华中师范大学数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题

一、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、 牛顿-莱不尼兹公式

2、

∑∞

=1

n n

a

收敛的cauchy 收敛原理

3、 全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分）

1、4

20

2

sin lim

x

dt t x x ⎰→

2、求由曲线2

x y =和2

y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞

=+1)

1(n n n n x 的收敛半径和收敛域，并求和

4、已知z

y x u = ，求y

x u

∂∂∂2

三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

∑∞

=1

!n n n n 2、讨论反常积分

⎰

+∞

--0

1dx e x x p 的敛散性

3、讨论函数列),(1

)(2

2+∞-∞∈+

=

x n x x S n 的一致收敛性

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、设)2,1(1

1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞

=1

n n x 发散 2、证明函数⎪⎩

⎪

⎨⎧

=+≠++=0

00),(22222

2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它

在该点不可微。，

参考答案

一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 21

3、设2R D ⊂为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，

),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得

)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称

y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

31

6sin 2lim sin lim

5406

20

2

==→→⎰x

x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）

所求的面积为：

3

1)(1

2

=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为：10

3)(105

ππ=-⎰dx x x （3分）

3、 解：设∑∞

=+=1)

1()(n n n n x x f ，1)

1(1)

2)(1(1lim

=+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）

),

10(),1ln(1

1)

1()(121'

<<---=+=∑∞

=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0

'<<--+

==⎰x x x

x

dt t f x f x

(3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分）

4、解： y u ∂∂=z x x z y

ln （3分）=∂∂∂y

x u

2zx x x x z

y

z y

1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）

11

)1

11(lim !)1()!

1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n

n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：

⎰⎰⎰

+∞----+∞

--+=111010

1dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--1

1dx e x x

p ，由于

)0(111+→→---x e

x

x

x

p p

故p >0时⎰--1

1dx e x

x

p 收敛（4分）；⎰+∞

--1

1dx e x x

p ，由于

)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞

--1

1dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分

收敛

3、解：2

21

)(n x x S n +

=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致

收敛性（6分）

四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：

11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,1

1

2>->n x n x n （6分） ∑∞

=-2

11

n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）

2、证明：||||

02

2

xy y

x xy ≤+≤（4分）

2

2

)

0,0(),(lim

y

x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点

连续，（3分）又00

lim

0=∆→∆x

x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，

（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）