第一章 固体中电子能量结构和状态
材料物理性能课后习题答案 北航出版社 田莳主编
材料物理习题集第一章固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m）的布拉格衍射角。
（P5）2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少k T？（P15）4. 已知Cu的密度为8.5×103kg/m3，计算其（P16）5. 计算Na在0K时自由电子的平均动能。
（Na的摩尔质量M=22.99，）（P16）6. 若自由电子矢量K满足以为晶格周期性边界条件和定态薛定谔方程。
试证明下式成立：e iKL=17.8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。
（P20）9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。
答：（画出典型的能带结构图，然后分别说明）10. 过渡族金属物理性质的特殊性与电子能带结构有何联系？（P28）答：过渡族金属的d带不满，且能级低而密，可容纳较多的电子，夺取较高的s带中的电子，降低费米能级。
补充习题1. 为什么镜子颠倒了左右而没有颠倒上下？2. 只考虑牛顿力学，试计算在不损害人体安全的情况下，加速到光速需要多少时间？3. 已知下列条件，试计算空间两个电子的电斥力和万有引力的比值4. 画出原子间引力、斥力、能量随原子间距变化的关系图。
5. 面心立方晶体，晶格常数a=0.5nm，求其原子体密度。
6. 简单立方的原子体密度是。
假定原子是钢球并与最近的相邻原子相切。
确定晶格常数和原子半径。
第二章材料的电性能1. 铂线300K时电阻率为1×10-7Ω·m，假设铂线成分为理想纯。
试求1000K时的电阻率。
（P38）2. 镍铬丝电阻率（300K）为1×10-6Ω·m，加热到4000K时电阻率增加5%，假定在此温度区间内马西森定则成立。
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固体物理学中的费米面与能带结构
固体物理学中的费米面与能带结构在固体物理学中，费米面与能带结构是两个重要的概念。
它们描述了在晶体中的电子行为，对于理解电导、磁性以及其他物质的性质至关重要。
一、费米面费米面是描述电子运动的一个概念。
在凝聚态物理学中，电子遵循泡利不相容原理，即每个量子态只能容纳一个电子。
由于这个原理，电子填满能级时会填充到一定的能量范围内。
费米面是描述这个能量范围边界的一个表面。
费米面实际上是指在零温下，电子填满能级时所占据的最高能级。
费米面上方的电子就是导电带。
费米面的形状可以通过电子的能带结构以及能级的填充情况来决定。
二、能带结构能带结构描述了电子在晶体中能量分布的情况。
在固体中，电子的能量是由晶格结构以及电子相互作用决定的。
晶格会对电子的能量造成影响，从而形成能带。
根据波尔兹曼方程，电子在晶体中的运动可以通过能带结构来描述。
能带结构分为导带和禁带两部分。
导带是指电子可以容纳的能级范围，而禁带则是指电子无法取得的能级范围。
禁带中的能量被称为带隙。
带隙决定了固体的电导性质。
对于导电材料来说，带隙较小，电子可以轻易地跃迁到导带中，而对于绝缘体来说，带隙较大，电子无法跃迁到导带中，因此不能导电。
能带结构可以通过实验技术如X射线衍射和光电子能谱来研究。
通过这些实验，科学家可以测量电子的能量分布，从而揭示晶体的能带结构。
三、费米面与能带结构的关系费米面和能带结构之间有着紧密的联系。
费米面的形状取决于能带结构以及电子的填充情况。
对于导体来说，费米能级与导带重叠，费米面呈现为一个封闭曲面，形状非常复杂。
而对于绝缘体来说，费米能级位于禁带中，费米面是一个简单的球面。
这个球面上的每个点对应着一个电子的量子态。
费米面上的电子数量取决于晶体中电子的填充情况。
费米面附近的电子具有决定导电性质的重要作用。
在固体中的费米面形状和所处位置是非常重要的。
这些特性不仅决定了电子的运动行为，也决定了很多物质的性质，如电导、磁性等。
总结固体物理学中的费米面与能带结构是了解电子行为的重要工具。
材料物理性能考试总结
第一章固体中电子能量和状态1.1电子的粒子性和波动性1.霍尔效应取一金属导体，放在与它通过电流相垂直的磁场内，则在横跨样品的两面产生一个与电流和磁场都垂直的电场，此现象称为霍尔效应。
2.德布罗意假设一个能量为E，动量为P的粒子，同时也具有波性，其波长λ由动量P决定，频率ν由能量E确定：λ=h/P=h/(mv); ν=E/h;式中：m为粒子质量；v为自由粒子的运动速度,由上式求得的波长，称为德布罗意波长。
3.其中，d=2.15*10-10m，θ=50°E=54eV;由λ=dsinθ得，λ=2.15*10-10m*sin50°=1.65*10-10m电子质量m=9.1*10-31kg，电子能量E=54eV，则由λ=h/p得λ=h/(2mE)1/2=[6.6*10-34/(3.97*10-24)]m=1.66*10-10m比较两个结果基本一致，说明德布罗意波假设的正确性。
1.2金属的费米——索末菲电子理论金属的费米索末菲电子理论同意经典的电子学说，认为价电子是完全自由的，但量子自由电子学说认为自由电子状态不服从麦克斯韦——玻尔兹曼统计规律，而是服从费米——狄拉克的量子统计规律。
故该理论利用薛定谔方程求解自由电子的运动波函数，计算自由电子的能量。
1.导体，绝缘体，半导体的能带结构（P25-26）二价元素如周期表中的ⅡA族碱土族Be、Mg、Ca、Sr、Ba，ⅡB族为Zn、Cd、Hg，按上边的讨论，每个原子给出两个价电子，则得到填满的能带结构，应该是绝缘体，对一维情况的确是这样，但在三维情况下，由于能带之间发生重叠，造成费米能级以上不存在禁带，因此二价元素也是金属。
1.3习题1.一电子通过5400V电位差的电场，（1）计算它的德布罗意波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m）的布拉格衍射角。
2.有两种原子，基态电子壳层是这样填充的（1）12、2226、3233;（2）12、2226、3236310、4246410;，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
固体中的电子态
§2.4 固体中电子态
5 电子态的表述 — 3维晶体中电子的能量与波矢关系
量化表达方式：波矢空间中特定方向 上能量与波矢的函数曲线——Cu
边界上特征点： <100>*方向上X <111>*方向上L <110>*方向上K
电子态的能带特征点 — 关键词：E(k)的能量突变点的特征、禁带的意义及原因
电子态的能带(允带) — 关键词：一个能带内的能态密度
电子在能带(允带)中的分布及特征 — 关键词：电子的分布情况与费米能级，与材料的关系
§2.4 固体中电子态
1. 电子态的表述 — 电子的能量与波矢关系
E(k ) 曲线具有平移对 2π
载流子体积密度
T＝0K时载流子体积密度为零， 是绝缘体
T>0K下，电子由价带跃迁到导带 产生载流子，其体积密度随温度 升高呈指数规律增高，因此导电 性相应按指数规律增强
§2.4 固体中电子态
2-1 半导体的光吸收和发光问题
平移对称性的表现形式
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带”
各种表示图中，电子能量 －波矢关系的能量突变处
§2.4 固体中电子态
2. 电子的“禁带” 周期为a的势场—间距a的一维原子链
能量突变—电子波矢为π/a的整倍数处
能量与波矢中能量突变的原因
能量突变点处电子波长为2π/k＝2a/n 这样的电子波在晶体中传播，相邻
正空间基矢 (a1, a2 , a3 )
倒易空间基矢 (g1 , g2 , g3 )
g1
=
2π
⋅
材料物理性能课后习题答案_北航出版社_主编
材料物理习题集第一章 固体中电子能量结构和状态（量子力学基础）1. 一电子通过5400V 电位差的电场，（1）计算它的xxxx 波长；（2）计算它的波数；（3）计算它对Ni 晶体（111）面（面间距d=2.04×10-10m ）的布拉格衍射角。
（P5）12341311921111o '(2)6.610 =(29.1105400 1.610) =1.67102K 3.7610sin sin 2182h h p mE m d d λπλθλλθθ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==⇒=解：（1）=（2）波数=（3）2 2. 有两种原子，基态电子壳层是这样填充的，请分别写出n=3的所有电子的四个量子数的可能组态。
（非书上内容）3. 如电子占据某一能级的几率是1/4，另一能级被占据的几率为3/4，分别计算两个能级的能量比费米能级高出多少kT ？（P15）4. 已知Cu 的密度为8.5×103kg/m3，计算其（P16）5. 计算Na 在0K 时自由电子的平均动能。
（Na 的摩尔质量M=22.99，）（P16）6. 若自由电子矢量K 满足以为晶格周期性边界条件和定态xx 方程。
试证明下式成立：eiKL=17.d h r K K cos r /2θϕ=*hkl *hkl 已知晶面间距为，晶面指数为（ k l ）的平行晶面的倒易矢量为，一电子波与该晶面系成角入射，试证明产生布拉格反射的临界波矢量的轨迹满足方程。
8. 试用布拉格反射定律说明晶体电子能谱中禁带产生的原因。
（P20）9. 试用晶体能带理论说明元素的导体、半导体、绝缘体的导电性质。
答： （画出典型的能带结构图，然后分别说明）10. 过渡族金属物理性质的特殊性与电子能带结构有何联系？（P28）答：过渡族金属的d 带不满，且能级低而密，可xx 较多的电子，夺取较高的s 带中的电子，降低费米能级。
补充习题1. 为什么镜子颠倒了左右而没有颠倒上下？2.只考虑xx 力学，试计算在不损害人体安全的情况下，加速到光速需要多少时间？ 3. 已知下列条件，试计算空间两个电子的电斥力和万有引力的比值4. 画出原子间引力、斥力、能量随原子间距变化的关系图。
固体物理1-6章总结
CV
3NkB
θE 2 θE / T ) e T
爱因斯坦特征温度
CV 3NkB (
Debye模型 认为晶体可以看成是连续介质中的弹性波，但晶体中的格波的频率应 该有一个分布，频率与波矢的关系近似为线性关系 CV 3Nk 在高温下：T >> D
12 Nk B T 3 D 在低温下：T << D CV T 德拜温度 D 5 D kB 在高温下多用爱因斯坦模型，低温下则应用德拜模型。
熔点和沸点介于离子晶体和分子晶体 之间，密度小，有许多分子聚合的趋 势，介电系数大。
冰 H2F H2N
弱
～ 0.1ev/ 键
习题
P35- 1.1； ▲ 1.5； ▲ 1.6； ▲ 1.7；1.8；1.10 ▲ 1.设一格子基矢分别为a1=3i,a2=3j,a3=1.5(i+j+2k),试 求该晶体的倒格子基矢。 ▲ 2.半导体GaAs具有闪锌矿结构， Ga、As两原子最近 距离为d=2.45A，求晶格常数，原胞基矢和倒格子基矢。 ▲ P58- 2.8
ni 0,1,2,3....
1 E i (ni )i 2 i 1 i 1 1 ni ▲频率为ωi的格波的平均声子数
i
平均能量
i i i i 2 e k BT 1
e k BT 1
绝缘体中声子热导率与温度的关系
1 CV v l 3
离子晶体导电的机制 离子晶体的导电率 位错的定义、分类，刃型位错的滑移
半导体物理
作业
▲ P101- 4.3；4.4；4.7
第五章 金属电子论
1. ▲自由电子气的概念及模型：特鲁德模型与索末菲模型（定性）
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。
同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。
第一章能带理论
孤立时, 波函数（描述 微观粒子的状态）为 A和B,不重叠.
简并度=状态/能级数 =2/1=2
孤立原子的能级
A . B 两原子相互靠近, 电子波函数应是A和B 的线形叠加: 1 = A + B →E1 2 = A - B →E2
四个原子的能级的分裂
● 当有 N 个原子时：
相互中间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级，简并消失。 这N个能级组成一个能带，称为允带。
((kx )2
m*x
(ky )2
m*y
(kz )2 )
m*z
ax
Vx t
t
(
hk x m*x
)
1 m*x
(hkx ) t
Fx m*x
ay
Fy m*y
az
Fz m*z
称m*为电子的有效质量
F外 = m*a F外 + F内 = m0a
有效质量的意义
概括了半导体内部势场作用，使得在解 决半导体中电子在外力作用的运动规律时， 可以不涉及到半导体内部势场的作用。
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导
带电子的过程 。
激 发 前：
激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电 荷的准粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、EP=-En D、mP*=-mn*
第一布里渊区 1 k 1
2a
2a
第二布里渊区 1 k 1 , 1 k 1
a
2a 2a
第一章 固体中电子能量结构和状态 PPT
1.2.1 金属中自由电子的能级
一维情况，建立一维势阱模型
U(0) U(L)
边界条件 U( x) 0,U(0) U(L)
U(x) 0
电子能量
0
L
E
h2
2m2
2 2m
K2
代入一维薛定谔方程
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(x)
0
d
2 ( x)
dx 2
(
2
)2
(
x)
0
解得 Acos 2 x B sin 2 x
▪金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel）
电子理论
▪晶体能带理论
内容先后基本按照人类对电子行为认识的逐渐深入
1.1 .1电子的粒子性
霍尔效应(Hall effect) B
以金属导体为例：
I
金属中的电流就是自由
E
++_++ +_ ++_ ++_+++ Nhomakorabea+
_
+ +
_
+ +
_
+ +
_
+ +
d 2 ( x)
dx2
4 2
h2
p2 ( x)
因 P2 2mE （非相对论形式，E为经典粒子动能）
d
2 ( x)
dx2
2mE 2
(
x)
0
此为一维条件下自由电子的薛定谔方程
如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合 P2 2m(E U )
d
2 ( x)
第一章 固体中电子能量结构和状态
材料是由原子堆积而成，可分为晶体和非晶体两大类
原子由原子核和核外电子组成。一般的，在堆积成各种 材料前后，各种元素的原子其原子核的状态没有变化，而只有 部分核外电子的状态发生变化。
原子间的结合类型：金属键、离子键、共价键、分子键、氢键 晶体中原子堆积方式为晶体结构：共有14种空间点阵 材料中的电子能量结构：依赖于原子种类、结合类型、堆积方式
密程度表示粒子在空间出现的几率密度，这种图形称为电子云（描电子 波动的一个工具，定性分析，较为形象，但不是真实的图像）
含Z 轴的剖面上的电子云示意图
n = 1, l = 0
ml = 0
n = 2, l = 1
ml = 0
ml =±1
n = 3, l = 2
ml = 0
ml =±1
ml =±2
1.1.4 薛定谔（Schodinger）方程
En2m h2 2 2 m 2 Kn2
在自由状态下，E、K都是连续的，但一般说来电子不 可能处于完全自由态，电子的运动总是受到各种限制，称为 束缚态，束缚态下的电子的能量E和波矢K都是连续的都是 量子化的
1.2 金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel） 电子理论
对固体电子能量结构和状态的认识，大致分为三个阶段
d2(x) 42
dx2 h2
p2(x)
因 P22m E （非相对论形式，E为经典粒子动能）
d2 d(2x x)2m 2 E (x)0
此为一维条件下自由电子的薛定谔方程
如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合 P22m (EU )
d2 d (2x x )2 m 2(EU )(x)0
三维空间中
新版材料物理性能课后习题答案_北航出版社_田莳主编-新版.pdf
=5.21 10 19 J 3.25eV
2
6.02 1023 / 8 ) 3
由E0
3 5
E
0 F
1.08eV
6. 若自由电子矢量 K 满足以为晶格周期性边界条件 试证明下式成立： eiKL =1
( x)= ( x L ) 和定态薛定谔方程 。
解：由于满足薛定谔定态方程
(x ) AeiKx
又 满足周期性边界条件
A1e( W /kT ) B 3000
13.
6
本征半导体中，从价带激发至导带的电子和价带产生的空穴共同电导，
激发的电子数 n可以近似表示为：
n N exp( E g / 2kT )
式中： N 为状态密度， k为波尔兹曼常数， T为热力学温度（ K ），试回答 （ 1）设 N =1023cm-3， k=8.6 10-5 eV k 1时， Si（ Eg 1.1eV） ,
=1.09 10 18 J 6.83eV
2
6.02 1023 / 8 ) 3
5. 计算 Na 在 0K 时自由电子的平均动能。 （Na 的摩尔质量 M=22.99 ， =1.013 103kg/m3 ）
（ P16）
2
解：由
E
0 F
h2 (3n / 8
2
)3
2m
(6.63 10 34 )2 1.013 106 = 2 9 10 31 (3 22.99
12.
实验测出离子型电导体的电导率与温度的相关数据， 经数学回归分析得出关系为 lg A B 1
T (1)试求在测量温度范围内的电导激活能表达式； (2) 若给出 T1=500K 时， 1=10-（9 m）-1，
T2 1000K时， 2=10-（6 m）-1 计算电导激活能的值。
第一讲(电子的粒子性和波动性)
本章将就固体中电子能量结构和状态作
初步介绍，建立起现代固体电子能量结构
观念，包括德布罗意波、费密—狄拉克 分布函数、禁带起因、能带结构及其与
原子能级的关系，以及非晶态金属、半导 体的电子状态等。
1927年10月，第五届索尔维会议
1.1 电子的粒子
在1879年Edwin Hall发现的金属晶体中存在霍耳
化学介质、力场等
3.介绍与物理性能相关的特殊材料 功能材料
4. 介绍与这些物性相关的测试技术 与分析方法
课程特点:
需具备的基础知识：大学普通物理、化 学、物理冶金、晶体学 量子力学、理论物理、固体物理
难点：第1章 固体中的电子状态
课程安排：
授课周次：5-13 总 学 时：44 ；理论学时：36，实验学时：8
从晶体表面相邻两原
电子枪
子(离子)所散射出来 500
的波，如果在max方向
上光程差为，就会相
互加强，产生极大。
探测器
54v
d
可以算出54eV电子束
d
相应波长：
Ni d sin k, k 1
2.151010 sin 500 1.651010 (m)
再看由物质波波长方程式计算电子的波长：
如果ν<<C，那么：
h m0
德布罗意关于物质波的 假设，在1927年被美国 贝尔电话实验室的戴维 森(Davisson)和革末 (Germer) 的电子衍射 实验所证实。
电子枪
54v
探测器
500
Ni
电子枪
U
K
D
电子束
探测器
B
500
G
电子枪
探测器
54v
材料物理性能1
第一章 固体中电子能量结构
主讲：胡木林 2011年02月
《材料物理性能》——固体中电子能量结构和状态
1.1 概述
材料的电学、磁学、光学、热学、力学、化学等 性能是由物质不同层次的结构所决定的。 例如：
➢ 电子能带结构的不同性质决定了材料的导电性差 异——良导体、半导体、电介质和超导体；
自由电子的运动波函数，可用Schrodinger 方程求解，定态Schrodinger方程的一般式：
22mEU0
h2
《材料物理性能》——固体中电子能量结构和状态
一维势阱模型：晶体内势能Ｕ（x）=0，
边界条件Ｕ（０）=Ｕ（L）=
定态Schrodinger方程：
其中，
E h2 2m2
dd2x2 8h2m 2 E0
定态Schrodinger方程： 22282mE0
x2 y2 z2 h2
求解可得到，
En8m h22Lnx2ny2nz2
《材料物理性能》——固体中电子能量结构和状态
能级的简并态，
En8m h22Lnx2ny2nz2
可求得能级密度Z(E)为， ZEd dN E2V 22hm 2 3/2E1/2
根据Fermi-Dirac的量子统计分布，计算Fermi能为： T=0K时，
EF0 2m h22L3n/82/3
《材料物理性能》——固体中电子能量结构和状态
T>0K时，
EF EF01122EkFT0 2
金属在熔点以下，只有能量在 E F 附近kT范围内的电子， 吸收能量从 以下E F 能级跳到 以上E F 能级。
而原子间的键合方式、晶体结构影响固体 的电子能量结构和状态。
对固体电子能量结构和状态的认识分为三 个阶段：经典自由电子学说、量子自由电子 学说和现代能带理论。
固体物理学中的电子结构
固体物理学中的电子结构固体物理学是物理学的一个重要分支，它主要研究固体的性质、结构和行为以及它们之间的相互作用。
其中，电子结构是固体物理学研究的一个重要方面。
电子是构成物质的最基本粒子之一，电子结构对于理解物质的基本性质，如导电性、磁性等具有重要意义。
本文将从电子结构的基本概念、方法、实验以及应用等方面进行探讨。
一、基本概念电子结构是指描述电子在原子、分子和晶格中分布和运动的情况。
在固体物理学中，电子结构主要是指晶体的电子结构。
晶体是由大量的原子经过有序排列而组成的固体，其电子结构是由原子的电子结构经过相互作用、相互影响而形成的。
晶体的电子结构对于材料的物理性质、化学性质以及应用性质具有非常重要的影响。
在固体物理学中，电子结构与固体的导电性、热导性、光学性质、磁性等有着密切的关系。
例如，导电性是晶体中电流传输的能力，其性质取决于电子的信息传递和能带结构。
光学性质中的吸收光谱、反射光谱等也都与电子结构密切相关。
因此，对于固体物理学的研究，深入理解电子结构的特征和规律具有非常重要的意义。
二、基本方法研究电子结构的方法是多种多样的，以下是其中几种常用方法：1、晶体衍射晶体衍射是一种研究晶体结构的方法，通过衍射图案可以确定晶体的晶格结构。
衍射图案是由晶格中的电子经过散射、干涉和衍射等过程而形成的。
晶体衍射的方法包括X射线衍射、中子衍射、电子衍射等。
2、能带结构计算能带结构是研究电子在固体中的能量分布，能够描述电子在给定晶体结构下的运动状态。
计算能带结构是研究电子结构的重要方法之一。
目前常用的能带结构计算方法有密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型（TBM）、扰动理论等。
其中，DFT由于其准确性和普适性，被广泛应用于计算电子结构。
3、谱学方法谱学方法是直接针对电子结构，通过光学谱学或者物理学的某些特性来研究固体电子结构的一种方法。
谱学方法包括紫外可见吸收光谱、拉曼光谱、X射线光电子能谱（XPS）等。
三、实验研究电子结构的实验研究是通过实验手段对固体电子结构的分布和运动状态进行研究。
固体材料的电子结构与物理性质
固体材料的电子结构与物理性质在我们日常生活中，与固体材料相互作用的机会非常多。
从我们所用的电子设备，到我们穿戴的衣物和建筑物，固体材料无处不在。
固体材料的电子结构是决定其物理性质的基础，深入了解它们之间的关系对于材料科学的发展至关重要。
一、电子结构与导电性固体材料的导电性直接与其电子结构有关。
导电性可以分为金属导电和非金属导电。
金属导电的现象可以通过自由电子理论解释。
金属中的原子形成了一个巨大的晶体结构，而金属的导电性是由于晶体中存在大量自由电子。
这些自由电子来自于金属原子中的价电子，它们能够自由地在晶体中穿行，从而形成电流。
而非金属导电则与材料中能带结构有关。
材料的能带结构决定着原子之间的电子能量分布方式。
能带可以分为价带和导带。
当材料的价带与导带重叠时，电子能够在能带之间跳跃，产生导电行为。
半导体便是一个典型的非金属导电材料，当在半导体上施加适当的能量时，其价带与导带之间的能隙可以被光子或热能克服，电子得以跃迁，从而导电。
二、电子结构与光学性质固体材料的光学性质与其电子结构息息相关。
固体材料的透明性是由材料的电子结构中的能带间隙决定的。
如果材料的能带间隙大于光的能量，光就无法通过材料，并被吸收。
这种材料常被用于制作太阳能电池板、电视屏幕等。
相反，如果材料的能带间隙小于光的能量，光就可以穿透材料，从而使材料呈现出透明的性质，如玻璃。
光电效应也是光学性质的一个重要方面。
通过外界光的照射，材料中的电子能够被激发并跃迁到导带中。
这种现象常常被应用于光电器件的制造，例如太阳能电池、光敏电阻等。
三、电子结构与热学性质固体材料的热学性质也与其电子结构密切相关。
热传导性是固体材料的一个重要物理性质，它决定了材料在温度梯度下的热量传输能力。
热能的传导主要发生在固体材料中的晶格中。
材料中的原子通过晶格振动将热量传递给周围的原子。
电子结构中的能带与带隙对热导率有重要影响。
在导电材料中，自由电子能够带走大量热能，从而导致较高的热导率。
固体结构和电子能带
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
不同能级上的电子形成不同的能带
能带结构决定了物质的物理和化学 性质
能带的分类
金属能带：导电性能好，存在大量自由电子 半导体能带：导电性能较弱，存在一定数量的自由电子 绝缘体能带：导电性能差，自由电子极少 半金属能带：介于金属和半导体之间，具有特殊的电子结构
电子在能带中的行为
电子在能带中的运动：电子在能带中以波动的形式运动，具有特定的能量和动量。 电子间的相互作用：电子之间存在相互作用，这种相互作用会影响电子的运动状态和能量。 电子填充能带：固体中的电子按照能量从低到高的顺序填充能带，形成特定的电子结构。 电子跃迁：在外界激发下，电子可以从低能带跃迁到高能带，或从高能带跃迁到低能带。
特点：物理性质和化学性质各 向同性
形成原因：物质在熔融状态后 急速冷却，来不及形成晶体结 构
应用：玻璃、塑料等非金属材 料
晶体缺陷
定义：晶体中原 子或分子的非理 想排列
类型：点缺陷、 线缺陷、面缺陷 和体缺陷
形成原因：温度、 压力、掺杂等因 素导致晶体结构 发生变化
对材料性能的影 响：影响材料的 电学、光学、热 学等性质
固体结构对性质的影响
固体结构影响物质的化学性 质，如稳定性、反应活性等。
固体结构决定物质的物理性 质，如硬度、导电性等。
固体结构对物质的热学性质 也有影响，如热容、热导率
等。
固体结构对物质的磁学性质 也有影响，如磁性、铁电性
等。
电子能带
能带的形成
原子Байду номын сангаас的电子在特定能级上运动
能带之间存在能量差异
能带理论的应用
金属导电性：解释金属为何能导电 半导体特性：解释半导体的光电效应和热电效应 绝缘体性质：解释绝缘体为何不导电 合金相变：预测合金的物理和化学性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维情况
Z(E) E
1 2
自由电子体系只是一个简单模型，实际情况更为复杂
1.2.3 自由电子按能级分布
自由电子分布服从费密－狄拉克分布 具有能量为E的状态被电子占有的几率为
1 f (E) E EF e xp[ ] 1 KT
能量在E和E＋dE之间的电子数
dN Z ( E ) f ( E )dE
电子云示例 “电子云” 代表微观粒子在空间出现的几率密度，若用点子 疏密
2
含Z 轴的剖面上的电子云示意图 n = , l = 0
ml = 0
n = 2, l = 1
ml = 0 ml =±1
n = 3, l = 2
ml = 0
ml =± 1 ml =±2
1.1.4 薛定谔（Schodinger）方程
材料中的电子能量结构：依赖于原子种类、结合类型、堆积方式
材料的各种物理性能，例如硬度、导电、透明度、磁 性、弹性等等，本质上都是由于材料原子的核外电子的相 互作用所决定的。
金刚石和石墨
金刚石的原子结构
碳原子示意图
石墨和晶体结构
如此差异，原子核的状态没有区别，只是因 为核外的电子能态不同而造成的
区分电子，以量子数为量度。若几个状态对应同一能级， 则称之为简并。考虑到自旋（两个电子能量相同，自旋角动 量大小相同，但方向可以相反，），金属中的自由电子至少 是二重简并。
1.2.2自由电子能级密度
为了计算金属中自由电子的能量分布，需要了解电 dN Z ( E ) 子的能级密度,定义 ，其中Z（E）为E到E＋dE dE 范围内的总状态数，其意义是单位能量范围内所能容纳 的电子数。 考虑波恩－卡曼周期性边界条件
波函数由薛定谔方程确定，应该体现粒 子的波粒二象性:波指得是波动性，指粒子能 发生衍射、干涉等现象；粒子性主要指粒子 的能量是不连续的、是量子化的。
h2 2 2 En K n 2m2 2m
在自由状态下，E、K都是连续的，但一般说来电子不 可能处于完全自由态，电子的运动总是受到各种限制，称为 束缚态，束缚态下的电子的能量E和波矢K都是连续的都是 量子化的
p型—空穴导电 半导体有两种载流子： n型—电子导电
对Hall效应来说，正电荷的运动与等量 负电荷的反向运动并不等效！
p型半导体
n型半导体
1.1 .2电子的波动性 第一节 微观粒子的波粒二象性 1、光量子的波粒二象性
1905年，爱因斯坦（26岁）为解释光电效应，提 出光是由一种微粒－光子组成，频率为 v 的光子能 －34 普朗克常量 h＝6.63 10 J s 量 E hv
3、能带理论，电子不是完全自由引入了周期势场
这三个阶段体现了人们对电子运动认识的逐渐深 入，对电子运动的数学描述也更加符合实际情况。
1.2.1 金属中自由电子的能级
一维情况，建立一维势阱模型
边界条件 电子能量
h2 2 2 E K 2m 2 2m
U (0) U ( L)
U ( x ) 0, U (0) U ( L)
i 2π (px Et) h i (px Et)
Ψ Ae
Ae
定态波函数
电子运动所在的势场其势能只是坐标的函数，则 电子在其中运动状态总会达到一个稳定态，可表示为
( x ) Ae
i px
电子在空间出现的几率密度和时间无关
薛定谔方程的建立的主要思路
d 2 ( x ) 4 2 2 2 p ( x) 2 dx h
因 P 2 2mE （非相对论形式，E为经典粒子动能）
d 2 ( x ) 2mE 2 ( x) 0 2 dx
此为一维条件下自由电子的薛定谔方程
如电子是不自由的，其总能量是势能和动能之合 P 2 2m( E U )
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
1.2 金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel） 电子理论
对固体电子能量结构和状态的认识，大致分为三个阶段 晶体中的电子与单原子周围的电子不同，描述电子 的主要物理量是能量E 1、经典自由电子学说，电子能量服从经典麦克斯韦－波 尔兹曼分布 2、量子自由电子学说，电子能量服从费密－狄拉克分布
0
U ( x) 0
L
d 2 ( x ) 2mE 代入一维薛定谔方程 2 ( x) 0 2 dx d 2 ( x ) 2 2 ( ) ( x) 0 2 dx 2 2 A cos x B sin x 解得
由边界条件
x 0, (0) 0 则
V
▲ 归一性： 在空间各点的概率总和必须为1。 ▲ 单值性： 波函数应单值， 从而保证概率密 度在任意时刻、任意位置都是确定的。 势场性质和边界条件要求波函数 ▲ 连续性： 及其一阶导数是连续的。
玻恩（M.Born，英籍德国人，1882—1970）
由于进行了量子力学的基本研究，特别是对波函 数作出的统计解释，获得1954年诺贝尔物理学奖。
金属的费密（Fermi）-索末菲（Sommerfel） 电子理论 晶体能带理论
内容先后基本按照人类对电子行为认识的逐渐深入
霍尔效应(Hall effect) B E
H
1.1 .1电子的粒子性
以金属导体为例： 金属中的电流就是自由 电子的定向移动（与电 流反向）。 -e B v
- - - - b-
电子在不同的条件下运动，其薛定谔方程的具体 形式不同，由此得到的波函数不同 一维传播的平面波可以表示为
x Y x , t A cos 2 ( t ) （只体现波动性）
电子能量
2 h2 2 2 K E K 引入波数 2 2m 2m
考虑方向时，K为矢量，称波矢量，以K为自变量的 三维坐标轴成为K空间，描述电子的行为就在K空间中 考虑德布罗意假设以及归一化条件，波函数表示为
x p x h
( x, y, z ) ( x L, y, z ) ( x, y L, z ) ( x, y, z L)
由测不准关系
K x
2 3 ) 每个点所占据K空间体积为 ( L 2 3 V ( ) 单位体积所含电子数 L 8 3
物质波的描述方法思想与经典粒子不同，物质波是 一种具有统计规律的几率波，设为
( x , y, z , t )
粒子在有限空间出现的几率 令 则
dw c d
成为归一化波函数
2
有限性
c
2
d 1
归一性
密程度表示粒子在空间出现的几率密度，这种图形称为电子云（描电子 波动的一个工具，定性分析，较为形象，但不是真实的图像）
材料的物理性能强烈依赖于材料原子间的键合、晶体结构、 电子能量结构与状态，这三者之中尤其以电子的能量与状态最 为重要。 因果关系体现在什么地方？
第一章为描述、分析材料的物理性能提供理论 本章内容 工具，后六章相对独立，分别介绍了各种不同的物 理性能。 材料物理性能主要依赖于材料中的电子结构， 因此第一章的理论主要针对电子在不同情况下的 能量结构和状态，因此第一章的关键词：电子行 为描述。主要内容有： 电子的波动性
A0
B sin
得
2
由归一化条件 由边界条件
L
0
( x ) dx 1
2
B 2/ L
x
x L, ( L) 0
2L , n 1,2,3...... n
x 2 / L sin n x L
得
( x ) 2 / L sin
2
自由电子能量
h 2 2 E n n , n 1,2,3,...... 2 2 8mL 2mL
Px 2 L
考虑电子自旋，能量为E其以下低能级的状态总数为
对E微分
V 4 3 V 2mE 3 / 2 N (E) 2 3 K 2( ) 8 3 3
dN V 2m 3 / 2 1 / 2 Z(E) 2( ) E C E dE 2
三维情况
二维情况
Z ( E ) 常数
Fm ev B
_ _ _ _ EH + _ + _ + _ + _ + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
I
h
- - - - -
UH
1 IB Hall效应的应用： ne b
（1）测量载流子浓度(n) （2）测量磁感应强度 （3）判断半导体载流子的种类
第一章 固体中电子能量结构和状态 原子结构的量子理论
材料是由原子堆积而成，可分为晶体和非晶体两大类
原子由原子核和核外电子组成。一般的，在堆积成各种 材料前后，各种元素的原子其原子核的状态没有变化，而只有 部分核外电子的状态发生变化。 原子间的结合类型：金属键、离子键、共价键、分子键、氢键 晶体中原子堆积方式为晶体结构：共有14种空间点阵
nx nz 1, ny 2
ny nz 1, nx 2
1x 1y 2z 112 ( x , y, z ) A sin sin sin L L L 1x 2y 1z 121 ( x , y, z ) A sin sin sin L L L 2x 1y 1z 211 ( x , y, z ) A sin sin sin L L L
1927年被美国贝尔实验室德戴维森和革末的 电子衍射实验所验证，两人因此获1937年的诺贝 尔物理学奖。
3、波粒二象性是一切物质具有的普遍属性