二次函数存在性问题及解答
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初中数学二次函数存在性问题
总复习试题及解答
1.(10广东深圳)如图,抛物线y =ax 2+c (a >0)经过梯形ABCD 的四个顶点,梯形的底AD 在x 轴上,其中A (-2,0),B (-1, -3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点M 为y 轴上任意一点,当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时,求此时点M 的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P 使S △P AD =4S △ABM 成立,求点P 的坐标.
答案:(1)、因为点A 、B 均在抛物线上,故点A 、B 的坐标适合抛物线方程
∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得:14
a c =⎧⎨=-⎩;故24y x =-为所求 (2)如图2,连接BD ,交y 轴于点M ,则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx
b =+,则有203k b k b +=⎧⎨
-+=-⎩,1
2
k b =⎧⎨=-⎩,
故BD 的解析式为2y x =-;令0,x =则2y =-,故(0,2)M -
(3)、如图3,连接AM ,BC 交y 轴于点N ,由(2)知,OM=OA=OD=2,90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1,
易求AM BM ==
122ABM
S
=⨯=;设2(,4)P x x -, 依题意有:214422AD x -=⨯,即:2
144422x ⨯-=
⨯
解之得:x =±,0x =
,故 符合条件的P
点有三个:
123((0,4)P P P --
图2
2. (10北京)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = -
41-m x 2+4
5m
x +m 2-3m +
与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标;
(2) 点P 在线段OA 上,从O 点出发向点运动,过P 点作x 轴的 垂线,与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时,C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动,P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。
答案:解:(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+4
5m
x +m 2-3m +2经过原点,
∴m 2-3m +2=0,解得m 1=1,m 2=2, 由题意知m ≠1,∴m =2,
∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25
x ,
∵点B (2,n )在拋物线 y = -41x 2+2
5
x 上,
∴n =4,∴B 点的坐标为(2,4)。
(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ,求得直线OB 的解析式为 y =2x , ∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点, 可求得A 点的坐标为(10,0), 设P 点的坐标为(a ,0),则E 点的坐标为(a ,2a ),
根据题意作等腰直角三角形PCD ,如图1。 可求得点C 的坐标为(3a ,2a ), 由C 点在拋物线上,得2a = -41⨯(3a )2+2
5
⨯3a ,
即49a 2-211a =0,解得a 1=9
22,a 2=0 (舍去), ∴OP =9
22
。
依题意作等腰直角三角形QMN ,设直线AB 的解析式为y =k 2x +b , 由点A (10,0),点B (2,4),
求得直线AB 的解析式为y = -2
1
x +5,
当P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况:
第一种情况:CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。 此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。
∴PQ =DP =4t ,∴t +4t +2t =10,∴t =7
10
。
第二种情况:PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ,
∵F 点在直线AB 上,∴FQ =t ,∴MQ =2t ,∴PQ =MQ =CQ =2t ,∴t +2t +2t =10,∴t =2。 第三种情况:点P 、Q 重合时,PD 、QM 在同一条直线上,如图4所示。 此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。 ∴t +2t =10,∴t =
3
10。 综上,符合题意的 t 值分别为710,2, 3
10
。
3.(10贵州遵义)如图,已知抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐
标为Q ()1,2-,且与y 轴交于点C ()3,0,与x 轴交于A 、B 两
点(点A 在点B 的右侧),点P 是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合),过点P 作PD ∥y 轴, 交AC 于点D .
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标;
(3)在问题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上, 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形?若存在, 求点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:解:(1)
∵抛物线的顶点为Q (2,-1) ∴设()122
--=x a y
将C (0,3)代入上式,得
()12032
--=a 1=a
∴
()122
--=x y , 即342+-=x x y
(2)分两种情况:
①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)
令y =0, 得0342
=+-x x
解之得11=x , 32=x
∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P 1(1,0)
②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=
45
当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2
E x O A B C y P M Q N
F D 图2 x
y O A M
(C ) B (E )
D P Q F N 图3
图4
y
x
B O
Q (P )
N
C
D
M E F