选修4-2矩阵与变换习题

1 0
2 1
；④反射变
2
换：
1 0
0 1
；⑤投影变换：
1 0
0 0
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P35】 【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）
A.反射变换
B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
2

y
x 3
，
B

mn 2x y
x m
y n
，若
A=B，求
x,y,m,n
的值。
概念二：
由
4
个数
a,b,c,d
排成的正方形数表
a c
b d

称为二阶矩阵。a,b,c,d
称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为
0，即
0 0
0 0
，记为
0。
②二阶单位矩阵：

x y
先在旋转变换
R30o
：

2 1
2

1 2 3

作用，再经过切变变换

：
1 0
2
2 1
作用的向量

x' y'

2.二阶矩阵的乘积
定义：设矩阵
A＝
a1

c1
b1 d1

，B＝
a2

c2
AB＝

a1 c1

by dy

练习 2：
1.（1）
1 0
2 1
3 1
＝
（2）
1 0
2 1
1 3
＝
1 2. 1
0 2
x

y
1
=

1

，求

x y
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题
1:P（x,y）绕原点逆时针旋转
＝
12.已知 A 5 3
1
2

4
，

a
＝
1

2

，

b
＝
3 4
，设




a

b
，




a

b
，①求

A
，
A


；
13.已知
Aห้องสมุดไป่ตู้

1 1
0 2
，

a
＝
1 1
，

b
＝
x 1

，若
A

a
与
A

b
的夹角为
135o，求
怎么算出来的？
问题 2. P（x,y）绕原点逆时针旋转 30o 得到 P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象 P’； ②写出这个旋转变换的 方程组形式；③写出矩阵形式.
30o
问题 3.把问题 2 中的旋转 30o 改为旋转 角，其结果又如何？

2.反射变换
定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 l 的对称点 P’的线性变换叫做关于直线 l 的反射。
x.
14.一种线性变换对应的矩阵为
1 1
0 0
。①若点
A
在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电
A
的坐标；②解
释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 1 0
②圆 x2 y2 1上任意一点 P(x0 , y0 ) 在该变换作用下的像。
性质 2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成
.
（证明见课本 P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
①
恒等变换：
1 0
0 1
②旋转变换：
cos

sin

sin
cos

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90 88

乙 86 88
③
2x 3y mz 1, 3x 2y 4z 2
23 m 3 －2 4
简记为
2 3
3 2
m
4

概念一：
象23
80 90 86 88
2 3
3 2
m
4

的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母
AB

3.求

1 3
在经过切变变换
：A=
1 2
0 1
，及切变变换

：B=
1 0
2 1
两次变换后的像


。
1
4.设压缩变换
：A＝

2
0
0 1



，旋转变换
R90o
：B＝
0 1
1
0

，将两个变换进行复合

R90o

，①求向量
定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位，称为平行于 x 轴的切变变换。将每一点 P（x,y） 沿着与 y 轴平行的方向平移 kx 个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。
研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4
四、简单应用
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研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，（ k1 、 k2 均不为 0），这样的几何变换为伸
缩变换。 试分别研究以下问题： ①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
180o 得到
P’(x’,y’),称
P’为
P
在此旋转变换作用下的象。其结果为

x' y'

x y
，
也可以表示为

x' x y' 0
x
0 y y
，即

x' y'

＝
1

0
0 x
1

y
＝
x y

【探究 1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究 y kx b 分别在以下变换下的像所形成的图形。
①伸缩变换：
1 0
0 2
3
②旋转变换：
2

1 2

1 3
2 2
③切变变换：
1 0
2 1
④特别地：直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？

2 3

在复合变换下的像；②求


x y
在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
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5.试研究椭圆
x2 3

y2 4

1 ①伸缩变换：
0.5

0
3
0 1
②旋转变换：

2 1
2

1 2 3

；③切变变换：
③切变变换：
1 0
k 1
④反射变换：
1 0
0 1
⑤投影变换：
1 0
0 0
【练习：P27】 【应用】
2
试研究函数
y

1
在旋转变换

2
x
2
2

2
2
作用下得到的新曲线的方程。
2
2
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
3

1.研究任意向量

6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7.
设
A

1 2x 1
x y

，
B


x2
z
4
x2 2

，且
A=B.则
x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵
A

1 2
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵
1.矩阵的概念
① → OP

(2,
3
3)，将
y P(2,
3→ O)P 的坐标排——2成一列，并简32记为23

3
O
2x
—
②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛 复赛 甲 80 90
8860
b1 a2
d1


c2
b2 d2

＝
b2 d2

，则
A
与
B
的乘积
【应用】
1.计算
1 2
-1 1 1 2
0 1
＝
2.A＝
cos sin
c
s in o s

，B＝
cos sin
- s in
c
o
s

，求
0
1

。求①点
A（1/5,3）在该变换作用下的像；
2
第 3 页 共 16 页
答
案
：
1.

1 0
0 1
2.



1 2

3
2

3 2
1 2

3.
R360o
4.
0

0
a
a

5.

1 0
0
1

6.


y
'
x' x 2x
A、B、C…表示，
横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
名称介绍：
①上述三个矩阵分别是 2×1 矩阵，2×2 矩阵（二阶矩阵），2×3 矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 A＝B。
③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）
④列矩阵：aa1211 （仅有一列）
1 0
0 1
，记为
E2.
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二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵
A=
a c
b d


，与向量


x y
的乘积为

A

ax cx

by
dy

，即

A
＝
a c
b
d


x y

＝
ax cx
1.设矩阵
A=
1

0
0 1
，求点
P(2,2)在
A
所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线 y x2 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1 绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反 射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
2
1

对应的线性变换作用下，点
P(2,1)的像的坐标为
1
10.已知点
A（2，－1），B（－2，3），则向量

AB
在矩阵

2
2
1 对应的线性变换下得到的向量坐标为 0

11.向量

a
在矩阵
A

1 0
2
1

的作用下变为与向量
1 1
平行的单位向量，则

a
性变换对应的矩阵为
6.将椭圆 x2 y2 1绕原点顺时针旋转 45ｏ后得到新的椭圆方程为 34
7.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1
变为
8.计算：
①

1 2
3 1
y
7. － 1
8.
1

2

1 2




1 2
1 2

9.（0，5）
10.（2，8）
2

2
11. 2 ， 2
2 2

2 2
12.

7 18

、

19 4

13.ｘ＝2/3
2.
在切变变换

：
1 2
0 1
作用下，直线
y=2x-1
变为
3.
在
A＝
0.5

2
1
1

作用下，直线
l
变为
y=-2x-3,则直线
l
为
4.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，椭圆
x2 2

y2 4
1变为


5.已知平面内矩形区域为 x1 i x2 j （0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线
14.(5,y)
15.



1 5 3 2



,


xo yo 2


第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

1.数乘平面向量：设


x
y

，

是任意一个实数，则





x y

2.平面向量的加法：设
⑤向量

a
＝（x,y），平面上的点
P（x,y）都可以看成行矩阵
[
x,
y]
或列矩阵

x y

，在本书中规定所有的平面向量
均写成列向量

x y

的形式。
练习 1：
1.已知
A

x 4
3 2
,
B

1 z
y 2
，若
A=B，试求
x,
y,
z
2.设
A

②. 将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 l 上的投影 P’（即垂足），这个变换称为关于直线 l 的投影变换。
研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换


x1
y1

，




x2 y2


，则




x1 y1

x2 y2


性质 1：设 A 是一个二阶矩阵， , 是平面上的任意两个向量， 是任意一个实数，则①数乘结合律：





A( ) A ；②分配律： A( ) A A