初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。
则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。
解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
初二数学最短路径技巧
初二数学最短路径技巧
在初二数学中，最短路径问题是一个常见的题型。
这类问题通常涉及到几何图形，如三角形、四边形等，要求找出从一点到另一点的最短路径。
解决最短路径问题的一般步骤如下：
1. 确定起点和终点：首先明确问题的起点和终点，这是解题的基础。
2. 构建几何模型：根据题目描述，将问题抽象化为一个几何模型。
这可能涉及到三角形、四边形、圆等几何图形。
3. 应用几何定理：根据几何定理，如勾股定理、三角形的三边关系等，来分析最短路径。
4. 求解最短路径：通过计算和推理，找出起点到终点的最短路径。
下面是一个具体的例子：
题目：一个池塘的四周是一条宽1米的马路，现在要在马路的四周每隔2米种一棵树。
四个角各种一棵，请问需要多少棵树？
分析：
1. 确定起点和终点：起点是马路的起点，终点是马路的终点。
2. 构建几何模型：将马路和池塘抽象为一个矩形，四个角各种一棵树。
3. 应用几何定理：由于四个角各种一棵树，因此最短路径是从一个角到其对角线的中点。
根据勾股定理，最短距离为 $\sqrt{2}$ 米。
4. 求解最短路径：由于每隔2米种一棵树，因此需要的树的数量为
$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2}$ 棵。
通过以上步骤，我们可以求解出最短路径问题。
需要注意的是，这类问题需要灵活运用几何知识和定理，同时还需要一定的计算能力。
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
【初中数学】最短路径模型及例题解析
【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。
例如，从家到学校、从甲地到乙地等。
在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。
最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。
最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。
2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。
3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。
4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。
二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。
这种方法适用于顶点数量较少的简单图。
2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。
三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。
下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。
【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。
1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。
2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。
此时，A为已访问顶点。
3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。
此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。
4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。
最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。
【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】A・*B l在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作直线AB，与直线l的交点即为P.--^^lP三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB W AB.|PA- PB|的最大值一AB .【问题11]作法图形原理Al■B在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作B关于l的对称点B' 作直线A B"与l交点即为P.—r^lB三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB\ W AB ;|PA—PB| 最大值一AB【问题12]“费马点”作法图形原理A zAB C△ ABC中每一内角都小于120°,在4ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”，即满足N APB =N BPC =NAPC =120° .以AB、AC 为边向外作等边^ ABD、△ACE，连CD、BE相交于P,点P即为所求.D"一B C两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值一CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,八ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2V3B.2V16C. 3D. v162.如图，在边长为2的菱形ABCD中，N ABC=60°, 交于点E、F，则△ CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2t3C. 2 + J3D. 4若将^ACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD 中，N B =/D = 90°,N C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、乂使^ AMN 的周长最小时，上的动点，则BM +MN 的最小值是5 .如图，Rt △ ABC 中，N C =90°,N B = 30°, AB = 6,点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED =AE ，则线段AE 的取值范围是6 .如图，N AOB = 30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1, ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上， 则MP +PQ + QN 的最小值是.（注”勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ ABC 中，N C =90°,则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 )7 .如图，三角形"BC 中，N OAB =N AOB = 15°,点B 在％轴的正半轴，坐标为B （6<3 , 0）.OC 平分N AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA +MN 的最小值是/AMN +N ANM 的度数为( A . 120°B . 130°)C . 110°D . 140°4.如图，在锐角^ABC 中，AB = 4v2 ,N BAC =45°,N BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB8.已知A (2, 4)、B (4, 2). C在y轴上，D在％轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9.已知A (1, 1)、B (4, 2).(1)P为％轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为％轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;(3)CD为％轴上一条动线段，D在C点右边且CD =1,求当AC + CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为N AOB内一点.(1)在OA求作点D, OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若N AOB = 30°, OC =10,求4CDE周长的最小值和此时N DCE的度数.如图①，△ ABD 和^ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于凡连AF ，求证：AF +BF + CF = CD ；在^ABC 中，N ABC =30°, AB = 6, BC =8,N A ,N C 均小于 120°,求作一点尸，使 PA+PB+PC 的12.荆州护城河在CC '处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD '、EE '，护城河及两桥 都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，11. (1) (2) 值最小， 试求出最小值并说明理由.图①。
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初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题” “立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例:已知：如图，A ,B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB h 最小。
\ 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短•）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+ BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A'，然后连接A'B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角Z MON 内部任意一点，在/ MON 的两边OM，ON上各取一点B，C,组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于0M , ON的对称点A 'A 〃；连接A ‘，〃，分别交0M ,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN //EM 且BN=EM, MN=CD, BD //CE, BD=CE,所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中, V AC+CE >AE, AAC+CE+MN >AE+MN,即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，麼在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在B河边什么地方，河使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。
证明：在直线a上另外任取一点E,连接AE.CE.BE.BD,•••点B.C关于直线a对称，点D.E在直线a 上，•••DB=DC,EB=EC,•••AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC > AC,即AE+EC > AD+DB所以抽水站应建在河边的点D处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，0B桌D 面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1•作点C关于直线0A的对称点点D,2.作点C关于直线0B的对称点点E, 3•连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，贝U CM+MN+CN 最短例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮标准他确定这一天的最短路线作法：1•作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线0B的对称点点E,3•连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，贝U CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1,则圆的半径为多少?（5 或4）四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽•可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面, 一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（A. 7B. Jc. . 5分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.根据两点之间线段最短,AC=二：=5 •五、在长方体（正方体）中，求最短路程1 ）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2 ）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3 ）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是 5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要 从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）A • 5 : :cmB . ：：「icmC . 4订 HemD . 3 . 'cm分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短•利用勾股定理求点A 和B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离•在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的 高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得. 解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.解：将圆柱体展开，连接 A 、C ,:.丁 丁 ■- ■=ISO =f n ?=4 BC=3 ,故选D •T)（1 ）展开前面、右面，由勾股定理得AB2= (5+4 ) 2+32=90 ;（2 ）展开前面、上面，由勾股定理得AB2= (3+4 ) 2+52=74 ;（3 ）展开左面、上面，由勾股定理得AB2= (3+5 ) 2+42=80 ;所以最短路径长为. icm .例：如图是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊 \/\ , , [/A子处最短距离为（） A . 4.8 B .「C . 5 D .:分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知. 解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接 A 、B ，根据两点之间线段最短，AB= I ； . ■ ■ = . --I; ②将长方体展开成如图所示，连接 A 、B ，则AB= 所以最短距离5例：有一棵9米高的大树，树下有一个 在距地面4米处折断（未完全折断）， 之外才是安全的.分析：根据题意构建直角三角形 ABC ，利用勾股定理解答.解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则BC=4 - 1=3m ，AB=9 - 4=5m ， 在 Rt △KBC 中，AC={M ? - 氏埜7* - 32=4 .例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体 的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且〉AD ，木块的正视图是边长为 0.2米 的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达C 处需要走的最短路程是—米.（精确£1米高的小孩，如果大树则小孩至少离开大树到0.01米）分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答. 解：由题意可知，将木块展开，相当于是 •••长为2+0.2 X 2=2.4米；宽为1米. 于是最短路径为：寸2 4’ + ］上=2.60米.例：如图，AB 为O O 直径，AB=2 , OC 为半径，OC 丄AB,D 为AC 三等 分点，点P 为OC 上的动点，求AP+PD 的最小值。
分折：作D 关于OC 的对称点D '于是有PA+PD ' >AD ', （当且仅当P 运动到P o 处，等号成立，易求 AD ' = . 3 。
六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）根据题意可得出：2 n r= n. n .OA,/180贝U, 则 2 Xn n XnB X 2= ，180 解得：n=90 ° ，由勾股定理求得它的弦长 AA一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点 或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形 ABCD 中，点E 为AB 上一定点， 且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求 PE+PC 最小值。
分析：作E 关于BD 对称点E ' E '在AB 上, 有 PE+PC=PE ' +PC >E ' C 易求 E ' C=26AB+2个正方形的宽,小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所 ,利用两点之间线段最短、题中出现两个动点当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点,A(-8,3),B(-4,5)C(0 ，n),D(m,O),当四边形ABCD周长最短时，求m。
n分折:因AB长为定值，四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短，作B关于y轴对称点B',A关于x轴对称点A'DA+DC+BC=DA ' +DC+B ' C>B' A '（当D,C 运动至U AB 和x2 7 7 7 mx轴y轴的交点时等号成立)，易求直线A' B'解折式y= 3 + 3 ,C0(0, 3 ),D0(- 2 ,0),此时n =-三、题中出现三个动点时在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点⑵同时要考虑点点，点线，线线之间的最短问题[)例：如图，在菱形ABCD中,AB=2, /BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值实用文案标准分折:作E关于AC所直线的对称点E'，于是有,PE+PF=PF+PE ' >E' F又因为E在AB上运动，故当EF和AD,BC垂直时，EOF最短,易求EOF= 3。