人教A版选修2-2 2.2 直接证明与间接证明(第2课时) 课时作业

自我小测

1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( )

A ．a ＜b

B ．a ≤b

C ．a ＝b

D ．a ≥b

2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )

A ．a ，b ，c 都是正数

B ．a ，b ，c 都大于1

C ．a ，b ，c 都小于2

D ．a ，b ，c 至少有一个不小于12

3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )

A ．a ，b ，c 都是偶数

B ．a ，b ，c 都不是偶数

C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数

D ．至多有两个偶数

4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人是对的，则获奖的歌手是( )

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

5．两条相交直线l ，m 都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l 和m 中至少有一条与平面β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．

7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________．

8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．

证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

10．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．

答案：B

2．解析：假设a ，b ，c 均小于12，则a ＋2b ＋c ＜12＋1＋12

＝2，与已知矛盾，故选D ． 答案：D

3．解析：“a ，b ，c 中存在偶数”，即“a ，b ，c 中至少有一个偶数”，故其否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．选B ．

答案：B

4．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．

答案：C

5．解析：若已知α与β相交，设交线为a ，假设l ，m 都与平面β平行，则a ∥l ，a ∥m ，∴l ∥m ，这与已知l 与m 相交矛盾，∴乙⇒甲．若已知l ，m 中至少有一条与平面β相交，不妨设l ∩β＝A ，则点A ∈α，且点A ∈β，∴α与β必有一条过点A 的交线，即甲⇒乙．故选C ．

答案：C

6．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．

答案：a ≠1或b ≠1

7．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，

即⎩⎨⎧

3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，

解得{a |－2＜a ＜－1}，

所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．

答案：{a |a ≤－2或a ≥－1}

8．解析：据题目要求及解题步骤，

因为a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，

所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数．

即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．

又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，

所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.

所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.

答案：(a1－1)＋(a2－2)＋...＋(a7－7) (a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)

9．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，

即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，

所以a＋c＋2ac＝4ac，

所以(a－c)2＝0，即a＝c.

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

10．解：不存在．

理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则y1

x1·

y2

x2＝－1，∴(

ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，

即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0. 由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，

∴x1＋x2＝

－4a

1－2a2

，x1·x2＝

－3

1－2a2

.

∴(1＋a2)·

－3

1－2a2

－a·

－4a

1－2a2

＋1＝0，

即a2＝－2，这是不可能的．

∴假设不成立．

故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.