与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51

课时跟踪训练(五十一)

[基础巩固]

一、选择题

1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx 2＋2y 2＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )

A ．2 5 B. 5 C ．2 3 D. 3 [解析] 双曲线方程为y 2

－

x 2

－

2m

＝1，≨－2

m ＝4，≨m ＝－1

2

，双曲线的焦距为25，故选A.

[答案] A

2．(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a

2－y 2

＝1的离心率的取值

范围是( )

A ．(2，＋≦)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D ．(1,2)

[解析] 依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1

a

2，因为a >1，所

以e ∈(1，2)，选C.

[答案] C

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 2

3＝1的右焦点，P

是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面

积为( )

A.13

B.12

C.23

D.32

[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 2

3＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，

因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴；又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝3

2

.故选D. 解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 2

3＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为

点A (1,3)，所以AP →

＝(1,0)，PF →

＝(0，－3)，所以AP →

·PF →

＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝3

2

.故选D.

[答案] D

4．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，

点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 23

－y 2＝1 D ．x 2－y 2

3

＝1

[解析] 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b

a

＝

tan60°＝3，又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，≨双曲线的方程为x 2－y 2

3

＝1.

[答案] D

5．(2018·广东六校联盟联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 2

24＝1的两

个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

[解析] 依题意，得F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ≧3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝4

3x .

由双曲线的性质知4

3x －x ＝2，解得x ＝6.

≨|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，≨∠F 1PF 2＝90°， ≨△PF 1F 2的面积＝1

2×8×6＝24.故选C.

[答案] C

6．(2016·天津卷)已知双曲线x 2

4－y 2

b

2＝1(b >0)，以原点为圆心，

双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，

C ，

D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )

A.x 24－3y 2

4＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 2

4

＝1 D.x 2

4－y 2

12

＝1 [解析] 根据对称性，不妨设点A 在第一象限，其坐标为(x ，y )，

于是有⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

＋y 2

＝4，y ＝b

2

x ⇒⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝

4

b 2

＋4

，

y ＝4b 2

＋4·b

2

，则xy ＝16b 2＋4·b 2＝b

2

⇒

b 2＝12.故所求双曲线的方程为x 2

4

－y 2

12

＝1，故选D.

[答案] D 二、填空题

7．若双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________．

[解析] 设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25，

当λ>0时，x 2λ－y 2λ4

＝1，λ＋λ

4

＝25，≨λ＝20；

当λ<0时，y 2－

λ4

－x 2

－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－λ4＝25， ≨λ＝－20.