎪=⎨-<≤⎪⎪>⎩.根据复合函数单调性的知识得()f x 的单调递增区间有(1,0),(1,)-+∞．【小问2详解】由（1）可知1234221121021121x x x x -<-<-<-<<-<<-化简可得：1234110122x x x x -<<<<<<<∵()()()()123421212121f x f x f x f x m-=-=-=-=∴()()()()1234ln 212ln 21ln 21ln 21x x x x --+=---=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴()()12341212212121x x x x -+=--=-=-∴31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-∵312415x x x x λ⋅->恒成立∴()()()333121115x x x λ⋅---->∴233342521x x x λ-+->-对任意31,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即：2333max42521x x x λ⎛⎫-+-⎪> ⎪- ⎪⎝⎭令321t x =-，则31(0,1),2t t x +∈=∴223331441211152552114202210t t x x t x t +⎛⎫-++--+- ⎪-⎝⎭==--+≤-+=-（当且仅当55t =时，等号成立）∴5510λ->．【点睛】关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出124,,x x x 三者与3x 的关系，进而将不等式转化为关于3x 的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，由321t x =-换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.。
江苏省扬州市四校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题
江苏省扬州市四校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，202x N x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D {}2,2- 2．17πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A B ．12- C ． D ．123．已知函数()sin π,02,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．0B ．12 C ．1 D ．1-4．若函数221y x ax =-+在区间[]2,1-上为单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a <-B ．2a ≤-C ．1a >D ．1a ≥5．设0.1e a -=，2πtan 5b =，0.3log πc =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >> 6．已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．25e 5e 2x xx --+ B ．25sin 1xx +C ．25e 5e 2x xx -++ D ．25cos 1xx +7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：lg20.3,lg30.477≈≈）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是A ．5{|0}2x x << B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．3{|0}2x x -<≤ D ．3{|02x x -<<或50}2x <<二、多选题9．下列命题中，是真命题的有（ ）A ．“1m ≤”是“关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解”的必要不充分条件；B ．“x y >”是“sin sin x y >”的既不充分也不必要条件；C ．“12x <”，是“12x>”的充要条件 D ．“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件10．下列函数中，以3为最小值的函数有（ ）A ．63sin y x =-B ．1424x x y +=-+C ．229cos 4cos y x x =+D ．e 9e 4xx y =+ 11．给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A ．()sin πsin αα+=，成立的条件是α是锐角B ．若()()1cos πZ 2n n α-=∈，则1cos 2α=． C ．若()π2k k Z α≠∈，则π1tan 2tan αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．若sin cos 1αα+=，则sin cos 1n n αα+=，*n ∈N12．设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（ ）A ．12 B ．1 C ．1- D ．2三、填空题13．函数()()ln 11f x x =--的定义域为．14．已知扇形的圆心角为2rad ，弧长为2cm ，则该扇形的面积为2cm ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点()1,2P -，若角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，则()cos πcos 2παβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 16．已知圆的半径为R ，矩形的边长为a ，b ，且圆与矩形的周长均为2，面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最小值为．四、解答题17．（1）已知sin 2cos αα=，求sin cos αα⋅的值；（2）求值2lg2329log 3log 16108⋅+-．18．设全集为U =R ，集合22{|log (7)3}A x x x =->，{|123}B x a x a =+<<-．(1)当6a =时，求图中阴影部分表示的集合C ；(2)在①()A B ⋂=∅R ð；②A B B =I ；③A B A ⋃=这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．19．已知角α满足sin cos αα-=(1)求tan α的值；(2)若角α是第三象限角，()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，求()f α的值. 20．已知函数()()2R 21xf x x =∈+ (1)求证：函数()f x 是R 上的减函数；(2)设()()1g x f x =-，若不等式()3π2sin sin 02g g θ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数θ的取值范围． 21．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：()()212kt x b p --=，其中,k b 均为常数.当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定,k b 的值.（2）市场需求量q (单位：万件)与市场价格x (单位：千元)近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.22．已知函数22()log log 24mx x f x =⋅（0x >，0m >）． (1)若1m =，[]1,2x ∈，求()f x 的取值范围；(2)求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．。
浙江省2023_2024学年高一数学上学期12月联考试题含解析
考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共60分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题2:,220P x R x x m ∃∈++-<是假命题，则实数m 的取值范围是（） A.1m > B.1m ≤ C.1m < D.1m ≥2.已知函数()f x 的定义域{}2248xa a x a -<<-∣是关于x 的不等式()()220x a x ++->的解集的子集，则实数a 的取值范围是（）A.)2∞⎡++⎣B.][(),22∞∞-⋃+ C.(2,2+ D.(]2,33.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，扇形AOD 周长为定值L ，圆心角为α，若123l l =，则当1S 取得最大值时，圆心角为α的值为（）A.1B.2C.3D.44.今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（）A.log a y A x p =+B.xy A a p =⋅+C.2y ax bx c =++ D.y kx b =+5.若12,x x R ∈，则“()3321210x x x -<”是“12x x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()cos 1cos 1x x xe f x xe ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭在0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭内的大致图像为（） A. B.C. D.7.已知函数()()2ln f x x x =+，设()()0.5514.1log ,cos14a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,∞+上单调递减，令()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对x R ∀∈，均有（）A.()()11F x F x -≥+B.()()11F x F x -≤+C.()()2211F xF x -≥+ D.()()2211F x F x -≤+二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知非零实数,a b 满足1133a b >，则（）A.11a b> B.a a b b >C.()()222233a a bb a b +>+ D.11b ba a+>+ 10.已知,a b 为正数，1181a b ab++=，则下列说法正确的是（） A.()ln ln a b ab +≥B.22(1)(1)a b +++的最小值为18 C.9a b +的最小值为8 D.33a b +的最小值为1811.已知函数()()112,20222,04x x f x f x x +⎧⋅-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则下列命题正确的是（）A.存在k R ∈，使得()f x k =有3个不同的实数根B.存在k R ∈，使得()f x kx =有4个不同的实数根C.若函数()()g x f x k =-有2个零点12,x x ，则12x x +的值为2,2-或6D.能使得关于x 的方程()()2[]310f x mf x m +++=有4个不同的实数根的m的取值范围是12,29⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭12.函数()f x 定义在区间D 上，若满足：12,x x D ∀∈且12x x <，都有()()12f x f x ≥，则称函数()f x 为区间D 上的“不增函数”，若()f x 为区间[]0,4上的“不增函数”，且()()()04,134f f x f x =++-=，又当[]3,4x ∈时，()82f x x ≥-恒成立，下列命题中正确的有（） A.313444f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.[]()1,4,2x f x ∃∈>C.413436f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.[]()()()0,2,24x f f x f x ∀∈-≥- 非选择题部分（共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算：2523log 9332742log 2log 5649-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________.14.已知O 为坐标原点，若角α的终边上一点P 的坐标为()1,m -，且sin α=，线段OP 绕点O 逆时针转动90后，则此时点P 的坐标为__________.15.不等式()722ln01x x x x e e e e --+-<+-的解集是__________.16.已知0b >，若对任意的()0,x ∞∈+，不等式324820ax x abx b +--≤恒成立，则224a a b ab +++的最小值为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知集合{}22211,2102x A xB x x ax a x -⎧⎫=≤=-+-≤⎨⎬-⎩⎭∣∣. （1）当2a =时，求A B ⋃； （2）当RB A B ⋂=时，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()()sin 4cos tan 33sin tan 2f παπαπααπαα--+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）若()()0,2f ααπ=∈，求α的值； （2）若()725f f παα⎛⎫++=-⎪⎝⎭，求tan α.19.（本题满分12分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km /h ）测试发现：①汽车每小时耗电量P （单位：KWh ）与速度v （单位：km /h ）的关系满足()()20.0020.04560120P v v v v =-+≤≤；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A 地经高速公路（最低限速60km /h ，最高限速120km /h ）驶到距离为500km 的B 地，出发前汽车电池存量为75KWh ，汽车到达B 地后至少要保留5KWh 的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw （充电量=充电功率⨯时间），求到达B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.20.（本题满分12分）已知函数()()2log 21kxf x x =++为偶函数.（1）求实数k 的值； （2）若关于x 的方程()()21xf b f=-（b 为常数）在x R ∈上有且只有一个实数根，求实数b 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 对,x y R ∀∈，都有()()()()()()21211f x y f x y f x f y ++-=--+且()314f =. （1）求证：()()01f x f +≥； （2）求()2024f 的值.22.（本题满分12分）已知函数()()f x x a x b =+-，其中,a b 为常数. （1）当1b =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当0a =时，存在2023个不同的实数()1220231,2,2023,03i x i x x x =≤<<<≤，使得()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x -+-++-=求实数b 的取值范围.2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.7914.()3,1- 15.{ln2ln2}xx -<<∣16.16-四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.【答案】（1）[)[][]1,2,1,1,2,1,3A B a a a A B =-=-+=∴⋃=-（2）[)()3,,2∞∞+⋃--【解析】（1）()()21110{12022x x A xx x x x x x -+⎧⎫⎧⎫=≤=≤=+-≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣且[)20}1,2x -≠=-{}()(){}[]222101101,1B x x ax a x x a x a a a ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=---+≤=-+⎣⎦⎣⎦∣∣[]2,1,3a B ==， []1,3A B ∴⋃=-（2）,RB A B A B ⋂=⇔⋂=∅,12A B a ≠∅≠∅∴-≥或11a +<-3a ∴≥或 2.a <-18.【答案】（1）()0,23παπα∈∴=或23πα=（2）4tan 3α=或34【解析】（1）()()()()()()()()sin 4cos tan 3sin cos tan sin 3cos tan sin tan 2f παπαπααααααπαααα--+--===-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭()sin 0,23πααπα∴=∈∴=或23πα=（2）()777,sin sin sin cos 25255f f ππαααααα⎛⎫⎛⎫++=-∴--+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin cos 5αα∴=- 227cos cos 15αα⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭即：()()5cos 310cos 80αα--= 3cos 5α∴=或4cos 5α=当3cos 5α=时，4sin 4sin ,tan 5cos 3αααα∴=∴==， 当4cos 5α=时，3sin 3sin tan 5cos 4αααα∴=∴==则4tan 3α=或34（其他解法酌情给分）19.【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B 地. （2）该汽车到达B 地的最少用时为223【解析】（1）设匀速行驶速度为v ，耗电量为()f v ， 则()()()50025002060120f v P v v v v v=⋅=+-≤≤ 函数()f v 在区间[]60,120单调递增()min 245()607553f v f ∴==≥- 该车不能在不充电的情况下到达B 地（2）设匀速行驶速度为v ，总时间为t ，行驶时间与充电时间分别为12,t t . 若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量即()275155t f v +-≥ 解得25006153v t v≥+-.125005002000226661531533v v t t t v v v ∴=+≥++-=+-≥=. 当且仅当2000153v v=，即100v =时取到等号 所以该汽车到达B 地的最少用时为22320.【答案】（1）2k =-（2）0,1b b =≥或1b ≤- 【解析】（1）()()2log 21kx f x x =++为偶函数()()2log 21kx f x x -∴-=+-()()()()222221log 21log 212log 2021kx kxkxxkx f x f x x -⎛⎫+∴--=+-++== ⎪+⎝⎭22212122121kx x kx x kx -⎛⎫+∴=∴⋅= ⎪+⎝⎭2k ∴=-..（1）法2：由()()()()2211log 211log 2112kkf f k =-⇒++=+-⇒=-.当2k =-时，()()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x f x --⎛⎫⎛⎫++=++===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2k ∴=-（2）()()()222224141log 21log 2log log 2242x x xx x x x x f x x --⎛⎫⎛⎫++=++===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x x -+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增令222log xxt y t -=+=在()2,∞+上递增()()2log 22x x f x -∴=+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增.又()()2log 22x x f x -=+是偶函数则由()()21xf b f =-有且只有一个实数根，21x b ∴=-有且只有一个实数根0,1b b ∴=≥或1b ≤-（其他解法酌情给分）21.【答案】（1）见详解.（2）()120244f = 【解析】（1）取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭思路2：0x y ==，则()()220(201)1f f =-+，可得()102f =或 当()102f =时，令0y =，则()1f x =，即()12f x =与()314f =矛盾 所以()01f =， 即证()0f x ≥取x y ､都为2x 时，()()2021112x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314f =，可得()()()()()1132304561444f f f f f =⇒=⇒=⇒=⇒= 令1y =，则()()()()()()()1112121112f x f x f x f f x ++-=--+=+即()()()111,2f x f x f x ++-=+即()()()1212f x f x f x ++=++()()211f x f x ∴++-=用3x +代x 可得()()521f x f x +++=()()51f x f x ∴+=-，即()()6f x f x += ()()202422f f ==22.【答案】（1）当1a =-时，()f x 在R 上单调递增. 当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）b 的取值范围是][(),17,∞∞--⋃+ 【解析】（1）()()()()221,111,1x a x a x f x x a x x a x a x ⎧+--⎪=+-=⎨---+<⎪⎩1当1a =-时，()()22(1),1,(1),1x x f x f x x x ⎧-=⎨--<⎩在R 上单调递增. 2当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.3当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）()22,,x bx x bf x x x b x bx x b ⎧-=-=⎨-+<⎩1当02b≤即0b ≤时，()2f x x bx =-在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以()()()()1202303f f x f x f ≤<⋯<≤，则()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x =-+-++- ()()()()()()()()213220232022f x f x f x f x f x f x =-+-++-()()()()203313093f x f x f f b =--=-解得1b ≤-；2当32b即6b 时，()2f x x bx =-+在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以 ()()()()20331123093f x f x f f b =--=-+，解得7;b3当3322b<<即36b <<时， ()()()()22612203293992422b b b b b f f f b -⎛⎫⎛⎫--=⨯-+--+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；4当3022b <≤即03b <≤时， ()()()()()261223029399222b b b b f f f f b b -⎛⎫+--=+-=+< ⎪⎝⎭，矛盾.。
河南省青桐鸣2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题
19．已知
f
x
m2
m
5 4
xm
（mR
）是幂函数．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若 y f 2 x 2bf x 1 b （ b R ）的最小值为 3 ，求 b 的值．
2
2
六、证明题
20．已知函数
f
x
1 3x 1
．
(1)当 x 1时，求 f 2 x f x 4 的值域；
A． b a c
B． a b c
4．函数
f
x
2
1 x 1
的值域为（
）
A． ,1 1,
C． c a b
D． c b a
B． , 2 2,
C． , 1 1,
D． 1,1
5．已知幂函数
f
x
xm
，
g
x
xn
满足
f g
2 2
8
，
m，
n
R
，则
m2
n2
（
）
A．4
B． 4 mn
C． 9 mn
(2)证明：函数 g x f x 1 是奇函数．
2
21．已知定义在 0, 上的函数 f x 对于 x ， y 0, ，都满足
f x f y f xy 3，且当 x 0,1 时， f x 3．
(1)求 f 1 的值；
(2)根据定义，研究 f x 在 0, 上的单调性．
域都能看到它的身影，下列关于高斯函数的相关结论正确的有（ ）
A． 0 x x 1
B．x x x 1
C．高斯函数为偶函数
D．
x
x
1 2
2x
1 2
11．使不等式 a b2 a b 0 成立的一个充分条件为（ ）
湖南省长沙市雅礼集团2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题试卷
雅礼集团2023-2024 学年第二学期12月联考高一年级 数学试卷注意事项：1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；1．与800°角终边相同的角可以表示为2. 必须在答题卡上答题。
在草稿纸、试题卷上答题无效； 3. 答题时，请考生注意答题要求。
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；本试卷共6道大题，16道小题，满分150分，时量120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( )．A ．k ∙360°+100°，k ∈ZB ．k ∙360°+90°，k ∈ZC ．k ∙360°+80°，k ∈ZD ．k ∙360°+70°，k ∈Z 2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z 没有正整数解”． 1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )A ．对任意正整数2n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z 都没有正整数解B ．存在正整数2n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z 至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z 至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z 至多存在一组正整数解3．设全集R U ，{13}M x x x 或，48xN x ，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．3(1,)2B ．3(,3)2C ．3(,)2D ．(1,3)4．已知1330.471log ,(),log 324a b c ，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c a bB ．b a cC ．c b aD ．a b c． ． ． ．6．若函数 1()2xf x ，函数 f x 与函数g x 图象关于y x 对称，则24g x 的单调减区间是( )A ． 2,0B ． 2,0C ． 0,2D ． 0,27．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80C 的水泡制，再等到茶水温度降至60C 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是0T ，经过min t 后的温度是T ，则0ee 2.71828t hT T T T，其中T 表示环境温度，h 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是80C ，放在20C 的室温中，10min 以后茶水的温度是50C ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1，参考数据ln20.7ln3 1.1)， ( )A ．5.7minB ．5.8minC ．5.9minD ．6.0min8．已知函数 22log 2,2021,0x x f x x x x，若函数2()[(())](1)(())g x f f x a f f x a (R)a 恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(0,4C ．[0,1)D ．(0,1)二、多择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知角 的终边与单位圆交于点2,3n，则( ) A ．2cos 3B．3nC．sin 3D．tan 510．给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．lg2lg502B ．()2log (1)3(0,1)a f x x a a 过定点(2,3)C ．圆心角为23 ，弧长为23 的扇形面积为3D ． “4x ”是“24x ”的充分不必要条件11．下列说法不正确的是( )A ．若,0x y ，4x y ，则22x y 的最大值为8B ．若12x，则函数4221y x x 的最大值为3 C．函数2y的最小值为132D ．若0x ，0y ，3x y xy ，则x y 的最小值为212．我们知道，函数 y f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y f x 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 y f x 的图象关于点 ,P a b 成中心对称图形的充要条件是函数y f x a b 为奇函数.现已知函数 11f x ax a x，则下列说法正确的是( ) A ．函数 12y f x a 为奇函数B ．若方程 0f x 有实根，则 ,01,aC ．当0a 时， f x 在 1, 上单调递增D ．设定义域为R 的函数 g x 关于 1,1中心对称，若12a，且 f x 与 g x 的图象共有2022个交点，记为 ,1,2,,2022i i i A x y i ，则 112220222022x y x y x y 的值为4044三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市名校联盟2023-2024学年高一上学期第二次联考(12月)数学试题(含答案)
重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期第二次联考数学试题（高2026届）（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.2.请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.3.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.4.请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.5.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3,4,6 B.{}2,4,5,6 C.{}1,2,3,5 D.{}4,6【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解判断即得.【详解】由{}13,5A =,，{}2,5B =，得{1,2,3,5}A B ⋃=，而全集{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}4,6U A B = ð.故选：D2.命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为（）A.x ∃∈R ，1x e x <+B.x ∃∈R ，1x e x ≥+C.x ∃∈R ，1x e x ≤+D.x R ∃∉，1x e x <+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，改变量词，否定结论，由此可得出结果.【详解】由全称命题的否定可知，命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为“x ∃∈R ，1x e x <+”.故选：A.【点睛】本题考查全称命题的改写，属于基础题.3.函数()ln f x x =+）A.(]0,1 B.()0,1C.[1,)+∞ D.(,0)(0,1]-∞ 【答案】A 【解析】【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可.【详解】由()ln f x x =+010x x >⎧⎨-≥⎩解得：01x <≤，故函数()ln f x x =+(]0,1.故选：A.4.设,R a b ∈，则“220a b ->”是“0a b >>”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合不等式性质，判断“220a b ->”和“0a b >>”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当220a b ->时，不妨取2,1a b =-=-，满足条件，但推不出0a b >>；当0a b >>时，一定有2222,0a b a b >∴->，故“220a b ->”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选：C5.已知(),,π1sin 0π22αα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式可得1cos 2α=，由22sin cos 1αα+=求出sin α，结合sin tan cos ααα=计算即可求解.【详解】由π1sin()22α-=，得1cos 2α=，又(0,π)α∈，所以sin 2α==，所以sin tan cos ααα==故选：C6.若m 为函数()2log 2f x x x =+-的零点，则m 所在区间为（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3(1,2C.3(,2)2 D.5(2,2【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可判断出答案.【详解】由于2log ,2y x y x ==-在(0,)+∞上均单调递增，故()2log 2f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又21115log 202222f ⎛⎫=+-=-<⎪⎝⎭，()21log 11210f =+-=-<，222333311log 2log log 0222222f ⎛⎫=+-=->= ⎪⎝⎭，()22log 210f ==>，故()2log 2f x x x =+-在3(1,)2上有唯一零点，即3(1,)2m ∈，故选：B7.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当()12,,0x x ∈+∞时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，且()30f -=，则满足()0xf x ≤的x 的取值范围是（）A.[)(]3,00,3- B.()3,3-C.(,3][3,)-∞-+∞ D.[]3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据单调性的定义，由根据题意，()f x 在()0,+∞上为增函数，又函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <，当()()3,03,x ∞∈-⋃+时，()0f x >即可得解.【详解】根据题意，()f x 在()0,+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，所以()f x 在(),0∞-上也为增函数，又()30f -=所以()30f =，所以当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <，当()()3,03,x ∞∈-⋃+时，()0f x >，若要()0xf x ≤，则[)(]3,00,3x -∈ ，又(0)0f =，所以当[]3,3x ∈-时()0xf x ≤.故选：D8.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()1xf x aa =>.若对[]0,1x ∀∈，使得()()2f x t f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.(0,)+∞B.(0,1]C.(][),31,-∞-⋃+∞ D.(],1-∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为[]2()()f x t f x +≥恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．【详解】当[)0,x ∈+∞时，()()1xf x aa =>为增函数，又()f x 是偶函数，则在(],0-∞上为减函数，故()(),01,0x x a x f x a a x -⎧≥=>⎨<⎩，可化为()()1xf x aa =>，从而()x t f x t a ++=.原不等式可化为()22x txxa aa+≥=，对[]0,1x ∀∈恒成立，即2x t x +≥，两边平方后可化为()22320g x x tx t =--≤，对[]0,1x ∀∈恒成立.由二次函数的性质可知()()22001320g t g t t ⎧=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩成立，即2R 230t t t ∈⎧⎨+-≥⎩，解得R13t t t ∈⎧⎨≥≤-⎩或，从而实数t 的取值范围是(][),31,-∞-⋃+∞.故选：C .二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()1sin cos π,0,5ααα+=∈，则下列结论正确的是（）A.π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.12sin cos 25αα=-C.4sin 5α=D.3cos 5α=【答案】BC 【解析】【分析】根据题意由21(sin cos )25αα+=可得12sin cos 25αα=-，根据π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由49(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=可得7sin cos 5αα-=联立即可得解.【详解】由1sin cos ,5αα+=可得2,1(sin cos )25αα+=所以,112sin cos 25αα+=,242sin cos 25αα=-12sin cos 25αα=-，故B 正确；又()0,πα∈，所以sin 0α>且cos 0α<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 错误；由49(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，所以7sin cos 5αα-=，联立1sin cos ,5αα+=可得4sin 5α=，3cos 5α=-，故C 正确，D 错误.故选：BC10.已知0,0a b >>且4a b +=，则（）A.的最大值为2B.14a b+的最小值为94C.22a b +的最小值为8 D.22a b +的最大值为4【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A ，直接利用基本不等式4=+≥a b 即可判断；对B ，由1411414()(5)44b aa b a b a b a b+=++=++，再利用基本不等式即可；对C ，由222(422a b a b ++≥=即可判断，对D ，22a b +≥=即可判断.【详解】对A ，4=+≥a b ，所以2≤，当且仅当a b =时成立，故A 正确；对B ，141141419()()(5(54444b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b=即224b a =时成立；对C ，由222()422a b a b ++≥=，可得228a b +≥，当且仅当a b =时成立，故C 正确；对D ，228a b +≥===，当且仅当a b =时成立，故D 正确.故选：ABC11.若log 10log 10a b >，则下列式子可能成立的是（）A.1a b <<B.1b a <<C.01b a <<<D.01b a<<<【答案】AD 【解析】【分析】由换底公式可得11lg lg a b>，故lg lg 0b a >>或0lg lg b a >>或lg 0lg a b >>，根据对数函数的单调性即可求解.【详解】因为log 10log 10a b >，所以lg10lg10lg lg a b >，即11lg lg a b>，所以lg lg 0b a >>或0lg lg b a >>或lg 0lg a b >>，所以1a b <<或01a b <<<或01b a <<<.故选：AD.12.设函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2,2f x f x f x f x =--=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+.则下列说法正确的是（）A.()()8f x f x =+B.(2023)0f =C.(1)=-y f x 为偶函数D.方程()()112x f x +=在[]5,5-所有根之和为8-【答案】ABD 【解析】【分析】根据()()()()2,2f x f x f x f x =--=--，利用变量代换，可判断A ；利用赋值法求得(1)0f -=，结合A 的结论，判断B ；采用反证思想，推出矛盾，判断C ；将方程的根的问题转化函数图象的交点问题，数形结合，判断D.【详解】由2x +代换等式()()2f x f x =-中x 可得()()()222f x f x +=-+，即化为()()2f x f x +=-，又()()2f x f x -=--，即化为()()22f x f x +=--；又由2x +代换等式()()22f x f x +=--中x 可得()()()()2222f x f x ++=-+-，即化为()()4f x f x +=-，再用4x +代换x 可得()()()444fx f x ++=-+，即()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=成立，即A 正确.令1x =代入等式()()2f x f x -=--有()()11f f -=--，即(1)0f -=，又()()(2023)1825310f f f =-+⨯=-=成立，即B 正确.若(1)=-y f x 为偶函数，即函数图象关于y 轴对称，故将(1)=-y f x 的图象向左平移一个单位长度可得函数()y f x =的图象，其图象应关于=1x -对称，即()()2f x f x -=-成立，结合()()2f x f x -=--，则()()()22,20f x f x f x -=--∴-=，即()0f x -=，令0x =，则()00f =，而(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则()01f =，矛盾，故假设不成立，即C 错误.方程()()112x f x +=可化为()121f x x =+，即该方程的根等价于函数()y f x =与121y x =+图象公共点的横坐标，因为()()2f x f x -=--，故()y f x =图象关于(1,0)-成中心对称；由于()()2f x f x =-，则()y f x =图象关于直线1x =对称；结合(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+可作出()y f x =在[]5,5-上的图象：如图：而函数121y x =+图象由12y x =图象向左平移1个单位得到，也关于(1,0)-成中心对称；故两函数图象都关于点()1,0-中心对称，结合图象可知()y f x =与121y x =+的图象在[]5,5-上恰好有八个公共点，记为()1,2,,8i x i =⋅⋅⋅，且12345678513x x x x x x x x -<<<<<-<<<<<，又这八个公共点两两关于()1,0-对称，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=-，故()81428ii x==⨯-=-∑成立，D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，要综合应用函数的对称性、周期性的知识解答，判断D 选项时，要将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，进行解答.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个扇形的圆心角为π2，半径为2，则该扇形的面积为________.【答案】π【解析】【分析】由题意求出扇形的弧长，根据扇形的面积公式，即可得答案.【详解】设扇形的弧长为l ，则22ππl =⨯=，故该扇形的面积为11π2π22S lr ==⨯⨯=，故答案为：π14.已知函数()3131,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()2f a =，则实数=a ________.【答案】19【解析】【分析】由分段函数的分段情况分类讨论，列式求解即可，注意满足前提条件.【详解】当0a ≤时，()312f a a =+=，解得1a =，与0a ≤冲突，故舍去，当0a >时，()13log 2f a a ==，解得19a =，满足0a >，故实数19a =，故答案为：19.15.若函数()221f x x ax =-+的单调递增区间为[3,)+∞，且函数()()()112x a x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为[),+∞m ，则实数m =________.【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质可得对称轴3x =，即3a =，再根据同增异减原理，函数()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为函数()()31y x x =-+的递增区间，即可得解.【详解】根据函数()221f x x ax =-+的单调递增区间为[3,)+∞，所以对称轴3x =，即3a =，所以()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据同增异减原理，函数()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为函数()()31y x x =-+的递增区间，()()23123y x x x x =-+=--的递增区间为[)1,+∞，所以1m =，故答案为：116.已知函数()2log f x x =，若a b <时，使得()()f a f b =，则()2(4)f a f b -⎡⎤⎣⎦的最小值为___________.【答案】94-【解析】【分析】由()()f a f b =可得22log log 0a b +=，则01a b <<<且1ab =，进而得()2(4)y f a f b =-=⎡⎤⎣⎦()222log log 2a a +-，利用换元法可得22192(24y t t t =+-=+-(0t <)，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f a f b =可得22log log a b =，又a b <可得01a b <<<，即22log log a b -=，可化为222log log log 0a b ab +==，得01a b <<<，且1ab =.又()2(4)y f a f b =-=⎡⎤⎣⎦()()()2222222224log log 4log log log log 2a b a a a a -=-=+-，令2log ,01t a a =<<，则22192()24y t t t =+-=+-，0t <，该二次函数在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,0)2-上单调递增，所以当12t =-时，min 94y =-.故答案为：94-四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.用相关公式或运算性质对下列式子进行必要的化简并求值.（1）()12lg 252lg 22-+⋅（2）已知tan 2α=，求()()sin πcos cos sin αααα-++-【答案】17.18.3-【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算和对数运算化简求解即可；（2）根据诱导公式和化弦为切齐次式运算即可.【小问1详解】原式()()2lg 52lg 22lg 5lg 2=+⋅+⋅；【小问2详解】原式sin cos cos sin αααα+=-sin cos tan 1cos 3cos sin 1tan cos αααααααα++===---.18.已知集合(){}|70A x x x =-≤，集合{}221|B x m x m =-≤≤+.（1）若0m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1}{|0x x ≤≤（2）(3)[,2,3]∞-- 【解析】【分析】（1）根据条件求出集合,A B ，再利用集合的运算即可求出结果；（2）根据条件得到B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况，利用集合的包含关系即可求出结果.【小问1详解】由()70x x -≤得到07x ≤≤，所以{07}A xx =≤≤∣，又0m =时，{21}B xx =-≤≤∣，所以{01}A B xx =≤≤ ∣.【小问2详解】由（1）知{07}A x x =≤≤∣，又A B A ⋃=，所以B A ⊆，①当B =∅时，有221m m ->+，则3m <-，满足题意；②当B ≠∅时，则22120217m m m m -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得323m m m ≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，即23m ≤≤综上所述，实数m 的取值范围为(3)[,2,3]∞-- .19.已知关于x 的不等式()()20x x a +-≥.（1）若1b <，且不等式的解集为(][),1,b -∞+∞ ，求实数a b +的值；（2）若R a ∈，求不等式的解集.【答案】（1）-1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）转化为()()20x x a +-=两个实根122,x x a =-=，从而得到1,2a b ==-，得到答案；（2）分2a =-，2a >-，2a <-三种情况，求出不等式的解集.【小问1详解】由对应的一元二次方程()()20x x a +-=可知必有两个实根122,x x a=-=又由其不等式的解集为(][),1,b -∞+∞ 由此可得1,2a b ==-，1a b +=-；【小问2详解】当2a =-时，()220x +≥，不等式解集为R ，当2a >-时，()()20x x a +-≥的解集为(][),2,a -∞-⋃+∞，当2a <-时，()()20x x a +-≥的解集为(][),2,a -∞⋃-+∞，综上，当2a =-时，解集为R ，当2a >-时，解集为(][),2,a -∞-⋃+∞，当2a <-时，解集为(][),2,a -∞⋃-+∞.20.已知函数()1121x m f x +=-+为奇函数.（1）求实数m 的值及函数()f x 的值域；（2）若()()2140f t f t ++-<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1，(1,1)-（2）(,1)-∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求出m 的值；由211x +>可得22021x -<-<+，即可求解；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且为奇函数，则有1(0)102m f +=-=，即1m =，经检验，1m =符合题意，所以1m =.又211x +>，则10121x <<+，即20221x <<+，即22021x -<-<+，则211121x -<-<+，所以函数的值域为()1,1-.另解：显然21x t =+是R 上的增函数，且()1,t ∈+∞，由函数单调性的性质可得2y t =-为R 上的增函数，即21y t=-也为R 上的增函数，故当1t =时，1y =-，同时,1t y →+∞→，由增函数性质可得11y -<<，故函数的值域为()1,1-.【小问2详解】由(21)(4)0f t f t ++-<，可得(21)(4)f t f t +<--又函数()f x 为奇函数，则(4)(4)f t f t --=-所以(21)(4)f t f t +<-又21x y =+是R 上是单调增函数，由函数单调性的性质可得221x y =+是R 上是单调减函数即2()121x f x =-+是R 上的单调增函数，由(21)(4)f t f t +<-可化为214t t +<-，即1t <，所以实数t 的取值范围是为(),1-∞.21.国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x 天的指导价为每件()P x （元），且满足()()40,120N 80,2030x x P x x x x +≤≤⎧=∈⎨-<≤⎩，第x 天的日交易量()Q x （万件）的部分数据如下表：第x 天12510Q (x )（万件）14.011210.810.38（1）给出以下两种函数模型：①()2x b Q x a +=+，②()b Q x a x=+，其中,a b 为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量()Q x （万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出()Q x 的函数关系式；（2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第x 天的日交易额()f x 的函数关系式，并确定()f x 取得最小值时对应的x .【答案】（1）选择模型②，4()10Q x x=+（2）()()16010404120()300796102030x x x f x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，4【解析】【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出4()10Q x x=+，检验后得到答案；（2）求出()f x 的解析式，分120x ≤≤和20x 30<≤两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.【小问1详解】由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，观察表格中的4组数据()()()()1,14.01,2,12,5,10.8,10,10.38，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即()()2122510.85b Q a b Q a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，解得10,4a b ==，可以检验(1)14,(10)10.4Q Q ==相对合理，从而4()10Q x x=+；【小问2详解】由（1）可得()()()16010404(120)30079610(2030)x x x f x P x Q x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当120x ≤≤时，由基本不等式得16()10()402402482f x x x =++≥+=，当且仅当4x =时取到最小值，当20x 30<≤时，()30079610x xf x -+=，由单调性的性质可得()f x 在(]20,30上单调递减，故在30x =时，()f x 有最小值，最小值为506万元，又482506<，综上所述，当4x =时()f x 取得最小值.22.已知函数()()2ln e1x f x kx =++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）若关于x 的方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-（2）{()21,--+∞ 【解析】【分析】（1）根据偶函数性质建立方程求解即可；（2）解法一：把方程转化为()2e 1e 1e x x x m +=-，参变分离，转化为两函数有一个交点问题，数形结合求解即可；解法二：把问题化为方程2(1)10m t mt ---=在()0,∞+上仅有一个实根，分类讨论，根据二次函数根的分布列不等式求解即可.【小问1详解】由函数()2()ln e 1x f x kx =++是偶函数，所以()2()ln e 1x f x kx --=+-，即()()()2222e 1ln ln e 1ln e e x x x x f x kx kx ⎛⎫+-=-=+-- ⎪⎝⎭，即()()()2ln e 12x f x k x -=+-+,又()()f x f x -=恒成立，即()2k x kx -+=恒成立，所以22k =-，即得1k =-；【小问2详解】解法一(参变分离)：由(1)有()2()ln e 1x f x x =+-，又方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦可化为()()2ln e 1ln e 1x x x m ⎡⎤+-=-⎣⎦，可化为()2e 1ln ln e 1e x x x m ⎛⎫+⎡⎤=- ⎪⎣⎦⎝⎭,即等价于()2e 1e 1e x x x m +=-，令()e 0xt t =>,方程可化为()211t m t t +=-，①当e 1x t ==，即0x =时，方程可化为20m =⋅，显然矛盾，故0不是方程的根，②当1t ≠时，方程可化为221t m t t+=-，即211t m t t ++=-，令()112t a a a +=>≠且,方程可化为2132a m a a +=-+，即化为1231a m a +=+-在()()1,22,⋃+∞上仅有一个实根，等价于函数2y a a =+在()()1,22,⋃+∞的图象与常值函数131y m =+-的图象仅有一个公共点，由函数图象可得1321m +=-或1331m +>-,解得222m =--或1m >，综上所述,实数m 的取值范围为{}()221,--+∞ .解法二(根的分布)：由(1)有()2()ln e 1x f x x =+-，又方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦可化为()()2ln e 1ln e 1x x x m ⎡⎤+-=-⎣⎦，可化为()2e 1ln ln e 1e x x x m ⎛⎫+⎡⎤=- ⎪⎣⎦⎝⎭，即等价于()2e 1e 1e x x x m +=-有且只有一解，即()2e 1e e 1x x x m +=-只有一解，整理得2(1)e e 10x x m m ---=，令(0)x t e t =>，可化为方程2(1)10m t mt ---=④在()0,∞+上仅有一个实根，①当10m -=,即1m =时，此时10t =-<，显然不满足题意，②当10m ->,即1m >时，此时224(1)440m m m m ∆=+-=+->恒成立，由此可设方程④的两个实根为()1212,t t t t <,及二次方程根与系数的关系可得121201101m t t m t t m ⎧+=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩，此时方程④必有一正根2t 和一负根1t .故1m >时，显然满足题意，③当10m -<，即1m <时，要使得方程④在()0,∞+上仅有一个实根，若满足12Δ0101t t m >⎧⎪-⎨=>⎪-⎩,故此时方程④必有两个同号的实根,故不可能在()0,∞+上仅有一个实根,则只需要满足()2021Δ440m m m m ⎧>⎪-⎨⎪=+-=⎩,解得02m m <⎧⎪⎨=-±⎪⎩2m =--.综上所述，实数m的取值范围为：{()21,--+∞ .。
浙江省杭州市四校2024_2025学年高一数学上学期12月联考试卷
浙江省杭州市四校2024-2025学年高一数学上学期12月联考试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点（—2，1），则sinα的值为（ ）A ．55-B ．55C ．255-D ．2552.已知全集U R =，集合，那么A B ⋃=（ ）A ．（—1，4）B ．（—1，4]C ．（—2，5）D ． [—2，5）3. 下面命题中不正确的是（ ） A ．“1a >”是“”的充分不必要条件B ．命题“210x R x x ∀∈++<，”的否定是“210x R x x ∃∈++≥， C ．设x ，y R ∈，若“4x y +≥”则“2x ≥且2y ≥”是真命题 D ．设a ，b R ∈，则“0a ≠且0b ≠”是“0ab ≠”的充要条件 4. 函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A ．()31xf x x=- B.()21x f x x =+C ．()321x f x x =-D ．()2211x f x x +=-5. 已知0.35sin,ln 2,26a b c π===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<6. 已知f （x ）是定义在R 上的增函数，且对随意x R ∈，都有()()()1212f x f x f x x =+，则不等式()2122f x fx ⎡⎤⎛⎫->+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解集为（ ）A ．（—3，+∞）B ．（2，+∞）C ．（—∞，—3）D ．（—∞，2）7.若函数()213log 412y ax x =-+在区间[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．（—1，1]B ． [—1，1]C ．（0，1]D ． [0，1]8. 已知函数()()ln ,,f x x a b x a a b R=-+⋅+∈，若()0f x ≥在定义域上恒成立，则2a b -的值是（ ）A ． —1B ． 0C ． 1D ． 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省强基联盟2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学试题(含答案)
浙江强基联盟2023学年第一学期高一12月联考数学试题（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{},a b 的真子集个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】利用集合元素个数即可求出集合{},a b 共有{}{},,a b ∅三个真子集.【详解】根据题意可知集合{},a b 中有3个元素，所以共有2213-=个，即有{}{},,a b ∅三个真子集.故选：A2.若2:1,320p x x x ∃>-+>，则p 的否定为（）A.21,320x x x ∃>-+≤B.21,320x x x ∃≤-+≤C.21,320x x x ∀≤-+≤D.21,320x x x ∀>-+≤【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.【详解】命题2:1,320p x x x ∃>-+>是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题p 的否定为21,320x x x ∀>-+≤.故选：D .3.若0a >，0b >，则“1a b +≥”是“1≥”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断，注意基本不等式的应用即在0,0a b >>的情况下，判断两个命题11a b +≥⇒和11a b ≥⇒+≥．.【详解】解：取1a =，19b =，满足1a b +≥，但213=<，充分性不满足；反过来，1a b +≥≥成立，故必要性成立.故选：A ．4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角α的弧度数为（）A.π3B.π2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】画图设外接圆半径2r =，利用正三角形性质可得圆弧长l =，再由弧度制定义可得α=【详解】不妨设正ABC 的外接圆半径2r =，圆心为O ，取BC 的中点为D ，连接,AD OC ，易知O 在AD 上，且30OCB ∠= ，AD BC ⊥；如下图所示：在Rt OCD △中，112OD OC ==，所以CD BC ==依题意可知该圆弧长l BC ==所以圆心角2l r α===故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则2sin cos sin 2cos αααα-=+（）A.-7B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出tan 3α=，再利用齐次化将弦化切进行求解.【详解】()1,3P 为角α终边上一点，故tan 3α=，故2sin cos 2tan 151sin 2cos tan 25αααααα--===++.故选：B6.若m n <，p q <，且()()0p m p n --<，()()0q m q n --<，则（）A.m p n q <<<B.p m q n <<<C.n m p q <<<D.p m n q<<<【答案】C 【解析】【分析】首先根据已知条件判断出p 和m 、n 的关系以及q 和m 、n 的关系，结合p q <即可求解.【详解】因为()()0p m p n --<，所以m 和n 一个大于p ，一个小于p ，因为m n <，所以m p n <<，因为()()0q m q n --<，所以m 和n 一个大于q ，一个小于q ，因为m n <，所以m q n <<，因为p q <，所以m p q n <<<，故选：C.7.已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．8.已知关于x 的一元二次不等式2310mx x -+<的解集为(),a b ，则3aab b+的最小值是（）A.2B. C.3D.【答案】A 【解析】【分析】由一元二次不等式解集可知0,0a b >>,且满足113a b+=，将3aab b +化简变形可得341a ab a b b+=+-，利用基本不等式即可求得当1,12a b ==时3aab b +的最小值是2.【详解】由一元二次不等式2310mx x -+<的解集为(),a b 可得0m >，利用韦达定理可得3010a b mab m ⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，即可得3a b ab +=，且0,0a b >>,113a b +=；所以可得3333141a ab b ab ab a a b a b b b-+=+=-++=+-；易知()11141411521213141334b a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎛+-=+-=-≥+-= ⎝⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b=，即1,12a b ==时等号成立；即3aab b+的最小值是2.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A.π3=- B.1=C.m na-=D.121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.【详解】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ --⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-=，C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b a b a a b a b b ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.10.已知πsin 22α⎛⎫+=⎪⎝⎭，且ππ22α-<<，则()tan πα+的值可能是（）A.B.33-C.33D.【答案】BC 【解析】【分析】由π3sin cos 22αα⎛⎫+==⎪⎝⎭，结合ππ22α-<<分情况讨论即可求解.【详解】由题意得πsin cos 22αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，()tan παtan α+=，因为ππ22α-<<，当π02α-<<时，因为cos 2α=，所以1sin 2α==-，此时sin tan cos 3ααα==-，故B 项正确；当π02α<<时，因为cos 2α=，所以1sin 2α==，此时sin tan cos 3ααα==，故C 项正确.故选：BC.11.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，则下列命题成立的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =对称B.()30f =C.函数()1f x -为偶函数D.函数()1f x +为奇函数【答案】BD 【解析】【分析】由()()20f x f x -+=及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 关于y 轴对称，且()()22f x f x -=-，又()()20f x f x -+=，所以()()20f x f x -+=，且()()()()222f x x f x f f x ⎡⎤=-=--+=+⎣⎦-，所以函数()f x 关于点()1,0-中心对称，且周期为4，所以函数()f x 关于()1,0对称，A 选项错误；()()310f f =-=，B 选项正确；()1f x -由()f x 向右平移一个单位得到，则()1f x -关于点()0,0对称，为奇函数，C 选项错误；()1f x +由()f x 向左平移一个单位得到，则()1f x +关于点()0,0对称，为奇函数，D 选项正确；故选：BD.12.函数()ln f x x =，已知实数0m >，0n >，且m n ≠，则下列命题正确的是（）A.若()()f m f n =，则2m n +≥B.若()()f m f n <，则1m n<<C.存在m n >，使得()()22mnf f <D.()()22f m f n m n f ++⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ，C 选项，结合基本不等式可判断A ，D 选项.【详解】由()ln f x x =，可知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，若()()f m f n =，则()()f m f n =-，即1ln ln lnm n n=-=，可得1mn =，A 选项：m n +≥m n =时等号成立，又m n ≠，则2m n +>，A 选项错误；B 选项：1mn =，m n ≠，则01m n <<<或01n m <<<，B 选项错误；C 选项：若m n >，则22m n >，则()()22mnf f >恒成立，C 选项错误；D 选项：由ln 22m n m n f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()ln ln l 2n 2f m f n m n ++==，又2m n+≥，当且仅当m n =时成立，又m n ≠，所以2m n +>ln 2m n +>()()22f m f n m n f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（其中第16题第一空2分，第二空3分）13.已知幂函数()()1mf x m x =-的图象过点()2,M a ，则=a __________.【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义可得2m =，再根据函数图象过点()2,M a ，可得a .【详解】由函数()()1mf x m x =-为幂函数，得10m -=，即2m =，所以()2f x x =，又函数()f x 过点()2,M a ，则()2224a f ===，故答案为：4.14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为____________.【答案】【解析】【分析】确定222416a b +==，矩形周长为()2a b +，根据均值不等式计算得到答案.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则222416a b +==，,0a b >，矩形周长为()2a b +，()()2222222222232a b a b ab a b a b a b +=++≤+++=+=，故a b +≤，当且仅当a b ==时等号成立，故周长的最大值为故答案为：15.已知实数1b a >>，且17log log 4a b b a +=，则ln 4ln b a -=__________.【答案】0【解析】【分析】通过换底公式可得ln ln 17ln ln 4b a a b +=，可得ln 4ln ba =，即可得解.【详解】由17log log 4a b b a +=，换成以e 为底，可得ln ln 17ln ln 4b a a b +=，设ln ln b t a=，则1174t t +=，解得4t =或14t =，又1b a >>，ln ln 0b a >>，则ln 1ln bt a=>，所以4t =，即ln 4ln b a =即ln 4ln 0b a -=，故答案为：0.16.已知函数()221,0lg 1,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨->⎩，则函数()f x 的零点为__________；若关于x 的方程()()22130f x mf x m ⎡⎤++-=⎣⎦有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是__________.【答案】①.1x =--和10x =②.52,1,133⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】结合分段函数性质令()0f x =即可解得()f x 的两个零点为1x =--和10x =，画出函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于t 的方程22130t mt m ++-=有两个不相等的实根12,t t 且满足(]12,1t ∈--，21t >-；再由一元二次方程根的分布即可求得实数m 的取值范围.【详解】根据题意可得当0x ≤时，()221f x x x =+-，令()0f x =，解得1x =--或1x =-；当0x >时，()lg 1f x x =-，令()0f x =，解得10x =，所以可得函数()f x 的零点为1x =--和10x =；因此可得()221,0lg 1,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，画出函数图象如下图所示：令()f x t =，则方程()()22130f x mf x m ⎡⎤++-=⎣⎦可转化为22130t mt m ++-=；结合图象可知，当(]2,1t ∈--时，函数y t =与函数()f x 有三个交点，当2t =-或1t >-时，函数y t =与函数()f x 有两个交点，当2t <-时，函数y t =与函数()f x 有一个交点；若关于x 的方程()()22130f x mf x m ⎡⎤++-=⎣⎦有5个不同的实数根，则方程22130t mt m ++-=有两个不相等的实根12,t t ，且满足(]122,1,2t t ∈--=-或21t >-；若22t =-可得23250m m +-=，解得11m =，253m =-；经检验当11m =时，方程22130t mt m ++-=即为220t t +-=，解得121,2t t ==-，不合题意；当253m =-时，关于t 的方程可化为232205t t --=，解得1211,23t t ==-，不合题意；所以可知方程22130t mt m ++-=有两个不相等的实根12,t t 需满足(]12,1t ∈--且21t >-；若()12,1t ∈--,故()()()222222Δ4130113022130m m m m m m ⎧=-->⎪⎪--+-<⎨⎪--+->⎪⎩，解得513m -<<-或213m <<，若11t =-，可得2320m m +-=，即31m =-或423m =；检验当31m =-时，关于t 的方程可化为220t t --=，此时121,21t t =-=>-，满足题意；当423m =时，关于t 的方程可化为23210t t +-=，此时1211,13t t =-=>-，满足题意；综上可知，实数m 的取值范围为513m -<≤-或213m ≤<，所以实数m 的取值范围是52,1,133⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：1x =--10x =；52,1,133⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【点睛】方法点睛：求解方程根的嵌套问题时，经常利用换元法将方程转化，再结合函数图象利用根的分布情况得出参数满足的条件即可求得参数取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}28,14A x x B x m x m =≤≤=-≤≤||.（1）若1m =，求A B ⋂；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|24A B x x =≤≤ （2）23m ≤≤【解析】【分析】（1）将1m =代入可得{}|04B x x =≤≤，由交集运算即可求得出结果；（2）根据集合间的包含关系即可求得23m ≤≤.【小问1详解】由1m =可得{}|04B x x =≤≤，由{}28|A x x =≤≤可得{}|24A B x x =≤≤ ；【小问2详解】若A B ⊆可得1248m m -≤⎧⎨≥⎩，解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围是23m ≤≤.18.在平面直角坐标系xOy 中，角α以x 轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆221x y +=交于第二象限内的点(),P m n .（1）若35n =，求tan α及()2sin cos cos 2cos 2πααπαα++⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值；（2）若7sin cos 13αα+=，求点P 的坐标.【答案】18.34-；111019.512,1313P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义式，结合同角三角函数关系式及诱导公式化简可得解；（2）根据三角函数定义式列方程，解方程.【小问1详解】由已知角α的终边与单位圆221x y +=交于第二象限内的点(),P m n ，则sin n α=，cos m α=，tan nmα=，221+=m n ，且0m <，由35n =，得45m ==-，则335tan 445n m α===--，再由诱导公式可得()4212sin cos 2sin cos 2tan 11134sin 2cos tan 210cos 2cos 1223παααααπααααα⎛⎫-⨯-+ ⎪++-+-+⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫++-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由7sin cos 13αα+=，得713m n +=，0,0m n ，又221+=m n ，则()22249212169m n m n mn mn +=++=+=，解得60169mn =-，所以()22212028921169169n m m n mn -=+-=+=，所以1713n m -=，所以513m =-，1213n =，即512,1313P ⎛⎫-⎪⎝⎭.19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y （单位：万元）与运转时间x （单位：年）的函数关系式为2144y x x =-+-（13x ≤，且*N x ∈）（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】（1）当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45（2）当运转2年时，这批机器的年平均利润最大【解析】【分析】（1）根据二次函数性质可得最大利润；（2）根据基本不等式可得年平均利润的最大值.【小问1详解】由()22144745y x x x =-+-=--+，13x ≤，可知当7x =时，y 取最大值为45，即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45；【小问2详解】由已知可得年平均利润2144441414y x x s x x x x x x -+-⎛⎫===--+=-++ ⎪⎝⎭，13x ≤，则4141410s x x ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立，即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.20.函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且13310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）利用单调性的定义证明()f x 在()1,1-上为增函数；（3）解不等式()()120f x f x -+<.【答案】（1）()()21,1,1xf x xx +∈-=（2）证明见解析；（3）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性定义以及函数值13310f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求得1a =，0b =可得解析式；（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性，结合定义域得出不等关系即可解得不等式解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】对于()1,1x ∀∈-，都有()1,1x -∈-，所以()21ax bf x x-+-=+；又函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，所以()()f x f x -=-，即2211ax b ax b x x -++=-++，可得0b =，所以()21axf x x =+；由13310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得21133331010113af a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =；所以()21xf x x =+，因此()f x 的解析式为()()21,1,1xf x xx +∈-=【小问2详解】取()12,1,1x x ∀∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,1,1x x ∈-，且12x x <，所以12120,1x x x x -<<，即1210x x ->，可得()()()()121222121011x x x x x x --<++，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <；所以()f x 在()1,1-上为增函数；【小问3详解】将不等式()()120f x f x -+<转化为()()12f x f x -<-，又()f x 是定义在()1,1-上的奇函数,所以可得()()12f x f x -<-，再根据（2）中的结论可知12111121x xx x -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得103x <<；即不等式()()120f x f x -+<的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()()22,xf x x a a =--∈R .（1）当1a =时，解关于x 的方程()0f x =；（2）当3x ≥时，恒有()1f x ≥，求实数a 的取值范围；（3）解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）2x =或0x =；（2）(],7-∞；（3）答案见解析；【解析】【分析】（1）将1a =代入即可解出方程()0f x =的根为2x =或0x =；（2）将不等式()1f x ≥恒成立问题转化为[)min12,3,2xa x x ⎛⎫≤-∈+∞ ⎪-⎝⎭，再利用函数单调性即可得7a ≤满足题意；（3）对参数a 的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.【小问1详解】当1a =时，方程()0f x =即为()()()2210xf x x =--=，解得2x =或0x =；【小问2详解】当3x ≥时，不等式()1f x ≥可化为122xa x ≤--，依题意可知，需满足[)min12,3,2xa x x ⎛⎫≤-∈+∞ ⎪-⎝⎭，由于函数2x y =在[)3,+∞上单调递增，函数12y x =--在[)3,+∞上单调递增；所以函数122xy x =--在[)3,+∞上单调递增，因此3min 11227232x a x ⎛⎫≤-=-= ⎪--⎝⎭，即实数a 的取值范围是(],7-∞；【小问3详解】由()0f x ≥可得()()220xx a --≥，①当0a ≤时，可得20x a ->，不等式等价为20x -≥，此时不等式解集为[)2,+∞；②当04a <<时，方程()()220xx a --=有两根，即1222,log x x a ==，且22log a >；此时不等式解集为[)(]22,,log a +∞⋃-∞；③当4a =时，方程()()220xx a --=仅有一根，即2x =，此时不等式解集为R ；④当4a >时，方程()()220xx a --=有两根，即1222,log x x a ==，且22log a <；此时不等式解集为[)(]2log ,,2a +∞⋃-∞；22.设,,a b m ∈R ，若满足22()()a m b m -<-，则称a 比b 更接近m .（1）设比1+更接近0，求x 的取值范围；（2）判断“21x y mx y+-<--”是“x 比y 更接近m ”的什么条件，并说明理由；（3）设0x >且31x x y x +≠=+，试判断x 与y【答案】（1）[)0,1（2）充分不必要条件，理由见解析；（3）y 【解析】【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得x 的取值范围；（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；（3）由0x >且31x x y x +≠=+利用函数单调性，分别对0x <<和x >y x 的大小进行比较，即可得出结论.【小问1详解】根据题意可得())2210-<-，即310x -<；可得()110<，解得01x ≤<；即x 的取值范围为[)0,1；【小问2详解】充分性：显然x y ≠，由21x y m x y +-<--可得()()1x m y m x y-+-<--，①若0x y -<，则()()x m y m y x -+->-，可得0x m ->；又0x y -<可得x y <，所以0y m x m ->->；即可得()()22x m y m -<-，此时可以得出“x 比y 更接近m ”；②若0x y ->，则()()x m y m y x -+-<-，可得0x m -<；又0x y ->可得x y >，所以0x m y m >->-；即可得()()22x m y m -<-，此时可以得出“x 比y 更接近m ”；因此充分性成立必要性：由x 比y 更接近m 可得()()22x m y m -<-，即x m y m -<-，若0,3,1x y m ===，此时2113x y m x y +-=->--，即必要性不成立；所以“21x y mx y+-<--”是“x 比y 更接近m ”的充分不必要条件；【小问3详解】当x >32111x y x x +==+++在)+∞上单调递减，所以31x y x +=<+y <；)13321111x x y x x x -++-===-+++，(()221111y x x x x x ⎡⎤--=---=-++⎢⎥++⎣⎦，由对勾函数性质可知()211y x x =+++在)+∞上单调递增，所以()(2111y x x =++>+++，(()2101y x x x ⎡⎤--=-++<⎢⎥+⎣⎦y x <；同理当0x <<时，由单调性可知31x y x +=>=+y >可知)()211y x x x ⎡⎤=-+++⎢⎥+⎣⎦，又由对勾函数性质可知函数()211y x x =+++在()1上单调递减，在上单调递增；又()(2100,1001⎡⎡⎤-++<-++=⎢⎢+⎣⎦⎣，所以)()2101y x x x ⎡⎤=-+++<⎢⎥+⎣⎦在0x <<时恒成立，即y x <；综上可得满足((22y x <-，即y【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
河北省保定市联考2023-2024学年高一上学期12月期中考试 数学含解析
保定市高一年级1+3联考（答案在最后）数学试题注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､班级等信息填写在试卷规定的位置，一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，1.使2230x x --<成立的一个充分不必要条件是（）A.13x -<<B.102x -<<C.31x -<< D.16x -<<2.已知角α终边上有一点()sin2,cos2P ，则πα-是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1,BC ADC AD DC BC P ∠==== 是DC 的中点，则PA PB +=（）C.3D.94.若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,∞+上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞-B.(]4,4-C.()[),42,∞∞--⋃+D.[)4,2-5.在ABC 中，π,3,4AB ABC BC AD ∠===为BC 边上的高，O 为AD 上靠近点A 的三等分点，且AO AB AC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ-=（）A.12B.16C.19D.136.记,,A B C 为ABC 的内角，若cos ,cos B C 是方程25310x x --=的两根，则cos A =（）A.35B.35-C.15D.15+7.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比510.6182t =≈，现给出三倍角公式3cos34cos 3cos ααα=-，则t 与sin18 的关系式正确的为（）A.23sin18t =B.2sin18t =C.3sin18t =D.4sin18t =8.若函数()223,0(2),0x x f x x x a⎧+≤=⎨-<≤⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.()0,1 C.()1,4 D.()2,4二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,3,,2a b x =-=，且()2a b a -⊥ ，则（）A.()1,2b =B.225a b -=C.向量a与向量b 的夹角是45D.向量a在向量b上的投影向量坐标是()1,210.已知函数()()[]2cos (0,0,π)f x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若函数()y f x =在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若π2ϕ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11.已知向量,a b 满足||1,||2a b == ，则有关||||a b a b ++-的最值下列结论正确的是（）A.最小值为2B.最小值为4C.最大值为4D.最大值为12.给出下列四个命题，其中正确的选项有（）A.在ABC 中，13||3,||2,24AB AC AD AB AC ===+，则直线AD 通过ABC 的内心.B.在ABC 中，点O 20OB OC ++= ，若2BC =，则7OA =.C.若单位向量,a b 的夹角为120，则当()2a xb x R +∈ 取最小值时1x =.D.若()()()3,4,6,3,5,3,OA OB OC m m ABC ∠=-=-=--- 为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16.题第一空2分，第二空3分）13.若()()()12x xe ef x x x a --=++为奇函数，则a =__________.14.tan204sin20+= __________.15.设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为__________.16.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.如图，直线2y =与曲线()y f x =交于,A B 两点，π6AB =，则ϕ=__________.()y f x =在区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差的范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3π10,cos πcos 022B b a b A ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角B ；（2）若__________，求ABC 的面积.请在①2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C+=+；②3πtan 24A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 3A =这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.18.（本题满分12分）已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αααα==- ，设3,3m a b n a b =+=+.（1）求a b +的值；（2）求,m n 夹角的大小.19.（本题满分12分）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图象的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），再向右平移π12个单位长度后得到()g x 的图象，求函数()y g x =在π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间和最值.20.（本题满分12分）在扇形OAB 中，60,AOB C ∠=为弧AB 上一动点，若OC xOA yOB =+，求3x y +的取值范围.21.（本题满分12分）已知锐角ABC 内角,,A B C 及对边,,a b c ，满足22cos c b a B -=.（1）求A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长的取值范围.22.（本题满分12分）已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 平分角,ACD CB ∠与AD 相交于点O ，且5AC =，7,4AD CA CD =⋅=-（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD 的面积.保定市高一年级1+3联考数学参考答案1.【B 】解：将不等式2230x x --<化为()()130x x +-<解得13x -<<，所以结合选项知，使不等式2230x x --<成立的一个充分不必要条件是102x -<<.故选B.2.【C 】解：sin20,cos20,><∴ 角α是第四象限角，α-是第一象限角，πα-是第三象限角.故选C.3.【C 】解：取AB 的中点Q ，连接PQ ，由题意有||2||||||3PA PB PQ DA CB +==+=.故选C.4.【B 】解：由题意有2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩解得44a -<≤.故选B.5.【C 】解：在ABC 中，()()111111211,2,33333399AD BD DC AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎡⎤==∴=∴==+=+=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦211,,999λμλμ∴==∴-=.故选C .6.【D 】解：由题知有31cos cos ,cos cos .sin sin 55B C B C B C +=⋅=-∴=75=()71cos cos sin sin cos cos 5A B C B C B C +∴=-+=-=.故选D.7.【B 】解：由三倍角公式有3cos544cos 183cos18sin362sin18cos18=-== ，化简得24cos 1832sin18-= ，24sin 182sin1810∴+-= ，解得51sin184-=（负值舍去），2sin18t ∴= .故选B .8.【B 】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为{}xx a ≤∣，当0x ≤时，()(]233,4xf x =+∈，要使得定义域和值域的交集为空集，则03a <≤.又0x a <≤时，()2(2)f x x =-.①若()2,20a f ≥=，此时显然不满足题意；②若02a <<，则()f x 在(]0,a 上单调递减，())2(2),4f x a ⎡∈-⎣，故())(]2(2),43,4f x a ⎡∈-⋃⎣，则有2(2)02a a a ⎧<-⎨<<⎩，解得01a <<.故选B .9.【ACD 】解：()()()()()1,3,,2,21,32,2,12,1a b x a b x x =-=∴-=--=---.()2,1230a b a x -⊥∴+-= ，解得1x =，选项A 正确；()23,1,2a b a b -=--∴-=B 错误；cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉== .向量a 与向量b 的夹角是45 ，选项C 正确；向量a在向量b 上的投影向量()()21,2||a b bb ⋅= ，选项D 正确.故选ACD.10.【BD 】解：()[]()π02cos cos 0,π26f ϕϕϕϕ===∈⇒=.选项A 错误.若函数()y f x =为偶函数()2π0,πcos 1k k Z ϕϕϕ⇒=∈⇒=⇒=.选项B 正确.若函数()y f x =在[],a b 上单调π2T b a ω⇒-≤=.选项C 错误.若π2ϕ=时，()π2cos 2sin 2f x x x ωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调ππ3420ππ232ωωω⎧≤⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎪-≥-⎪⎩.选项D 正确.故选BD.11.【BD 】解析：法一：由向量三角不等式得，|||||()()|2||4a b a b a b a b b ++-≥+--==.又||||||||2a b a b a b a b ++-≤=++- 的最小值为4，最大值为法二：设,a b的夹角为||1,||2,||||a b a b a b θ∴==++-= .令y =210y =+.[][]][220,π,cos 0,1,16,20,4,2y y θθ⎡∈∴∈∴∈∴∈⎣ .即||||a b a b ++-的最小值为4，最大值为故选BD.12.【ABC 】解：对于选项A ，由题知，133242AB AC == .设13,24AE AB AF AC == ，则||||AE AF = .因为1324AD AB AC AE AF =+=+，所以AD 平分EAF ∠，即AD 平分BAC ∠，所以直线AD 通过ABC 的内心.故A 正确.对于选项B ，设ABC 外接圆的半径是R 20OB OC ++= 得2OB OC =--，则有222244OA OB OC OB OC⋅=++⋅ ，即2222244cos R R R R BOC ∠=++，化简得3cos 4BOC ∠=-.设2BOC ∠θ=，则在等腰三角形BOC 中，易得sin 4θ=，所以2sin 7BC R OA θ===.故B 正确.对于选项C ，2222222|2|4444cos12024(1)3a xb a xa b x b x x x x x +=+⋅+=++=-+=-+ ，故2a xb +取最小值时1x =.故C 正确.对于选项D ，()()()()()()3,46,33,15,36,31,BA OA OB BC OC OB m m m m =-=---=--⋅=-=-----=---.又ABC ∠为锐角，0BA BC ∴⋅> ，即3330,4m m m ++>∴>-.又当BA 与BC同向共线时，12m =.故当ABC ∠为锐角时，m 的取值范围是34m >-且12m ≠.故D 不正确.故选ABC .13.-2解：()f x 为奇函数，定义域关于原点对称易得2a =-.解：sin20sin202sin40tan204sin204sin20cos20cos20++=+=方法一：上式()()3cos10sin10sin 30102sin 301022cos20cos20cos20+-++===.方法二：上式sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos10sin40cos20cos20cos20++++===sin80sin402sin60cos20cos20cos20+===15.4解：不妨设ABC 的外接圆半径长为2.由22AO AB AC BO AO AB AC =+⇒=-=，()2212()()2AO AO AB AC AO AB AC AB ⋅=+⋅=+⇒=延长,OC BA 交于点P ，在ACP中，1,2AC AB AP OC CP =====.由余弦定理得222610cos sin sin 44PAC BAC PAC ∠∠∠==⇒==.16.π12；12⎡-⎢⎣解：()()π2ππππ263336B A B A AB x x x x ωϕωϕωωω=⇒+-+=-=-==⇒=πππ22π,24212k k Z ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⇒⋅-+=∈<⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（第一空2分）()πsin 212f x x ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭.显然，结合函数的周期，当区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎣⎦两个端点对应的函数()f x 图像上的两个点关于函数()f x 的某条对称轴对称且相邻时，最大值与最小值的差最小为12-；当函数()y f x =区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调（不妨设为单调递增）时，最大值与最小值的差最大.此时()πππππππsin 2sin 2cos 2sin 2244121212126f t f t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+---=---=+≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()y f x ∴=在区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差的范围是212⎡-⎢⎣⎦.（第二空3分）17.解：（1）依题意，得cossin 02Ba b A -+=.由正弦定理有sin cossin sin 2BA B A ⋅=⋅，又因为sin 0A ≠，所以cossin 2B B =，故cos 2sin cos 222B B B =.因为()0,π,cos 02B B ∈≠，所以1πsin ,223B B ==.（2）若选①：依题意，得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+，由正弦定理得222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.又π3B =，所以ABC 为等边三角形.故ABC的面积24S ==.若选②：3πtan tan3πtan 14tan 23π41tan 1tan tan 4A A A A A +-⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭-解得tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.又π3B =，所以ABC 为等边三角形.故ABC的面积24S ==.若选③：由22sin tan 3,sin cos 1cos AA A A A==+=，解得31010sin 1010A A ==，由正弦定理sin sin a b A B=3103102=a =，而()1sin sin sin cos cos sin 10210220C A B A B A B =+=+=⨯+⨯，故ABC的面积1131030sin 10152220S ab C ==⨯⨯=.18.解：（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，a b ∴+=（2）由题意得：sin cos sin cos 0,||||1a b a b αααα⋅=-+===，)()224m n b a a b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，2,2m n === ，3cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又,[0,],,6m n m n ππ<>∈∴<>= .19.解：（1）根据题意可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，解得2ω=.根据五点法作图，得5ππ2122ϕ⋅+=，所以π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据题图可得，点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心，故函数()f x 的对称中心为()ππ,023k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.（2）先将()f x 的图象的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π12个单位长度，得到πππsin 2sin 2cos21232y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即()cos2g x x =-.令()2ππ22πk x k k Z -≤≤∈，解得()πππ2k x k k Z -≤≤∈，可得()g x 的单调递减区间为()ππ,π2k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，结合π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又π3π2,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2πx =，即π2x =时，()g x 取得最大值，即max ()1g x =；当π26x =，即π12x =时，()g x 取得最小值，即min 3()2g x =-.20.解：设1OA OB ==，以O 为原点，OA 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，如图.则()131,0,,22OA OB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭不妨设OC 与x 轴的夹角为θ，则()πcos ,sin 03OC θθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ .因为OC xOA yOB =+ ，所以1cos ,23sin ,2x y y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得3cos ,323sin ,3x y θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩333cos 3x y θθ+=-在π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当0θ=时，33x y +=，为最大值；当π3θ=时，33331232x y +=-=，为最小值.所以3x y +的取值范围是[]1,3.注：本题不建系，由OC xOA yOB =+ ，两边分别点乘OA OB ､的解法参考评分标准给与相应的分数.21.解：（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C B A B -=，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以sin 2sin 2sin cos 2cos sin B C A B A B =-=，可得1cos 2A =，由()0,πA ∈，可得π3A =.（2）因为π1,3a A ==，由正弦定理sin sin 32b c B C ===，可得2πsin ,sin sin 3333b B c C B ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，可得2π1πsin sin sin sin cos 2sin 333226b c B B B B B B B B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因为锐角三角形ABC 中，所以2ππ032π02B B ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以π3sin 62B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，可得π2sin 26b c B ⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭.ABC ∴周长的取值范围为1,3⎤+⎦.22.解：（1）设ACD ∠α=，在ACD 中，由余弦定理2222cos CA CD AD CA CD α+-=⋅，又2224,||||cos 4.572(4)CA CD CA CD CD α⋅=-∴=-∴+-=⋅- ，解得4CD =.1cos ,sin 55αα∴=-=.又对角线CB 平分角21,cos 12sin 5ACD ACO ∠α∠∴=-=-，解得sin sin 5ACO DCO ∠∠==，111,sin sin sin 222ACD ACO DCO S S S CA CD CA CO ACO CO CD DCO α∠∠=+∴⋅=⋅+⋅ .解得9CO =.（2）在ACD 中，由正弦定理可得5sin sin sin 265AC AD ADC ACD ADC ∠∠∠=⇒=则26sin 7ADC ∠=.由于ADC ∠在为锐角，所以5cos 7ADC ∠=.因为BD BC =，所以BDC BCD ∠∠=.所以1510sin sin cos 55BDC BCD BDC ∠∠∠===.在等腰BDC 中，11022cos 5CD BDC BD BD∠⋅===，解得10BD BC ==.因为5cos 7ADC ∠=，所以()sin sin sin cos cos sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC ∠∠∠∠∠∠∠=-=⋅-⋅15510615575735=⋅-=，。
福建省福州市2023-2024学年高一数学上学期12月联考模拟试题(含答案)
福建省福州市2023-2024学年高一数学上学期12月联考模拟试题本试卷分第II 卷（选择题）和两部分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若角2α与220角的终边相同，则α=（）A. ()110360Z k k +⋅∈ B.()110180Z k k +⋅∈ C.()220360Z k k +⋅∈ D.()220180Z k k +⋅∈ 【正确答案】B【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.【详解】因为角2α与220角的终边相同，所以2α=()220360Z k k +⋅∈ ，则α=()110180Z k k +⋅∈ .故选：B.2. 若函数()f x 的定义域为[]22-,的定义域为（）A.(]1,3 B.[]1,3 C.(]1,3- D.[]1,3-【正确答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解.【详解】若函数()f x 的定义域为[]22-,有意义当且仅当212010x x -≤-≤⎧≠-≥⎩，解得13x <≤的定义域为(]1,3.故选：A.3. 若函数()f x 的图象在R 上连续不断，且满足()()()10,20,30f f f <<>，则下列说法正确的是（）A. ()f x 在区间()1,2上一定有零点，在区间()2,3上一定没有零点B. ()f x 在区间()1,2上一定没有零点，在区间()2,3上一定有零点C. ()f x 在区间()1,2上一定有零点，在区间()2,3上可能有零点D.()f x 在区间()1,2上可能有零点，在区间()2,3上一定有零点【正确答案】D【分析】直接根据存在定理即可得结果.【详解】因为()()10,20f f <<，所以()f x 在区间()1,2上可能有零点，因为()()20,30f f <>，()()230f f ⋅<，所以在区间()2,3上一定有零点，故选：D.4. 设集合{}(){}()2R |,|log 10,A x x a B x x B A=≤=-≥⊆ð，则a 的取值范围为（）A. 2a >B. 2a <C. 2a ≥D. 2a ≤【正确答案】C【分析】由题意解对数函数不等式得到集合B ，由()RB A ⊆ð即可得解.【详解】由题意{}|A x x a =≤，(){}{}2|log 10|2B x x x x =-≥=≥，则{}R |2B x x =<ð，若()RB A ⊆ð，则2a ≥.故选：C.5. 已知幂函数()nf x x =的图象过点()2,8，设()()()0.3222,0.3,log 0.3a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（）A. b c a << B. a c b <<C. a b c << D. c b a<<【正确答案】D【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较0.3222,0.3,log 0.3大小得解.【详解】因为幂函数()nf x x =的图象过点()2,8，所以82n=，解得3n =，即3()f x x =，故函数在R 上为增函数，因为0.30221>=，2000.30.31<<=，22log 0.3log 10<=，所以()()()0.32220.3log 0.3a f b f c f =>=>=.故选：D6. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若125l l =，则12S S =（）A. 9B. 10C. 24D. 25【正确答案】C【分析】根据题意，由125l l =可得5OA OB =，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设BOC α∠=，由125l l =，得5OA OA OB OB αα⋅==⋅，即5OA OB =，所以222222122221125222412OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα---====故选：C.7. 23a ≤≤是函数()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1是减函数的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】令()log a f x u =，2222224a a u x ax x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，u 图象的对称轴为直线2a x =，判断u 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，若要满足()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减，则()log a f x u =单调递增，进而得到不等式组，求出a 的范围，利用逻辑推理判断选项.【详解】令()log a f x u =，2222224a a u x ax x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则u 图象的对称轴为直线2ax =，所以u 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，若要满足()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减，则()log a f x u=单调递增，则2112120a a a >⎧⎪⎪≥⎨⎪-+>⎪⎩，解得123a a a >⎧⎪≥⎨⎪<⎩,故23a ≤<，则23a ≤≤是函数()2log 2(0a y x ax a =-+>且1)a ≠在[]0,1单调递减的必要不充分条件.故选：B8. 设函数()2f x ax bx c =++(,,a b c R∈，且0a >)，则（ ）A. 若02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点B. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 无零点C. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点D. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 有两个零点【正确答案】D 【分析】根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除.【详解】对于A ，如图02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()min 2b f x f f a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当min 2b f a ≥-，()()()min 0f f x f f ≥>，此时()()f f x 无零点；对于B ，()min2b f x f f a ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，如图时，()min 0f f >，如图()()f f x 在()min ,2b f x f a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()()f f x 有零点；对于C ，反例图如选项A ，此时()()f f x 无零点；对于D ，设()()()10f f x f x x =⇒=，()2f x x =，又因为1min 22b x f f x a ⎛⎫<-=< ⎪⎝⎭，所以()1f x x =无解，()2f x x =有两解，故选：D.本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（）A. α是第二象限角B. α是钝角C.4tan 3α=-D. 点()cos ,sin αα在第二象限【正确答案】ACD【分析】根据P 点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.【详解】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；44tan 33t t α==--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.10. 对于实数,,a b c ，下列说法正确的是（）A. 若22ac bc >，则a b>B. 若a b >，则11a b<C. 若0a b >>，则2ab b<D. 若c a b >>，则a bc a c b>--【正确答案】AC【分析】由特值法可判断BD ，由不等式的性质判断A ，由作差法判断C ，从而得解.【详解】对于A ，因为22ac bc >，所以0c ≠，则20c >，则a b >，故A 正确；对于B ，取1,1a b ==-，则1111ab =>-=，故B 错误；对于C ，若0a b >>，则()20ab b b a b -=-<，即2ab b <，故C 正确；对于D ，因为c a b >>，当0c =时，1a b c a c b ==---，故D 错误．故选：AC ．11. 已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A. ()f x 为奇函数B. ()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞C. 若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D. 当0x >时，恒有5()2f x x≥成立【正确答案】AC【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x +==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1(()f f x x =，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x =+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,][,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111(()111()1x x x x f f x x x x x x ++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1()()f f x x =，进而得到211x x =为关键.12. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对(),0,x y ∀∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，且112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()10f =B. 函数()f x 在()0,∞+上单调递增C.()()()1112320232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 满足不等式()()22f x f x --≥的x取值范围为82,3⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用赋值法求得()10f =，从而得以判断；对于B ，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C ，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D ，先求得113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将不等式转化为()()918f x f x ≥-，从而得到关于x 的不等式，解之即可判断.【详解】对于A ，因为()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，得()()()()11121f f f f =+=，所以()10f =，故A 正确；对于B ，令10y x =>，得()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()210f x f x ->，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，故B 正确；对于C ，()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()11123202311110232023f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()()f xy f x f y =+，所以1112422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()42f =，由()()22f x f x --≥得()()()24f x f x f --≥即()()48f x f x ≥-，因为()f x在()0,∞+上是增函数，所以2048xxx x>⎧⎪->⎨⎪≥-⎩，解得823x<≤，所以不等式()()22f x f x--≥的解集为82,3⎛⎤⎥⎝⎦，故D正确.故选：ABD.关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，1(2P为其终边上一点，则sin()2πα+=________【正确答案】【分析】由三角函数的定义可求出cosα的值，然后由诱导公式可得sin()cos2παα+=得到答案.【详解】点1()2P在角α的终边上，则1r OP==.由三角函数的定义可得：cosxrα==又sin()cos2παα+==故本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.14. 若命题“2000R,10x mx mx∃∈++≤”是假命题，则实数m的取值范围是__________.【正确答案】[) 0,4【分析】易知0m =不等式成立，当0m ≠时，根据一元二次不等式恒成立即可判断.【详解】因为命题“2000R,10x mx mx ∃∈++≤”是假命题，所以210mx mx ++>在R 上恒成立，当0m =时，不等式210mx mx ++>化为10>，恒成立；当0m ≠时，由不等式210mx mx ++>恒成立，得20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，解得：04m <<，因此实数m 的取值范围为[)0,4．故答案为.[)0,415. 音量大小的单位是分贝()dB ，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由公式010lgII η=⋅（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设170dB η=的声音的声波强度为12,65d I B η=的声音的声波强度为2I ，则1I 是2I 的__________倍.【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解.【详解】由题意10010I I η=，所以12706511101022101010I I ηη--====.故答案为16. 设函数()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()2g 23x f x a f x =-++恰好有四个零点，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】[)2,+∞【分析】画出()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩图象，换元后分析可知方程的一根在区间(]0,1上，另一根在区间()2,∞+上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】作出函数()541,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，令()f x t=，函数()()()()2g 23x f x a f x =-++恰好有四个零点．则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，设()2230t a t -++=的两根为12,t t ，因为123t t =，所以两根均大于0，且方程的一根在区间(]0,1内，另一根在区间()2,∞+内．令()()223g t t a t =-++所以()()()()2Δ2120001020a g g g ⎧=+->⎪>⎪⎨≤⎪⎪<⎩，解得：2a ≥，综上：实数a 的取值范围为[)2,.∞+故[)2,.∞+关键点点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17. （1）计算：13ln 2431e log 9log 427-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭；（2）已知11223(1)m mm -+=>，求22m m --的值.【正确答案】（1）11π-；（2）【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得22m m --.【详解】（1）原式()133433π422log 3log 434π2211π--=+-++⋅=+-++=-.（2）2112223m m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，17m m -∴+=，()2127m m -∴+=即2247m m-+=，()2122245m m m m --∴-=+-=，1m >，1m m -∴-=，()()2211m m m m m m ---∴-=+-=18. 在①()tan 3απ+=；②()()πsin πsin 2cos 2ααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭；③π3π3sin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知__________.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值；（2）当α为第三象限角时，求()()π3πsin cos πcos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫--+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】（1）选①②③，答案均为112（2【分析】（1）若选①，利用诱导公式得到tan 3α=，化弦为切，代入求值即可；若选②和③，利用诱导公式和同角三角函数关系得到tan 3α=，化弦为切，代入求值即可；（2）根据tan 3α=，利用同角三角函数关系求出cos ,sin αα，利用诱导公式化简，代入求值.【小问1详解】若选①()tan 3απ+=，则tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---；若选②()()πsin πsin 2cos 2ααα⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，则sin cos 2cos ααα-=，即sin 3cos αα=，则tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---；若选③π3π3sin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 3cos αα=，即tan 3α=，所以3sin 2cos 3tan 233211sin cos tan 1312αααααα++⨯+===---.【小问2详解】由（1）得tan 3α=，即sin 3cos αα=，由22sin cos 1αα+=，则22(3cos )cos1αα+=，解得cos α=，αQ为第三象限角，cos αα∴==，()()π3πsin cos πcos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫∴--+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin cos αααα=-++⎛=+= ⎝.19. 已知函数()24(0)f x ax ax b a =-+>在[]0,3上的最大值为3，最小值为-1.（1）求()f x 的解析式；（2）若[)2,x ∃∈+∞，使得()f x mx<，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）()243f x x x =-+（2）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式；（2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解.【小问1详解】依题意得()()2(2)403f x a x b a x =-+-≤≤，[]0,20,3a >∈ ，()min ()21f x f ∴==-，()()0,33f b f b a b ==-< ，()max ()03f x f ∴==，413b a b -=-⎧∴⎨=⎩，即13a b =⎧⎨=⎩，()243f x x x ∴=-+.【小问2详解】[)2,x ∃∈+∞，使得()[)32,,4f x mx x x m x ∞<⇔∃∈++-<，令()()342g x x x x =+-≥，由对勾函数的单调性知，()g x在)+∞上单调递增，2x ≥ ，∴当2x =时，min 31()2422g x =+-=-，m ∴的取值范围为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.20. 已知函数()3log f x x=.（1）设函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式；（2）已知27x ⎤∈⎦时，函数()39a xx h x f f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为2-，求实数a 的值.【正确答案】（1）()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩（2）2- 5.【分析】（1）由奇函数的性质结合()f x 的解析式可求()g x 的解析式；（2）首先化简得()()233log 2log 2h x x a x a=-++，再利用换元法结合二次函数的性质求a 的值即可.【小问1详解】 当0x <时，0x ->， 当0x >时，()()()3log ,g x f x x g x ==为R 上的奇函数()()()()3log ,00g x g x x g ∴=--=--=综上所述，函数()g x 的解析式为()()33log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪--<⎩；【小问2详解】27x ⎤∈⎦()()()()2333333log log log log 2log 2log 23939aa xx x x h x f f x a x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅=--=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设3log t x =，则1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()h x 化为()()2222(2)2224a a s t t a t a t +-⎡⎤=-++=--⎢⎥⎣⎦.①当2123a +≤，即43a ≤-时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数()h x ∴的最小值为min 55()239s t a =-=-，解得1315a =-（不合题意，舍去）②当232a +≥，即4a ≥时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数()h x ∴的最小值为()min ()332s t s a ==-=-，解得5a =③当12332a +<<，即433a -<<时，函数()s t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值22a s +⎛⎫ ⎪⎝⎭()h x ∴的最小值为2min2(2)()224a a s t s ++⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭解得2a =-或2a =+综上所述，实数a的值为2- 5.21. “双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额15015051505260⎡⎤-⨯=-⨯⎢⎥⎣⎦=140元，其中[x]表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额8108105401810560⎡⎤-⨯-⨯=-⨯⎢⎥⎣⎦13-40=705元．（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【正确答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）15件或16件，25元/件【分析】(1)分别按两次支付及一次支付求出支付额，进行比较即可求解；(2) 设购买x （x ∈N *）件，平均价格为y 元/件，当1≤x ≤14时，及当15≤x ≤19时，求出最低平均价格即可求解.【小问1详解】解：（1）分两次支付：支付额为2506502505650540230600407906060⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦元，一次支付：支付额为900900540274560⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦元因为745＜790，所以一次支付好．【小问2详解】（2）设购买x （x ∈N *）件，平均价格为y 元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，当1≤x ≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当1≤x ≤14时，130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，n ∈N *，当x ＝2n 时，53027.52y n n =-⨯=，n ∈N *．当x ＝2n+1时，()555303027.5212221y n n n =-⨯=-+>++，n ∈N *．所以当1≤x ≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15≤x ≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠，1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-⨯- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当x ＝2n 时，540203027.522y n n n n =-⨯-=-，当n ＝8，x ＝16时，y min ＝25，当x ＝2n+1时，()540575303021212221y n n n n =-⨯-=--+++，y 随着n 的增大而增大，所以当n ＝7，x ＝15时，y min ＝25．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．22. 已知函数()xf x -=3，函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称.（1）求()9g 的值；（2）若函数()3y f x k=--在[]2,1x∈-上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数()()23log440f xy m xx-=-->在[],a b上的值域为[]2,2a b，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）2-（2）{8|63k k<≤或}0k=（3）存在，(),0∞-【分析】（1）由题意()13logg x x=，将9x=代入可得答案.（2）由题意即关于x的方程33xk-=-在[]2,1x∈-上有且仅有一个实根，设()33xh x-=-,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记()44F x m xx=-+-，则函数()F x在[],a b上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程()2F x x=的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.【小问1详解】由题意，()13logg x x=，所以()139log92g==-【小问2详解】由题意即关于x的方程33xk-=-在[]2,1x∈-上有且仅有一个实根，设()33xh x-=-，作出函数()33xh x-=-在[]2,1x∈-上的图像（如下图）()26h -=，()813h =，由题意，直线y k =与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k 的取值范围是{8|63k k <≤或}0k =【小问3详解】记()()23log 4444f x F x m m x xx -=--=-+-，其中0x >，()F x 在定义域()0,+∞上单调递增，则函数()F x 在[],a b 上单调递增，若存在实数m ，使得()F x 的值域为[]2,2a b ，则()()22F a a F b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a ，b 是方程()2F x x =的两个不等正根，即a ，b 是()2440x m x +-+=的两个不等正根，所以()2Δ4160,40,40,m a b m a b ⎧=-->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩解得0m <，所以实数m 的取值范围是(),0-∞.思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.。
广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)
柳州市高中2024级12月联考试题高一数学（考试时间 120分钟 满分 150分）注意：1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效.2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题.3.选择题，请用铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（ ）A. B.C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.对数与互为相反数，则（ ）A. B. C. D.4.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C.D.5.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（ ）x014269A.2B.6C.9D.02B 0.5mm ()11f x x =+-[)0,+∞[)()0,11,+∞ ()()0,11,+∞ [)1,+∞0x ∀<210x ax +-≥0x ∃>210x ax +-<0x ∀>210x ax +->0x ∀<210x ax +-<0x ∃<210x ax +-<lg a lg b 0a b +=0a b -=1ab =1a b=a b >2a b >-22a b>1a b>2a b >+()f x ()g x ()()3f g =()f x6.已知，则的最小值为（ ）A. B.0C.1D.37.一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A. B.C. D.8.已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.与表示同一个函数的是（ ）A. B. C. D.10.已知，则满足的关系式有（ ）A. B.C. D.11.设，用表示不超过x 的最大整数，例如，，.则下列关于函数的说法正确的是（ ）A.B.在R 上单调递增C.对任意，，都有D.对于任意实数x ，y ，是成立的充分不必要条件第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写成指数幂形式为________.1x >-41x x ++4-23208kx kx +-<30k -<<30k -<≤304k -<<34k -<≤()2xf x x =+()2log g x x x =+()3h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>y x =y =2y =,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩2x y x=()2211x f x x+=-()f x ()()f x f x =-()()f x f x =--()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭R x ∈[]x []3.54-=-[]2.12=()[]f x x =()1x f x x -<≤()f x R x ∈Z k ∈()()f x k f x k+=+()()f x f y =1x y -<)0x >13.幂函数的图象经过点，则的值为________.14.已知函数的图象如图所示，则的定义域是________，值域是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合，，.（1）求，；（2）若集合，是否存在实数a ，使得？若存在，试求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.16.（15分）已知函数经过，两点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；（3）当时，，求实数m 的最小值.17.（15分）某地区推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量P （单位：千克）与施肥量x （单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.（1）求函数的解析式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？18.（17分）设函数，.()y f x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭f ()y f x =()y f x ={}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,5A ={}1,3,5,7B =()U A B ð()()U U A B ðð()(){}20C x x x a =--=A C A = ()21x f x ax b +=+()1,252,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()0,111,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()m f x ≥()()()()2420236261x x P x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩16x ()2005x +()f x ()f x ()2x x e e f x --=()2x xe e g x -+=（1）判断函数的奇偶性，并讨论函数的单调性（不需证明单调性）；（2）求证：；（3）若在区间上的最小值为，求t 的值.19.（17分）已知有限实数集，若，则称A 为“和积平衡集”.（1）分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”；（2）已知集合M 为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M （不需要说明理由）；（3）已知实数x 、y ，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z 满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由.()f x ()f x ()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f =-+⋅[]1,1-78-{}()12,,,2,N n A a a a n n =≥∈ 1212n n a a a a a a +++= {}1,2P={}1,2Q =--+*N M ⊆{},x y 2z xy ={},,x y z柳州市高中2024级12月联考高一数学参考答案及评分标准2024.12一、选择题12345678B DCABDAB二、多选题91011选1个（A 或C ）选2个（AC ）选1个（A 或D ）选2个（AD ）选1个（A 或C 或D ）选2个（AC 或AD 或CD ）选3个（ACD ）3分6分3分6分2分4分6分三、填空题12.13.214.，（第一个空2分，第二个空3分）三、解答题15.（1），，（2）若存在实数a ，使得则所以或516.解：（1），，，解得，（2）在上单调递减，证明如下：任取，，且，23x[][]3,01,3- []1,5{}1,2,3,4,5,6,7U = {}2,4,5A ={}1,3,5,7B =(){}1,3,6,7U A ∴=ð(){}2,4,6UB =ð(){}2,4U A B ∴= ð()(){}6UUA B = ðð()(){}{}22,|0C x x x a a =--==A C A = C A ⊆4a =()12f = ()522f =225522a ba b ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩10a b =⎧⎨=⎩()1f x x x∴=+()f x ()0,11x ()20,1x ∈12x x <则，，，且，，，，，即，所以函数在上单调递减.（3）由（2）知在上单调递减，函数在上的最大值为，由知，所以m 的最小值为17.（1）由题意知：，整理得；（2）当时，，由一元二次函数图象可知在时取得最大值，当时，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1x ()20,1x ∈12x x <120x x ∴-<1201x x <<1210x x ∴-<()()120f x f x ∴->()()12f x f x >()f x ()0,1()f x ()0,1∴()f x 11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11033f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()m f x ≥()max m f x ≥103m ∴≥103()()()21162005f x P x x x =--+()()()()()284216200502756162005261x x x x xx x x x ⎧+--+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩()()28421320275621200(26)1x x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩02x ≤≤()2842132f x x x =--2x =()f x ()2262f =26x <≤()()()75617567562120021117911x xf x x x x x +-=--=-+-++，当且仅当，即时等号成立，，的最大值是，当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.18.（1）由题意可知，的定义域为R ，定义域关于原点对称又，所以为奇函数；因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增；（2）（3）由令，由，则又则令对称轴当，即时，()7565772111x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦577≤-5772126325=-⨯=()7562111x x =++5x =()()25f f ∴<()f x ∴()5325f =∴()f x ()()e e 2x xf x f x ---==-()f x e xy =(),-∞+∞e xy -=-(),-∞+∞()f x (),-∞+∞()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e 22442x x x x x x x x x xg x f x -----⎛⎫⎛⎫+-+++-+⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭()2g x =()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤∴=+⎣⎦⎣⎦()()()22442244222ln 42ln 22222222x x x xx x x x xxxxh x f t f t t ------+-=-+⋅=-+⋅=+⋅22x xm -=-[]1,1x ∈-33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()222222222x xx xh x t ---+-=+⋅()222121222m m H m t m t m +=+⋅=+⋅+122t m t=-=-⨯32t -<-32t >，解得；当，即时，，解得，又，因此不符合题意，舍去当，即时，，解得综上知，.19.（1），集合P 不是“和积平衡集”，集合Q 是“和积平衡集”（2）符合题意的集合（3）若存在符合题意的实数z ，则，即，解得或，当时，则，，不符合题意.当，由此，x 、y 是方程的实数解.但，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当时，不符合题意综上，不存在符合题意的实数z .()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⋅-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2t =3322t -≤-≤3322t -≤≤()()()()22min11711228H m H t t t t t =-=-+⨯-+=-+=-t =3322t -≤≤32t ->32t <-()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2t =-2t =±1212⨯≠+ ∴()()112-⨯⨯-⨯+= ∴{}1,2,3M =2z xy x y xyx y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩23z z z ∴+=()210z z z --=0z =z =z =0z =0x =0y =z =x y +=xy =20t -+=240=-=<△z =。
广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题
广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题一、单选题1．函数()11f x x =-的定义域为（）A ．[)0,+∞B ．[)()0,11,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．[)1,+∞2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃>+-<B ．20,10x x ax ∀>+->C ．20,10x x ax ∀<+-<D ．20,10x x a x ∃<+-<3．对数lg a 与lg b 互为相反数，则有（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=4．下面四个条件中，使a b >成立的一个必要不充分条件是（）A ．2a b >-B ．22a b >C ．1>a bD ．2a b >+5．已知函数()f x 的对应关系如下表，函数()g x 的图象如下图所示，则()()3f g =（）x 014()f x 269A ．2B ．6C ．9D ．06．已知1x >-，则41x x ++的最小值为（）A ．4-B ．0C ．1D ．37．一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（）A ．30k -<<B ．30k -<≤C ．34k -<<D ．304k -<≤8．已知函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()3h x x x =+的零点分别为a b c ，，，则a b c，，的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>二、多选题9．与y x =表示同一个函数的是（）A ．y =B ．2y =C ．,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩D ．2x y x=10．已知()2211x f x x +=-，则()f x 满足的关系式有（）A ．()()=f x f x -B ．()()f x f x =--C ．()1f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则下列关于函数()[]f x x =的说法正确的是（）A ．()1x f x x -<≤B ．()f x 在R 上单调递增C ．对任意R x ∈，Z k ∈，都有()()f x k f x k+=+D ．对于任意实数x ，y ，()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件三、填空题12)0x >写成指数幂形式为．13．幂函数=的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则2f ⎛⎝⎭的值为.14．已知函数y =f (x )的图象如图所示，则y =f (x )的定义域是，值域是.四、解答题15．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =.(1)求()U A B ∩ð，()()U U A B ⋂痧；(2)若集合()(){}20C x x x a =--=，是否存在实数a ，使得A C A ⋃=？若存在，试求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.16．已知函数()21x f x ax b+=+经过()1,2，52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()0,1上的单调性并用定义进行证明；(3)当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()m f x ≥，求实数m 的最小值.17．某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量()P x （单位：千克）与施肥量x （单位：千克）满足函数关系：()()242(02)36(26)1x x P x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，且单株果树的肥料成本投入为16x 元，其他成本投入（如培育管理､施肥人工费等费用）为()2005x +元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为()f x （单位：元）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？18．设函数()e e 2x x f x --=，()2x xe e g x -+=.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并讨论函数()f x 的单调性（不需证明单调性）；(2)求证：()()()222g x g x f x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3)若()()()22ln 42ln 2x x xh x f t f =-+⋅在区间[]1,1-上的最小值为78-，求t 的值.19．已知有限实数集{}()12,,,2,N n A a a a n n =≥∈ ，若1212n n a a a a a a +++= ，则称A 为“和积平衡集”.(1)分别判断集合{}1,2P =、集合{}1,2Q =--是否为“和积平衡集”；(2)已知集合M 为“和积平衡集”，且*N M ⊆，请用列举法表示集合M （不需要说明理由）；(3)已知实数,x y ，若集合{},x y 为“和积平衡集”，是否存在实数z 满足2z xy =，并且使得{},,x y z 为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由.。
江西省“三新”协同教研共同体2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷
5．已知函数 f (x) x2 2x 3，当 x [2,a] 时， f (x) 的值域为[5, 4]，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A．0, 4
B． 0, 3
C． (1, 4]
D．1, 4
6．已知 a 0 ， b 0 ，且满足 2a b ab 0 ，则 a 2b 的最小值为（ ）
y/万元 1 2 5 4 1 (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)请根据去年超市的利润与广告宣传费之间的函数关系，估算今年的广告宣传费投入多 少万元，超市的利润最大.
六、证明题
19．（1）已知 a
0，b
0，c
0 ，且满足 2a
3b
5c
，求证：
1 a
1 c
2 b
.
（2）若
m
0
，
n
0
，且满足
3m m
log3n
n
2
2
，求
m
n
.
七、问答题 20．已知函数 f (x) mx 2 nx(m, n R) .
(1)若关于 x 的不等式 f (x) t t R 的解集是x 3 x 2 ，求不等式 nx2 mx t 0 的
试卷第 3页，共 4页
解集；
(2)若
f
1
0 ， m [1,3ຫໍສະໝຸດ ，求AxZ∣2
x x
5
1
的非空真子集的个数为
.
1
14． 27 3
1 2
log2
1 64
.
试卷第 2页，共 4页
15．已知幂函数
f
(x)
的图象过点
(2, 4)
，则函数
g(x)
湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题含答案
鄂西南三校高一年级12月联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试题卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2{3},870M x x N x x x =>=-+<∣∣，则M N ⋂=（）A.()3,8 B.()3,7 C.()1,3 D.()1,7【答案】B 【解析】【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.【详解】因为{17}N xx =<<∣，所以()3,7M N ⋂=.故选：B.2.已知函数()f x 的定义域为()1,4，则()2f x x+的定义域为（）A.()1,2- B.()3,6C.()()1,00,2-⋃ D.()()1,00,3- 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为()1,4，则函数()2f x x +满足124x x <+<⎧⎨≠⎩，解得10x -<<或02x <<，即函数()2f x x+的定义域为()()1,00,2-⋃.故选：C.3.已知()12fx x +=+，则函数()f x 的解析式为（）A.()2f x x = B.()21f x x =+（1x ≥）C.()223x x x f =-+（1x ≥）D.()222f x x x =-+（1x ≥）【答案】C 【解析】【分析】令1x t +=（1t ≥），采用换元法求函数的解析式.【详解】设1x t +=（1t ≥），则()21x t =-，()()221223f t t t t =-+=-+，所以()223x x x f =-+（1x ≥），故选：C.4.已知函数()22()1x x x f x x --=-，则()f x 的图象大致是（）A.B.C. D.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性判断A 选项；由102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可以判断B 、C 选项，即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，在定义域内有()()()()222211x xxxx x f x f x x x ------===---，所以函数()f x 在定义域{}|1x x ≠±上是偶函数，则A 选项错误；又112212221012212f -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，则B 、C 选项错误；故选：D.5.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物组织内的碳14质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t 年后，碳14所剩质量()573012tC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0C 为活体生物组织内碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍，已知 2.1210.232⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）A.金（公元11151234-年）B.元（公元12061368-年）C.明（公元13681644-年）D.清（公元1616-1911年）【答案】B 【解析】【分析】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意建立方程求解即可.【详解】设活体生物组织内碳14的质量01C =，由题意知：573010.922t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又 2.1220.121110.920.234222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯≈⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，57300.12687.6t ∴≈⨯=，2023687.61335.41335-=≈，所以该生物死亡的朝代为元.6.已知关于x 的不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.(]5,6 B.[)4,3--C.[)(]4,35,6-- D.(][)4,35,6-- 【答案】C 【解析】【分析】化不等式为()()10x a x --<，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．【详解】不等式()210x a x a -++<，可化为()()10x a x --<，当1a =时，不等式()210x a x a -++<的解集为空集，不合题意；当1a >时，不等式()210x a x a -++<的解集为()1,a ，要使不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则56a <≤，当1a <时，不等式()210x a x a -++<的解集为(),1a ，要使不等式()210x a x a -++<恰有四个整数解，则43a -≤<-，综上可得，实数a 的取值范围是[)(]4,35,6-- ．故选：C ．7.已知0,0x y >>，且11223x y +=+，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()4,6- B.()3,0- C.()4,1- D.()1,3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求出2x y ++的最小值，即可得到4x y +≥，从而得到234m m +<，解得即可.【详解】因为0x >，0y >，且11223x y +=+，所以()3113222112222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭3262⎛≥+= ⎝，当且仅当22y x x y+=+，即3y =，1x =时取等号，所以4x y +≥，因为23x y m m +>+恒成立，所以234m m +<，即()()140m m -+<，解得41m -<<，所以实数m 的取值范围是()4,1-.故选：C8.函数y =的单调区间为（）A.在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增B.在[2,1]-上单调递减，在[1,4]上单调递增C.在(,1]-∞上单调递增，在[1,)+∞上单调递减D.在[2,1]-上单调递增，在[1,4]上单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调区间.【详解】由()()228240x x x x -++=-+-≥，解得函数y =的定义域为[]2,4-.由于228y x x =-++开口向下，对称轴为1x =.2x y =在R 上递增，根据复合函数单调性同增异减可知函数y =[2,1]-上单调递增，在[1,4]上单调递减.故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列比较大小正确的是（）A.0.10.222< B.> C. 3.5 2.30.30.3--> D.0.5 1.21.20.5<【答案】AC 【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由指数函数2x y =为单调递增函数，可得0.10.222<成立，所以A 正确；对于B ，由幂函数y =()0,+∞上单调递增，可得<B 不正确；对于C ，由指数函数0.3x y =为单调递减函数，可得 3.5 2.30.30.3-->成立，所以C 正确；对于D ，由0.5 1.2001.21,1.20.5150.>=<=，所以 1.20.510.5.2>，所以D 不正确.故选：AC.10.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x =-与0y =B.y =y =C.||y x =与z = D.1y x =+与3211x y x x +=-+【答案】BCD 【解析】【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.【详解】对于A ，01y x =-的定义域为{}0x x ≠，0y =的定义域为R ，定义域不同，故不是同一个函数；对于B ，由010x x ≥⎧⎨-≥⎩得01x ≤≤，即y =的定义域为[]0,1，由20x x -≥得01x ≤≤，即y =的定义域为[]0,1，结合y ==对于C ，因为||y x =与z y ==的定义域、解析式相同，故是同一函数；对于D ，因为1y x =+与32111x y x x x +==+-+（22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数；故选：BCD.11.定义函数{}[]x x x =-为实数x 的小数部分，[]x 为不超过x 的最大整数，则不正确的有（）A.{}x 的最小值为0，最大值为1B.{}x 在[](),1Z n n n +∈为增函数C.{}x 是奇函数D.{}x 满足{}{}1x x +=【答案】ABC 【解析】【分析】首先注意到R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，结合函数新定义先得到{}x 是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC 选项，最后研究{}x 在[)0,1上的最值情况即可.【详解】对于D ，因为R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，此时{}[]x x x x k =-=-，{}[]()112,11111k x k x x x x k x k +≤+<++=+-+=+-+=-，这表明了{}{}1x x +=，故D 正确；对于B ，首先1n n <+，由D 选项分析可知，{}{}1,Z n n n +=∈，故B 错误；对于C ，由D 选项分析可知，{}x 是周期为1的周期函数，所以1111220102222⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫+-==⨯-=≠⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，故C 错误；对于A ，由D 选项分析得知，{}x 是周期为1的周期函数，所以只需研究它在[)0,1上的最值情况即可，而当[)0,1x ∈时，{}[)00,1x x x =-=∈，即{}x 的最小值为0，没有最大值，故A 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到R,Z x k ∀∈∃∈，使得1k x k ≤<+，结合函数新定义得出{}x 是周期函数.12.已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足：当12x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则（）A.()()3443f f <B.函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数C.函数()y xf x =在区间()0,∞+为增函数D.()()()121212223f x x f x x f x x +++>+【答案】BD【解析】【分析】令124,3x x ==可判断A ；不妨设120x x >>，可得()()21120x f x x f x ->，即1212()()f x f x x x >，即可判断B ；结合选项B ，可取()4f x x =-判断C ；结合选项B 及不等式的性质判断D.【详解】令124,3x x ==，则有()()3443043f f ->-，即()()3443>f f ，故A 错误；不妨设120x x >>，由()()2112120x f x x f x x x ->-，可得()()21120x f x x f x ->，∴1212()()f x f x x x >，∴函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数，故B 正确；由选项B 可知，函数()f x y x=在区间()0,∞+为增函数，可取()4f x x =-，此时()41f x y xx==-在区间()0,∞+为增函数，而()()22424y xf x x x x ==-=--，可知函数()y xf x =在()0,2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数，故C 错误；∵函数()f x y x =在区间()0,∞+为增函数，12121212,22x x x x x x x x ++>>++，∴()()()()121212121212121222,22f x x f x x f x x f x x x x x x x x x x ++++>>++++，∴()()()()()()1212121212121212222,2x x f x x x x f x x f x x fx x x x x x +++++>+>++，∴()()()()()()12121212121212122222x x f x x x x f x x f x x f x x x x x x +++++++>+++()123fx x =+，故D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分．13.命题“∀x ∈R ，12x -<0”的否定是________________．【答案】R x ∃∈,使得2x ≥.【解析】【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题“∀x ∈R ，12x -<0”即为：“∀x ∈R ，2x <”，所以其否定是：“R x ∃∈,使得2x ≥”.故答案为：R x ∃∈,使得2x ≥.14.已知()()22,121,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在定义域内单调，则a 的取值范围是_____________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】根据指数函数，二次函数的单调性，结合分段函数单调性的要求即可求解.【详解】由分段函数中当1x ≥时，2()21f x x ax =-+，对称轴为x a =，所以，当1a ≤时，函数()f x 在[)1,+∞上增函数；当1a >时，函数()f x 在()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增函数，而在[1,)+∞上不单调.综上可知，函数()()22,121,1xa x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩在R 上单调递增函数.因此可得211222a a a a +>⎧⎪≤⎨⎪+≤-⎩，解得10a -<≤.故a 的取值范围是(]1,0-.15.已知()f x =，若函数()y f x =的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为__________.【答案】[4,)+∞【解析】【分析】分类讨论，在0m >时由0∆≥可得．【详解】0m =时，()1f x =不合题意，因此0m >且240m m ∆=-≥，∴4m ≥，故答案为：[4,)+∞．16.已知函数()g x 的定义域为R ，满足()()2g x g x -=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，且()01g =，则()2g =______；2312i i g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑______.附注：()()()()()1123ni g i g g g g n ==++++∑ .【答案】①.1-②.1-【解析】【分析】根据已知可得()g x 的图象关于()1,0对称、关于直线0x =对称，利用对称性可得()g x 的周期，结合已知条件和周期即可求和.【详解】因为()()2g x g x -=-，所以函数()g x 的图象关于点()1,0对称，且()()201g g =-=-；又()1g x -的图象关于直线1x =对称，所以()g x 的图象关于直线0x =对称，即()g x 为偶函数，所以()()()()()4222g x g x g x g x -=--=--=，所以()g x 以4为周期，所以()()()8401g g g ===，()()()10621g g g ===-，()()()9510g g g ===，()()()()()1173110g g g g g ===-==，所以()()()()123111g g g g ++++=- ，因为11222g g ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理57022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，911022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1315022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1719022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2123022g g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1352302222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以()2311323112222i i g g g g g =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ .故答案为：1-；1-【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值（1）()1220310.124-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）设3436x y ==，21x y+的值.【答案】（1）5（2）1【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的计算可得；（2）根据对数和指数的关系，将指数式化成对数，再根据对数的运算及性质计算可得；【详解】解：（1）()1220310.124-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()12113321224--=+⨯+1225=++=.（2）3436x y == ，3log 36x ∴=，4log 36y =361log 3x∴=，361log 4y =()2363636212log 3log 4log 341x y∴+=+=⨯=【点睛】本题考查分数指数幂的运算，对数和指数的关系，以及对数的运算，属于基础题.18.已知集合{}2|320A x x x =-+=，(){}2|2120B x ax a x =-++=．（1）若2a =，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{2}（2）1{0,1,}2【解析】【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的交集运算即得答案；（2）由A B B = 得B A ⊆，分类讨论，根据判别式讨论集合B 中元素，判断是否满足题意，确定a 的值，即可得答案.【小问1详解】由题意得集合{}2|{1,023}2A x x x =-+==，{}21|2520{2,}2B x x x =-+==，故{2}A B = ；【小问2详解】由A B B = 得B A ⊆，由于{1,2}A =，故0a =时，{}|20{2}B x x =-+==，满足题意；当0a ≠时，对于()22120ax a x -++=，221(21)84()02a a a ∆=+-=-≥，当Δ0=时，12a =，此时21|220{2}2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，满足题意；当0∆>时，12a ≠，0a ≠，此时1,2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，要满足B A ⊆，则11,1a a =∴=，故实数a 的取值集合为1{0,1,}2.19.已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,+¥上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-.【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，2221m m -+=，2520k k ->，即可求出,m k ，得到函数()f x 的解析式；（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得()()212f x f x -<-，即212x x -<-，即可解出．【详解】（1）∵2221m m -+=，∴1m =，∵2520k k ->，∴()502k k <<∈Z ，即1k =或2，∵()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 为偶函数，∴2k =，即()2f x x =．(2)∵()()()()212212f x f x fx f x -<-⇒-<-∴212x x -<-，()()22212x x -<-，21x <，∴()1,1x ∈-，即x 的取值范围为()1,1-．20.已知函数()22,0,0x ax x f x mx nx x ⎧-+≥=⎨+<⎩是定义在R 上的奇函数.（1）当4a =时，求m ，n 的值：（2）若函数()f x 在[)0,∞+上单调递减.（i ）求实数a 的取值范围：（ii ）若对任意实数u ，不等式()()210f u f u t -++<恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1,4m n ==（2）（i ）(],0-∞；（ii ）5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到0x <时的解析式，求出m ，n 的值；（2）（i ）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出0a ≤；（ii ）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，求出答案.【小问1详解】当0x ≥时，()24f x x x =-+，当0x <时，0x ->，()()2244f x x x x x -=---=--，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()24f x x x -=--，所以()24f x x x =+，所以1,4m n ==；【小问2详解】（i ）()f x 在[)0,∞+上单调递减，()2f x x ax =-+，开口向下，对称轴为22a a x =-=-，所以02a ≤，解得0a ≤，（ii ）()f x 为定义在R 上的奇函数，故()()()()()221011f u f u t f u t f u f u -++<⇒+<--=-，又()f x 在[)0,∞+上单调递减，故()f x 在R 上单调递减，故21u t u +>-，即2215124t u u u ⎛⎫>--+=-++ ⎪⎝⎭恒成立，由于()2155244g u u ⎛⎫=-++≤ ⎪⎝⎭，故54t >，实数t 的取值范围为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x （万元），且()210900,0401000015019600,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.（1）求2023年的利润()f x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）100，4400万元【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当040x <<时，22()15100109005000106005000f x x x x x x =⨯---=-+-，当40x ≥时，1000010000()151001501960050004600f x x x x x x=⨯--+-=--+，综上，()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，()2106005000,040100004600,40x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩，当040x <<时，22()10600500010(30)4000f x x x x =-+-=--+，因为()300,40∈，所以，当30x =时，max ()(30)4000f x f ==，当40x ≥时，1000010000()4600()46004600246002004400f x x x x x =--+=-++≤--=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，此时10040x =>，又44004000>，所以，2023年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4400万元.22.函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为y 关于x 的奇函数，给定函数1()31x f x =+．（1）求()f x 的对称中心；（2）已知函数2()+g x x mx =-，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[)21,+∈∞x ，使得12()()g x f x ≤，求实数m 的取值范围．【答案】22.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭23.[]1,1-【解析】【分析】（1）构造函数()()h x f x a b =+-，由()()0h x h x -+=列方程组，从而求得对称中心.（2）先求得()f x 在区间[)1,+∞上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得m 的取值范围.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(),a b ，则()()131+=+-=-+x a h x f x a b b 的图象关于原点中心对称，因为()h x 的定义域为R ，所以()()1103131-++-+=-+-=++x a x a h x h x b b 恒成立，即()()2123322230+-+-++--⋅=x a x a a b b b 恒成立，所以212022230a b b b -=⎧⎨--⋅=⎩，解得012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】函数()()131=∈+x f x x R 在区间[)1,+∞上单调递减，在区间[)1,+∞上值域为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，由题意可知：()14≤g x 对[]1,1x ∈-恒成立，因为2()+g x x mx =-开口向下，对称轴为2m x =，若12m ≤-，即2m ≤-时，则()g x 在[]1,1-上单调递减，则114--≤m ，解得54m ≥-，不合题意；若112m -<<，即22m -<<时，则()g x 在1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,12m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则221424-+≤m m ，解得11m -≤≤；若12m ≥，即2m ≥时，则()g x 在[]1,1-上单调递增，则114-+≤m ，解得54m ≤，不合题意；。
湖南省名校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题
19．已知函数
f
x
(x
1 3)2
m ,x
3．
(1)求函数 f x 的值域；
(2)已知函数 g x f x ln x 1 的一个零点为 2，求函数 g x 的其余零点．
20．已知幂函数 f x m2 3 xm 在 0, 上单调递减．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若 x 1, 2 ， f x 2x a ，求 a 的取值范围．
1 2
x
13
8．设偶函数 f x 在0, 2 上是增函数，且 f 2 2 ，若对所有的 x 2, 2 及任意的
m 1,1 都满足 f x t2 mt 4 ，则 t 的取值范围是（ ）
A． 1, 3
B． 1,1
C． , 33,
D． 3, 3
二、多选题 9．下列说法正确的是（ ）
A． πrad 180
C． f x 1, g x x0
D． f x 2x , g x exln2
11．已知函数
f
x
x2 x,x 0
2
x
x
2
,
x
0
，若关于 x 的不等式
f
x 2
af
x 恰有
1
个整数
解，则实数 a 的取值可以为（ ）
A． 6
B． 5
C．1.5
12．下列结论中正确的是（ ）
A．若函数 f lnx x 3 ，且 f m 4 ，则 m 0
67
3
0
3
325
2
1 8
2 3
3
1
2 43 ；
(2) eln3 log49 log278 lg2 lg50 ．
18．已知 为锐角，且满足 2tan2 3tan 2 0 .
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高一上学期数学12月联考试卷
一、单选题
1. 设集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （）
A .
B .
C .
D .
3. 函数的定义域为
A .
B .
C .
D .
4. 已知角终边上一点P的坐标为，则
的值是
A .
B .
C .
D .
5. 若为第二象限角，且，则
A .
B . -1
C .
D .
6. 若函数的零点在区间内，则
A . 0
B . 3
C . 2
D . 1
7. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像所对应的函数单调增区间为
A .
B .
C .
D .
8. 已知函数则的值为
A . 3
B .
C .
D . 5
9. 在中国古代，折扇既实用也是文人雅士或家庭的装饰品，其扇面形状如图实线部分所示.已知该扇面的圆心角为，扇面的面积为16，，则扇面的周长为
A .
B . 12
C .
D . 8
10. 函数的图象大致形状为（）
A .
B .
C .
D .
11. 已知函数，，则函数的值域为
A .
B .
C .
D .
12. 已知函数的周期为3，且，则函数在区间上的零点的个数为
A . 9
B . 10
C . 11
D . 12
二、填空题
13. 函数和函数，的最小正周期之和为，则________.
14. 已知幂函数的图象经过点，则
的值为________.
15. 已知函数的图象与函数的图象交于P点，P点到y轴的距离为t，则________.
16. 给出下列四个命题:
①函数是奇函数;
②若角C是的一个内角，且，则是钝角三角形;
③已知是第四象限角，则;
④已知函数在区间单调递增，则
.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题
17. 已知， .
（1）求的值;
（2）若的值.
18. 已知集合，集合 .
（1）求集合A，B；
（2）设集合，若，求实数m 的取值范围.
19. 设函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合；
（3）将函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若函数在区间上恰有5个零点，求t的取值范围.
20. 如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图，该摩天轮近似看作半径为
的圆，圆上最低点A与地面距离为，摩天轮每60秒匀速转动一圈，摩天轮上某点B的起始位置在最低点A处.图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设B点与地面间的距离为 .
（1）求h与间关系的函数解析式；
（2）设从开始转动，经过t秒后到达，求h与t之间的函数关系式；
（3）如果离地面高度不低于才能获得最佳观景效果，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间B点在最佳观景效果高度？
21. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足
，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.
（1）已知函数，试判断是否为
上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.
22. 已知函数，且满足 .
（1）求a的值；
（2）设函数，，若存在，
，使得成立，求实数t的取值范围；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.。