二次函数存在性问题及解答

初中数学二次函数存在性问题

总复习试题及解答

1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；

(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；

(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程

∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14

a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx

b =+，则有203k b k b +=⎧⎨

-+=-⎩，1

2

k b =⎧⎨=-⎩，

故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -

(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，

易求AM BM ==

122ABM

S

=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2

144422x ⨯-=

⨯

解之得：x =±，0x =

，故 符合条件的P

点有三个：

123((0,4)P P P --

图2

2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -

41-m x 2+4

5m

x +m 2-3m +

与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。

(1) 求点B 的坐标；

(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；

若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。

答案：解：(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+4

5m

x +m 2-3m +2经过原点，

∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，

∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25

x ，

∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2

5

x 上，

∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。

(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ， ∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点， 可求得A 点的坐标为(10，0)， 设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为(a ，2a )，

根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。 可求得点C 的坐标为(3a ，2a )， 由C 点在拋物线上，得2a = -41⨯(3a )2+2

5

⨯3a ，

即49a 2-211a =0，解得a 1=9

22，a 2=0 (舍去)， ∴OP =9

22

。

依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ， 由点A (10，0)，点B (2，4)，

求得直线AB 的解析式为y = -2

1

x +5，

当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上， 有以下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。 此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。

∴PQ =DP =4t ，∴t +4t +2t =10，∴t =7

10

。

第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，

∵F 点在直线AB 上，∴FQ =t ，∴MQ =2t ，∴PQ =MQ =CQ =2t ，∴t +2t +2t =10，∴t =2。 第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示。 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。 ∴t +2t =10，∴t =

3

10。 综上，符合题意的 t 值分别为710，2， 3

10

。

3．（10贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点坐

标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两

点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴， 交AC 于点D ．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）

∵抛物线的顶点为Q （2，-1） ∴设()122

--=x a y

将C （0，3）代入上式，得

()12032

--=a 1=a

∴

()122

--=x y ， 即342+-=x x y

(2）分两种情况：

①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)

令y =0, 得0342

=+-x x

解之得11=x , 32=x

∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)

∴P 1(1,0)

②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)

∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=

45

当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2

E x O A B C y P M Q N

F D 图2 x

y O A M

(C ) B (E )

D P Q F N 图3

图4

y

x

B O

Q (P )

N

C

D

M E F