【全国百强校】重庆一中人教版八年级数学下册勾股定理课件
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人教版初中数学八年级下册勾股定理课件
∴x2+4+（4-x）2+16=（4-x）2+（6-x）2，解得：x= 43，
人教版 八年级数学下册
课程结束
新课学习
解析：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F， ∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE； 又∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠B′EF， ∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF； 在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2， 即：AB2=BF2-AE2， ∴AB= 42−32 = 7 ，即AB的长度是 7 。
知识巩固
3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、 10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂 蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解析：展开后得到直角三角形ACB，根据题意 求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可。
知识巩固
解析：展开后由题意得：∠C=90°， AC=3×10+3×6=48（寸）， BC=55寸， 由勾股定理得：AB= AC2+BC2 = 482+552 =73（寸）
B A
新课学习
求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆 柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
B
C 9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
新课学习
9cm
B
高 12cm
A
解：Rt△ABC中， ∠C=90°。 AB= AC2+BC2= 122+92=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
81
144
15
人教版 八年级数学下册
课程结束
新课学习
解析：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F， ∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE； 又∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠B′EF， ∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF； 在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2， 即：AB2=BF2-AE2， ∴AB= 42−32 = 7 ，即AB的长度是 7 。
知识巩固
3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、 10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂 蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解析：展开后得到直角三角形ACB，根据题意 求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可。
知识巩固
解析：展开后由题意得：∠C=90°， AC=3×10+3×6=48（寸）， BC=55寸， 由勾股定理得：AB= AC2+BC2 = 482+552 =73（寸）
B A
新课学习
求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆 柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
B
C 9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
新课学习
9cm
B
高 12cm
A
解：Rt△ABC中， ∠C=90°。 AB= AC2+BC2= 122+92=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
81
144
15
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
b
a
c b
a
c a
b
证明：∵S大正方形＝c2，
cb
S小正方形＝(b - a)2，
a b- a
赵爽弦图
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和
聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案
被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把 直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾股
勾2 + 股2 = 弦2
利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
问题1 试问正方形 A、B、 C 面积之间有什么样的数 量关系？
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三 角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
左图：SC
4
1 2
2
3
11
13
右图： SC
4
1 2
4
3
11
25
你还有其 他办法求C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
人教版八年级数学 下册课件：17.1 勾股定理(第1课时)(共16张PPT)
弦
勾a
c
b
股
求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
例2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 ,求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 C
160
பைடு நூலகம்
B 40
设直角三角形中的两条直角边
长分别为a 和 b ，斜边为c。
A B
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc Aa
C
c a
bD
青朱出入图
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
也角友
数
来三家 观角 作 相
学
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毕
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数学家毕达哥拉斯的发现：
八年级数学下册《勾股定理》PPT课件
人教版八年级数学下册
创设情境 引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
问题1 你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
创设情境 引入课题
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年 以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的 地面反映了直角三角形的某种特性．
a
初步应用定理
练习1. 教材24页练习1 练习2. 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
初步应用定理
练习3. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
B
A
C
D
B
A C
探究勾股定理
问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角 形三边之间应该有什么关系？
猜想： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2．
勾股定理的证明
b
CLeabharlann (1)a(2)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
c c
(a-b)2
c
c
(3)
1
(a-b)2 = C2－4× 2 ab
问题2 三个正方形A， B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
BA C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？
创设情境 引入课题
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
问题1 你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
创设情境 引入课题
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年 以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的 地面反映了直角三角形的某种特性．
a
初步应用定理
练习1. 教材24页练习1 练习2. 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
初步应用定理
练习3. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
B
A
C
D
B
A C
探究勾股定理
问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角 形三边之间应该有什么关系？
猜想： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2．
勾股定理的证明
b
CLeabharlann (1)a(2)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
c c
(a-b)2
c
c
(3)
1
(a-b)2 = C2－4× 2 ab
问题2 三个正方形A， B，C 的面积有什么关系？
追问 由这三个正方形 A，B，C的边长构成的等腰 直角三角形三条边长度之间 有怎样的特殊关系？
BA C
探究勾股定理
问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三 边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积 关系？
人教版数学八年级下册《 勾股定理》ppt课件
C A
B
C A
B
这两幅图中A， B的面积都好求， 该怎样求 C 的 面积呢？
方法一：割 分割为四个直 角三角形和一 个小正方形.
方法二：补
方法三：拼
补成大正方形， 将几个小块拼成若干
用大正方形的面 个小正方形，图中两
积减去四个直角 块红色（或绿色）可
三角形的面积. 拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？ 几何画板：面积法验证勾股定理.gsp
求证：a2 + b2 = c2.
a
证明：
∵
S梯形
1 (a b)(a b) 2
,
bc
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
,
c a
∴a2 + b2 = c2.
b
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别
为a、b,斜边为c，那么
ac
a2 b2 c2 B
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
人教版 数学 八年级 下册
17.1 勾股定理（第1课时）
导入新知 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是
大会会徽的图案。
大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的 勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的 直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”。 上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系。
ac
b
c b
探究新知
考 点 2 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长 在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
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SR =25
A
R
P
C
Q
B
这是用“补”的方法
SR =25
这是用“割”的方法
A
R
P
C据，你有什么发现？
P Ca B
Qb c
R A
SP+SQ=SR
a2+b2=c2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
a2+b2=c2
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直 角边称为“股”，斜边称为“弦”.
b cb c b c b c
a
a
a
a
怎样利用四个一样大的直角三角形来拼一 个新的图形，从而得到勾股定理的证明？
读一读
图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽 在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开 的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其 图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三 ，国家股之等一。于早四在，三千那多么年前弦，就等于五， 即国家“之勾一三。、早在股三四千多、年弦前五， ”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作《 周国家髀之算一。经早》在中三千。多年前
大话勾股定理
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
【全国百强校】重庆一 中人教版八年级数学下
册勾股定理课件
2020/9/8
邮票赏 析
这是1955年希腊曾经发行的 一枚纪念邮票。 观察这枚邮票图案小方格的个 数，你有什么发现？
探究一：将每个小正方形的面积看作1，△ABC是以格点为顶
点的直角三角形，分别以三边向外作正方形。
A
R
P
C
B
Q
SP=9 SQ=16
图1-1
图1-2
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
拼图证明
bc
a
拼图证明
求下列直角三角形中未知边的长:
5
17 8
x
x
16
20
x 12
x＝１５
x＝１２ x＝１３
方法小结: ①可用勾股定理建立方程.
②直角三角形中已知两边可求第三边.
已知：Rt△ＡBC中，AB＝4，
AC＝3,则 BC2 的值为 25 或 7 .
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中 于离地面10米处折断倒下，树顶落在离 树根24米处. 大树在折断之前高多少米？