石家庄二中2011高一入学考试数学试题及答案

2011石家庄二中高一分班考试数学试题
一.选择题
1．如图所示，函数x y =1和3
4
312+=
x y 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，
x 的取值范围是( )
A ．x ＜－1
B ．—1＜x ＜2
C ．x ＞2
D ． x ＜－1或x ＞2
2．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2
5
．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是
1
4
，则原来盒中有白色棋子( ) A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗 3.如图，直径为10的⊙A 经过点)5,0(C 和点)0,0(O ，B 是y 轴右侧⊙A
优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为
( ) A ．
21 B ．43
C ．2
3
D ． 54 4.某个节日，6位小朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌的半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm,现在又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人间的距离与6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧长）相等.设每人向后挪动的距离是xcm ，根据题意，可列方程( ) A.
810602610602x)π()π(++=+ B ． 6
60
28)60(2⨯=+ππx
C.8)60(26)1060(2⨯+=⨯+x ππ D ．6)60(28)60(2⨯+=⨯-x x ππ
5-x 的取值范围是( )
A ．x<0
B ．x ≥－2
C ．－2≤x ≤0
D ．－2＜x ＜0
第3题图
第1题图
第6题图
6.已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数
b ax y +=的图象可能正确的是( )
7. 一个滑轮起重装置如图，滑轮半径cm 10，当重物上升
滑轮的一条半径OA 绕轴心O 设绳索与滑轮间没有滑动，π取14.3，结果精确到︒1）A ．︒
115
B ．︒60
C ．︒57
D ．︒
29
8.如右图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形经过连续2011次翻滚后，它的方向是( )
9. 如图，直线33
3
+=
y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为)0,1(，圆P 与y 轴相切于点O ，若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，4==DC AD ，8=BC ，点N 在BC 上，2=CN ，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使MB EM +的值最小，此时其最小值一定等于( )
A
A B C D E M N
O 第16题图
第10题
C
A ．6
B ．8
C ．4
D ．
二.填空题
11．分解因式=--+123x x x .
12. 已知
311=-y x ，则分式=---+y
xy x y xy x 2232___________. 13.方程221
22
2
-=-+
-x
x x x 的解为_________. 14. 已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为_________. 15.下列命题中，真命题有___________.
①所有正多边形都相似；②函数3)12(2
++=x y ，当1->x 时，y 随x 增大而
减小；③圆内接正方形的面积为2
8cm ，则该圆的周长为cm π4；④若关于x 的不
等式组2{--<>a x a x 无解，则1->a .
16.在正五边形ABCDE 中，点M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若CN BM =，则=∠BON ___________.
A B C D 第17题图 A B C D E
F
G 第18题图
第20题图
17.如图 ，在ABC ∆ 中，BC AD BAC ⊥=∠,45 于点D ，若,2,3==CD BD 则该三角形的面积_________.
18. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,
,60,90︒︒=∠=∠C ABC
,322==AD BC 点E 是BC 边的中点，DEF ∆是等边三角形，DF 交AB 于
G ，则BFG ∆的周长 _________.
19. 将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
20．如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B . （1）写出点B 的坐标 ；
（2）已知点P 是二次函数y =－x 2
+3x 图象在y 轴右侧．．
部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .
三.解答题
21.阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法
是：按图2所示的方法分割后，将三
角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分11
1122663263323第1排第2排第3排第4排第5排
第19题图
图1 图2
第22题图
A B C D E F
G
H Q M
N P
图3 图4
割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.
22．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当
甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
23. 矩形OABC 的边OA 长为8，边AB 的长为6，将矩形形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．
（1）当α=90°时，BP
PQ
的值是 ．
（2）①如图2,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在射线OC 上时,求
BP
PQ
的值; ②如图3,当矩形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积．
（3）在矩形OA B C 旋转过程中,当0
0180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，
′
图1
使BP=
1
2
BQ ？若存在，请直接写出点P 的位置；若不存在，请说明理由． 24.在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）
＞0(3
2x x
y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：
①求出点A ，B ，C 的坐标．
②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的2
1
．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理
A
P
y =
K O
图1
O A
B
C A ′
B ′
C ′
P
Q
O A
B
C
A ′
B ′
C ′
P
（Q ）
图2
图3
数学试卷答题纸
3
分，共30分）
1. 2. 3. 4. 5. __ 6. 7. 8. 9. 10.
4分，共40分）
11. 12. 13. 14. 15. _ 16. ____ 17. 18. 19. 20.
50分） 分)
22.（12分）
A B C D E F
G
H Q M
N P
图3 图4
O A
B
C
A ′
B ′
C ′
P
Q 图2
O A B
C
A ′
B ′
C ′
P
（Q ）
图3
23.（14分）
（1）当α=90°时，BP
PQ
的值是 ．
（2）
24. (14分)
2011石家庄二中高一分班考试数学试题答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1.D
2.C
3.C
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.B 10.A 二、填空题（每题4分，共40分）
11.)1()1(2-+x x ;12.5
3- ; 13. 1=x ; 14. 1-<x ; 15.③ ;16.︒108 ; 17. 15 ; 18. 33+; 19. 32 ;
20. （1）)3-2
3(， (2分) （2）（2，2）、⎪⎭⎫ ⎝⎛4521，、⎪⎭⎫
⎝
⎛
1611411，、⎪⎭⎫ ⎝⎛2526513， （注：共2分．对一个给0.5分，得2分的要全对，其余有错不倒扣分）
三、解答题（共50分） 21. 解：
（1）拼接成的平行四边形是 平行四边形ABCD （如图3）． （2）正确画出图形（如图4）
平行四边形MNPQ 的面积为
25
． 22. 解：（1）横向甬道的面积为：
()2120180
150m 2
x x += （2）依题意：2
112018028015028082
x x x +⨯+-=⨯
⨯ 图3
D
A
B C
A D
G C B
E
Q H F M N P 图4
整理得：21557500x x -+=
125150x x ==，（不符合题意，舍去）
∴甬道的宽为5米．
（3）设建设花坛的总费用为y 万元．
()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤
=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦
20.040.5240x x =-+
当0.5 6.25220.04
b x a =-
==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
6x ∴=当米时，总费用最少．
最少费用为：2
0.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元
23. 解：（1）
4
7
BP BQ =． （2）①
POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，
COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''，即668
CP =， 92CP ∴=，7
2
BP BC CP =-=．
同理B CQ B C O '''△∽△，
CQ B C C Q B C '∴
='''
，即106
68CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．
7
22
BP BQ ∴
=．
②在OCP △和B A P ''△中，
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪
'∠=∠=⎨⎪''=⎩
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△．
OP B P '∴=． 设B P x '=，
在Rt OCP △中， 2
2
2
(8)6x x -+=，解得254
x =
． 12575
6244
OPB S '∴=⨯⨯=△．
（3）存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =
． 当点P 在点B
左侧时，9PC BC BP ∴=+=+当点P 在点B 右侧时PC BC BP ∴=-257844
=-
= 24. 解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，
∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，
∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，
∴四边形OKP A 是正方形．
（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．
∴△PBC 为等边三角形．
在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，
O A
P 2y =
B C
图2
G
M
PG =
x
3
2． sin ∠PBG =PB
PG
x x =． 解之得：x =±2（负值舍去）． ∴ PG
P A =B C=2．
易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1，
∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3． ∴ A （0
，B （1，0） C （3，0）． 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．
据题意得：0
930a b c a b c c ⎧++=⎪
++=⎨⎪
=⎩
解之得：a
=
3， b
=3
-， c
∴二次函数关系式为：233
y x x =
- ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：
02u v u v +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩解之得：u
v
=-
∴直线BP
的解析式为：y -．
过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM
的解析式为：y
解方程组：233y y x x ⎧=⎪
⎨=-+⎪⎩
得：110
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；
227
x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM
的解析式为：y t =+． ∴
0=t ．
∴t =-
∴直线CM
的解析式为：y =-．
解方程组：233y y x x ⎧=-⎪
⎨=-+⎪⎩得：11
3
0x y =⎧⎨=⎩ ；
224
x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，
分别为：（0
，（3，0），（4
，（7
，． 解法二：∵1
2
PAB PBC PABC
S S S ∆∆==
，
∴A （0
，C （3，0）显然满足条件．
延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ， ∴12
PBM PBA PABC
S S S ∆∆==
．
∴点M
又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M （4
点（7，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，（3，0），（4，（7，．
解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=P A．又∵AM∥BC，
∴
1
2
PBM PBA PABC
S S S
∆∆
==．
∴点M
2x
-+=．
解得：
10
x=（舍），
24
x=．
∴点M的坐标为（4．
点（7，
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，（3，0），（4，（7，．。