三角形全等的判定(角边角和角角边)
《三角形全等的判定 “角边角”、“角角边”》课件(3套)
\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：BE=CF．
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律？A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
第十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
《 “角边角”和“角角边”判定三角形全等》课件(3套)
(4)射线A′D与B′E交于一点，记为C′. 即可得到△A′B′C′. 将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等． [师]
于是我们发现规律： 两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以 简写成“角边角”或“ASA”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件．
2．出示探究问题： 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E， BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证 明你的结论吗？
例 如下图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝ ∠C.求证：AD＝AE.
[师生共析]AD 和 AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所
以要证 AD＝AE，只需证明△ADC≌△AEB 即可．
学生写出证明过程．
证明：在△ADC 和△AEB 中，
∠A＝∠A， AC＝AB， ∠C＝∠B， ∴△ADC≌△AEB(ASA)． ∴AD＝AE.
(1)求证：AE＝CD； (2)若AC＝12 cm，求BD的长．
解：(1)由ASA证△ACE≌△CBD (2)BD＝6 cm
14．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD上任意一点，∠1＝∠2， ∠3＝∠4.求证：PA＝PC.
解：先证△ABD≌△CBD(ASA)，再证△ABP≌△CBP(SAS)或 △ADP≌△CDP(SAS)
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠A＋∠B＝∠D＋∠E. ∴∠C＝∠F.
在△ABC 和△DEF 中，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F， ∴△ABC≌△DEF(ASA)． 于是得规律： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全 等．(可以简写成“角角边”或“AAS”)
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
利用“角边角”“角角边”判定三角形全等课件
能通过同学的讲解理解全等的理由得1❤
拓展创新 （针对目标3） 如图∠ABC=∠DCB, 试添加一个条件，使得△ ABC≌△DCB，这个条件 可以是 ∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC . 并选择其中一个条件加以证明.
评价方式：自评、互评 评价标准：每添加一个条件得1❤
问题解决
2.如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?
你能说明其中理由吗?
1
2
3
当堂检测 （针对目标3） 3.已知：∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，BC和DE相等吗？为什么？
评价方式：自评 评价标准：能独立得出正确答案得1❤
B
∴△ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）.
A C B'
A' C'
探索新知
（针对目标1）
问题1. 画线段AB=10cm，再画∠BAP=60°，∠ABQ=80°，AP与BQ相交于 点C. 剪下所画的△ABC在小组内进行比较. 你能得到什么结论？用语言描述 你们的发现.
时间：3分钟 展示：以小组为单位进行展示 评价方式：自评、互评 评价标准：参判定方法
文字语言 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”.
基本事实
几何语言
在△ABC和△DEF中 ∵ ∠___B_=∠___E_
_B__C_=_E_F__ ∠___C_=_∠__F_ ∴△ABC ≌△DEF（ ASA ）
运用新知
（针对目标3）
能得出结论得1❤
探索新知
（针对目标1）
问题2. 画线段 AB=16cm，再∠BAP=40°∠ABQ=30°,AP与BQ相交于点C. 剪下所画的△ABC在小组内进行比较.你能得到什么结论？用语言描述你们 的发现.
4.3.2 用“角边角、角角边”判定三角形全等
（来自《教材》）
知2－导
归
纳
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等，简写成 “角角边”或“AAS”.
（来自《教材》）
知2－讲
1.判定方法三：两角分别相等且其中一组等角的对边相
等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
（来自《点拨》）
知1－练
1
如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙 三个三角形中一定和△ABC全等的是( A．甲、乙 )
B．甲、丙
C．乙、丙 D．乙
（来自《典中点》）
知1－练
2
如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块， 现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最 省事的方法是( A．带①和②去 )
B．只带②去
C．只带③去 D．都带去
（来自《典中点》）
知1－练
3
如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使 △ABD≌△ACD的条件是( A．∠BAD＝∠CAD B．∠BAC＝99° )
C．BD＝AC
D．∠B＝45°
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
议一议
2
三角形全等的条件：角角边
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对
2.利用“角角边“判定两三角形全等：
1.必做: 完成教材P102习题4.7T1-4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.
试说明：△ABC与△DEC全等．
（来自《点拨》）
知2－讲
解：如图，因为∠BCE＝∠ACD＝90°， 所以∠3＋∠4＝∠4＋∠5. 所以∠3＝∠5. 在△ACD中，∠ACD＝90°， 所以∠2＋∠D＝90°. 因为∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
三角形全等的判定---角边角、角角边
《三角形全等的判定（角边角，角角边）》教学设计一、内容和内容解析（一）内容人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“12.2三角形全等的判定”（角边角，角角边）.(二)内容解析全等三角形是研究图形的重要工具，只有掌握全等三角形的有关内容，并且能灵活的加以运用，才能学好等腰三角形、四边形和圆等内容，同时为今后研究轴对称、旋转等全等变换打下良好的基础．此外，也由于它在日常生活中有着广泛的应用，研究全等三角形，具有重要的意义．发展学生的合情推理和初步的演绎推理能力是《数学课程标准》的重要要求之一．本章是在七年级下册第五章出现证明和证明格式的基础上，进一步介绍了推理论证的方法．通过定理内容的规范化书写，并在例习题中注重分析思路，让学生学会思考、学会清楚地表达思考的过程，可以进一步培养学生的推理能力．同时，“12.2三角形全等的判定”中几种判定方法，是作为基本事实提出来的，通过画图和实验，让学生确信其正确性，符合学生的认知水平．这样的分析问题、解决问题的方法，对全章乃至以后的学习都是至关重要的．本节课是全等三角形判定的第三课时，主要探究利用“角边角”和“角角边”两种方法判定三角形全等，以及简单应用．探索三角形全等的条件，不仅是“全等三角形”知识体系的重要组成部分，而且在探索过程中所体现的思想方法，为学生主动获取知识、感悟三角形全等的数学本质、积累数学活动经验、体验运用类比的方法研究问题等，提供了很好的素材. 通过本节课的学习，可以加深学生对已学几何图形的认识，并为今后的学习奠定基础．(三)教学重点掌握角边角和角角边两个判定三角形全等的方法及简单应用.二、教学目标和目标解析（一）目标1.掌握角边角、角角边判定两个三角形全等的方法及简单应用.2.学会分析法、综合法解决问题.3.让学生在数学学习的过程中获得解决问题的经验.4.逐步养成良好的个性思维品质.（二）目标解析1.使学生掌握角边角、角角边判定两个三角形全等的方法，会运用这两种方法解决问题.2.通过有关的证明及应用，教给学生一些基本的数学思想方法，使学生逐步学会分别从题设或结论出发，寻找论证思路，学会用综合法证明问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过学生探究特殊角度、特殊边长的三角形全等的条件，再由教师利用课件演示数学事实，让学生充分参与到数学学习的过程中来，获得解决问题的经验；通过习题变式，从中体会事物之间的相互联系与区别，从而进一步培养学生的辩证唯物主义观点.4.探究本课的两个判定方法，使学生经历“实践——观察——猜想——验证——归纳——概括”的认知过程，培养学生良好的个性思维品质．三、学生情况分析基于学生的学习基础，在研究几何图形的方法和合情推理方面还存在欠缺．本节课是学生在已经掌握了边边边和边角边判定之后，继续探索三角形全等的条件.他们已经了解了一些探究的思路，也经历过一些探究的过程：动手实践、观察猜想、归纳总结、巩固应用等．因此，本节课的学习，可以引导学生类比前面的研究方法．另外，由于本节课所探究的两种方法，其图形不易辨别，那么，学生如何分析图形之间的内在联系，如何清晰地表达数学思考的过程，也是教师应要特别关注的问题.本课教学难点：是利用角边角、角角边判定两个三角形全等方法的应用及规范化书写.四、教学支持条件分析根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列例题变式，创设问题情境，启发学生思考，利用画图，结合操作测量，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．五、教学过程设计1.开门见山，引出课题在前面的学习中，我们通过动手画图、观察猜想、总结归纳，对三角形全等的条件进行了探究．主要研究了“三边”对应相等和“两边一角”对应相等的情况，得到了两种判定两个三角形全等的方法．本节课，继续探究“两角一边”对应相等的情况．【设计意图】教师通过引导，帮助学生回忆已学知识，回顾探究的方法，使学生明确本节课要探究的问题，了解探究两个三角形全等的基本思路，弄清知识之间的联系．2.动手操作，实验探究问题1 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一张纸上画△A ,B ,C, ，使A, B, =AB , ∠A = ∠A，∠B = ∠B,△ABC和△A ,B ,C,能够重合吗？（教师引导学生分析画图步骤，用电脑演示画图过程. 同学之间观察对比，通过两个三角形叠放到一起，引导学生观察、猜想）【设计意图】通过学生动手画图，让学生明确已知两角及夹边怎样画出三角形．通过学生展示作品，以及同学之间观察对比，让学生确信结论的正确性．问题2 对于任意的两个三角形，当满足“两角及夹边”对应相等时，这两个三角形就一定能够全等吗?教师用电脑展示，给学生以直观的印象，学生总结得到角边角判定方法，教师给出符号语言的规范格式，强调“对应”的含义．【设计意图】通过观察多媒体动态演示的过程，进一步强化对两个三角形所满足条件的直观感知，使学生在验证猜想的过程中，获得解决问题的经验．3.应用新知，探究归纳问题3 解答下面的问题，你能得到什么结论？如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？你能利用角边角证明你的结论吗？C DA'A B E 图１（教师提出问题，学生思考，找寻方法．师生共同总结角角边的判定方法，给出符号语言的规范格式）【设计意图】通过本题的练习，让学生在尝试运用角边角判定两个三角形全等的过程中，进一步加深对三个条件的理解．同时，训练学生的表达能力，使学生能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据．4.拓广探索，综合运用练习1 已知：如图，AB=A′ C ，∠A=∠A′，∠B=∠C求证：△ABE≌ △ A′ CD2、如图，已知AB=DE ， ∠A =∠D ， ,∠B=∠E ，则△ABC ≌△DEF 的理由是：3、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D ，,∠C=∠F ，则△ABC ≌△DEF 的理由是：练习1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和△ACD 全等吗？为什么？（由学生分析，教师展示解答过程。
13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的 两个三角形是否全等， 并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等， 且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两 组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB， AB=DC
三角形全等的判定：角边角和角角边_课件
结论
两角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等 简写为“角角边”或“AAS”.
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢？
在△ABC与△DEF 中
∠B =∠E ∠A =∠D
一定要按“角，角， 边”的顺序列举条件
AC =DF
已知：点E 是正方形ABCD 的边CD上一点，点F 是CB 的延长 线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
提示：证明△ABF ≌△ADE．
已知△ABC 中，BE ⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，且BE =CF， 那么BD与DC 相等吗？
提示：证明△BDE ≌△CDF．
补充题 如图，AB∥CD，AD∥BC，那么 AB =CD 吗？为什么 ？AD 与BC 呢？
2．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在 池塘外取AB 的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画BF 的 垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE 的长就是 AB 的长．为什么？
如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻 璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其 中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？
结论
两角及夹边对应相等的两个三角形全等 简写为“角边角”或“ASA”.
结论 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能 制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形 的原貌吗？
这利用的是什么原理呢？
ASA可以判定三角形全等．
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢？
在△ABC 与△DEF 中
八年级数学
精品 课件
第十二章 全等三角形：三角形全等的判定
全等三角形的判定角边角和角角边定理
本节课我们学习了判定两个三角形 全等的两种方法：
1. 两个角及两角的夹边：ＡＳＡ
2.两个角及其中一角的对边。ＡＡＳ
课本Ｐ第５题 练习册
作业
三角形全等的判定(3)--角边角 和角角边定理(ASA、ＡＡＳ）
A E
B
FC
判定两个三角形全等有哪些方法? 边边边（ＳＳＳ）
三边对应相等的两个三角形全等
边角边(SAS)
有两边和它们夹角对应相等的 两个三角形全等。
如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗?
例３、已知：点D在AB上，点E在AC上，
AB=AC，∠B=∠C。
求证： ＡＤ＝ＡＥ
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） D
∵ AB=AC（已知） ∠B=∠C（已知） B
∴ △ABE≌△ACD(ASA) ∴ＡＤ＝ＡＥ
E C
１、要使下列各对三角形全等，需要增加 什么条件？
∠A=∠D, ∠B=∠F, _________;
利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角 形玻璃。
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
A
A′
B
B′
C
C′
角角边定理
如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别
对应相等,那么这两个三角形全等. (AAS)
∠A=∠D, AB=DE, _________;
练一练
３、如图，要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A， C，E在一条直线上，这时 测得DE的长就是AB的长。为什么？
三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．【变式1】如图，AB ＝AD ，∠1，DA 平分∠BDE ．求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∵DA 平分∠BDE ．∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC和△ADE中，{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4，则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式1】已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式2】如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD ＝CE .【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，在河岸BM 上截取BC ＝CD ，作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ，垂足为点D ．（DE ≠CD ）（1）线段 的长度就是A 、B 两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离；故答案为：DE ；（2）∵AB ⊥BC ，DE ⊥BD∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°又∵∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝CD∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AB ＝DE ．【变式4】如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN【变式6】如图，已知224m ABC S =△，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，则ADC S =△________2m ．【答案】12【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，90ADB ADE ∠=∠=︒．∵AD AD ＝，∴()ADB ADE ASA ≌．∴BD DE =．∴ABD AED S S =△△，BCD ECD S S =． ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△．即12ADC ABC S S =．∵224m ABC S =△，∴212m ADC S =△．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE ∥CF ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）若AE ＝13，AF ＝7，试求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE ＝∠DCF ，在△BDE 和△CDF 中，，∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；（2）解：∵AE ＝13，AF ＝7，∴EF ＝AE ﹣AF ＝13﹣7＝6，∵△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∵DE +DF ＝EF ＝6，∴DE ＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（202210块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）； （2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6（cm ），BE ＝7×2＝14（cm ），∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【变式】已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.【答案与解析】证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②证明：由（1）知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ．（2）成立．证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c ，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝c .作法：(1)作∠DAF ＝∠α；图4－4－224－4－23(2)在射线AF 上截取线段AB ＝c ；图4－4－24(3)以B 为顶点，以BA 为一边，在AB 的同侧作∠ABE ＝∠β，BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形．[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 例7.已知：角α，β和线段a ，如图4－4－29所示，求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a .图4－4－29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C ，再利用两角夹边作图． 解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC ＝a ；(3)分别以B ，C 为顶点，以BC 为一边作∠CBM ＝∠β，∠BCN ＝∠γ；(4)射线BM ，CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：α∠，∠β和线段a ，求作ABC ，使A α∠=∠，2B β∠=∠，AB a =．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．≌过程中，先作2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠，再作DCB ACB ∠=∠，从而得到DBC ABC ≌，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠，DCB ACB ∠=∠，再加上公共边BC BC =，根据AAS ，即可判断DBC ABC ≌．【详解】解：∵得DBC ABC ∠=∠， BC BC =，DCB ACB ∠=∠，∴DBC ABC≌()ASA ， 故选：B ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ，若6PM =，则PN 的长度不可能是（ ）【答案】D 【分析】如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，证明POH POM △≌△得到6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，∵PM OB ⊥，∴90PHO PMO ==︒∠∠，∵OC 平分AOB ∠，∴POH POM ∠=∠，又∵OP OP =，∴()AAS POH POM △≌△，∴6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，∵(264036=>，∴6，∴四个选项中，只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若4PE =，则点P 到AD 与BC 的距离之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，先证明AD FG ⊥，由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠，进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，则8FG PF PG =+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，∵AD BC ∥，∴AD FG ⊥，∵PE AB ⊥，∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠，∵BP 平分ABC ∠，∴EBP GBP =∠∠，又∵BP BP =，∴()AAS EBP GBP △≌△，∴4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，∴8FG PF PG =+=，∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，90C ∠=︒，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且8CB =，则点M 到线段AD 的最小距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，证明MDE MDC △≌△，得到ME MC =，再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===，根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，∴90MED C ==︒∠∠，∵DM 平分ADC ∠，∴MDE MDC =∠∠，又∵MD MD =，∴()AAS MDE MDC △≌△，∴ME MC =，∵点M 是BC 的中点，8CB =，∴142ME MC BC ===，∴点M 到线段AD 的最小距离为4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E 在ABC 外部，点D 在ABC 的BC 边上，DE 交AC 于F ，若123∠=∠=∠，AE AC =，则（ ）．A ．ABD AFE △≌△B ．AFE ADC ≌△△ C ．AFE DFC ≌△△D ．ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠，E C ∠=∠，然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△．【详解】解：∵12∠=∠，∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC DAE ∠=∠，∵23∠∠=，AFE DFC ∠=∠，∴E C ∠=∠，∴在ABC 和ADE V 中，BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADE ≌△△， 故选：D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ． 8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，8AD BD ==，10AC =，2AE =，则BF 的长为（ ）A ．11.2B ．11.5C ．12.5D ．13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△，可得 6DE DC ==，14BC =，而10AC =，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠，∵AEF BED ∠=∠，∴DBE DAC ∠=∠，∵8AD BD ==，2AE =，∴BDE ADC △≌△，6DE =，∴6DE DC ==，∴14BC =，而10AC =，由等面积法可得：111481022BF ⨯⨯=⨯⨯，解得：11.2BF =；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明BDE ADC △≌△是解本题的关键． 9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；最后，他用步测的办法量出自己与E 点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是（ ）A ． SSSB ． SASC ． ASAD ． AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上，∴A D ∠=∠，∵AC BC ⊥，DF EF ^，∴90ACB DFE ∠=∠=︒，∵AC DF =，∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若212cm BPC S =△，则ABC 的面积（ ）A ．224cmB ．230cmC ．236cmD ．不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，易证()ASA ABP DBP ≌，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==．【详解】如图所示，延长AP ，交BC 于点D ，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP 和DBP 中，ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABP DBP ≌，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴2224ABC BPC S S cm ==，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠，A A ∠=∠，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵B C ∠=∠，A A ∠=∠，∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌，可补充的条件是BE CD =或AE AD =；故答案为：BE CD =或AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．七年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等．【详解】∵AD BC ⊥，∴90BDA CDA ︒=∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAD ∠CAD =∠．在ABD △与ACD 中，BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌．故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等． 13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，连接AD ，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．若8CE =，5BF =，4EF =，则AD 的长为________．【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌，可得8AF CE ==，5BF DE ==，推出AD AF DF =+即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠=∠=︒，∴A C ∠=∠，∵AB CD =，∴(AAS)ABF CDE ≌，∴8AF CE ==，5BF DE ==，∵4EF =，∴()8549AD AF DF =+=+−=，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取BC CD =，过D 点作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，测得16DE =米，则A ，B 之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△，从而得到DE AB =，从而得解．【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥，，∴90B EDC ∠=∠=°，∵90B EDC ∠=∠=，BC CD BCA DCE =∠=∠，，∴()ASA ABC EDC ≌△△，∴DE AB =．又∵16DE =米，∴16AB =米，即A B ，之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，AD CF =，添加一个条件，使ABC DEF ≌△△，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =（答案不唯一）【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =，理由是∶∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，∵AD CF =，∴AD CD CF CD +=+即AC DF =，当BC EF ∥时，有BCA EFD ∠=∠，则() ASA ABC DEF ≌， 当BCA EFD ∠=∠时，则() ASA ABC DEF ≌， 当B E ∠=∠时，则() AAS ABC DEF ≌， 当AB DE =时，则() SAS ABC DEF ≌，故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ， SSS 是解题的关键． 16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M 与点O 的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O 处立竖杆PO ，并将顶端的活动杆PQ 对准点M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N ，测量点N 与点O 的距离，该距离即为点M 与点O 的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在POM 和PON △中，90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ASA POM PON ∴≌，∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒，CBE ACF ∠=∠，根据AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果；②求出CBE ACF ∠=∠，由AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果．【详解】解：①90BCA ∠=︒，90α∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△，BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒，在BCE 中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠，180BCA α∠=︒−∠，BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠，ACF BCE BCA ∠+∠=∠，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△， BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，故答案为：=，180BCA α∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△． ABC 的角平分线，过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，利用ASA 证明ABD △和ACF △全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，90EBF F ∠+∠=︒，90ACF F ∠+∠=︒，EBF ACF ∴∠=∠，在ABD △和ACF △中，EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ABD ACF ∴≌， BD CF ∴=，BD Q 是ABC ∠的平分线，EBC EBF ∴∠=∠．在BCE 和BFE △中，BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BCE BFE ∴≌， CE EF ∴=，2CF CE ∴=，24BD CF CE ∴===．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定AB EF ∥，得到ABC F ∠=∠，再利用AAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得9AB CF ==，4BC EF ==，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵CD AB ⊥，EF CE ⊥，∴AB EF ∥，∴ABC F ∠=∠，在ABC 和CFE 中，ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABC CFE △△≌； （2）∵ABC CFE △△≌， ∴9AB CF ==，4BC EF ==，∴5BF CF BC =−=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等． 20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠．求证：AB CE AD +=．【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌，得出AB CD =，BC CE =，即可证明结论．【详解】解：∵AB CE ∥，∴A DCE ∠=∠，∵B D ∠=∠，BC DE =，∴()AAS ABC CDE ≌，∴AB CD =，BC CE =，∴AB CE CD AC AD +=+=．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△．21．（2022秋·八年级课时练习）已知αβ∠∠，和线段a （下图），用直尺和圆规作ABC ，使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=，，．【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段AB a =．2．分别以A ，B 为顶点，在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，，DA 与EB 相交于点C ．ABC 就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知ABC ，请根据“ASA”作出DEF ，使DEF ABC ≌．【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠，再在EM 上截取ED BA =，在EN 上截取EF BC =，从而得到DEF ABC ≌．【详解】解：如图，DEF 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，已知FB CE =，AB DE ∥，ACB DFE ∠=∠，试说明：AC DF =．【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵FB CE =，∴FB FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△， ∴AC DF =．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC AC =，BCE DCA ∠=∠，A E ∠=∠．求证：AB ED =．【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠，再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BCE DCA ∠=∠，∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠，即ACB ECD ∠=∠．在ABC 和EDC △中，∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AB ED =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△； (2)若10BE =，3BF =，求FC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB DE ∥，得ABC DEF ∠=∠，而AB DE =，A D ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△； （2）根据全等三角形的性质得BC EF =，则3BF CE ==，即可求得FC 的长度．【详解】（1）解：证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 和DEF 中，A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△； （2）解：由（1）知()ASA ABC DEF ≌△△，∴BC EF =， ∴BF FC CE FC +=+，∴3BF CE ==，∵10BE =，∴10334FC BE BF CE =−−=−−=，∴FC 的长度是4．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键． 26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 中，BD CD =，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】（1）根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð，根据全等三角形的判定即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得DE DF =，即可求得．【详解】（1）证明：∵BE CF ∥，∴BED CFD Ð=Ð，∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =，∴()AAS BDE CDF ≌；（2）由（1）结论可得DE DF =，∵1587EF AE AF =−=−=，∴72DE =．【点睛】全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，AC DE DC ==．(1)试说明ABC DBE ≌△△．(2)若72ACD ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到BED BCA ∠=∠，证明()SSS DBC ABC ≌，得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，即可得解．【详解】（1）解：因为DBA CBE ∠=∠，所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠，即DBE ABC ∠=∠．在ABC 和DBE 中，ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以()AAS ABC DBE ≌． （2）因为ABC DBE ≌△△， 所以BD BA =，BCA BED ∠=∠．在DBC △和ABC 中，DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以()SSS DBC ABC ≌， 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，所以36BED BCA ∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段AD 是ABC 的中线，分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线，垂足分别为E 、F ．(1)请问BDE 与CDF 全等吗？说明理由；(2)若ACF △的面积为10，CDF 的面积为6，求ABE 的面积．【答案】(1)BDE CDF ≌△△，见解析 (2)22【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可．（2）根据中线性质，得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ，结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可． 【详解】（1）BDE CDF ≌△△，理由如下： ∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AE ⊥，CF AE ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌．（2）∵10ACF S =△，6CDF S =△，BDE CDF ≌，∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△，6BDE CDF S S ==，∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键． 29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC 中，点D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，若,=∠=∠AB AC ADB ADC ，求证：AD 平分BAC ∠.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点P 分别作三边的垂线，分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠，所以ADE ADF ∠=∠，因此(AAS)ADF ADE ≅，得到AF AE =.进而AFC AEB ≅，得到ABD ACD ∠=∠，因此BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC ，P 为三角形ABC 内任意一点，PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证：PD+PE+PF 为定值.证明：如图：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++， ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠，又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅，∴AF AE =∴AFC AEB ≅，∴ABD ACD ∠=∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．。
“角边角”和“角角边”判定三角形全等 公开课一等奖课件
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律． 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学． 活动结果展示： 以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合， 这说明这些三角形全等． 提炼规律： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简 写成“角边角”或“ASA”)
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个 △ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝ ∠B′，AB＝A′B′呢？
？ 想一想
今后我们应该怎样做？
公共场合，我们应该安静有序地排队等候。
课堂上我们应该静静的倾听，静静的思考
讨论问题的时候，我们要认真倾听 别人的意见，有序地发表自己的见解。
到室外或功能室上课前，迅速有序 列队，安静轻步走到上课地点，上下楼 梯靠右行。
让我们读一读
• 铃声响 速静心 进教室 坐端正 • 上下楼 靠右行 走廊里 步要轻 • 不追逐 不吵闹 休息好 讲文明 • 早操时 快静齐 课间时 也安静 • 管理班 守纪律 惜时间 勤学习 • 排路队 守秩序 不推挤 慢慢行 • 寻清静 现文明 好习惯 能养成
(4)射线A′D与B′E交于一点，记为C′. 即可得到△A′B′C′. 将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等． [师]
于是我们发现规律： 两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以 简写成“角边角”或“ASA”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件．
2．出示探究问题： 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E， BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证 明你的结论吗？
我们可以安静一点吗？（节选）
• 德国摄影记者在东京旅行，拍下一辑东京地铁挤拥的照 片。许多日本人默默承受挤拥，不论西装笔挺，脸孔压在车 厢门的玻璃上，鼻扁嘴凸，面容扭曲，就是一副死忍，绝不 吭声半句。这个照片系列，成为日本国民性格的代表作。 • 日本人乘搭公共交通工具，不论地铁还是飞机，其恬静 是一大景观。手机不会响，为他人着想，固不必说，车厢里 鲜有交谈，即使有，声音也自觉低下来，令西方记者称奇。 • 日本火车与瑞士和欧洲各国的火车类似，就是乘客自觉 恬静，读书看报，或者上网工作。这方面，难怪日本早身在 西方文明国家之列，公共交通，首重一个“公”字，国民无 公德，国家再强，GDP再高，没有人心中真正看得起你。
《三角形全等的判定-角边角角角边》说课稿ppt
（1）分组实验，前后桌4位同学为一组，共同完成实验。 实验步骤：①任意画一个三角形△ABC； ②前桌两位同学均各自再画△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′= ∠A，∠B′= ∠B，后桌两位同学各自再画△A〞B〞C〞，使B〞C〞=BC，∠B〞=∠B, ∠C〞=∠C (即：使三角形中的两组角及它们的夹边对应相等)。 ③把画好的△A′B′C′（或△A〞B〞C〞）剪下，放到△ABC上，看看发现了什么？ （2）得到实验结论： 所画的三角形均能相互重合。
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
（二）合作交流、解读探究
1、实验验证（探究5），探索新知（角边角）
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
（3）提出问题：你能根据作图要求具体说说所画的是什么样的两个三角形吗？ （4）归纳： 三角形全等的判定（三）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或者“ASA”） （5）符号语言：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠B AB=DE ∠B=∠E ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
四、教学流程
(一)创设情境，孕育新知
1、生活情境设疑，激发学生兴趣
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
2、学术情境分类，明确探究任务
满足全等三角形的六组条件中的三组
（1）三边（SSS） （2）两边一角 两边、一夹角（SAS） 两边、一对角（不一定） （3）两角一边 （4）三角
证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° ∴∠C=180-∠A-∠B 同理∠F=180°-∠D-∠E 又∠A=∠D ， ∠B=∠E ∴∠C=∠F 在△ABC和△DEF 中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
全等三角形的判定-角边角和角角边
在选择时，可以根据已知条件的多少和问题的具体要求来决定使用哪种判定法。例如，如果 已知条件更符合角边角（ASA）判定法的条件，那么选择角边角（ASA）判定法可能更为简 便和直接。
PART 05
全等三角形的应用
两种方法的应用范围
角边角（ASA）判定法
01
适用于已知两个角和它们之间
的边的情况。
02
在几何证明和实际问题中广泛
应用，如建筑设计、地图制作
等。
03
角角边（AAS）判定法
04
适用于已知两个角和一个非夹
角的边的情况。
05
在解决一些特定问题时更为方
便，如测量问题、航海问题等
。
06
两种方法的选择原则
选择原则
角边角判定法的应用
在证明两个三角形全等时，如果已知条件符合角边角判定法 ，可以直接应用该判定法得出结论。
角边角判定法也可以用于解决一些实际问题，例如测量、绘 图等。
角边角判定法的证明
根据三角形的内角和性质，两个三角形的两组对应角相等，则它们的第三组对应角 也相等。
由于夹边相等，根据三角形的边角边全等判定，这两个三角形全等。
因此，角边角判定法得证。
PART 03
角角边判定法
REPORTING
WENKU DESIGN
角角边判定法的定义
两个三角形中，如果两个角分别相等，且这两个角所夹的一边也相等，则这两个 三角形全等。
简称"AAS"或"角角边"判定法。
角角边判定法的应用
在证明两个三角形全等时，如果已知条件符合角角边判定 法，可以直接应用此判定法证明三角形全等。
《三角形全等的判定--角边角-角角边》说课稿-ppt市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
3、思索举证（探究7）,全等小结
满足全等 三角形旳 六组条件 中旳三组
（1）三边（SSS）
（2）两边一角
两边、一夹角（SAS） 两边、一对角（不一定）
（3）两角一边 两角一夹边（ASA） 两角一对边（AAS）
∠A=∠Ａ（公共角）, AC=AB , ∠C=∠B, ∴ △ACD≌△ABE （ASA）, ∴ AD=AE. （2）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.求证AB=AD。 证明： ∵ AB⊥BC ，AD⊥DC， ∴ ∠B=∠D=90° 在△ABC和△ADC中， ∠B=∠D ∠1=∠2 AC=AC （公共边） ∴ △ABC≌△ADC （AAS）,
二、教学目的
【知识技能】 1.让学生在自主探究旳过程中得出A.S.A推 导出A.A.S定，掌握
【过程与措施】 经历探索三角形全等条件旳过程，体会怎 样探索、研究问题，培养学生合作精神，让学 生初步体会数学中旳分类思想。
【情感态度与价值观】 经过画图、比较、验证，培养学生注重观 察、善于思索、不断总结旳良好思维习惯。
2、学术情境分类，明确探究任务
（1）三边（SSS）
满足全等三角 形旳六组条件 中旳三组
（2）两边一角 两边、一夹角（SAS）
两边、一对角（不一定） （3）两角一边
（4）三角
（二）合作交流、解读探究
1、试验验证（探究5），探索新知（角边角）
（1）分组试验，前后桌4位同学为一组，共同完 毕试验。
试验环节：①任意画一种三角形△ABC； ②前桌两位同学均各自再画△A′B′C′，使
本节课在知识构造上，它是同学们在学习了三 角形有关要素、全等图形旳概念后来进行旳，它即 是前面所学知识旳延伸与拓展，又是后继学习探索 相同形旳条件和基础，而且是用以阐明线段相等、 两角相等旳主要根据。所以，本节课旳知识具有承 上启下旳作用。在能力培养上，不论是动手操作能 力、逻辑思维能力，还是分析问题、处理问题旳能 力，都可在全等三角形旳教学中得以培养和提升。 所以，全等三角形在整个初中数学旳学习中有至关 主要旳作用。
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C
(2) (1)
利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角 形玻璃。
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角 条件证明你的结论吗？
A
D
C B E
F
A
D F
B
C
E
已知∠A=∠D，∠B=∠E， BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
探究1
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应 相等)。把画好的△A/B/C/剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
C
A
B
探究反映的规律是： 角边角判定定理 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形 全等(简写成“角边角”或“ASA”）。 A 几何语言表示 在△ABC和△DEF中 D ∠A=∠D （已知 ） B C AB=DE（已知 ） E F ∠B=∠E（已知 ）
证明：在△ABD和△ABC中 ∠1＝∠2 1 AB＝AB A 2 B ∠ABD＝∠ABC D
C
∴△ABD≌△ABC（ASA）
∴AD＝AC
变式2：已知如图， ∠1＝∠2，∠3＝∠4 求证：AD＝AC. 为什么？
证明：∵∠3＝∠4 ∴∠ABD＝∠ABC 等角的补角相等或等式性质1 在△ABD和△ABC中 D ∠1＝∠2 AB＝AB 3 1 ∠ABD＝∠ABC A 2 B4 ∴△ABD≌△ABC（ASA） ∴AD＝AC
证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠E 又∵∠C＝180°－∠A－∠B， ∠F＝180°－∠D－∠E 两角和它们其中 ∴∠C＝∠F 一角的对边对应 在△ABC和△DEF中 ∠B＝∠E BC＝EF ∠C＝∠F
相等的两个三角 形全等. （简写为“角角 ∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言
∴△ABC≌△DEF（ASA）
已知如图， O 是 AB 的中点， 例1： ∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD 证明： C
∵ O是AB的中点(已知） ∴ OA=OB(中点定义） A 在△AOC和△BOD中
∠A= ∠B (已知） OA=OB (已证）
1
O
2
B D
∴ △AOC≌△BOD
（ ASA ） ∠1= ∠2 (对顶角相等）
例 2： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和
CD相交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C
A BD=CE 吗？ 求证：AD=AE. 证明：在△ADC和△AEB中 ∠A= ∠A (公共角） AC=AB (已知） D E
O ∠C= ∠B (已知） ∴△ADC≌△AEB（ASA） B ∴AD=AE （全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC (已知） ∴BD=CE (等式性质1）
）
O D
）
小测：如图，AB⊥BC，AD⊥DC， ∠1=∠2。 求证AB＝AD。 A
12
B
D C
知识应用
2.如图，要测量河两岸相对的两点A，B
的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A， C，E在一条直线上，这时 测得DE的长就是AB的长。为什么？
A
B
12.2.3三角形全等的判定 （ASA和AAS)
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件? 边边边：三边对应相等的两个 sss 三角形全等。
SAS 边角边：有两边和它们夹角对应
相等的两个三角形全等
创设情景,实例引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心
怎么办？可以帮帮 我吗？
B
A
D F
C
E
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
例2、已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC. 证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2 ∠D＝∠C AB＝AB
D
A
1 2 B
∴△ABD≌△ABC（AAS）
∴AD＝AC
C
变式1：已知如图， ∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC 求证：AD＝AC.
C D E
F
1.你能总结出我们学过哪些判定三角形 全等的方法吗？注意角角边、角边角中 两角与边的区别 2.要根据题意选择适当的方法。 3.证明线段或角相等，可以证明它们所 在的两个三角形全等。
再 见！
C
练习1.如图，填什么就有 △AOC≌ △BOD B 在△AOC和△BOD中 ∠A=∠B（已知）
AC=BD （已知） ∠C=∠D （已知）
O D C
A
∴△AOC≌△BOD（ ASA
）
2.如图， 在△AOC和△BOD中
∠A=∠B（已知）
C
B
∠AOC=∠BOD
（ 对顶角相等 CA=DB （已知）
A ∴△ADC≌△BOD（ AAS