小学数学小升初竞赛辅导材料--高斯取整

2019年小学数学竞赛辅导材料－－高斯取整1．（2018•迎春杯）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[4]＝4，[3.4]＝3．已知对于数a，有[5a]+5a＝2018.16，那么[[25a]+25a]＝．2．（2017•华罗庚金杯）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则

[]+[]+[]+[]+[]+[]等于．

3．（2008•陈省身杯）设[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，则方程[x]+2x＝4的解为．

4．以[x]表示不大于x的最大整数，那么，满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y 的值共有组．

5．已知S＝[]+[]+[]+…+[]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则S的值为．

6．[x]表示不超过x的最大整数，则[]，[]，[]，…，[]中共有个不同的整数．（提示：（n+1）2﹣n2＝2n+1）

7．计算：[]+[]+…+[]+[]．

8．求[]+[]+…+[]+[]的和．

9．已知S＝[]+[]+…+[]，求：S＝？

10．求满足方程[x]+[2x]＝19的x的值．

11．解方程：

（1）x+2{x}＝3[x]；（2）3x+5[x]﹣49＝0．12．求方程2[x]﹣9{x}＝0的解的个数．

13．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1求：

（1）[x﹣y]的所有可能值；

（2）[x+y﹣z]的所有可能值．

14．解方程[]+[]+[]+[]＝110，其中x是整数．

15．（1）在[]，[]，[]，…，[]中共出了多少个互不相同的数？

（2）在[]，[]，[]，…，[]中共出现了多少个互不相同的数？

温州育英小学分校数学竞赛辅导材料－－高斯取整

参考答案与试题解析

1．【分析】设5a的小数部分为x，则5a＝[5a]+x，然后根据[5a]+5a＝2018.16，可以求出x ＝0.16，和[5a]＝1009；再进一步解答即可．

【解答】设5a的小数部分为x，则5a＝[5a]+x，

因为[5a]+5a＝2018.16

即，[5a]+[5a]+x＝2018.16

即，2×[5a]+x＝2018.16

所以，2×[5a]＝2018，x＝0.16

即，[5a]＝1009，出x＝0.16

则，25a＝5×5a＝5×（1009+0.16）＝5×1009+0.8

所以[[25a]+25a]

＝[5×1009+5×1009+0.8]

＝10×1009

＝10090

故答案为：10090．

2．【分析】本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[]内的数相加等于2017，又因为当x不是整数时，[x]+[2017﹣x]＝2016，故两两相加，可以得到答案．

【解答】因为2017和11是质数，所以[]内的数据都不是整数，

则[]+[]＝2017﹣1＝2016，

同理可得[]+[]＝2016，

[]+[]＝2016，

所以原式＝2016+2016+2016＝6048．

故填：6048

3．【分析】设n≤x＜n+1（n是整数），则[x]＝n，根据方程[x]+2x＝4，求出n，即可得出结论．【解答】设n≤x＜n+1（n是整数），则[x]＝n，

因为[x]+2x＝4，

所以2x＝4﹣[x]，

所以2n≤4﹣n≤2n+1，

所以，

所以2x＝4﹣1，

所以x＝1.5，

故答案为1.5．

4．【分析】显然0≤y≤4（否则等式左边＞36），当y＝0时，有x＝19．当y＝1时，有x＝15；当y＝2时，x＝10；当y＝3时，x不存在；当y＝4时，x＝1．

【解答】x最小是1，此时[1.9x]＝[1.9]＝1，此时[8.8y]≤36﹣1＝35，由于8.8×4＝35.2，8.8×5＝44，所以y≤4，

所以满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有4组．

y＝0，x＝19，

y＝1，x＝15；

y＝2，x＝10；

y＝3，x无解；

y＝4，x＝1．

答：满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有，4组．

故答案为：4．

5．【分析】本题考察高斯取整，解题关键在于求出每个分数计算结果的整数部分．

【解答】对每个分数进行变形，

S＝[]+[]+[]+…+[]

＝[2﹣]+[4﹣]+[6﹣]+…+[200﹣]

＝1+3+5+…+199

＝（1+199）×100÷2

＝10000

6．【分析】从[]到[]表示的不超过x最大整数都是0，从[]到[]表示的不超过x最大整数都是1，从[]到[]表示的不超过x最大整数都是2，从[]

到[]表示的不超过x最大整数都是3，…，[]表示的不超过x最大整数是126，…，[]表示的不超过x最大整数是2011，此数列是从0到2011递增排列，所以共有2011+1＝2012个不同的整数．

【解答】根据题干分析可得：此数列是从0到2011递增排列，所以共有2011+1＝2012个不同的整数．

答：共有2012个不同的整数．

故答案为：2012．

7．【分析】本题考察高斯取整．[]+[]＝23﹣1＝22，同理，其他也都可以得到[]+[]＝22，然后求和，即可得解．

【解答】[]+[]+…+[]+[]

＝22×40÷2

＝440

8．【分析】本题考察高斯取整．

【解答】因为+＝42，+＝42，…

所以[]+[]＝41，[]+[]＝41，…

接下来讨论几个特殊的数，，

所以原式＝41×（98﹣2）÷2+42＝2010

9．【分析】根据高斯求和公式和x＝[x]+{x}找到规律解答即可．

【解答】因为，+＝199，199是整数，[]+[]的和也是整数，

即+＝[]+[]+{}+{}

所以，{}+{}的和也是整数，

0＜{}＜1，0＜{}＜1

所以，0＜{}+{}＜2

0和2之间，只有整数1，