与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第一节 直线与方程
B．4
课
后
C．1 或 3
D．1 或 4
跟 踪
训
核
[解析] 因为过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率为 1， 练
心
考 点 突 破
所以4m－＋m2＝1，解得 m＝1.故选 A.
第25页
第9章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
考点二 直线的方程
基
础
【例 2】 根据所给条件求直线的方程：
课 后
跟
数 k＝tanα 的单调性，当 α 取值在0，π2，即由 0 增大到π2α≠π2
踪 训 练
核
心 考 点 突
时，k 由 0 增大到＋∞，当 α 取值在π2，π时，即由π2α≠π2增
破 大到 π(α≠π)时，k 由－∞增大到 0.
第22页
第9章 第1节
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基
础
知 识
[解析] (1)直线 xsinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα，
回
顾
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
课 后
跟
当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是0，π4，
踪 训 练
核
心 考 点 突
当－1≤k<0 时，倾斜角的范围是34π，π.故选 D.
破
第17页
第9章 第1节
第27页
第9章 第1节
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基
础 知 识 回
(2)由题设知纵、横截距不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝
顾 1，
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何章末总结(含答案解析)
章末总结双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．P42A组T7一、选择题1．(必修2 P110B组T5改编)已知A(1，2)，B(3，4)，点P在x轴的负半轴上，O为坐标原点，若△P AB的面积为10，则|OP|＝()A．9B．10C．11 D．12解析：选C．设P(m，0)(m<0)，P到直线AB的距离为d，因为|AB |＝（3－1）2＋（4－2）2＝22， 由S △P AB ＝10得12×22×d ＝10．所以d ＝52． 又直线AB 的方程为x －y ＋1＝0， 所以|m ＋1|2＝52．解得m ＝－11或m ＝9(舍去)， 所以|OP |＝|m |＝11．选C ． 2．(必修2 P 133A 组T 8改编)Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1 的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D ．法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2．所以|AP |2＋|AQ |2＝2|AP |2＝2(12＋22)＝10．选D ．法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)，P (－1，0)，Q (1，0) 设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1． 即x 20＋y 20＝4．所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10．即|AP |2＋|AQ |2＝10．故选D ． 3．(选修1-1 P 35例3改编)如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA ＝45°，tan ∠MAB ＝13，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．33D ．63解析：选D ．以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝13(x ＋a )，y ＝－x ＋a ．联立解得M 的坐标为⎝⎛⎫a 2，a 2，所以⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22b 2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63．故选D ．4．(选修1-1 P 61例4改编)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B ．设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α． 则BE ＝m |cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m (1－|cos α|)， 所以|cos α|＝AD AC＝m （1－|cos α|）2m ．解得|cos α|＝13．由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝81－19＝9．故选B ．或：由|cos α|＝13得tan α＝±22．所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0．所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9．故选B ． 二、填空题5．(选修1-1 P 54B 组T 1改编)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)，所以可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以a 2＋b 2＝25．① 由渐近线方程4x ＋3y ＝0得 b a ＝43，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为x 29－y 216＝1．答案：x 29－y 216＝16．(选修1-1 P 68A 组T 5改编)已知α∈(0，π)，若曲线C ：x 2＋y 2 cos α＝1的离心率为22，则α＝________． 解析：由题意知，曲线C 为椭圆， 所以cos α∈(0，1)，且C 的焦点在y 轴上． 所以a 2＝1cos α，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1cos α－1．由e ＝22得c 2a 2＝12，即1cos α－11cos α＝12．所以cos α＝12，所以α＝π3．答案：π3三、解答题7．(选修1-1 P 36练习T 3改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，过F 1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆的左，右顶点，若直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点Q 是椭圆上异于A ，B 的一个动点，直线AQ 交l 于点M ，过点M 垂直于QB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，|FF 1|＋|FF 2|＝2a ，又已知△EFF 2的周长为8，所以4a ＝8，故a ＝2． 又e ＝c a ＝22，故c ＝2，所以b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1．(2)由题意A (－2，0)，B (2，0)，直线l ：x ＝2，显然直线AQ 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线AQ 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），可得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＝2，可得点M (2，4k )．又B (2，0)，则k BQ ＝4k2k 2＋12－4k22k 2＋1－2＝－12k ，所以k m ＝2k ， 故直线m 的方程为y －4k ＝2k (x －2)，即y ＝2kx ， 所以直线m 过定点(0，0)．8．(选修1-1 P 64A 组T 2(1)、P 41练习T 3(1)改编)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32． (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；(2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M ．证明：AB ⊥MF ． 解：(1)由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，可得抛物线C 的方程为x 2＝4y ．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ．由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． (2)证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不符合题意． 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4．因为抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，所以过抛物线C 上A ，B 两点的切线方程分别是y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －14x 22，解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1， 所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0． 所以AB ⊥MF ．。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练53
课时跟踪训练(五十三)[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2(k 2＋2)k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案] B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝4xC ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.所以△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，所以NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OF A ，所以∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若F A →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵F A →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66，∴|AB |＝(1＋3)2＋(26＋66)2＝20.故选A. [答案] A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 所以|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2psin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝P A →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，P A →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝P A →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.[答案] 15 三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2017·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，所以x 0＝a －2，所以2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2017·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 根据题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－(a ＋c )24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2. [答案] 2 213．(2017·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时， l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2. ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练48 Word版含解析
课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532 C ．4 2 D ．3 3[解析] 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，则圆心到直线的距离d ＝|1－9＋3|12＋(－3)2＝102，所以弦长为2r 2－d 2＝210－104＝30.[答案] A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，|－1＋3k |＝1＋k 2，解得k ＝0或k ＝3，故选D.[答案] D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于22，即有1k2＋1＝22，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件，选A.[答案] A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax －2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为()A．49π B．36π C．7π D．6π[解析]圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离为|a2－1|a2＋1＝32a2－1，解得a2＝7，所以圆C的面积为π(a2－1)2＝6π，选D.[答案] D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O：x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x －6y＋40＝0的公共弦长为()A. 5B. 6 C．2 5 D．2 6[解析]由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0.又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2x＋y－15＝0的距离为|－15| 22＋12＝35，则两圆的公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.[答案] C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( ) A.22 B. 2 C. 6 D ．2 6[解析] 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为22－12＝ 6.故选C.[答案] C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析] 圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－12，则弦MN 所在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] 2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝__________.[解析]圆C1和圆C2的标准方程分别为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3和2.当两圆外切时，(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析]直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.[答案](x－1)2＋y2＝2三、解答题10．直线l的方程为mx－y＋m＋2＝0(m∈R)，圆O的方程为x2＋y2＝9.(1)证明：不论m取何值，l与圆都相交；(2)求l被圆截得的线段长的最小值．[解](1)证明：证法一：圆心O到l的距离为d＝|m＋2|1＋m2，圆O的半径长为3.若l 与圆相交，则有|m ＋2|1＋m 2<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)⇔8m 2－4m ＋5>0⇔8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142＋92>0， 显然8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －142＋92>0(对任意的m )总成立， ∴|m ＋2|1＋m 2<3总成立，∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l 与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝12＋22＝5，∴l 被圆截得的线段长的最小值为29－(5)2＝4.[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4为中点的弦的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4＝(1，－1)．又点(1，－1)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝(1－1)2＋(－1＋2)2＝1，圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝5，所以圆C 中以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a 4为中点的弦的长为2r 2－d 2＝2×5－1＝4.故选D.[答案] D12．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y 2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 [解析] 因为点P 是直线x 4＋y 2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(4－2m )2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎨⎧ －4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B. [答案] B13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析] 由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－k －2＋1－k |k 2＋1＝5，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝12.[答案] 1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM→＝2MA →，则直线l 的方程为____________________．[解析] 解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)，y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，① y 1y 2＝－4m 2＋1.② 因为BM →＝2MA →，所以－y 2＝2y 1，③联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋m 2. 又BM →＝2MA →，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝5，所以r 2－d 2＋|OM |2－d 2＝2(r 2－d 2－|OM |2－d 2)，即3|OM |2－d 2＝r 2－d 2，所以9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－11＋m 2＝5－11＋m 2，解得m 2＝1， 又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案] x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.[解] (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34， 故直线l 的方程为y ＝34(x －1)，即3x －4y －3＝0.第11页 共11页 综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|2k －4|1＋k 2.∵S △CPQ ＝12d ×24－d 2＝d ·4－d 2＝4d 2－d 4＝－(d 2－2)2＋4，∴当d ＝2时，S △CPQ 取得最大值2.∴d ＝|2k －4|1＋k 2＝2，解得k ＝1或k ＝7.故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－65≤a ≤0.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练47 Word版含解析
课时跟踪训练(四十七)[基础巩固]一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4[解析] AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. [答案] A2．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎨⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.[答案] D3．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22 D ．2＋2 2[解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.[答案] A4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. [答案] D5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.[答案] A6．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.[答案] B 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为__________．[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.[答案]28．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值为________．[解析] 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.故y －1x －2的最大值为33. [答案] 339．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．[解析] 圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题10．(2017·江西南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程． [解] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[能力提升]11．(2017·大连统考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.[答案] A12．(2018·山西运城模拟)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是() A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22 D.3－22[解析]l AB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝|3|2＝32，∴AB边上的高的最小值为32－1.∴S△min＝12×(22)×⎝⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.∴选A.[答案] A13．(2017·广州市高三综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y 的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是__________________．[解析]抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] x 2＋(y －1)2＝214．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 本题考查平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交．解法一：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20，可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20， 由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上， 故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)， 易知－52≤x ≤1. [答案] [－52，1]15．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105， 所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165.16．(2017·吉林省实验中学模拟)已知圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．[解] (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12(|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |)．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.[延伸拓展]1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是__________．[解析] 由k 2＋4－4(k 2－15)>0， 得－833<k <833.由题意可知，点(1,2)在圆的外部， 所以1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0， 得k <－3或k >2.所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833 2．(2017·山西运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为________．[解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51 Word版含解析
课时跟踪训练(五十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx 2＋2y 2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5 B. 5 C ．2 3 D. 3[解析] 双曲线方程为y 2－x 2－2m＝1，∴－2m ＝4，∴m ＝－12，双曲线的焦距为25，故选A.[答案] A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴；又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D. 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D.[答案] D4．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba ＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.[答案] D5．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ∵3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x . 由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6. ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积＝12×8×6＝24.故选C. [答案] C6．(2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1[解析] 根据对称性，不妨设点A 在第一象限，其坐标为(x ，y )，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2，则xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选D.[答案] D 二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析] 设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，当λ>0时，x 2λ－y 2λ4＝1，λ＋λ4＝25，∴λ＝20；当λ<0时，y 2－λ4－x 2－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ4＝25，∴λ＝－20.故该双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. [答案] x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点和点P (1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于__________．[解析] 设双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意，k PF 1·k PF 2＝21＋c ·21－c ＝－1，∴c 2＝3，b 2＝1，∴b ＝1.[答案] 19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233. [答案] 233 三、解答题10．如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．[解] (1)∵∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos ∠PF 1F 2＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝12|PF 1|＝23c 3，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即233c ＝2a ，ca ＝3， ∴e ＝ca ＝ 3.(2)对于双曲线，有c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ c 2－a 2.∴b a ＝c 2－a 2a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3－1＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D ，且|CD |＝|CF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2[解析] ∵过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|CD |＝|CF 2|，∴|DF 1|＝2a ，由题意，切线的斜率为a b ，切线方程为y ＝ab (x ＋c )，与y ＝－b a x 垂直，∴2a ＝b ，∴c ＝a 2＋b 2＝5a ，∴e ＝c a ＝5，故选B.[答案] B12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4[解析] 双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得|F 2M |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16， 即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2， 且c a ＝52，解得a ＝8，b ＝4，c ＝45， 即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案] B13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为x 2m 2＋4－y 2b 2＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫1，62D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ [解析] 由题意，2b 2a ＝2，a ≥2， ∴b ＝a ， ∴e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋1a ≤62，∵e >1， ∴1<e ≤62. [答案] A14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，要使△ABD 为正三角形，则只需过右顶点A ，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b a x 的斜率．∴33>b a ，∴b <33a .即b 2<13a 2，则c 2<a 2＋13a 2，即c <233a ，则e <233，又e >1，所以1<e <233.[答案] 1<e <23315．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是________．[解析] 设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a .该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bca .由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e＝c a ＝54.[答案] 5416．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，O 为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解] (1)由题意知a ＝2 3.∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，右焦点的坐标为(c,0)，∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线的方程y ＝33x －2代入双曲线的方程x 212－y 23＝1，得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12，∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[延伸拓展]1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△P AF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝3，则双曲线E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2 [解析]如图所示，设△P AF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|P A |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AQ |＝23，即a ＝ 3.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的离心率是e ＝c a ＝33＝3，故选C. [答案] C2．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B. 3 C. 5 D.52[解析] 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan2α＝AB OA ，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a ＝ 5.故选C. [答案] C。
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课时跟踪训练(四十八)[基础巩固]一、选择题1．(2017·东北三省四市二模)直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( )A. B. C ．4 D ．33053223[解析] 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝，则10圆心到直线的距离d ＝＝，所以弦长为2＝2|1－9＋3|12＋(－3)2102r 2－d 2＝.10－10430[答案] A2．(2017·沈阳市高三质量监测)已知直线l ：y ＝k (x ＋)和圆3C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. C.或0 D.或03333[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝＝1，|－1＋k |＝，解得k ＝0或k ＝，故选|－1＋3k |1＋k 231＋k 23D.[答案] D3．(2017·河南省洛阳市高三第一次统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案] A4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为( )A ．49πB ．36πC ．7πD ．6π[解析] 圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C (a,1)到直线y ＝ax 的距离为＝，解得a 2＝7，所以|a 2－1|a 2＋132a 2－1圆C 的面积为π()2＝6π，选D.a 2－1[答案] D5．(2018·河北省定兴三中月考)圆O ：x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( )A. B. C ．2 D ．25656[解析] 由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x ＋y －15＝0的距离为＝3，则两圆的公共弦长为2＝2.故选C.|－15|22＋12550－(35)25[答案] C6．(2017·宁夏银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A. B. C. D ．222266[解析] 圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线2l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝＝，所以|－2－2＋3|212直线m 被圆C 所截得的弦长为2＝.故选C.2－126[答案] C二、填空题7．(2017·四川新津中学月考)若点P (1,1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__________．[解析] 圆心为C (3,0)，直线PC 的斜率k PC ＝－，则弦MN 所12在直线的斜率k ＝2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] 2x －y －1＝08．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝__________.[解析] 圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2.＝5，解得(m ＋1)2＋(m ＋2)2m ＝2或m ＝－5.[答案] 2或－59．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．[解析] 直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过定点(2，－1)，当点(2，－1)为圆和直线的切点时，圆的半径最大，此时r ＝＝，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1－2)2＋(0＋1)22[答案] (x －1)2＋y 2＝2三、解答题10．直线l 的方程为mx －y ＋m ＋2＝0(m ∈R )，圆O 的方程为x 2＋y 2＝9.(1)证明：不论m 取何值，l 与圆都相交；(2)求l 被圆截得的线段长的最小值．[解] (1)证明：证法一：圆心O 到l 的距离为d ＝，圆|m ＋2|1＋m 2O 的半径长为3.若l 与圆相交，则有<3⇔(m ＋2)2<9(1＋m 2)|m ＋2|1＋m 2⇔8m 2－4m ＋5>0⇔82＋>0，(m －14)92显然82＋>0(对任意的m )总成立，(m －14)92<3总成立，|m ＋2|1＋m 2∴不论m 取何值，l 与圆都相交．证法二：把l 的方程变为y －2＝m (x ＋1)，∴不论m 取何值l 总过点A (－1,2)．∵A 在圆O 的内部，∴不论m 取何值，l与圆都相交．(2)结合图形易见，当l ⊥OA 时，l 被圆截得的线段长最小，∵OA ＝＝，∴l 被圆截得的线段长的最小值为212＋225＝4.9－(5)2[能力提升]11．(2017·福建宁德市一模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，则圆C 中以为中点的弦的长为( )(a 4，－a4)A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －ay －11＝0对称，所以直线3x －ay －11＝0过圆心C (1，－2)，所以3＋2a －11＝0，解得a ＝4，所以＝(1，－1)．又点(1，－1)(a 4，－a4)与圆心C (1，－2)之间的距离d ＝＝1，圆(1－1)2＋(－1＋2)2C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的半径r ＝，5所以圆C 中以为中点的弦的长为(a 4，－a 4)2＝2×＝4.故选D.r 2－d 25－112．(2017·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线＋x 4＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，y 2则直线AB 经过定点( )A. B.(12，14)(14，12)C.D.(34，0)(0，34)[解析] 因为点P 是直线＋＝1上的一动点，所以设x 4y 2P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是，且半径的平方r 2＝(2－m ，m 2)，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋2＝(4－2m )2＋m 24(y －m 2)，①(4－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线AB 过定点.故选B.(14，12)13．(2017·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.[解析] 由题意，直线l 的斜率存在，设过点M (1,1)的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.因为直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝＝，整理得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.又直线l 与直|－k －2＋1－k |k 2＋15线ax ＋y －1＝0垂直，所以－2a ＝－1，解得a ＝.12[答案] 1214．(2017·江苏四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且＝2，则直线l 的方程为____________________．BM → MA → [解析] 解法一：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与x 2＋y 2＝5联立，消去x 并整理可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(1－x 2，－y 2)，＝(x 1－1，y 1)，BM → MA → y 1＋y 2＝－，①2mm 2＋1y 1y 2＝－.②4m 2＋1因为＝2，所以－y 2＝2y 1，③BM → MA →联立①②③，可得m 2＝1，又点A 在第一象限，所以y 1>0，则m ＝1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0.解法二：由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，即x －my －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝.11＋m 2又＝2，且|OM |＝1，圆x 2＋y 2＝5的半径r ＝，BM → MA → 5＋＝2(－)，即3r 2－d 2|OM |2－d 2r 2－d 2|OM |2－d 2＝，|OM |2－d 2r 2－d 2所以9＝5－，解得m 2＝1，(1－11＋m 2)11＋m 2又点A 在第一象限，所以m ＝1，故直线l 的方程为x －y －1＝0.[答案] x －y －1＝015．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.OM → ON → [解] (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以<1.|2k －3＋1|1＋k 2解得<k <.4－734＋73所以k 的取值范围为.(4－73，4＋73)(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4(1＋k )1＋k 271＋k 2·＝x 1x 2＋y 1y 2OM → ON → ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝＋8.4k (1＋k )1＋k 2由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为4k (1＋k )1＋k 2y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.16．(2018·河北衡水中学五调)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)．(1)若l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，符合题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相切，∴圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径，即＝2，解得k ＝，|3k －4－k |k 2＋134故直线l 的方程为y ＝(x －1)，即3x －4y －3＝0.34综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)∵直线与圆相交于两点，∴直线的斜率一定存在且不为0.设直线方程为kx －y －k ＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝.∵S △CPQ ＝d ×2＝d ·＝＝|2k －4|1＋k 2124－d 24－d 24d 2－d 4，∴当d ＝时，S △CPQ 取得最大值2.－(d 2－2)2＋42∴d ＝＝，解得k ＝1或k ＝7.|2k －4|1＋k 22故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.[延伸拓展](2017·江苏南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．[解析] 由题意知，圆心M (－a －3,2a )．因为圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，易知当Q 为线段OM 与圆M 的交点，PQ 与圆O 相切于点P 时，∠OQP 最大，且|OP |＝1，所以|OM |＝|OQ |＋|MQ |≤3，所以(a ＋3)2＋4a 2≤9，解得－≤a ≤0.65[答案] [－65，0]。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练46 Word版含解析
课时跟踪训练(四十六)[基础巩固]一、选择题1、(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合、故选D 、[答案] D2、(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A 、3x ＋4y ＋5＝0B 、3x ＋4y －5＝0C 、－3x ＋4y －5＝0D 、－3x ＋4y ＋5＝0[解析] 在所求直线上任取一点P (x ,y ),则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ,－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x －4(－y )＋5＝0,即3x ＋4y ＋5＝0,故选A 、[答案] A3、(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A 、x ＋2y －4＝0B 、x －2y ＝0C 、2x －y －3＝0D 、2x －y ＋3＝0[解析] 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称,所以直线l 的斜率为2,且直线l 过点(2,1),故选C 、[答案] C4、(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0,l 2：x ＋y －2＝0,l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形,则k 的取值范围为( )A 、{k |k ≠±5且k ≠1}B 、{k |k ≠±5且k ≠－10}C 、{k |k ≠±1且k ≠0}D 、{k |k ≠±5}[解析] 三条直线围成一个三角形,则三条直线互不平行,且不过同一点,∴－k ±5≠0,且5×1－k －15≠0,∴k ≠±5且k ≠－10、故选B 、[答案] B5、若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限,则m 的取值范围是( )A 、{m |m <2}B 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32 C 、⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32 D 、⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<m <2 [解析]解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得x ＝2m ＋37,y ＝3m －621＝m －27、∵其交点在第四象限,∴2m ＋37>0,且m －27<0、 解得－32<m <2、[答案] D6、两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行,则它们之间的距离为( )A 、4B 、21313 C 、52613D 、72010[解析] 由题意知,m ＝2,把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0,则两平行线间的距离为d ＝|1－(－6)|62＋22＝72010、[答案] D 二、填空题7、直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________、[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0,直线l 2：3x ＋y －23＝0,联立方程组可求得x ＝1,y ＝3、[答案] (1,3)8、直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的方程是________、[解析] 由已知得所求直线过点(0,－4),且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°＝－3,故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ,即3x ＋y ＋4＝0、[答案] 3x ＋y ＋4＝09、过点P (－4,2),且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________、[解析] 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k ,则其方程为y －2＝k (x ＋4),即kx －y ＋4k ＋2＝0,由点到直线的距离公式得|k －1＋4k ＋2|k 2＋1＝5,解得k ＝125,此时直线方程为12x －5y ＋58＝0、当直线的斜率不存在时,x ＝－4也满足条件、综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4、[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4 三、解答题10、已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0,求满足下列条件的a ,b 的值、(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点(－3,－1)；(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等、 [解] (1)∵l 1⊥l 2,∴a (a －1)－b ＝0、又∵直线l 1过点(－3,－1),∴－3a ＋b ＋4＝0、 故a ＝2,b ＝2、(2)∵直线l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在、 ∴k 1＝k 2,即ab ＝1－a 、又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b ＝b 、故a ＝2,b ＝－2或a ＝23,b ＝2、[能力提升]11、(2017·武汉调研)在直角坐标系中,过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )A 、x －2y ＋5＝0B 、2x ＋y ＋4＝0C 、x －3y ＋7＝0D 、3x －y －5＝0[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件,因为直线OP 的斜率为k OP ＝－2,故所求直线的斜率为12,所以所求直线方程为y －2＝12(x ＋1),即x －2y ＋5＝0,选A 、[答案] A12、(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－2,－4)C 、(2,4)D 、(2,－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0、同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3),∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)·(x ＋4),即x －3y ＋10＝0、联立得⎩⎨⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)、故选C 、[答案] C13、(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为( )A 、92B 、94 C 、1 D 、9[解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0,c >0)恒过点P (1,m ),所以a ＋bm ＋c －2＝0,又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,∴(4－1)2＋(－m )2＝3,解得m ＝0、∴a ＋c ＝2,则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥ 12⎝⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94,当且仅当c ＝2a ＝43时取等号,故选B 、 [答案] B14、过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2,求直线l 的方程、[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1),由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4、∵|AB |＝2, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5k 3k ＋42＝2,整理,得7k 2－48k －7＝0,解得k 1＝7或k 2＝－17、因此,所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0、。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练52
课时跟踪训练(五十二)[基础巩固]一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4.[答案] B2．(2018·广东湛江一中等四校第二次联考)抛物线y 2＝2px 上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18[解析] 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p ＝10.[答案] C3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2[解析] 抛物线C 的焦点坐标为F (1,0)，PF ⊥x 轴，∴x P ＝x F ＝1.又∵y 2P ＝4x P ，∴y 2P ＝4.∵y P ＝kx P (k >0)，∴y P ＝2，∴k ＝x P y P ＝2.故选D.[答案] D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3[解析] 解法一：依题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.解法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos60°＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝23，选C.[答案] C5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，选B.[答案] B6．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.[答案] C二、填空题7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．[解析]由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时，当且仅当|AB|取得最小值．由抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案] 28．(2017·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF 的面积为________．[解析]由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2，22m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝2，故△PFK的面积S＝4×22×2×12＝8.[答案]89．(2016·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作P A⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.[解析]设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233，设P(x0，y0)，则x0＝±233，代入x2＝4y中，得y0＝13，从而|PF|＝|P A|＝y0＋1＝43.[答案]4 3三、解答题10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. [能力提升]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D12．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R >0)，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，A (m ，n )，∵抛物线y 2＝2px 关于x 轴对称，圆关于x 轴对称，且|AB |＝42，∴|y A |＝22，∴x A ＝y 2A 2p ＝4p .∵A 在圆上，∴16p 2＋8＝R 2.①由抛物线y 2＝2px 知，它的准线方程为x ＝－p 2， ∵|DE |＝25，∴R 2＝p 24＋5.②联立①②可解得p ＝4，∴C 的焦点到准线的距离为4.故选B.[答案] B13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 解法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.解法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6.[答案] 614．(2017·山东潍坊期末)已知点A 为抛物线M ：x 2＝2py (p >0)与圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2在第二象限的一个公共点，满足点A 到抛物线M 准线的距离为r .若抛物线M 上动点到其准线的距离与到点N 的距离之和的最小上值为2r ，则p ＝________.[解析] 圆N ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2的圆心N (－2,0)，半径为r .设抛物线x 2＝2py 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则|AN |＋|AF |＝2r . 由抛物线M 上一动点到其准线与到点N 的距离之和的最小值为2r ，即动点到焦点F 与到点N 的距离之和的最小值为2r ，可得A ，N ，F 三点共线，且A 为NF 的中点．由N (－2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 4，代入抛物线M 的方程可得，1＝2p ·p 4，解得p ＝ 2.[答案] 215．(2017·河北廊坊期末质量监测)我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里的明月和清泉都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C ：x 2＝y 的图象(如图)，过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线，两切线交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交C 于点N ，拖动点B 在C 上运动，会发现|NP ||NF |是一个定值，试求出该定值．[解] 由题意，得线段AB 是过抛物线x 2＝y 焦点F 的弦．过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于P 点，则P 点在抛物线的准线上．下面给出证明：由抛物线C ：x 2＝y ，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，直线l ：y ＝kx ＋14.将直线l 的方程代入抛物线C 的方程x 2＝y ，得x 2－kx －14＝0.∴x 1x 2＝－14.①又∵抛物线C 的方程为y ＝x 2，求导得y ′＝2x ，∴抛物线C 在点A 处的切线的斜率为2x 1，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)；②抛物线C 在点B 处的切线的斜率为2x 2，切线方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)．③由①②③得y ＝－14.∴点P 的轨迹方程得y ＝－14，即点P 在抛物线的准线上．根据抛物线的定义知|NF |＝|NP |，∴|NP ||NF |是一个定值1.16．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．[解] (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎨⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1. 由PM →＝λP A →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎨⎧ y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32(λ－μ)，解得⎩⎨⎧ λ＝(y 0＋2)29，μ＝(y 0－1)29， 则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.[延伸拓展](2017·广西玉林陆川中学期末)从抛物线y 2＝4x 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点．若直线AB 的倾斜角为π3，则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.233 C.433 D ．2 3[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (－1，y )，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ∵直线AB 的倾斜角为π3，∴4y 1＋y 2＝3，∴y 1＋y 2＝433. 切线P A 的方程为y －y 1＝2y 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝2y 2(x －x 2)，即切线P A 的方程为y ＝2y 1x ＋12y 1，切线PB 的方程为y ＝2y 2x ＋12y 2.∴y 1，y 2是方程t 2－2yt ＋4x ＝0两个根，∴y 1＋y 2＝2y ＝433.∴y ＝233.故选B.[答案] B。
高三数学(文)一轮复习(课件+课时跟踪训练)第九章 平面解析几何 (5)
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
吃 |BF2|＝4a＝8.
透
教
材 夯
[答案] 8
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
)
吃
透
13
525
教 材
A. 3 B. 3 C.3 D.9
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
[解析] 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，
吃 透 教
∴椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
材
夯 双
高考概览
吃
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解
透
教 材
圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
夯
名
双
师
基
引
领
考 点 突
拓 视 野
破
提 能 力
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第九章 第五节
与名师对话·系列丛书
吃 透 教 材 夯 双 基 考 点 突 破 提 能 力
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高考总复习·课标版·数学（文）
吃透教材 夯双基
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-4
(2)由圆的方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，即此圆的圆心为(1,1)，
半径为 1，
－6ysinα＋1＝0 与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1 的位置关系是
()
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
(2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则
实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
[答案] A
2．(2018·宁夏银川一中检测)直线 x＋y－2＝0 与圆(x－1)2＋ (y－2)2＝1 相交于 A，B 两点，则弦|AB|＝( )
23 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 [解析] ∵圆心(1,2)到直线 x＋y－2＝0 的距离 d＝ 22，∴|AB| ＝2 12－ 222＝ 2.
所 以 圆 心 到 直 线 x ＋ my － 2 － m ＝ 0 的 距 离 为 d ＝
|1＋m1－＋2m＋2 m|＝
1 1＋m2.
因为直线与圆相交，所以 1＋1 m2<1，
解得 m2>0，即实数 m 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
[答案] (1)A (2)D
判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的 距离易表达，则用几何法；若方程为含有参数，或圆心到直线的 距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数 法．
⇒
利用平面几何知识， 在梯形ABCD中求|CD|
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49
课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1[解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k >2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上， ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. ②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝254 9．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案] 22 三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标． [解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53.[答案] 5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b4a2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ， 由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b ＝27.[延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|P A |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |＝4|P A |＋|PB |的最大值为22613. [答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析] ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3. [答案] 43。
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第八节 抛物线(一)
练
第19页
第9章 第8节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
(2)因为椭圆x42＋y32＝1 的右焦点 F 为(1,0)，所以p2＝1，解
得 p＝2，所以抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，如图所
基
名
础 知
示，过 M 作抛物线的准线 l 的垂线 MA，垂足为 A，由抛物
师 微
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识
课
回 顾
最新考纲：1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻
导 学
画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定
义、几何图形、标准方程及简单几何性质；3.理解数形结合
核 心
思想．
课 后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第3页
第9章 第8节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
名
础
师
知
微
识
课
回 顾
应用抛物线定义的 2 个关键点
导 学
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距
离相互转化．
核 心
(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离
课 后
考
跟
点 突 破
|PF|＝|x0|＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.
踪 训 练
(3)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物
导 学
线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × )
(新课标)2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.
自查自纠
1．定点 定长 集合 圆心 半径长 2．(1)(a，b) r D E 1 2 2 － ，－ (2)D ＋E －4F>0 2 2 D ＋E －4F 2
2 2
3．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
第九章 第一章
集合与常用逻辑用语 平面解析几何
9.3
圆的方程
1．圆的定义 在平面内，到____________的距离等于____________的点的____________叫圆．确 定一个圆最基本的要素是____________和____________． 2．圆的标准方程与一般方程 (1) 圆的标准方程： 方程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2(r>0) 叫做以点 ____________ 为圆心， ____________为半径长的圆的标准方程． (2)圆的一般方程：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(____________)叫做圆的一般方程． D2 E2 D2＋E2－4F 注：将上述一般方程配方得 x＋ 2 ＋ y＋ 2 ＝ ，此为该一般方程对应 4 的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．
2 2 2 2 2 2 2 2
(2016· 柳州模拟)若方程 x2＋y2－2x＋2my＋2m2 －6m＋9＝0 表示圆，则 m 的取值范围是____________； 当半径最大时，圆的标准方程为____________．
解：原方程可化为 (x－ 1)2＋ (y ＋m)2＝－m2＋ 6m －8， 则 r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，所以 2<m<4. 当 m＝3 时，r 最大为 1，此时圆的方程为(x－1)2 ＋(y＋3)2＝1.故填(2，4)；(x－1)2＋(y＋3)2＝1.
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第九章 平面解析几何 9-6
[小题速练]
1．直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
y＝2x－1 [解析] x92＋y42＝1 得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－ 27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选 A.
[答案] D
本类型题目常见问题有：(1)过定点被定点平分的弦所在直线 的方程；(2)平行弦中点轨迹；(3)过定点的弦的中点的轨迹．解决 有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”．这 两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
[跟踪演练] 1．(2018·合肥质检)已知椭圆 E：x42＋y22＝1，直线 l 交椭圆于
B.3x62 ＋2y72 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.1x82 ＋y92＝1
[思路引导] 由题意可知 AB 的中点(1，－1)及直线 AB 的斜
率，可考虑“点差法”求解．
[ 解 析 ] 设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 代 入 椭 圆 方 程 得
ax212＋by212＝1， ax222＋by222＝1，
＝33＋k44＋k2k2＝3 7 2，
∴17k4＋k2－18＝0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
考点三 中点弦问题——常考点 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，
过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，
则 E 的方程为( )
A.4x52 ＋3y62 ＝1
(3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第九章 解析几何 第七节 双曲线
D．8 2
踪 训
练
核 心
[解析] 根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4 2 ，
考
点 突
|QF2|－|QF1|＝4 2，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8 2，
破
∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8 2＝14＋8 2.故选C.
第18页
第9章 第7节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
2
核
A. 2
B．1
踪 训 练
心 考
C． 2
D．2
点
突
破
第16页
第9章 第7节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识
回
顾
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，所以无论 课
后
双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，都满足 a＝b，所以 c
跟 踪
训
核 心
＝ 2a，所以双曲线的离心率 e＝ac＝ 2.故选 C.
5．已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是
基 础
双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为___9_____．
知
识
回
顾
[解析] 设双曲线的右焦点为 F2.
课 后
|PF|＋|PA|＝2a＋|PF2|＋|PA|＝4＋|PF2|＋|PA|≥4＋|AF2|＝
跟 踪 训
基
础
知
识
回
顾
最新考纲：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方
课 后
跟
程，知道它的简单几何性质；2.了解双曲线的实际背景及双
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课时跟踪训练(五十一)[基础巩固]一、选择题1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx 2＋2y 2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5 B. 5 C ．2 3 D. 3 [解析] 双曲线方程为y 2－x 2－2m＝1，≨－2m ＝4，≨m ＝－12，双曲线的焦距为25，故选A.[答案] A2．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋≦)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴；又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D. 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D.[答案] D4．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，ba＝tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，≨双曲线的方程为x 2－y 23＝1.[答案] D5．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ≧3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x .由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6.≨|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，≨∠F 1PF 2＝90°， ≨△PF 1F 2的面积＝12×8×6＝24.故选C.[答案] C6．(2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 [解析] 根据对称性，不妨设点A 在第一象限，其坐标为(x ，y )，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b2，则xy ＝16b 2＋4·b 2＝b2⇒b 2＝12.故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选D.[答案] D 二、填空题7．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．[解析] 设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，当λ>0时，x 2λ－y 2λ4＝1，λ＋λ4＝25，≨λ＝20；当λ<0时，y 2－λ4－x 2－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－λ4＝25， ≨λ＝－20.故该双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.[答案]x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝18．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点和点P (1，2)为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于__________．[解析] 设双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意，k PF 1·k PF 2＝21＋c ·21－c＝－1，≨c 2＝3，b 2＝1，≨b ＝1.[答案] 19．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c ，即3b 2＝ab c，所以e ＝23＝233.[答案] 233三、解答题10．如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．[解] (1)≧∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos ∠12＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝12|PF 1|＝23c3，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即233c ＝2a ，ca＝3，≨e ＝ca＝ 3.(2)对于双曲线，有c 2＝a 2＋b 2，≨b ＝c 2－a 2.≨b a ＝c 2－a 2a＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2－1＝3－1＝ 2.≨双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .[能力提升]11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D ，且|CD |＝|CF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 2[解析] ≧过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|CD |＝|CF 2|，≨|DF 1|＝2a ，由题意，切线的斜率为a b ，切线方程为y ＝ab(x ＋c )，与y ＝－b a x 垂直，≨2a ＝b ，≨c ＝a 2＋b 2＝5a ，≨e ＝c a＝5，故选B.[答案] B12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4[解析] 双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2一条渐近线方程为y ＝bax ，可得|F 2M |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ， 由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，且c a ＝52， 解得a ＝8，b ＝4，c ＝45， 即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案] B13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为x 2m 2＋4－y 2b2＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，62 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫62，＋≦ C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，62 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋≦ [解析] 由题意，2b 2a＝2，a ≥2，≨b ＝a ，≨e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋1a ≤62， ≧e >1，≨1<e ≤62.[答案] A14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bax ，要使△ABD 为正三角形，则只需过右顶点A ，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b a x 的斜率．≨33>ba，≨b <33a .即b 2<13a 2，则c 2<a 2＋13a 2，即c <233a ，则e <233，又e >1，所以1<e <233.[答案] 1<e <23315．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是________．[解析] 设双曲线的右焦点为F (c,0)，易知，|AB |＝2b 2a.该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bca.由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c ＝54.[答案] 5416．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，O 为坐标原点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解] (1)由题意知a ＝2 3.≧一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，右焦点的坐标为(c,0)， ≨由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.≨b 2＝3，≨双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线的方程y ＝33x －2代入双曲线的方程x 212－y 23＝1，得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12， ≨⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，≨⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3， ≨t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[延伸拓展]1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝3，则双曲线E 的离心率是( )A ．2 3 B. 5 C. 3 D. 2[解析]如图所示，设△PAF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|PA |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AQ |＝23，即a ＝ 3.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的离心率是e ＝c a ＝33＝3，故选C. [答案] C2．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF →与FB →反向，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B. 3 C. 5 D.52[解析] 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan2α＝AB OA，≧|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，≨设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，≧OA ⊥BF ，≨(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，≨－tan2α＝－2tan α1－tan 2α＝AB OA ＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，≨b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，≨e ＝c a ＝ 5.故选C. [答案] C。