作业振动作业及答案
振动与波习题课及课后作业解答
π
2π
λ
2OB π = 5π
2π
= 入 反 = π
λ
x (5π +
2π
λ
x) = 6π
4π
2kπ , 波腹 = (2k + 1)π , 波节
0≤x≤1.25λ ≤ ≤ λ
λ
x
3. 空气中声速为 空气中声速为340m/s, 一列车以 一列车以72km/h的速度行驶 车上旅客 的速度行驶, 的速度行驶 听到汽笛声频率为360Hz, 则目送此火车离去的站台上的旅客听到 听到汽笛声频率为 此汽笛声的频率为( 此汽笛声的频率为 B) (A) 360Hz (B) 340Hz (C) 382.5Hz (D) 405Hz 解:
t = ( / 2π )T = T / 12 6
A/2 -π/3
π
ω
x
A
2. 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线 振动圆频率 如图为用余弦函数表示的一质点作谐振动曲线, ,从初始状态到达状态 所需时间为 2s 从初始状态到达状态a所需时间为 . 为 7π/6 π 从初始状态到达状态 分析: 分析:本题的关键是确定各时刻 X(m) 6 的位相, 的位相,在振动曲线上由位移和 3 速度方向(斜率的正负) 速度方向(斜率的正负)定 0 t=0时: -3 X0=A/2,v0<0 = π/3 t=1时: X=0,v>0 ωt+= 3π/2
u vs
s
u = 334m s 1 (3)
u v0 ( 4) λ ′ = ν′ 334 65 = = 0.190m 1418
ω
t = 0, v0 = ωA sin 0 = 10cm / s
3 ∴0 = π 2
机械振动基础作业(有答案-全版)
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。
2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2）它们串联时的总刚度eq k 为：21111k k k eq +=证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即2211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k kF k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）且21∆+∆=∆ （2）由（1）和（2）有：)(21k Fk F k F eq += （3） 由（3）得:21111k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ,2三种特例。
证明：因t B t B t B ωϕωϕϕωsin sin cos cos )cos(+=-从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+令 ()ϕϕϕθ222sin cos sin sin B B A B ++=则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=-+=())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A令C=()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=2π时，22B A C +=，22BA arcsin +=B θ ；当ϕ=π时，B A -=C ，0=θ1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。
振动波动部分例题及作业
0 2
2 A 4 或 3 3
4 A 3 2 2
O
A
x
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求其振 x/m 动表达式 2 解：由图知
[例7]两列相干平面简谐波沿x轴传播。 波源S1和S2相距d=30m，S1为坐标原点, 已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的 两个因干涉而静止的点。求两波的波长 和两波源的最小位相差
S1
解：设S1、S2的初相位为1 、2 因x1和x2处为相邻干涉静止点，有0x1 Nhomakorabeax2
S2
x
x x2 2 (d x1 ) 2x1 [ 2 ] [1 ] (2k 1) 2 (d 2 x1 ) 2 1 (2k 1) 2 (d 2 x2 ) 同理 2 1 (2k 3)
2 T 4s T 2
x0 A
由旋转矢量法得
0.24 0.24 x 0 x 0.24 cos t m 2 (2) t=0.5s: 1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2 2 2 F ma m x 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[ 例 3] 质量为 0.01kg 物体作周期为 4s 、振 幅为0.24m的简谐振动。t=0时,位移 x=0.24m。求(1)谐振动表达式；(2)t=0.5s 时 , 物体的位置和所受的力； (3) 物体从 初始位置运动至 x =-0.12m 处所需的最短 时间 解：(1)设振动表达式为 x A cos( t ) 其中 A 0.24 m
机械振动第二三四次作业参考答案
θ
由题意可得，质心的速度为：
v ( R r )
又由于圆盘的速度等于质心的速度，故有
v盘 v ( R r )
故有： 则系统的动能为：
盘
v盘 R r r r
Ek
1 2 1 2 1 1 1 Rr 2 2 2 mv J盘 mR - r ( mr 2 )( ) 2 2 2 2 2 r
cx kx p(t ) m x
带入数据后可得,该系统运动方程为：
400 x 17000 x 240 sin 3t 0 275 x
（2）由（1）可知，系统的固有频率为：
n
系统的阻尼比为：
k 17000 7.862rad / s m 275
2
1 . 1 9 9 4 1m 0
h tan 1
故有：
2 1 2 0.0925 1.199 tan 2.67 rad 2 2 1 1 1.199
xu hu pu 1.199 104 240 0.0288 m
因此，系统的稳态响应为：
I 0 a k1 a l k2 l 0
整理可得，系统运动方程为： 1 2 ml (a 2 k1 l 2 k2 ) 0 3 （2）由系统运动微分方程，求固有频率：
n
keq meq
a 2 k1 l 2 k2
3(a 2 k1 l 2 k2 ) 1 2 ml 3 ml 2
对于激励 p2 (t ) ，求其阻尼比
2
p 2 0.7992 n 7.862
2
对应的频响函数的幅值和相位角分别为：
hu 2
1 1 k (1 22 )2 (22 )2 1 1 17000 (1 0.79922 )2 (2 0.0925 0.7992) 2
大物参考答案
©物理系_2015_09《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动一、 判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误） [ F ] 1．只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动。
解：如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动，其回复力为重力的分力。
[ F ] 2．简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定。
解：根据简谐振子频率mk=ω，可知角频率由系统本身性质决定，与初始条件无关。
[ F ] 3．单摆的运动就是简谐振动。
解：单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动。
[ T ] 4．孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化。
解：孤立的谐振系统机械能守恒，动能势能反相变化。
[ F ] 5．两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动。
解: 同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动。
二、选择题：1. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。
若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为[ C ] (A) θ; (B) π23; (C) 0; (D) π21。
解：对于小角度摆动的单摆，可以视为简谐振动，其运动方程为： ()()0cos ϕωθθ+=t t m ，根据题意，t = 0时，摆角处于正最大处，θθ=m ，即：01cos cos 0000=⇒=⇒==ϕϕθϕθθ2．一个简谐振动系统，如果振子质量和振幅都加倍，振动周期将是原来的 [D] (A) 4倍(B) 8倍(C) 2倍(D)2倍解： m T k m T m k T ∝⇒=⇒⎪⎭⎪⎬⎫==/2/2πωωπ,所以选D 。
3. 水平弹簧振子，动能和势能相等的位置在：[ C ] (A)4A x =(B) 2A x = (C) 2A x = (D)3Ax =解：对于孤立的谐振系统，机械能守恒，动能势能反相变化。
那么动能势能相等时，有：221412122Ax kx kA E E E p k =⇒====，所以选C 。
振动力学课程作业
《振动力学》2015春节学期作业一、无阻尼自由振动1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w,机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当①=0时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。
2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。
在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。
求该系统的固有频率。
（忽略刚性杆件和弹簧的质量）（答案：①喈喘一D）（答案：①=)3、如图所示，悬臂梁长为L,截面抗弯刚度为EI,梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚 度为k ，求系统的固有频率。
4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有 角频率。
（答案：①）君篇5、如图所示，抗弯刚度为EI = 30义106（N ・m 2）的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为k = 300（N / m ）。
忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为W = 1000（N ）的物块自由振动的周期。
（答案:T=0.533s ）借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。
每根柱子的长为L,抗弯刚度为 EI 。
试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。
（管柱的质量忽略不计） 6、一个重W 的水箱， （答案：）（答案：T = 2)1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数c '：在弹簧上悬挂一薄板A ,先测出薄板在空气中 的振动周期J 然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期「设液体对薄板的阻力等于2A c ′ -其 中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。
如薄板重W ，试有测得的数据T 和T 2，求出粘性系数c 。
空 气对薄板的阻力不计。
»2 冗 W 二~~—（答案：C ’二祈口22 一 T ：）12（答案：196Ns/m ）3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。
声振作业习题及其答案打印版
2-2、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒50周，若将质量块的质量增大5g 时，其固有频率变为每秒45周。
试求弹性系数。
解：224D f m fπ=⇒= ⇒22223222322504545051042103.78/5045510445D m D N m D m πππ--⎛= ⎛⎫⨯⨯⇒=⨯⨯⨯= ⎪- ⎝⎭+⨯= ⨯⎝2-3、一台机器为隔振而装在一组弹簧上，在平衡时由于机器的质量而使弹簧压缩了25mm 。
求竖直方向振动的角频率。
解：0kx mg=，0//x g m k =020(/)rad s ω====2-4、如题图2-4所示，由弦与质点块组成的振子。
弦长l ，受张力固定于两端。
质点块质量m 距两端各为a 和b 。
当质点引离平衡位置x 时（xl ），试问（1）m 远大于弦的质量时，质量块所受恢复平衡力等于什么？（2）这时突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振动，其最低固有频率为多少？当改变质点位置a 为何值时，其振动频率值最低。
解：设张力为T ，由于xlx ax b（1）所以：11x x F TT Tx a b a b ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（2）撤离外力，所以：1111D T FDx Tx a b m m a b ⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；而最低固有频率：0f==即0f ==0f 最小值，即分母最大值，即()a l a -最大值点，所以()0a l a-=对a 求导有：20l a -=/2a l ⇒=代入上式得到：0min f =2-6、在一弹性系数为k 的弹簧上加一重物M 组成一振动系统，其固有频率为0f 。
（1）若使系统的0f 改变，可采用什么办法？（2）若重物加重一倍而使0f 保持不变。
试问应添加几只弹簧？如何连接？（3）若重物减轻一半但频率不变，应增加几只弹簧？如何连接？解：（1）mk f π210=，改变k 或m 可使系统的固有频率改变。
（2）mk f 2'210π=，k k 2'=，用两只弹簧并联（3）2/'210m k f π=，2/'k k =2-7、求出题图2-7中所示振动系统的固有频率。
第十三章 机械振动作业 作业答案
一. 选择题: 【 D 】1、（基础训练2）一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图所示。
则振动系统的频率为 (A) m k 32π1．(B)mk2π1．(C)m k 32π1． (D) mk62π1．【解】提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，相当于三等份串联后为原来的弹簧，设每份的劲度系数为k '，则：1111k k k k =++'''，3k k '∴=；取出其中2份并联，系统的劲度系数为：6k k k k ''''∴=+=【 C 】2、（基础训练3）一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231ml J =，此摆作微小振动的周期为：(A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π. (D) gl3π.【解】 提示：均匀的细棒一端悬挂，构成一个复摆，所受重力矩为：sin 22l lM mg mg θθ=-≈-，根据转动定律22d M J dt θ=，可得2220mgl d dt J θθ+=，所以22322123l lmg mgg J l ml ω===，22T πω== 【 E 】3、（基础训练5）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ ）(A) 7 /16． (B) 9 /16 (C) 11 /16． (D) 13 /16． (E) 15 /16． 【解】222p 11111()22416216A E kx k kA E ===⋅=，则：k 1151616p E E E E E E =-=-= [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为(A) m k k v 212+=π． (B) mk k v 2121+=π． (C) 212121k mk k k v +=π． (D) )(212121k k m k k v +=π．【解】劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后，设系统的弹性系数为k ，则有：12111k k k =+，2112k k k k k +=，21212()k k km m k k ω==+，振动频率为：2ωνπ==【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ． (C) 2.20 s ． (D) 2.00 s ．【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为0.5A,且向正的最大位移方向移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第四象限，初始相位为-π/3，从t=0时刻到物体第一次到达平衡位置，花费的时间是1s ，在旋转矢量图上矢量转过的角度为5326πππ+=，可以得出：55616t πϕωπ∆===∆，S T 5122==ωπ【 D 】 6、（自测提高6）弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为（ ）(A) KA 2． (B) (1/2)KA 2． (C) (1/4)KA 2． (D) 0．【解】经过半个周期，前后的相位差为π，弹簧的弹性势能没有变化，振子的动能也没有变化，所以做功为0.二 填空题7、(基础训练13) 一质点作简谐振动．其振动曲线如图13-21所示．根据此图，它的周期T =724S ，用余弦函数描述时初相=π34． 【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为-0.5A,且向平衡位置移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第三象限，初始相位为4π/3，从t=0时刻到物体第二次到达平衡位置，花费的时间是2s ，在旋转矢量图上矢量转过的角度为：766πππ+=，可以得出：776212t πϕωπ∆===∆，S T 7242==ωπ 8、(基础训练16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) ，)5cos(10222t x -π⨯=- (SI)它们的合振动的振辐为_210102-⨯(SI)_,初相为_108.40_．【解】提示： 用旋转矢量图示法求解222210cos(5)210cos(5)x t t --=⨯π-=⨯-π9、(自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机以加速度g a 21=0 ．【解】 提示：当升降机以加速度加速下降时，小球受到向上的惯性力作用，分析单摆切线方向受力：sin sin t mg ma ma θθ-+=， 当摆角θ 很小时，有：22()d m g a ml dt θθ--=即：22()0d g a dt lθθ-+=，令：2()g a l ω-=，单摆的周期变为:022T πω=== 10、(自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。
物理学(第五版)下册振动作业答案
试题编号:E17549 25719
答案:{
(1)vm=wA∴w=vm/A=1.5 s-1
∴T= 2p/w=4.19 s 3分
(2)am=w2A=vmw= 4.5×10-2m/s22分
(3)
x= 0.02 (SI) 3分
}
题型:计算题
17.{一简谐振动的振动曲如图所示．求振动方程．}
A. (%)
(1)此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
}
A. (%)
试题编号:E17549 25714
答案:{
(1)小物体受力如图．
设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） 1分
1分
当N= 0，即a=g时，小物体开始脱离振动物体，已知
试题编号:E17549 25720
答案:{
(1)设振动方程为
由曲线可知A= 10 cm ,t= 0， ，
解上面两式，可得 = 2 /3 2分
由图可知质点由位移为x0=-5 cm和v0x= 0和v> 0的状态所需时间t= 2 s，代入振动方程得
(SI)
则有 ，∴ = 5 /12 2分
故所求振动方程为 (SI) 1分
A=10 cm，
有 rad·s-12分
系统最大加速度为 m·s-21分
此值小于g，故小物体不会离开．1分
(2)如使a>g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N= 0求得
2分
cm 1分
即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由 ，可得
=19.6 cm．1分
}
题型:计算题
第章振动作业答案_图文
11. 固有频率为ν0的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受 到频率为2ν0的余弦策动力作用，做受迫振动并达到稳 定状态，振幅为A。若在振子经平衡位置时撤去策动力 ，则自由振动的振幅A’与A的关系是 A’= 2A
(1)稳定振动时振子频率即策动力频率，角频率为 ω =2π (2ν 0) ，经平衡位置时速度最大为V=ω A。
5. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T ，运动方程用余弦函数表示，若t=0时， (1)振子在负的最大位移处，则初位相为_____ 。 (2)振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为
_____。 (3)振子在位移A/2处，向负方向运动，则初位 6. 相将为复_杂__的__周。期性振动分解为一系列的简谐运
Ф-Ф1=π/6.若第一个简谐振动的振幅为
则第二个简谐振动的振幅为
( 10 )cm,第一,二个简谐振动的相位差
Ф1- Ф2为( -π/2 )
9.一简谐振动的旋转矢量如图所示，振幅矢 量长2cm，则该简谐振动的初相位为 π/4 , 振动方程为 2cos(πt+ π/4)cm
10.系统的共振角频率与系统自身性质以及阻 尼大小有关。系统的阻尼越大，共振时振 幅值越低，共振圆频率越小。
13.两个线振动合成为一个圆振动的条件是（1）同 频率；（2）同振幅；（3）两振动相互垂直；（4 ）相位差为（2k+1）π /2, k=0, ±1, ±2,……
计算题
3. 一个水平面上的弹簧振子，弹簧劲度系数
为k，所系物体的质量为M，振幅为A。有一 质量为m的小物体从高度为h处自由下落。
（1）当振子在最大位移处，小物体正好落
9.两个振动方向相互垂直、频率相同的
简谐振动的合成运动的轨迹为一正椭圆 ，则这两个分振动的相位差可能为（ D ）
第十三章 机械振动作业答案(1)
一. 选择题:[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A) T /12． (B)T /8． (C) T /6． (D) T /4．【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3t πω=，所以对应的时间为()332/6Tt T ππωπ=== .[ B ] 2. （基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A) π23． (B) π．(C) π21． (D) 0．【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为2A,初相位为π.[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2++=αωt A x ． (B) )π21cos(2-+=αωt A x ． (C) )π23cos(2-+=αωt A x ．(D) )cos(2π++=αωt A x ．【提示】由旋转矢量图可见，x 2的相位比x 1落后π/2。
[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了∆x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为A/ -·O1A 2A A 合(A) gm xm T 122∆π= ． (B) g m x m T 212∆π=．(C) g m x m T 2121∆π=． (D) gm m xm T )(2212+π=∆．【提示】对轻弹簧和m 1构成的弹簧振子，其周期表达式：2T π= 因为加载另一质量为m 2的物体后弹簧再伸长∆x ，显然2m g k x =∆，由此得2m gk x=∆； 代入周期公式，即可求出周期T.[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶21∶2 ． (C) 1∶2∶21． (D) 1∶2∶1/4 ． 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3； 第一个：1112 T πωω==； 第二个：2121, 22T T ωω==∴= 第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k ，然后并联，总的弹性系数为4k ，所以31312, 2T T ωω==∴=； 得：1231::1:2:2T T T =.[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1． 【提示】在t=0时，cos02πx A ==，势能0p E =，动能212K E E kA ==； t=T/8，cos()422πx A A π=+=-，势能221124p E kx kA ==，所以动能为214K p E E E kA =-=.图13-24二 填空题1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤T 41范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等． 【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，在0≤t ≤T 41范围内，0A x ≤≤；依题意，动能和势能相等，为总能量的一半，即22111222kx kA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x A =，所以4t πω=，48Tt πω==.2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为gl∆π2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2Ax =±，2211284P E E kx kA ===，34k P E E E E E -==； 当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =∆ ，mg k l =∆，222T πω∴===3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) ， )5c o s(10222t x -π⨯=- (SI)它们的合振动的振辐为210()m -，初相为101108.4323tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。
哈工大机械振动作业
1.一个有阻尼的弹簧质量系统，已知m=196kg，k=19600N/m，c=2940Ns/m,作用在质量块上的激振力为F(t)=160sin(19t)N，试求忽略阻尼及考虑阻尼的两种情况中，系统的振幅放大因子及位移。
解：1110 ns ω--===191.910nrωω===忽略阻尼时：ζ=0，振幅放大因子为0.3831β===位移为31600.383110 3.12819600FX mm mmkβ==⨯⨯=考虑阻尼时：0.75ς===振幅放大因子为0.2588β===位移为31600.258810 2.11219600FX mm mmkβ==⨯⨯=2.计算单自由度无阻尼系统对如图所示矩形激励力作用下的响应。
解：设()01 ()cos sin 2n n n a F t a n t b n t ωω∞==++∑则2T πω=002()0Ta F t dt T ==⎰ 00223()cos (sin sin )22T n F n n a F t n tdt T n ππωπ==-⎰ 02()sin 0Tn b F t n tdt T ω==⎰22cos()n n n x x x a n t ζωωω++=由于无阻尼，故上式方程变为：2cos()n n x x a n t ωω+=(0)0,(0)0x x ==222()(cos t cos )ncn n n a x t n t n ωωωω∴=--222()(cos t cos )ncn n n a x t n t n ωωωω=--0()0,()0sn x t x t ==故单自由度无阻尼系统的响应为222123()(sin sin )(cos t cos )()22n n n F n n x t n t n n ππωωπωω∞==---∑3.计算单自由度系统的响应：0024()(4), 1 mm, 1 mm/s x x x t t x x δδ++=--==-(2rad/s, =0.5, n d ωζω= 解：由于冲量的存在，0010v x =+=当0<t<4时，()sin())n t t d x t Ae t Ae ζωωϕϕ--=+=+A ===000tan tan 3d n x arc arc v x ωπϕςω⎛⎫===⎪+⎝⎭⎝⎭故系统的响应为：())3t x t π-=+ 当t>4时，''441,0v x ==假设原系统静止，根据叠加原理有A ==='(4)()4)),t 4t x t t --=->故该单自由度系统的总响应为：(4))043())4))t 43t t t t x t t ππ----+<<=+-->。
振动作业答案
《大学物理（下）》作业 机械振动（电气、计算机、詹班）班级 学号 姓名 成绩一 选择题1. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) ． (B) /2． (C) 0 ． (D) ．［ C ］[参考解答] 开始计时时，位移达到最大值。
2. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：(A) )3232cos(2π+π=t x ．(B) )3232cos(2π-π=t x ．(C) )3234cos(2π+π=t x ．(D) )3234cos(2π-π=t x ．(E) )4134cos(2π-π=t x ．［ C ］[参考解答] A=2 cm ，由旋转矢量法（如下图）可得：3/20πϕ==t ，πϕ21==t ，s rad t /4314/3ππϕω==∆∆=，旋转矢量图：3．一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的 （A ）7/16 （B ）9/16（C ）11/16 （D ）13/16 （E ）15/16[ E ][参考解答] 4/)cos(A t A x =+=ϕω，16/15)(sin ,4/1)cos(2=+=+ϕωϕωt t 即，1615)(sin max2max k k k E t E E =+=ϕωtO-1-212-2-1Ot=0t=14．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为：（A ）2π（B ）π（C ）23π （D ）0[ B ][参考解答] t=0时刻的旋转矢量图：二 填空题1.一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为x 0，此振子自由振动的周期T = g x /20π．[参考解答] 受力分析如右图，以平衡位置为原点，向下为x 轴正方向，有：22/22)/(dtXd m kX k mg x k mg kx dt xd m kmg x X =-=--=+-=-=令 对坐标X ，其运动为简谐运动， 其角频率满足：，mk =2ω g x T /2/20πωπ==2. 一质点作简谐振动，速度最大值v m = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm ．若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，则振动表达式为 )()2325cos(2cm t x π+=． [参考解答] s rad cm A A v m /5.2,2,=∴==ωω t =0时，质点通过平衡位置向正方向运动，初相为：230πϕ=πA/2-A A 合mgF kox3．一弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为－ωA ，加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 b, f 点，振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为－ω2A 和弹性力为－KA 的状态，则对应于曲线上的 a, e 点。
机械振动作业答案
7.上面放有物体的平台,以每秒5周的频 率沿竖直方向做简谐振动,若平台振幅 超过(1cm),物体将会脱离平台 .(g=9.8m/s) 8.两个同方向同频率的简谐振动,其合振 动的振幅20cm,与第一个简谐振动的相 位差为Ф - Ф 1= π/6.若第一个简谐振动 的振幅为 则第二个简谐振 10 3cm 17.3cm 动的振幅为( 10 )cm,第一,二个简谐振 动的相位差Ф 1- Ф 2为( -π /2 )
2. 两个近地点各自做简谐振动，它们的 振 幅 相 同。第 一 个 质 点的振动方 程 x1 A cos(t ) ，当第一个质点从相 对平衡位置的正位移回到平衡位置时， 第二个质点在正最大位移处，第二个质 点的振动方程为：( ) A. x2 A cos(t / 2)
B. x2 A cos(t / 2) C. x2 A cos(t 3 / 2) D. x2 A cos(t )
3. 质点作周期为 T ，振幅为 A 的谐振 动，则质点由平衡位置运动到离平 衡位置 A/2 处所需的最短时间是 : ( ) A.T/4 B.T/6 C.T/8 D.T/12 4. 一质点在x轴上作谐振动振幅A=4cm， 周期 T=2s ，其平衡位置取作坐标原点， 若t=0时刻近质点第一次通过x=-2cm处， 且向x轴正方向运动，则质点第二次通过 x = - 2 c m , 处 时 刻 为 : [ ] A.1s B.3s/2 C.4s/3 D.2s
(二) 填空题
1 1 1 2 2 2 2 2 m A m A kA ________ 或 _____ ，平均动能为 ______ ，平均势 2 4 2 1 2 2 m A 。 能为______ 4
2. 一简谐振动的表达式为 ， x A cos(3t ) 已知t＝0时的位移是0.04m，速度是0.09m· s-1。 0.05m 则振幅A＝_____ ，初相φ＝_____ 。 ห้องสมุดไป่ตู้ 37
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2
5-1写出本章你认为重要的知识点。
3| x 0.1cos(8 )
5-2质量为10 10 kg的小球与轻弹簧组成的系统，按3
求：
(1) 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2) 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等
⑶t2 5s与t1 1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x Acos( t 0)，则知：
又V m A 0.8 m s 1 2.51 m s 1
(2)F m a m 0.63N
当E k E p时，有E2E p ,
即-kx21(1kA2)
222
J
V2
x A m
220
(3)(t2tj8(5 1) 32
5-3 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示. 如果t 0 时质点的状态分别是：
(1) X。
A;
(2) 过平衡位置向正向运动；
A
⑶过x 处向负向运动;
2
⑷过x A
2处向正向运动.
试求出相应的初位相，并写出振动方程.
解：因为
x0 Acos 0
v0Asin 0
第五章作业
⑸)的规律作谐振动,
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有
5-4 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
2
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
故x b 0.1cos(5 t —)m
5-6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子•现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动.
(1) 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同？
(2) 此时的振动振幅多大？
(3) 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程.
------------------ I
解: (1)空盘的振动周期为2 ，落下重物后振动周期为2 J叫』，即增大.
m 2gh
V o
m M
于是
(3) tan 0V o 2kh
；(M m)g
(第三象限)，所以振动方程为
解:
(专
A合A A20.1m
6
其振动方程为
5-5图为两个谐振动的X t曲线，试分别写出其谐振动方程. 题
图
解：由题图(a) t0 时，X0 0,V0 0,
3
0 ,又,A 10cm,T 2s
2
rad s 1
故
由题图(b) ••• t
X a 0.1cos( t
A
0时，X02,V0Q
⑵按⑶ 所设坐标原点及计时起点，t 0时，则x0mg•碰撞时，以m,M为一系统动量守恒,
k
则有
x。