函数最值与值域 --高中数学
函数的最值与值域
【考纲要求】
1. 会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、函数最值的定义
1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．
注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．
如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．
2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法
1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．
3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．
4.不等式法：利用均值不等式求最值．
5.利用函数的性质求函数的最值
6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法
7.利用导数求函数的最值。 要点诠释：
函数的最值与值域 函数的值域
函数的最大值
函数的最小值
(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:
()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ ()f x B <在区间D 上恒成立?函数max ()()f x B x D <∈
在区间D 上存在实数x 使()f x B ?函数max ()()f x A x D >∈
【典型例题】
类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()x
x x f x e me e -=-+-x me -的最值．
【解析】22()()x
x x x f x e
e m e e --=+-+
2
()()2x
x x
x
e e m e e --=+-+-
令x x
t e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．
【总结升华】当式子中同时出现2
2
x x -+和1
x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：
【变式】求函数13y x x =-++的值域．
解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =
+-+∈-
[2,22]y ∴∈
类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-1
2
x y x =
+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2
-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-5
22x y y x x x
+=
==++Q +2可看作是由左移2个单位，
再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，919
[(5),(10)][,
]712
y f f ∈即； 2)1
(-,(1))((-3),)(-)(7)3
y f f ∈∞?+∞∞?+∞即，，； (2)画出草图
1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：
【变式】已知函数13x
f (x)13x
+=
-.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】
(1)13x (3x 1)22
f (x)113x 13x 3x 1+--++=
==--
--- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1
(,)3+∞上单调递增；
(2)1
[1,3](,)3
?+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4
=-
∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4
--.
类型三、含参类函数的最值与值域问题
例3. 已知二次函数f(x)=x 2
-(a-1)x+5在区间1
(
,1)2
上是增函数，求： (1)实数a 的取值范围； (2)f(2)的取值范围. 【解析】(1)∵对称轴-1
2
a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需
-11
222
a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22
-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
[)f(2)7,+∴∈∞.
举一反三：
【变式】已知函数32
,2
()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的
取值范围是________.
【解析】2
()(2)f x x x
=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.
类型四、抽象函数的最值与值域问题
例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1
()()()
F x f x f x =+
的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3
【答案】B
【解析】令()t f x =，则1
[,3]2
t ∈，110()[2,]3
F x t t
=+∈ 举一反三：
【变式】设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，
，，，
≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．
15
16
B ．2716
-
C ．
89
D ．18
【答案】A
【解析】∵2
(2)2224f =+-=， ∴211115(
)()1()(2)4416
f f f ==-=.
类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用
例5.已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值. (1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间；
(2) 若对[]1,2x ∈-,不等式2
()f x c <恒成立,求c 的取值范围.
【解析】322
(1)(),()32f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++ 由2124()0,(1)320393f a b f a b ''-=
-+==++= 得1
,22
a b =-=- 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，函数()f x 的单调区间如表：
所以函数()f x 的递增区间为(,)3-∞-与(1,)+∞；递减区间为(,1)3
-. （2）3
2
1()22
f x x x x c =-
-+ []1,2x ∈- ，当23x =-时，22
()27
f x c =
+为极大值 而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，
要使2
()f x c <（[]1,2x ∈-）恒成立，只须2
(2)2c f c =+>，解得1c -<或2c >.
【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础
知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.
举一反三：
【变式】设函数ln ()ln ln(1)1x
f x x x x
=
-+++． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．
【解析】（Ⅰ）22
1ln 11ln ()(1)(1)1(1)x x
f x x x x x x x '=
--+=-++++．
故当(01)x ∈，时，()0f x '>，(1)x ∈+，∞时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，单调递增，在(1)+，∞单调递减．
由此知()f x 在(0)+，∞的极大值为(1)ln 2f =，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时，由于[]ln(1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ()011x x x x x x x x f x x x
+++-++-=
=>++，
故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞．
（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x
=+++知ln 21(2)ln(1)122n n
n n
f =+++，其中n 为正整数， 且有22211
ln(1)1log (1)222
n n
n n a e n e +--．
又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)12
n n n
n n n n n =<=-+++-，且2ln 24ln 2
112a n n n +-． 取整数0n 满足2
02log (1)n n e >--，04ln 2
1n a
>+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln(1)12222
n
n n n a a
f a =
++<+=+，
即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0)+，∞．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞， 且a 的取值范围为(]0-∞，.
类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用
例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n
S n n N n
∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有*
n N ∈都成立的最小正整
数m .
【解析】（I ）依题意得，
32,n
S n n
=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()2
2
1(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??
;
当1n =时，2
113121615a S ==?-==?-. 所以65()n a n n N *
=-∈.
（II ）由（I ）得[]131111
()(65)6(1)526561
n n n b a a n n n n +=
==--+--+， 故
11
11111111(1)()...()(1)277136561261
n
n b n n n T =??-=
-+-++-=-??-++??∑. 因此，使得
()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220
m ≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.
【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2
+…+a n x n
(n∈N *
)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2
．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)3
1( （1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2 ，(n∈N * ) n=1时，a 1=1 n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2 -(n-1)2 =2n-1 ∴对n∈N * 总有a n =2n-1, 即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111 ()13(21)33 33 n f n =?+? ++-?L =)31(31f 123 1)12(31)32(311+-+-++?n n n n Λ ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=?+++--L 11111213(21)1393 13 n n n -+- =+?--- 1222,33n n ++=- ∴11()1133 n n f +=-< 【变式2】已知数列{}n a 的首项13 5 a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3 n n a x x x --++≥ ，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2 121 n n a a a n +++>+L ． 【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a += +Q ，112133n n a a +∴=+，1111 1(1)3n n a a +∴ -=-， 又 1213n a -=，1{1}n a ∴-是以2 3 为首项，13为公比的等比数列． ∴11212 1333n n n a --=?=，332 n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032 n n n a =>+， 2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3n x x x =-+--++ 2 111 [(1)]1(1)n x x x a = --+++ 2 112(1)1n a x x =- ?+++211()1n n n a a a x =--++n a ≤， ∴原不等式成立． 【另解】设2112 ()()1(1)3 n f x x x x = --++， 则22 2222(1)( )2(1)2()1 33()(1)(1)(1) n n x x x x f x x x x -+--?+-'=- - =+++ 0x >Q ，∴当23n x < 时，()0 f x '>；当23n x >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21 ()2313 n n n f a ==+． ∴原不等式成立． 由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有 122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3 n n a a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++L L ≥ 221222 ()1(1)333n n nx x x = -+++-++L ． ∴令2222 0333 n nx +++-=L ， 则221(1) 12221133()(1)13333(1)3 n n n x n n n -=+++==--L ， ∴22 12111111(1)133n n n n n n n a a a x n n n +++==>+++-+-L ≥． ∴原不等式成立． 类型五：解析几何在最值方面的综合应用 例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ） A ．{9，10，11} B ．{9，10，12} C ．{9，11，12} D ．{10，11，12} 【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4 y x t = ， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4 t M ，2(,2)2 t M 33(,3)4 M t 。 同理直线BC 的方程为4 (4)y x t =-分别与直线y=1，y=2，y3交于点 1(4,1)4t N +，2(4,2)2t N +，33 (4,3)4N t +。 此时当3 014 t <<时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点， 故此时N （t ）=12； 当 3 14 t =时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点， 而直线y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上只有3个整点， 此时N （t ）=11。同理可得当3 1()4k k k t <<+∈Z 时，N （t ）=12； 当 3 1()4 t k k =+∈Z 时，N （t ）=11。 综上得 9, 044()12, (1)33411, (1)3t N t k t k t k ? ?=? ? =<<+?? ? =+?? ，其中k ∈Z ）。 故选C 。 【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD 为正方形，不含边界的整点个数为9个。 【变式2】设直线x=t 与函数2 ()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 1 2 C ．2 D ．2 【答案】D 如图，2 ||ln MN t t =-，令2 ()ln (0)h t t t t =->， ∵2121 '()2t h t t t t -=-= ，∴易知02t <<时，'()0h t <； 2 t > '()0h t >。 于是可判断当2 t = 时，|MN|取得小值。 【巩固练习】 1．关于x 的方程9(4)340x x a ++?+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，-8]∪[0，+∞） B 、（-∞，-4） C.[-8，4） D 、（-∞，-8] 2．若0a >，0b >，且21a b +=，则2 2 24S ab a b =--的最大值是（ ） A. 21 2 - B.21- C. 21 2 + D.21+ 3．已知不等式2 2 2 (cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.04m ≤≤ B. 14m ≤≤ C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤ 4. 已知函数()x f x a -=,()log (0,1)a g x x a a =>≠,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B C D 5．设定义域为R 的函数?? ?=≠-=1,0 1||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个 不同实数解的充要条件是（ ） A ．0c B ．0>b 且0 C ．0 D ．0≥b 且0=c 6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2 ()f x x =。若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式 ()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．2,)+∞ B ．[2，+∞） C ．（0，2] D ．[2,1]2,3]--U 7．关于x 的方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根，则（ ） A ．m ≤1 B ．0＜m ＜1 C ．m ＜1 D ．0＜m ≤1或m ＜0 8.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1 ()lg 1f x x =+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____． 9. 记1010101111112212221 S = ++++++-L ，则S 与1的大小关系是 . 10.当(0,)2 x π ∈时,函数21cos28sin sin2x x y x ++=的最小值是_________. 11.实数,x y 满足 x x y y =-,则x 的取值范围是__________. 12.设不等式2 21(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。 13.已知()(1).1 x f x x x = ≠-+ （1）求()f x 的单调区间； （2）若10,()a b c a b b >>= -，求证：3 ()()4 f a f c +>. 14．对于函数2 ()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数x 0，使00()f x x =成立，则称x 0为()f x 的不动点。 （1）当a=2，b=－2时，求()f x 的不动点； （2）若对于任何实 b ，函数()f x 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围。 15．某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后 乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费1003(5)2(8)p x y =+-+-元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费. 16.已知2 2 ()|1|.f x x x kx =-++ （Ⅰ）若2k =，求方程()0f x =的解； （Ⅱ）若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个解1x 、2x ，求k 的取值范围，并证明12 11 4.x x +< 17.设函数1 ()(,)f x ax a b Z x b =+ ∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。 （1）求()y f x =的解析式； （2）证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值。 【参考答案与解析】 1.D 2.A 3.C 4.A 5．C 6．A ； 【解析】当t ≥0时，()2()f x t f x +≥，即(x+t)2≥2x 2。 即x 2―2tx ―t 2≤0在x ∈[t ，t+2]上恒成立， 又对称轴为x=t ，只须(2)0g t +≤ ，∴t ≥ 7．A ； 【解析】m=0时，方程有一个负根，∴排除B ，D 。m=1时，方程有一个负根，∴排除C 。 8. ()lg(1)f x x =- 【解析】当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1）， ∴f （x ）＝－f （－x ）＝－lg 1 1x +＝lg （1－x ）． 9.1s < 10.4 11.()[),04,-∞?+∞ 12. 【解析】设2 ()(1)(21)f m x m x =---，则当22m -≤≤时，()0f m <恒成立， 2 2 (2)2(1)(21)0 (2)2(1)(21)0 f x x f x x ?=--- ，解得1122x <<， 13. 【解析】 （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得1 ()11 f x x =- +, ()(,1)(1,)f x ∴-∞--+∞在区间和上分别单调递增 （2）首先证明任意0,()()().x y f x y f x f y >>+<+有事实上, ()()()1111 x y xy xy x y xy x y f x f y f xy x y x y xy x y xy x y ++++++= +=>=++++++++++. 而(),(1)(),xy x y x y f xy x y f x y ++>+++>+由知 ()()()f x f y f x y ∴+>+ Θ22114 0,()()2 c a b b a b b a = ≥=>-+- 24 3.22a a a c a ∴+≥++≥ 3 ()()()(3)4 f a f c f a c f ∴+>+≥= 14．【解析】2 ()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠ （1）当a=2，b=－2时，2 ()24f x x x =--。 设x 为其不动点，即2x 2―x ―4=x 。 则2x 2―2x ―4=0，解得x 1=―1，x 2=2。 故()f x 的不动点是―1，2。 （2）由()f x x =得ax 2+bx+b ―2=0。 由已知，此方程有相异两实根，Δ1＞0恒成立，即b 2―4a(b ―2)＞0， 即b 2―4ab+8a ＞0对任意b ∈R 恒成立 ∴Δ2＜0，∴16a 2―32a ＜0，∴0＜a ＜2。 15. 【解析】由于50 4100, 2.512.5,310y V y x V = ≤≤∴≤≤≤≤及同理 又914x y ≤+≤，1003(5)2(8)131(32),32.P x y x y z x y =+-+-=-+=+令 则z 最大时P 最小. 作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30. 16.【解析】 （I ）当2k =时2 2 ()|1|20f x x x x =-++= 分两种情况讨论： ①当210x -≥，即1x ≥或1x ≤-时， 方程化为2 2210x x +-=， 解得12x -= ，因为1012-+<<（舍去） ，所以12 x -= ②当2 10x -<即11x -<<时， 方程化为120x +=， 解得1 2 x =- ， 由①②得，若2k =，求方程()0f x = 的解是12x --=或1 2 x =-. （II ）不妨设1202x x <<<， 因为221,||1 ()1, ||1x kx x f x kx x ?+->=?+≤?， 所以()f x 在(]0,1是单调函数， 故()f x 在(]0,1上至多一个解， 若12,(1,2)x x ∈，则121 02 x x =- <，故不符合题意， 因此(]10,1x ∈，2(1,2)x ∈. 由1()0f x =得1 1 k x =- ，所以1k ≤-； 由2()0f x =得2212k x x =-，所以7 12 k -<<-； 故当7 12 k - <<-时()0f x =在(0,2)上有两个解. 方法一：因为(]10,1x ∈，所以11x k =- ， 方程2 210x kx +-= 的两根为4k -±x=， 因为2(1,2)x ∈ ，所以2x =， 则 12111)2 k k x x +=-+= 又y k = 在7 (,1)2 --上为减函数， 7 82 k -< = 因此 12 11 4x x +< 方法二：因为(]10,1x ∈，所以110kx +=； ① 因为2(1,2)x ∈，所以2 22210x kx +-=， ② 由①②消去k ，得2 121220x x x x --=，即 212 11 2x x x +=， 又因为2(1,2)x ∈，所以12 11 4x x +<. 17. 【解析】 （Ⅰ）2 1()()f x a x b '=-+，于是2 121210(2)a b a b ?+=?+? ??-=+?? ，， 解得11a b =??=-?，，或948. 3a b ? =????=-?? ， 因a b ∈Z ，，故1 ()1f x x x =+ -． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21 y x =都是奇函数． 所以函数1 ()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1 ()111 f x x x =-+ +-． 可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像， 故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ?? + ?-?? ，． 由02 01 ()1(1)f x x '=- -知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--?? ． 令1x =得001 1x y x += -，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-?? ，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --， ． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为 000001112 12112222121 x x x x x +---=-=--． 所以，所围三角形的面积为定值2． 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 第 二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） 最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x? 2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例 2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211 求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? .， 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。 例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域： 一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可 君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++= 前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶 百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域． 2、求函数2241 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x +=++的值域． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如： ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 注意：在使用此法时一定要注意 a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ． 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域） 函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：2 3y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222 =++-（1） ∵R x ∈ 函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)- ∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= . 高中数学函数值域的解法有哪些 一。观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√2-3x 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0， 故3+√2-3x≥3. ∴函数的知域为。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x]0≤x≤5的值域。答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝ 二。反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=x+1/x+2的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=x+1/x+2的反函数为：x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝ 三。配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。 点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制 约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。答案：值域为{y∣y≤3} 四。判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原 函数的值域。 解：将上式化为y-2x2-y-2x+y-3=0 * 当y≠2时，由Δ=y-22-4y-2x+y-3≥0，解得：2 当y=2时，方程*无解。∴函数的值域为2 点评：把函数关系化为二次方程Fx,y=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±√cx2+dx+e的函数。 练习：求函数y=1/2x2-3x+1的值域。答案：值域为y≤-8或y>0。 五。值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=fx,可求出y=fx在区间[a,b]内的较值，并与边界值fa.fb作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。 例5已知2x2-x-3/3x2+x+1≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数 的值域。 解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2， 又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤3/2, ∴z=-x-22+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。高中数学-函数定义域、值域求法总结
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