2020高考数学一轮复习课时作业55直线与圆锥曲线(理)
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课时作业55 直线与圆锥曲线
[基础达标]
1．过椭圆
x2
16
＋
y2
4
＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
由于A、B两点均在椭圆上，
故
x21
16
＋
y21
4
＝1，
x22
16
＋
y22
4
＝1，
两式相减得
x1＋x2x1－x2
16
＋
y1＋y2y1－y2
4
＝0.
又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴k AB＝
y1－y2
x1－x2
＝－
3
4
.
∴直线AB的方程为y－1＝－
3
4
(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
2.
[2019·郑州入学测试]已知椭圆C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
3
2
，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率为
1
2
的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．
解析：(1)由题意知
⎩⎪
⎨
⎪⎧c a＝32，
2ab＝8，
a2＝b2＋c2，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a2＝8，
b2＝2.
所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2
＝1.
(2)设直线l ：y ＝1
2
x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1
2
x ＋m ，
x 2
8＋y
22＝1，
消去y ，化简整理，得x 2＋2mx ＋2m 2
－4＝0.
则由Δ＝(2m )2
－4(2m 2
－4)>0，得－2 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2 －4， 因为k PA ＝ y 1－1x 1－2，k PB ＝y 2－1 x 2－2 ， 所以k PA ＋k PB ＝ y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2 ＝y 1－1 x 2－2＋y 2－1x 1－2 x 1－2x 2－2 ， 上式中，分子＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x 2＋m －1(x 1－2) ＝x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1) ＝2m 2 －4＋(m －2)(－2m )－4(m －1)＝0. 所以k PA ＋k PB ＝0. 因为∠APB ＝90°，所以k PA ·k PB ＝－1， 则k PA ＝1，k PB ＝－1. 所以△PMN 是等腰直角三角形， 所以|MN |＝2x P ＝4. 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2 2 .直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求k 的值． 解析：(1)由题意得 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a＝2， c a ＝ 2 2 ， a2＝b2＋c2， 解得b＝2，所以椭圆C的方程为 x2 4 ＋ y2 2 ＝1. (2)由 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ y＝k x－1， x2 4 ＋ y2 2 ＝1， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝ 4k2 1＋2k2 ，x1x2＝ 2k2－4 1＋2k2 ， 所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12 ＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 21＋k24＋6k2 1＋2k2 . 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝ |k| 1＋k2 ， 所以△AMN的面积为S＝ 1 2 |MN|·d＝ |k|4＋6k2 1＋2k2 ， 由 |k|4＋6k2 1＋2k2 ＝ 10 3 ，解得k＝±1. 4．[2019·山西八校联考]如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2⊥QB2，求直线l的方程． 解析：(1)设所求椭圆的标准方程 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，