第3章整数规划模型

任务
人
英
日
德
俄
2
15
13
4
甲
10
4
14
15
乙
9
14
16
13
丙
丁
7
8
11
9
§3.7 混合泳接力队的选拔
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
5名候选人的百米成绩
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
虽余料增加8米，但减少了2根
1.当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标
2.在需求的规格数量不多的情况下，可采用“列 举 法”，确定可行的、合理的切割模式。当规格数量 >=4时，列举工作量就很大了。
3.下料问题建模，由两部分构成
确定下料可行、合理的模式--无通用的方法
构造优化模型—选择合适的目标
4.对于一维（钢管、钢筋等）下料问题，当所需要的 规格数量不多时，可采用枚举法求解。
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 x2 2x4 x5 3x6 20
x3 x5 2x7 15
xi 为整数
最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0；
最优值：25。
按模式2切割15根， 与目标1的结果“共切割
按模式5切割5根， 27根，余料27米” 相比
按模式7切割5根， 共25根，余料35米
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
目标2（总根数） Min Z2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条 件不变
问题分析
• 决策量：机床 A加i 工 的B j 数量 ，xij i 1, 2, 共m, j 个1, 2, n m n
• 约束：机床 A工i 作能力 ；ai 对零件 需B j求数量 个 bj
• 目标：总成本 y(元)
模型建立
mn
min y
cij xij
i1 j1
n
s.t. tij xij ai , i 1, 2, m
ci 元，问：在投资总额不超过 B 元的条件下，怎样选址，
可使公司年利润最大？
问题分析
• 目标：求最大利润
• 决策变量：是否在 A点i 建立门市部，0-1变
量
• 约束： 满足选点规定 ；投资总额 B
• 约定符号：
1, xi 0,
选择Ai点建立门市部 Ai点没有被选用
i
1,
2,
3,
7
z 年总利润（元）
模型建立
• 设 x为j 采用方案 下Bj 料所用钢板的 数量， y为所用钢板总数
n
min y xj
j 1
n
s.t. aij x j bi ,i 1, 2, m
j 1
x
j
0,且x j
I,
j
1, 2,
n, I {0,1, 2, }
客户需求
例3 钢管下料 原料钢管:每根19米
4米50根
i 1
xij 0或1，
i 1, 2, n j 1, 2, n i, j 1, 2, n
练习：有一份说明书，要分别译成 英(E)、日(J)、德(G)、俄(R)四种 文字。交给甲、乙、丙、丁 4 人完 成，每人完成一种，因各人专长不 同，他们翻译所需时间见表，问： 应分派哪个人完成哪项任务，使总 的花费时间最少？
模型建立
7
max z ci xi
i 1
7
s.t. bi xi B
i 1
x1 x2 x3 2
x4 x5 1 x6 x7 1
xi 0或1, i 1, 2, 7
§3.6 指派问题
例 有 n 项 任 务 A1, A2, An 要 完 成 ， j 1,2, n .由于任务性质和每人专长 不同，因此，每人完成不同任务时 的效率（或所用时间）有差别.问： 应当指派哪个人去完成哪项任务使 总的效率最高（或所用时间最少）
合理切割模式 6米钢管根数 8米钢管根数
1
4
0
0
2
3
1
0
3
2
0
1
4
1
2
0
5
1
1
1
6
0
3
0
7
0
0
2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
问：应如何选择厂址和安排运输计划，才能得到经济 上花费最少的方案。
问题分析
• 决策量：确定是否选择 B建i 厂；B到i 运Aj送量 • 目标：总花费=固定成本费+产品运输费
• 约束：建厂地点要求，生产能力，需求量要 求
• 运费～运送量～连续变量
在 建厂或不建～用0或1表示
Bi
构成了混合整 数规划
符号假定：在单位时间内
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50
23
1
0 1 x2 2x4 x5 3x6 20
32
0
1 3 x3 x5 2x7 15
j 1
m
xij bj , j 1, 2, n
i 1
xij
0, 且xij
I,i
1,
, m; j 1,
,n
I {0,1, 2, }
练习 某车间有甲、乙车床，加工
三种工件，有关信息见下表， 试确定车床加工任务，既满足 加工工件要求，又使加工费最 小。
工件 机时（小时） 加工费
车
床
B1 B2 B3 B1 B2 B3
§3.4 生产组织与计划问题
例 某工厂用 m 台机床： A1, A2, Am ，加工 n 种零件： B1, B2, Bn .在一个生产周期内，已知第 i 台机床 Ai 只能 工作 ai 个机时，i 1, 2, m .工厂必须完成加工零件 B j 的数量为 b j 个，j 1, 2, n .机床 Ai 加工零件 B j 一个所 需的机时和成本分别为 tij （机时/个）和 cij（元/个）. 问：在这个生产周期，应如何安排各机床的生产任务， 才能既完成加工任务，又使总的加工成本最小。
模型的建立
解：设 xi 为采用第 i 种方案所用原料数， y 为
原料总数
6
min y xi
s.t.x1
4x2
3x3
i 1
2x4
x5
1000;
x2
2x3
3x4
5x5
6x6
2000;
xi 0,且xi为整数(i=1,2, 6)
例 2 假设要用某类钢板下 m 种零件 A1, A2, Am 的毛料. 根据既省料又容易操作的原则，人们在一块钢板 上，已经设计出 n 种不同的下料方案，设在第 j 种 下料方案中，可下得第 i 种零件 Ai 的个数为 aij ，第 i 种零件的需要量为 bi ,i 1, 2, m .问应如何下料， 才能既满足需要，又使所用的钢板总数最少？
模型建立
•令
1, 装第i件物品，
xi 0,
否则 i 1, 2, , n
• 设装入物品的总价值为z，则上述背包问
题的数学模型为
n
max z ci xi ,
i 1
n
s.t. bi xi b,
i 1
xi
0或1，i
1, 2,
n
§3.3 合理下料问题
例 1 某工厂有 10 米长的钢管若干 根，要截取 3 米、4 米长的钢管各 5 根，问：如何截取，使所用钢筋数 最少？
6米20根
8米15根
问题: 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题
模式
1 4米钢管根数
第3章 整数规划模型
§3.1 投资决策问题
例 某市有 b 亿元资金用于 n 个项目投 资，对第 i 个项目投资需要 bi 亿元，可 获 得 利 税 收 入 ci 亿 元 . 试 确 定 投 资 方 案，使得该市的利税收入最多.
问题分析
• 目标：利税收入； • 决策量：由于每个项目投资数额已定，
只是投与不投，我们选择0-1变量； • 约束：总资金b亿元.
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
Ai ,i 1, 2, 7 可供选择.规定： 1. 东区 B1 只能在 A1, A2 , A3 中至多选 2 个点； 2. 西区 B2 只能在 A4 , A5 中至少选 1 个点； 3. 南区 B3 在 A6 , A7 中至少选 1 个点. 如果选 Ai ，设备投资估计为 bi 元，每年可获利润估计为
xi 0且xi I={0,1,2, }，i 1, 2,3
练习:
现有长度为500cm的钢管， 要截98cm,78cm的两种 钢管，各要1000根，2000 根。问：怎样截，用原料最 少？
方案
规 格
每根 下料 数
B1
B2
B3
B4
B5
B6
需求量
A1 5
4
3
2
1
0
1000根
A2 0
1
2
3
5
6
2000根
符号约定：
xij 表示第 i 个人去完成第 j 项任务
1, xij 0,
选派Bi完成Aj 否则
i,
j
1,
2,
n
tij 表示 Bi 完成 Aj 任务所需时间 z 表示总的花费时间
模型建立
min z n Zi n
n
tij xij
i 1
i1 j1
n
s.t. xij 1
j 1
n
xij 1
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
Min Z
cij xij
j 1 i1
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
xij ---从厂址 Bi 运往需求点 Aj 的物资量 （吨）， i 1, 2, m, j 1, 2, n
yi
1， 0，
在Bi处建厂 否则
i=1,2,
m
s -----单位时间的总花费（元）
z ----总运费（元）
y ----总固定成本费（元）
模型建立
min s m
n
m
cij xij ai yi
0.4 1.1 1.0 13 9 10
甲Байду номын сангаас
车床机时限 制（小时）
800
0.5 1.2 1.3 11 12 8
900
乙
需求量
400 600 500
总加工费用 最小
§3.5 工厂选址问题
例 1 设有 n 个需求点（如城市、仓库或商店等），有 m
个可供选择的建厂地址.每个地址至多可建一个工厂.
在 i 地址建立工厂的生产能力为 Di ，在 i 地址经营工 厂，单位时间的固定成本为 ai （元），需求点 j 的需求 量为 b j ，从厂址 i 到需求点 j 的单位运费为 cij（元/t）.
i1 j1
i 1
n
s.t. xij Di yi j 1
m
xij bj
i 1
xij 0,
i 1, 2, m j 1, 2, n i 1, 2, m
yi 0或1，
j 1, 2, n
例 2 某公司在市东、西、南三区建立门市部，用
Bj , j 1, 2, 3 表 示 . 设 三 个 区 共 有 7 个 位 置 点
模型建立
设xi
1, 0，
对第i个项目投资， 否则， i 1, 2,
n
Z 为总利税收入（亿元）
则模型为：
max z m ci xi
i 1
n
s.t. bi xi b
i 1
xi 0或1
§3.2 背包问题
例 设有一个容积为b ,有n 个体积分 别为 bi (i 1,2, n) ，使用价值分别为 ci (i 1,2, n) 的物品可以装入背包，问 应选择哪几件物品装入背包，才 能得到最大的使用价值？试建立 数学模型.
方案
规 每根原料下 B1
B2
格 管根数
B3 需求量
3米长
3个 2个 0个
5根
4米长 余料量
0个 1个 1米 0米
2个
5根
所用钢 2米 筋数最
少
模型建立
• 设 x1, x2为, x3采用方案 为所用y钢筋总数
B1所, B2用, B钢3 筋数，
min y x1 x2 x3
s.t.3x1 2x2 5 x2 2x3 5