人教A版选修2-2 2.2 直接证明与间接证明(第2课时) 课时作业
人教版数学高二选修2-2课时作业2.2直接证明与间接证明(2)
(限时：10分钟)1．欲证2－3＜6－7，只需证明( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(6＋3)2D．(2－3－6)2＜(－7)2解析：由分析法知欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2.答案：C2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法B．类比法C．分析法 D．归纳法解析：直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是__________．解析：要使f(x)＝ax＋b在R上是减函数，只需f′(x)≤0在R上恒成立．因为f′(x)＝a，所以a≤0.又因为a＝0时f(x)＝b为常函数，故a＜0.答案：(－∞，0)4．若x∈[1,2]，x2＋a≥0恒成立，则a的取值范围是__________．解析：要使x2＋a≥0在x∈[1,2]上恒成立，只需a≥－x2在[1,2]上恒成立．令f(x)＝－x2，x∈[1,2]，所以－4≤f(x)≤－1，故a≥－1.答案：[－1，＋∞)5．当a≥2时，求证a＋1－a＜a－1－a－2.证明：要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2＜(a＋a－1)2，只需证a＋1a－2＜a a－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证－2＜0，而－2＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2成立．(限时：30分钟)1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了( ) A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( )A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞P解析：先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.答案：B3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即证a－b－33a2b＋33ab2＜a－b，即证3ab2＜3a2b，只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.故选D.答案：D4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是( )A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．P≤Q解析：要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系．因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a ＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，又a，b，c不全相等，所以P－Q＞0，即P＞Q.答案：A5．下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b＞a＋b(a＞0，b＞0)C.a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)D.2＋10＞2 6解析：对A，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，所以a＋b＞a＋b；对C，要证a－a－1＜a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3＜a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a a－3＜2a－3＋2a－2a－1，即证a a－3＜a－2a－1，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，所以2＋10＜26，故D错误．答案：D6．如果a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是__________．解析：a a＋b b＞a b＋b a⇔a a－a b＞b a－b b⇔a(a－b)＞b(a－b)⇔(a －b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≠b且a≥0，b≥07．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为__________．解析：根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值．只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值，因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”)．答案：98．如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足__________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)9．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立， 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立，所以lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．10．求证：2cos(α－β)－sin2α－βsin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β.所以①成立，所以原等式成立．11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只需证12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2(“化切为弦”)， 只需证sin x 1＋x 22cos x 1cos x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证sin x 1＋x 2cosx 1＋x 2＋cos x 1－x 2＞sin x 1＋x 21＋cos x 1＋x 2，只需证明0＜cos(x 1－x 2)＜1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2可知0＜cos(x 1－x 2)＜1成立． 所以12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-2直接证明与间接证明
课时作业8 直接证明与间接证明一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件由分析法定义知选A . 故应选A. A2．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N *，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )＜g (n )＜φ(n )B ．f (n )＜φ(n )＜g (n )C ．g (n )＜φ(n )＜f (n )D ．g (n )＜f (n )＜φ(n )方法一：f (n )，g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．方法二：特殊值法．取n ＝1，则f (1)＝2－1，g (1)＝1， φ(1)＝12.故应选B. B3．已知|x |<1，|y |<1，下列各式成立的是( )A ．|x ＋y |＋|x －y |≥2B ．x ＝yC ．xy ＋1>x ＋yD ．|x |＝|y |令x ＝y ＝12知A 错，令x ＝12，y ＝13知B 错，D 错．对C ：xy＋1－x －y ＝x (y －1)＋(1－y )＝(x －1)(y －1)，∵|x |<1，|y |<1，∴x <1，y <1，∴x －1<0，y －1<0，∴(x －1)(y －1)>0， ∴xy ＋1>x ＋y . 故应选C. C4．已知f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．f (x )，g (x )的大小关系不确定f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )． 故应选A. A5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°“至少有一个不”的否定是“都”．故应选B.B6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．故应选C.C7．已知α∩β＝l，a⊆α，b⊆β，若a，b为异面直线，则() A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交逐一从假设选择项成立入手分析，易得B是正确选项．故应选B.B8．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集是()A．{x|－3＜x＜0或x＞3}B．{x|x＜－3或0＜x＜3}C．{x|x＜－3或x＞3}D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}画一个符合题意的函数的草图，如图，知选D.故应选D.D二、填空题9．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．“至多一个”的否定是“至少两个”，∴否定为：三角形中至少有两个内角是直角．三角形中至少有两个内角是直角10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－ 2.则a，b，c的大小关系是________．若比较b与c的大小，只需比较7＋2与3＋6的大小，只需比较(7＋2)2与(3＋6)2的大小，即比较14与18的大小，显然14<18，从而7－3<6－2，即b <c ，类似可得a >c ，∴a >c >b . a >b >c11．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．由空间中的垂直关系知：对角线互相垂直． BD ⊥AC12．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确的序号是________． 当x 1＝1，x 2＝10时，f (x 1＋x 2)＝lg(x 1＋x 2)＝lg11>1.f (x 1)·f (x 2)＝lg x 1·lg x 2＝lg1·lg10＝0.所以f (x 1＋x 2)≠f (x 1)·f (x 2)，故①错误；根据对数运算法则，lg(x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2，即f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，故②正确；因为f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，所以x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)；x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)．所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同正负，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故③正确；令x 1＝1，x 2＝10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22＝lg 112，而f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝12， 又因为lg 112>lg 10＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故④错误． ②③ 三、解答题13．如果3sin β＝sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝2tan α. ∵3sin β＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α. 14．已知a ，b ，c ∈R *，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a · a ＋c b · a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．15．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)．用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证法一：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)， 满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0＜ax 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在x 0＜0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0， (1)若－1＜x 0＜0，则x 0－2x 0＋1＜－2，ax 0＜1.∴f (x 0)＜－1，与f (x 0)＝0矛盾； (2)若x 0＜－1，则x 0－2x 0＋1＞0，ax 0＞0，∴f (x 0)＞0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．16．如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PH ⊥平面ABC 于H .求证：1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝1PH2.连结CH 并延长交AB 于D ，连结PD .∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，根据直线和平面垂直的判定定理有PC⊥平面PAB. 又∵AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB.又PH⊥平面ABC，∴PH⊥AB.∴AB⊥平面PCH，∴PD⊥AB.又∵PA⊥PB，根据三角形面积公式有PA·PB＝PD·AB.∴1 PD ＝AB PA·PB，∴1 PD2＝AB2 PA2·PB2.又∵AB2＝PA2＋PB2，∴1 PD2＝1PA2＋1PB2.同理1PH2＝1PC2＋1PD2.∴1 PA2＋1PB2＋1PC2＝1PH2.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.2 直接证明与间接证明2.2.2 Word版含答案.docx
2.2.2 反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． [知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． [预习导引] 1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1 已知x ，y >0，且x ＋y >2. 求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.证明 假设1＋x y ，1＋yx 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1.又∵(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， ∴ac ＋bd ≤1.这与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题例2 求证对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．证明 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1 ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2②y 1＋y 22＝a x 1＋x 22 ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④ 当k 2＝3时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得：ak ＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练2 求证方程2x ＝3有且只有一个根．证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23，这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的：假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则2b 1＝3,2b 2＝3， 两式相除得2b 1－b 2＝1.若b 1－b 2>0，则2b 1－b 2>1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾． 若b 1－b 2<0，则2b 1－b 2<1，这也与2b 1－b 2＝1相矛盾． ∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2.∴假设不成立，从而原命题得证． 要点三 用反证法证明否定性命题例3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 跟踪演练3 已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 答案 B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥b D ．a 与b 相交答案 D5．已知a 是整数，a 2是偶数，求证a 也是偶数． 证明 (反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设a ＝2n ＋1(n ∈Z )，则a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.一、基础达标1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且x n＋1＝x n·(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2，…)，试证“数列{x n}对任意的正整数n都满足x n>x n＋1”，当此题用反证法否定结论时应为() A．对任意的正整数n，有x n＝x n＋1B．存在正整数n，使x n＝x n＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a <6. 又⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b ) ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 三、探究与创新13．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题： (1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )； (2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0. 证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ， 又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )， f (b )＞f (－a )，由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )． (2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )， 所以f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )， 这与已知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立.。
数学人教A版选修2-2自我小测：2.2 直接证明与间接证明(第2课时)
自我小测1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( )A ．a ＜bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 至少有一个不小于123．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都不是偶数C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数D ．至多有两个偶数4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．两条相交直线l ，m 都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l 和m 中至少有一条与平面β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________．8．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．10．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．答案：B2．解析：假设a ，b ，c 均小于12，则a ＋2b ＋c ＜12＋1＋12＝2，与已知矛盾，故选D ． 答案：D3．解析：“a ，b ，c 中存在偶数”，即“a ，b ，c 中至少有一个偶数”，故其否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．选B ．答案：B4．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C5．解析：若已知α与β相交，设交线为a ，假设l ，m 都与平面β平行，则a ∥l ，a ∥m ，∴l ∥m ，这与已知l 与m 相交矛盾，∴乙⇒甲．若已知l ，m 中至少有一条与平面β相交，不妨设l ∩β＝A ，则点A ∈α，且点A ∈β，∴α与β必有一条过点A 的交线，即甲⇒乙．故选C ．答案：C6．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．答案：a ≠1或b ≠17．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0， 解得{a |－2＜a ＜－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．答案：{a |a ≤－2或a ≥－1}8．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．又因为a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)9．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b ，而b 2＝ac ，即b ＝ac ，所以a ＋c ＋2ac ＝4ac ，所以(a －c )2＝0，即a ＝c .从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾， 故a ，b ，c 不成等差数列．10．解：不存在．理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2， 即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，∴x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. ∴(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．∴假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.2 直接证明与间接证明2.2.1 Word版含答案.docx
2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b≥21ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明：log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎨⎧ a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎨⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .9．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，ba <0，即ab <0.又若ab <0，则a b <0，ba <0.∴a b ＋b a ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤ －2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2，综上，ab <0是a b ＋ba≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件．10．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a ＞1.求证：1＋a ＞11－b .证明 要证1＋a ＞11－b成立， 只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a ＞1.由已知a ＞0，1b －1a＞1成立，∴1＋a ＞11－b成立． 12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明(理)(学案含答案)
选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明（理）（学案含答案）等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3. 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。
用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。
知识点一：综合法例 1 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数。
（1）若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；（2）判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明。
思路分析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f 。
由此可求出f （0）的值。
（2）12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ； 也满足条件②1)1(=g 。
若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，满足条件③，收此知故g （x ）理想函数。
解题过程：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f 。
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f 。
（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ； 也满足条件②1)1(=g 。
若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 为理想函数。
高中数学(人教A版选修2-2)同步练测：2.2直接证明与间接证明(含答案详解).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（ ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明 答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立， 即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。
【配套K12】高中数学 2.2 直接证明与间接证明课时作业1 新人教A版选修2-2
证明：假设1， ，2为同一等差数列的三项．
则有等差数列的定义知1×2＝( )2＝3，
则2＝3不成立，
则假设不成立，
即原命题成立，即1， ，2不能为同一等差数列的三项．
B组 能力提升
11．假设已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于 .
证明：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于 .
因为0＜a＜1,0＜b＜1，
所以1－a＞0.由基本不等式，得 ≥ ＞ ＝ .
同理， ＞ ，
＞ .
将这三个不等式两边分别相加，得
＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ，
即 ＞ ，这是不成立的，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于 .
12．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
则正确的序号顺序为( )
A．①②③B．③①②
C．①③②D．②③①
解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
答案：B
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
∴a ＝an－1an＋1，b ＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn ，
即2＝ ＋ .②
当p，q异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
∴ ＋ ＞2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列．
人教版高中数学选修2-2第二章2.2直接证明与间接证明习题.docx
2014年新田一中选修2-2课后作业（十五）班级___________ 姓名___________学号___________ 1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<y C．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y2．已知f(x)＝a(2x＋1)－22x＋1是奇函数，那么实数a的值等于()．A．1 B．－1 C．0 D．±13．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a>0，且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()．A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．与a的值有关5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，－2] B．[－2,2] C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)6．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.7．如图所示，在直四棱柱A1B 1C 1D 1ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．8．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．9．设a ，b ＞0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.10．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()．A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38，∴x<2xy<x＋y2<y，故选D.答案 D2．已知f(x)＝a(2x＋1)－22x＋1是奇函数，那么实数a的值等于()．A．1 B．－1 C．0 D．±1解析奇函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0，∴f(0)＝a(20＋1)－220＋1＝2a－22＝0，∴a＝1，故选A.答案 A3．已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由正弦定理asin A＝bsin B，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B. 答案 C4．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.解析∵f(x)＝lg 1－x1＋x，可分析f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案－b5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明法一分析法要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，又因a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.综合提高(限时25分钟)7．已知a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )．A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．与a 的值有关解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，所以P >Q ；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，所以P >Q . 答案 A8．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 用分离参数法可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立． 答案 C9．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．答案 对角线互相垂直10．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．解析 可结合图形，利用向量的几何意义加以解决． 答案 等边11．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 12．(创新拓展)已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4， 依题意，得方程组⎩⎨⎧a 1q ＝6a 1q 4＝162，解得a 1＝2，q ＝3，∴a n ＝2·3n －1 (2)证明 ∵S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，∴S n ·S n ＋2S 2n ＋1＝32n ＋2－(3n ＋3n ＋2)＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1≤32n ＋2－23n ·3n ＋2＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1＝1，即S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.。
2018-2019学年人教A版选修2-2 2.2直接证明与间接证明(2) 学案
第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明2------------ 学案一、学习目标(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.二、自主学习1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[化解疑难]1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“p且綈q”为假―→“若p，则q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．三、合作探究探究1：用反证法证明否定性命题[例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b 为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．[类题通法]1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．[活学活用1]设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.探究2：用反证法证明唯一性命题:[例2]已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．[证明]由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一个实根x＝b a.如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，从而有ax1＝b，ax2＝b，两式作差得a(x1－x2)＝0.因为x1≠x2，从而a＝0，这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立．即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．[类题通法]用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．[活学活用2]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立.探究3：用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题[例3]已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.[证明]假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. [类题通法]常见“结论词”与“反设词”结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n 个 至多有n 个 反设词 一个也没有(不存在) 至少有两个至多有(n －1)个至少有(n ＋1)个结论词 只有一个对所有x 成立对任意x 不成立 反设词 没有或至少有两个 存在某个x 不成立存在某个x 成立 结论词 都是 一定是 p 或q p 且q 反设词 不都是不一定是綈p 且綈q綈p 或綈q[活学活用3]已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数．求证：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点． 证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数 y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0. 因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾， 假设不成立，故原命题正确． 四、自主小测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③D ．①②④2．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 3．下列命题适合用反证法证明的是 (填序号)．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根；②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋yx 中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．4．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设 ．5．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．参考答案1解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．2解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B 正确．3解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明． 答案：①②③④4解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交5解：若三个方程均无实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2－4－4a ＋3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2－4－2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1.设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －32＜a ＜－1，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1， 故所求实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1.。
2019-2020学年高中数学选修2-2_人教A版_课件_习题_2.2 直接证明与间接证明 2.2-2.2.1综合法与分析法
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
所以－2ba－2＝－－2ba，得 b＝－2a，(10 分) 所以 f(x＋1)为偶函数．(12 分)
所以ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3>6－3＝3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
归纳升华 利用综合法证明问题的步骤
(1)分析条件，选择方向：仔细分析题目的已知条件(包 括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择 相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法；
整理得 2 n2xy＋n＋1≤n＋2， 即证 4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2， 即证 4xy≤1. 因为 x>0，y>0，且 x＋y＝1， 所以 xy≤x＋2 y＝12(当且仅当 x＝y 时取等号)， 即 xy≤14，即 4xy≤1 成立， 所以原不等式成立．
归纳升华 用分析法证明不等式时应注意： (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思路是从要证不等式出发， 逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证明”“只需证明”“即证明”等词语．
4．已知 x∈R，a＝x2＋1，b＝x，则 a，b 的大小关 系是________．
解析：因为 a－b＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34＞0， 所以 a＞b. 答案：a＞b
5．已知函数 y＝x＋2xa在[3，＋∞)上是增函数，则 a 的 取值范围是____________．
2018-2019学年人教A版选修2-2 直接证明与间接证明 课时作业
1．（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-；（2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：,a b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设0a <且0b <，则由210a x =-<得11x -<<， 由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设不成立， 所以,a b 中至少有一个不小于0． 2．（1）求证：111052-<-； （2）已知函数3()e 2xx f x x -=++，用反证法证明方程()0f x =没有负数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）要证111052-<-，只需证22(1110)(52)-<-， 只需证212110945-<-，即证625110+<， 只需证56245110+<，即证459<，即证8081<， 上式显然成立，所以111052-<-．学（2）假设存在0m <，使得()0f m =，则3e 2mm m -=-+， 因为0m <，所以0e 1m <<，则3012m m -<-<+，解得132m <<， 这与0m <矛盾，因此假设不成立，故方程()0f x =没有负数根．3．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为0a >，0b >，所以0a b +>， 要证22a b ab a b+≥+，只要证2()4a b ab +≥， 只要证2()40a b ab -+≥，即证2220a ab b -+≥， 而2222()0a ab b a b -+=-≥恒成立，所以22a b aba b+≥+．4．设数列{}n a 满足10a =，且111111n na a +--=-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n a b n+-=，记1nkk n bS ==∑，证明：1n S <．【答案】（1）11n a n=-；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题设111111n n a a +--=-，可得数列1{}1na -是公差为1的等差数列．又1111a -=，所以11n n a -=，所以11n a n=-． （2）由（1）得1111111n n a n n nn n n n b +-+-==-+⋅+=，所以11111()1111n nk n k k b k k n S ===-=-<++=∑∑． 5．（1）当2a >时，求证：222a a a ++-<； （2）证明：235,,不可能是同一个等差数列中的三项． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设2,3,5是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则23m n a a d m n m n--==--为无理数，学 又253m p a a d m pm p m p---===---为有理数，矛盾． 所以假设不成立，即2,3,5不可能是同一个等差数列中的三项． 6．（1）当2a ≥时，用分析法证明：112a a a a +-<---；（2）已知,a b 是互不相等的正数，且3322a b a b -=-，求证：413a b <+<． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）要证112a a a a +-<---，只需证121a a a a ++-<+-，只需证22(12)(1)a a a a ++-<+-，只需证122(1)(2)12(1)a a a a a a a a ++-++-<+-+-， 只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-，只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-， 即证20-<，而20-<显然成立， 所以112a a a a +-<---成立．7．（1）若函数()f x 在区间[],a b 上的图象连续，()0f a <，()0f b >，且()f x 在[],a b 上单调递增，求证：函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点； （2）已知a ，b ，c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为函数()f x 在[],a b 上的图象连续，且()0f a <，()0f b >，所以()0)·(f a f b <， 所以()f x 在(),a b 内至少存在一个零点，设零点为x m =，则()0f m =， 假设()f x 在(),a b 内还存在另一个零点x n =，即()0f n =，则n m ≠． 若n m >，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m >，即00>，矛盾； 若n m <，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m <，即00<，矛盾． 因此假设不成立，故函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．（2）假设a ，b ，c 均不大于0，即0a ≤，0b ≤，0c ≤，则0a b c ++≤，又222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+， 所以222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z πππ++=-++-++-+=-+-+-+π-，显然2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2(1)0z -≥，30π->，故0a b c ++>，学 这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个大于0． 8．（1）已知实数a ，b 满足||2a <，||2b <，证明：2|||4|a b ab +<+； （2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为14，其外接圆的半径为1， 求证：111a b c a b c++>++． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，面积为S ． 因为4abc S R =，1R =，14S =，所以1abc =， 且,,a b c 不全相等，否则1a =与2sin603a R =︒=矛盾，所以111bc ac ab a b c++=++， 又222bc ac abc c +≥=，222ca ab cba a +≥=，222bc ab acb b +≥=， 因为,,a b c 不全相等，所以上述三式中“=”不能同时成立， 所以2()2()bc ac ab a b c ++>++，即bc ac ab a b c ++>++，所以111a b c a b c++>++．9．（1）若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：12x y +<和12yx+<中至少有一个成立； （2）已知(0,)a b c ∈+∞、、，求证：22233a b c a b c ++++≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）要证22233a b c a b c++++≥，只需证：2222()33a b c a b c ++++≥， 只需证：222222333222a b c a b c ab ac bc ++≥+++++， 只需证：222222222a b c ab ac bc ++≥++，只需证：222()()()0a b b c a c -+-+-≥，而这显然是成立的，所以22233a b c a b c ++++≥成立． 10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+，1n a ≥，n ∈*N ．（1）猜想{}n a 的通项公式，并加以证明；（2）设0x >，0y >，且1x y +=，证明：112(2)n n a x a y n +++≤+．【答案】（1）n a n =，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分析前几项，然后进行猜想，利用1(2)n n n a S S n -=-≥化简，再结合等差数列的概念即可得证；（2）利用分析法和基本不等式易证．（2）要证112(2)nx ny n +++≤+，只要证2()22()12(2)n x y n xy n x y n ++++++≤+， 代入1x y +=，即证224(1)(2)n xy n n ++≤+，即证41xy ≤， ∵0,0x y >>，且1x y +=，∴122x y xy +≤=，即41xy ≤，得证． 故112(2)nx ny n +++≤+，即112(2)n n a x a y n +++≤+．11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知30,3,33A a b ===．（1）求B 和ABC △的面积；（2）当B 是钝角时，证明：tan(118)B -不可能是有理数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由正弦定理得，即．因为是三角形内角且，所以或．记ABC △的面积为．学 当时，；当时，．12．数列{}n x 由下列条件确定：10x a =>，11()2n n nax x x +=+，n ∈*N ． （1）证明：对任意的2n ≥，总有n x a ≥； （2）证明：对任意的2n ≥，总有1n n x x +≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由10x a =>及11()2n n nax x x +=+，易得0>n x ， 从而有11()()2n n n n na ax x x a n x x +=+≥⋅=∈N ， 所以对任意的2n ≥，总有n x a ≥．（2）方法1：当2n ≥时，0n x a ≥>，11()2n n nax x x +=+， 所以2111()022nn n n n n na x a x x x x x x +--=+-=⋅≤， 故当2n ≥时，1n n x x +≥．方法2：当2n ≥时，0n x a ≥>，11()2n n na x x x +=+， 所以2221221()2122n n n n n n n n n na x x x x a x x x x x x ++++==≤=，故当2n ≥时，1n n x x +≥．13．已知函数()e (0,)x f x x a b a b =-+>∈R ．（1）若函数()f x 为R 上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，证明：122ln x x a +<-． 【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析．（2）由题知1212e 0e 0xx x a b x a b -+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，两式相减得，即，故要证，只需证1212122lne ex x x x x x -+<--， 即证1212212e (e )ex x x x x x +-<-，即证，不妨设， 令，则需证，设，则， 设，则， 故在上单调递减，∴，即，∴在上单调递减， ∴，即，故原不等式得证．学14．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）用反证法证明：()0f x =没有负数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由于函数23()111xx x f a a x x x -=+=+-++，而函数 (1)x y a a =>和函数31y x =-+在(1,)-+∞上都为增函数，可得函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设()0f x =有负数根为00(0)x x x <=，则有00311xa x +=+ ①，分0(1,0)x ∈-，0(,1)x ∈-∞-两种情况，分别根据031x +和01x a +的取值范围，可得①式不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．（2）假设()0f x =有负数根为00(0)x x x <=，则有0()0f x =，即00311xa x +=+ ①． 由于函数1xy a =+在R 上是增函数，且012a +=，所以012x a +<． 由于函数31y x =+在(1,)-+∞上是减函数， 当0(1,0)x ∈-时，0333101x >=++， 所以①式不可能成立； 由于函数31y x =+在(,1)-∞-上是减函数， 当0(,1)x ∈-∞-时，0301x <+， 而011x a +>，所以①式不可能成立． 综上可得，①式不可能成立，学故假设不成立，即()0f x =没有负数根．15．（2015浙江）已知数列{}n a 满足112a =，且21()n n n a a n a +=-∈*N ． （1）证明：112()n n a n a +≤≤∈*N ； （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤，从而可得112(1)n a n +≤<+1()2n n ∈+*N ，即可得证11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N . 【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-可得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->， 由102n a <≤，得211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，故112()n n a n a +≤≤∈*N . （2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①， 由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤得，11112n na a +<-≤， 所以11112n n n a a +<-≤，因此111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++，所以11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N . 16．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2nka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【思路分析】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得n n n n n a a a a a --+++++=21124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'． 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．学。
高中数学(人教A版,选修22)2.2 直接证明与间接证明 课件+同步练习(6份)22 2.2.1
选修2-2 第二章 2.2 2.2.1一、选择题1．(2013·陕西理，7)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2．(2013·浙江理，3)已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab[答案] B[解析] ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b22(a ≠b )．4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定[答案] C[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A[解析] a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b )．二、填空题7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________． [答案] m >n[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b 2>a ＋b2，所以m >n . 8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________． [答案] a >c >b [解析] b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ， 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2， 所以a >c .也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c .9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________． [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．三、解答题10．(2013·华池一中高三期中)已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1. [证明] 要证1n >n －n －1，即证1>n －n (n －1)，只需证n (n －1)>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．一、选择题11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln2)>2f (ln3)B ．3f (ln2)<2f (ln3)C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定[答案] B[解析] 令F (x )＝f (ln x )x (x >0)，则F ′(x )＝f ′(ln x )－f (ln x )x 2，∵x >0，∴ln x ∈R ，∵对任意x∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f (ln3)3>f (ln2)2，∴3f (ln2)<2f (ln3)．12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b[答案] D [解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 则cos(α－β)＝________. [答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1， cos(α－β)＝－12.三、解答题16．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：a a ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m ，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m ＞0即可．∵a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m＝ a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2， ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0，∴a a ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m. 17．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[证明] 要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β， 又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原命题成立．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)2.2 直接证明与间接证明2.2.2 Word版含答案
反证法[学习目标]．了解反证法是间接证明的一种基本方法．．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．．反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例已知，>，且＋>.求证：，中至少有一个小于.证明假设，都不小于，即≥，≥.∵，>，∴＋≥＋≥.∴＋＋≥(＋)，即＋≤与已知＋>矛盾．∴，中至少有一个小于.规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练已知，，，∈，且＋＝＋＝，＋>，求证：，，，中至少有一个是负数．证明假设，，，都是非负数，∵＋＝＋＝，∴(＋)(＋)＝.又∵(＋)(＋)＝＋＋＋≥＋，∴＋≤.这与已知＋>矛盾，∴，，，中至少有一个是负数．要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例求证对于直线：＝＋，不存在这样的实数，使得与双曲线：－＝的交点、关于直线＝(为常数)对称．证明假设存在实数，使得、关于直线＝对称，设(，)、(，)，则有()直线：＝＋与直线＝垂直；()点、在直线：＝＋上；()线段的中点在直线＝上，所以。
高中数学(人教A版,选修22)2.2 直接证明与间接证明 课件+同步练习(6份)22 2.2.2 备选
选修2-2 第二章 2.2 2.2.21．已知a 、b 、c ∈(0,1)．求证：(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能同时大于14. [证明] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12， 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得 (1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．2．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1， 故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1)n －11－34·(23)n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1， 两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2直接证明与间接证明课时作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编第二章 推理与证明 数学归纳法1．（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-；（2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：,a b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设0a <且0b <，则由210a x =-<得11x -<<， 由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设不成立， 所以,a b 中至少有一个不小于0． 2．（1111052<； （2）已知函数3()e 2xx f x x -=++，用反证法证明方程()0f x =没有负数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1111052<，只需证221110)52)<， 只需证212110945-<-625110+<， 只需证56245110+<，即证459<，即证8081<， 111052<．学（2）假设存在0m <，使得()0f m =，则3e 2mm m -=-+， 因为0m <，所以0e 1m <<，则3012m m -<-<+，解得132m <<，这与0m <矛盾，因此假设不成立，故方程()0f x =没有负数根． 3．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为0a >，0b >，所以0a b +>， 要证22a b ab a b+≥+，只要证2()4a b ab +≥， 只要证2()40a b ab -+≥，即证2220a ab b -+≥， 而2222()0a ab b a b -+=-≥恒成立，所以22a b aba b+≥+．4．设数列{}n a 满足10a =，且111111n na a +--=-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n a b n+-=，记1nkk n bS ==∑，证明：1n S <．【答案】（1）11n a n=-；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题设111111n n a a +--=-，可得数列1{}1na -是公差为1的等差数列．又1111a -=，所以11n n a -=，所以11n a n=-．（2）由（1）得1111111n n a n n nn n n n b +-+-==-+⋅+=， 所以11111()1111nnk n k k b k k n S ===-=-<++=∑∑． 5．（1）当2a >时，求证：222a a a ++-<； （2）证明：235,,不可能是同一个等差数列中的三项． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设3,5是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则23m n a a d m n --==-为无理数，学 又253m p a a d m pm p m p---===---为有理数，矛盾． 所以假设不成立，即3,5不可能是同一个等差数列中的三项． 6．（1）当2a ≥112a a a a +<--（2）已知,a b 是互不相等的正数，且3322a b a b -=-，求证：413a b <+<． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1112a a a a +<--121a a a a +-<-只需证22(12)1)a a a a +-<-，只需证122(1)(2)12(1)a a a a a a a a ++-++-<+-+-， 只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-， 只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-， 即证20-<，而20-<显然成立， 所以112a a a a +-<---成立．7．（1）若函数()f x 在区间[],a b 上的图象连续，()0f a <，()0f b >，且()f x 在[],a b 上单调递增，求证：函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点； （2）已知a ，b ，c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为函数()f x 在[],a b 上的图象连续，且()0f a <，()0f b >，所以()0)·(f a f b <，所以()f x 在(),a b 内至少存在一个零点，设零点为x m =，则()0f m =， 假设()f x 在(),a b 内还存在另一个零点x n =，即()0f n =，则n m ≠．若n m >，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m >，即00>，矛盾； 若n m <，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m <，即00<，矛盾． 因此假设不成立，故函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．（2）假设a ，b ，c 均不大于0，即0a ≤，0b ≤，0c ≤，则0a b c ++≤，223b y z π=-+，226c z x π=-+， 所以222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z πππ++=-++-++-+=-+-+-+π-，显然2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2(1)0z -≥，30π->，故0a b c ++>，学 这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个大于0． 8．（1）已知实数a ，b 满足||2a <，||2b <，证明：2|||4|a b ab +<+； （2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为14，其外接圆的半径为1，求证：111a b c++> 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，面积为S ． 因为4abc S R =，1R =，14S =，所以1abc =， 且,,a b c 不全相等，否则1a =与2sin603a R =︒=矛盾， 所以111bc ac ab a b c++=++， 又222bc ac abc c +≥=，222ca ab cba a +≥=，222bc ab acb b +≥=， 因为,,a b c 不全相等，所以上述三式中“=”不能同时成立， 所以2()2()bc ac ab a b c ++>++，即bc ac ab a b c ++>++，所以111a b c a b c++>++．9．（1）若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：12x y +<和12yx+<中至少有一个成立； （2）已知(0,)a b c ∈+∞、、，求证：22233a b c a b c ++++≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（222233a b c a b c++++≥，只需证：2222()33a b c a b c ++++≥， 只需证：222222333222a b c a b c ab ac bc ++≥+++++， 只需证：222222222a b c ab ac bc ++≥++，只需证：222()()()0a b b c a c -+-+-≥，而这显然是成立的，22233a b c a b c++++≥成立． 10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+，1n a ≥，n ∈*N ．（1）猜想{}n a 的通项公式，并加以证明；（2）设0x >，0y >，且1x y +=112(2)n n a x a y n +++【答案】（1）n a n =，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分析前几项，然后进行猜想，利用1(2)n n n a S S n -=-≥化简，再结合等差数列的概念即可得证；（2）利用分析法和基本不等式易证．（2）要证112(2)nx ny n +++≤+，只要证2()22()12(2)n x y n xy n x y n ++++++≤+， 代入1x y +=，即证224(1)(2)n xy n n ++≤+，即证41xy ≤， ∵0,0x y >>，且1x y +=，∴122x y xy +≤=，即41xy ≤，得证． 故112(2)nx ny n +++≤+，即112(2)n n a x a y n +++≤+．11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知30,3,33A a b ===o ．（1）求B 和ABC △的面积；（2）当B 是钝角时，证明：tan(118)B -o不可能是有理数．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由正弦定理得，即．因为是三角形内角且，所以或．记ABC △的面积为．学 当时，；当时，．12．数列{}n x 由下列条件确定：10x a =>，11()2n n nax x x +=+，n ∈*N ． （1）证明：对任意的2n ≥，总有n x a ≥； （2）证明：对任意的2n ≥，总有1n n x x +≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由10x a =>及11()2n n nax x x +=+，易得0>n x ， 从而有11()()2n n n n na ax x x a n x x +=+≥⋅=∈N ， 所以对任意的2n ≥，总有n x a ． （2）方法1：当2n ≥时，0n x a ≥>，11()2n n nax x x +=+， 所以2111()022nn n n n n na x a x x x x x x +--=+-=⋅≤， 故当2n ≥时，1n n x x +≥． 方法2：当2n ≥时，0n x a >，11()2n n na x x x +=+， 所以2221221()2122n n n n n n n n n na x x x x a x x x x x x ++++==≤=，故当2n ≥时，1n n x x +≥．13．已知函数()e (0,)x f x x a b a b =-+>∈R ．（1）若函数()f x 为R 上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，证明：122ln x x a +<-． 【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析．（2）由题知1212e 0e 0xx x a b x a b -+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，两式相减得，即，故要证，只需证1212122lne e x x x x x x -+<--，即证1212212e (e )ex x x x x x +-<-，即证，不妨设， 令，则需证，设，则， 设，则， 故在上单调递减，∴，即，∴在上单调递减， ∴，即，故原不等式得证．学 14．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）用反证法证明：()0f x =没有负数根． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由于函数23 ()111x xxf a ax xx-=+=+-++，而函数(1)xy a a=>和函数31yx=-+在(1,)-+∞上都为增函数，可得函数()f x在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设()0f x=有负数根为00(0)x x x<=，则有0311xax+=+①，分0(1,0)x∈-，0(,1)x∈-∞-两种情况，分别根据31x+和01xa+的取值范围，可得①式不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．（2）假设()0f x=有负数根为00(0)x x x<=，则有0()0f x=，即0311xax+=+①．由于函数1xy a=+在R上是增函数，且012a+=，所以012xa+<．由于函数31yx=+在(1,)-+∞上是减函数，当0(1,0)x∈-时，333101x>=++，所以①式不可能成立；由于函数31yx=+在(,1)-∞-上是减函数，当0(,1)x∈-∞-时，31x<+，而011xa+>，所以①式不可能成立．综上可得，①式不可能成立，学故假设不成立，即()0f x=没有负数根．15．（2015浙江）已知数列{}n a 满足112a =，且21()n n n a a n a +=-∈*N ． （1）证明：112()nn a n a +≤≤∈*N ； （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n n a a +<-≤，从而可得112(1)n a n +≤<+1()2n n ∈+*N ，即可得证11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N .【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-可得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤，得211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，故112()n n a n a +≤≤∈*N . （2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤得，11112n na a +<-≤， 所以11112n n n a a +<-≤，因此111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++，所以11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N . 16．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【思路分析】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得n n n n n a a a a a --+++++=21124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．学。
选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明(理)(习题+解析)
选修2-2第2章第2节直接证明与间接证明（理）(习题+解析)C. (a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D. （a 2－1） （b 2－1）≥04. 已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是 （ ）A. ba <1 B. a 2>b 2C. |a ＋b |>|a －b |D. 1ab 2>1a 2b5. 已知函数f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x，a ，b ∈ （0，＋∞），A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f ，B ＝f （ab ），C ＝⎪⎭⎫⎝⎛+ba ab f 2，则A 、B 、C 的大小关系为 （ ）A. A ≤B ≤CB. A ≤C ≤BC. B ≤C ≤AD. C ≤B ≤A6. 设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是 （ ）A. aB. bC. cD. 不能确定 二、填空题7. 否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________。
8. 已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________。
9. 已知a ，b ，μ∈ （0，＋∞）且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________。
10. 如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________。
三、解答题11. 已知a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1。
求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c 。
12. 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1。
求证： a ＋12＋b ＋12≤2。
1. 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论。
故选B 。
答案：B2. 解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B 。
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自我小测
1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( )
A ．a ＜b
B ．a ≤b
C ．a ＝b
D ．a ≥b
2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )
A ．a ，b ，c 都是正数
B ．a ，b ，c 都大于1
C ．a ，b ，c 都小于2
D ．a ，b ，c 至少有一个不小于12
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )
A ．a ，b ，c 都是偶数
B ．a ，b ，c 都不是偶数
C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数
D ．至多有两个偶数
4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人是对的，则获奖的歌手是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．两条相交直线l ，m 都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l 和m 中至少有一条与平面β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．
7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________．
8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．
10．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．
答案：B
2．解析：假设a ，b ，c 均小于12，则a ＋2b ＋c ＜12＋1＋12
＝2，与已知矛盾，故选D ． 答案：D
3．解析：“a ，b ，c 中存在偶数”，即“a ，b ，c 中至少有一个偶数”，故其否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．选B ．
答案：B
4．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：C
5．解析：若已知α与β相交，设交线为a ，假设l ，m 都与平面β平行，则a ∥l ，a ∥m ，∴l ∥m ，这与已知l 与m 相交矛盾，∴乙⇒甲．若已知l ，m 中至少有一条与平面β相交，不妨设l ∩β＝A ，则点A ∈α，且点A ∈β，∴α与β必有一条过点A 的交线，即甲⇒乙．故选C ．
答案：C
6．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．
答案：a ≠1或b ≠1
7．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，
即⎩⎨⎧
3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，
解得{a |－2＜a ＜－1}，
所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．
答案：{a |a ≤－2或a ≥－1}
8．解析：据题目要求及解题步骤，
因为a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，
所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋...＋(a7－7) (a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)
9．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，
即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，
所以a＋c＋2ac＝4ac，
所以(a－c)2＝0，即a＝c.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故a，b，c不成等差数列．
10．解：不存在．
理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1
x1·
y2
x2＝－1，∴(
ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0. 由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
∴x1＋x2＝
－4a
1－2a2
，x1·x2＝
－3
1－2a2
.
∴(1＋a2)·
－3
1－2a2
－a·
－4a
1－2a2
＋1＝0，
即a2＝－2，这是不可能的．
∴假设不成立．
故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.。