2.2.2反证法

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则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2）= 0
∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
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例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
合情推理 （归纳、类比）
演绎推理 （三段论）
证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想
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演练反馈
2、设{an}是公比为q的等比数列， Sn是它的前n项和，
（1）求证：数列{Sn}不是等比数列 （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
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已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
反证法是一种常用的间接证明的方法。
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反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
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应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
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例3 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a // b， 求证：a //
a
bp
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Байду номын сангаас
推理
因此 ACB 90 , CAD 90
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不语言被资格P考平试PP分T 。
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例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
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直接证明： (1)综合法——由因导果
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
(2)分析法—— 执果索因
Q P1 P1 P2 P2 P3 …
得到一个明显 成立的结论
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思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
点为A、B、C、D。考虑点D在 ABC之内或之外两种情况。
(1)如果点D在 ABC 之内，根据假设，
A
ADC, ADB, BDC都为锐角三角形
所以 ADC ADB BDC 270
D
C 这与一个周角为360°矛盾。
B
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演练反馈
1、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
正难则反!
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一般地，假设原命经题过不正成确立的，推理， 最后得因出此矛说盾明。假设错误，从而证
明了原命题成立，这样的证明方法叫做反 证法（归谬法）。
其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
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思考？
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有5个球是同色的。你能 证明这个结论吗？
间接证不明是：直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法。
(1)如果点D在 ABC 之外，根据假设，
A
D ABC, ADC, BAD, BCD
都是锐角三角形，即
BAD ABC BCD ADC 360
C 这与四边形内角和矛盾。
B 所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。
即这些三角形不语可言资能格都考试为PP锐T 角三角形。
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总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?
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例4 求证：2 是无理数。
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
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例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b 有且只有一个根。
证：由于a 0，因此方程至少有一个根x b a
假设方程ax b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
而肯定原结论成立。
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归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
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常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
导学：P26 变式提升 2
类题演练3
P27 1 ~ 4
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例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
A
O
D
证法二
证明：假设弦AB、CD被P平分， C P
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不语言被资格P考试平PP分T 。
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演练反馈
1、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个