《概率论与数理统计》样卷分析
概率论和数理统计考试试题和答案解析
一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ，2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
8、设2),(125===Y X Cov Y D X D，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
《概率论与数理统计》考试试题B(答案)
广东白云学院2007—2008学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》B卷参考答案及评分标准适用专业及方向: 经济管理类各专业、土木工程层次: 本科年级: 07级限时: 120分钟考试形式: 闭卷考场要求: 笔试考试形式：闭卷考场要求：笔试.（×）2. 设、为两事件, 则.（×）3. 设, 则其一定是某连续型随机变量的密度函数.（√）4. 设随机变量～N（1, 9）, 则.（√）5．设, , 与相互独立, 则.二、填空题（请将正确答案填写在括号内。
每空3分,共30分）, 则（ 0.6 ）.7．设随机变量和都服从[0,2]上的均匀分布, 则( 2 ).8. 设为两个随机事件,且已知, , ,则条件概率（0.6）.则常数c=（0.1）,}5.15.0{<<-XP=（0.5）.10. 已知～,函数值,则=（0.9772）.11. 服从参数的泊松分布, 令, 则(13), (75).12. 设三次独立试验中, 事件出现的概率相等, 若已知至少出现一次的概率等1/3 ）.,则下列关系成立的是（ C ）A. B.C. D.15．同时抛掷3枚均匀的硬币, 则恰好有两枚正面朝上的概率为（ D ）A. 0.5B. 0.125C. 0.25D. 0.37516. 10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买一张,则第3个购买者中奖的概率为（ B ）A. B. 0.3 C. D.17. 设连续型随机变量服从参数为的指数分布,若方差,则数学期望（ B ）A. B. C. D.18. 如果离散型随机变量相互独立,且服从参数为的泊松分布,则当充分大时,离散型随机变量（ D ）近似服从标准正态分布.A. B. C. D.19. 设连续型随机变量的概率密度为,则（ A ）A. B. C.D.四、计算题（每小题8分,共32分）(1)若事件BA,互不相容,求α; (2)若事件BA,相互独立,求α.解 (1)因为BA,互不相容,所以φ=AB, (1分)所以)()()()(BPABPBPBAP=-= (2分)而)(1)()()()(APBAPBPAPBAP-=-+=(3分)所以α=0.3 (4分)(2)因为BA,相互独立,则A与B也相互独立, (5分))())(1)(()()()()()(BPBPAPBPAPBPAPBAP+-=-+=（7分）所以α=73（8分）21. 某产品主要由三个厂家供货.甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%,80%,5%,其次品率分别为0.02,0.01,0.03,试计算(1)从这批产品中任取一件是不合格品的概率;(2)已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品,问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大?解记=A{所取一件产品是不合格品},321,,BBB分别表示”产品来自甲、乙、丙厂” (1分) 依题意有:15.0)(1=BP, 80.0)(2=BP,05.0)(3=BP02.0)(1=BAP,01.0)(2=BAP,03.0)(3=BAP (2分) (1)由全概率公式0125.0)()()(31==∑=iiiBPBAPAP (5分) (2)由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()()()(111=⨯==APBAPBPABP, (6分)64.00125.001.080.0)()()()(222=⨯==APBAPBPABP, (7分)12.00125.003.005.0)()()()(333=⨯==A PB A P B P A B P (8分) 22.设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他020)(2x Ax x ϕ,求(1)常数A ;(2))(),(X D X E .解 因为138)(202===⎰⎰∞+∞-A dx Ax dx x ϕ (2分) 所以 83=A (3分)所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他2083)(2x xx ϕ2383)()(203===⎰⎰∞+∞-dx x dx x x X E ϕ (5分) 51283)()(20422===⎰⎰∞+∞-dx x dx x x X E ϕ (7分) 20323512)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D (8分) 23. 已知电站供电网有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开、关时间彼此独立, 试用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。
2022年自考概率论与数理统计10月真题及详解答案
C． D．
2．某人每次射击命中目旳旳概率为p(0<p<1)，她向目旳持续射击，则第一次未中第二次命中旳概率为（D）
A．p2B．(1-p)2
C．1-2pD．p(1-p)
3．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A B，则P(A|B)=（C）
A．0B．0.4
C．0.8D．1
解：（P14）∵A B，∴ ， 。
26．设二维随机变量(X，Y)只能取下列数组中旳值：
(0，0)，（-1，1），（-1， ），（2，0），
且取这些值旳概率依次为 ， ， ， .
（1）写出(X，Y)旳分布律；
（2）分别求(X，Y)有关X，Y旳边沿分布律.
解：(P？)由已知条件可得： ， ，
， ，即X取-1，0，2；Y取0， ，1；
∴（1）(X，Y)旳分布律如下表：
且E(X)= .求：(1)常数a,b；(2)D(X).
解：(P39)（1）由概率密度旳性质 ，得
，简化为 ……………①
又 ，
简化得 ……………………………………………………………………………②
联立①、②解之得， ， ；代入得
（2）另 ，
∴ ，
答：略。
29．设测量距离时产生旳随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值不小于19.6旳次数，已知Φ(1.96)=0.975.
(1)求每次测量中误差绝对值不小于19.6旳概率p;
(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；
(3)求E(Y).
解：(P？)(1)∵随机误差X～N(0,102)∴ ,
p= ；
(2)(P32)∵三次测量均独立∴Y服从参数为3，0.025旳二项式分布，即 ,
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。
试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。
则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。
15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。
23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
《概率论与数理统计》样卷分析共20页文档
(A) E(XC)2= EX2C2 (B) E(XC)2= E(X )2
(C) E(XC)2 E(X )2 (D) E(XC)2 E(X )2
[]
10. 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布, 则r.v.=X+Y与 =XY不相关的充分必要条件为
0 , 若 X 2 Y ,
U 1 , 若 X Y ; V 1 , 若 X 2 Y ;
试求(1)U和V的联合概率分布; (2) U和V的相关系数.
8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点 的第5分钟,第25分钟, 第55分钟从底层起行, 假设某游客在早 八点第X分钟到达底层侯梯处, 且X在[0, 60]上均匀分布, 求该 游客等候时间的数学期望.
1．设r. v. X、Y相互独立, D(X)＝2, D(Y)＝4, 则D(2X－Y)
＝
.
2. 设随机变量X与Y独立同分布, 且U＝X－Y, V＝X＋Y, 则
协方差cov (U, V) =
.
3. 已知随机变量X ~ N(0，1), , > 0，为常数，试证明: X + ~ N(, 2).
4. 设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为
0, 其它
若k 使得P{X k}=2/3, 则k的取值范围是
.
6. 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的分布函数, 为使 F(x)=a F1(x)b F2(x)是某一r.v.的分布函数, 在下列给定的各组 数值中应取
(A) a=3/5, b= 2/5
(B) a=2/3, b= 2/3
2. 袋中有20只黄球30只白球, 二人依次从中任取一球, 则第
概率论与数理统计__典型例题及其分析
概率论与数理统计 典型例题及其分析第三章 多维随机变量及其分布Y ⑴ 求,a b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质1ijijp=∑∑确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a 与b. 【解】⑴ 因为1ij ijp =∑∑，所以11111,84248b a +++++= 因此 11.24a b += ⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有,i j x y 有 ()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 于是 ()()()112,121,46a P X Y P X Y a a ⎛⎫⎛⎫=======++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 112a =或1.2a =同理 ()()()131,212,88b P X Y P X Y B b ⎛⎫⎛⎫=======++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 18b =或3.8b = 再由11.24a b +=知 13,128a b == 【解毕】 【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的,i j x y 应有()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如()13,1,24P X Y ===而()()1131,66P X Y a ⎛⎫===∙+ ⎪⎝⎭可求得1;12a =又()13,2,8P X Y ===而18求得3.8b =这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 例3.2.2 （1999年考研题）设随机变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(),X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：- 62 -j【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从11,86p +=求得11,24p =再利用独立性知1111.6p p =⨯从而知11,4p =等等. 【解】 利用;i ij jij jip p pp ==∑∑以及 1i jijp p==∑∑ 与独立性 ij i j p p p =. 求解空格内的数值，故11111111111,,68246p p p p p =-===⨯即11,4p =又由121,p p +=可得2131.44p =-= 反复运用上列公式，可求得 1322232313111,,,,.128423p p p p p ===== j例3.2.3 （1999年考研题）已知随机变量1X 和2X 的概率分布分别为 1x -1 0 1 2x 0 1 与 P111 424 P 1122， 而且()120 1.P X X ==求1X 和2X 的联合分布；问： ⑴ 1X 和2X 是否独立？ ⑵ 为什么？ 【思路】 已知1X 和2X 的边缘分布，一般是不能确定1X 和2X 的联合分布的，但题中给了一附加条件()120 1.P X X ==因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】⑴ 由()120 1.P X X ==知()1200,P X X ≠=即()()12121,11,10.P X X P X X =-===== 于是1X 和2X 的联合分布有如下结构：1j p 从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知()()()1121211,01,1,P X P X X P X X =-==-=+==即 1110,4p +=从而得111.4p = 同理可知31222111,,0.p p p ===故1X 和2X 的联合分布律为1j p ⑵ 由以上结果知 ()120,00,P X X === 而 ()()12111000.224P X P X ===⨯=≠ 可见，1X 与2X 不独立. 【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件()1201P X X ==中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余ij p 的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验1X 与2X 是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对(),i j x y ，使ij i j p p p ≠即可.例3.2.4 将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用,X Y 分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求(),X Y 的边缘分布律，并判断X 与Y 是否独立.【思路】 首先确定(),X Y 的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到(),X Y 的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】 将2封信投到3个信箱的总投法239,n ==而X 和Y 的可能取值均为0，1，2，于是- 64 -()0,0P X Y P ===（两封信都投入第3号信箱）=1;9()1,0P X Y P ===（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）11212.99C C == 同理可得：()()220,1;1,1;99P X Y P X Y ====== ()()()1,22,12,20.P X Y P X Y P X Y ========= 这样，可得(),X Y 的联合分布律，又由于()()()()22,,0,1,2,,,0,1,2.i i P X k P X k Y i k P X k P X i Y k k ============∑∑故所求的分布律为X 的边缘分布律在表中的最后一列，Y 的边缘分布律在表中的最后一行. 由于()10,09P X Y ===，而()()44100,999P X P Y ===⨯≠故X 与Y 不独立. 【解毕】 【技巧】 二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧. 例3.2.5 设(),X Y 服从区域(){}2,:01D x y y x =≤≤-上的均匀分布，⑴ 写出(),X Y 的联合密度函数；⑵ 求X 和Y 的边缘密度函数； ⑶ 求概率()2P Y X ≥.【思路】 先画出区域D 的图形，再按上面的解法来求解. 【解】 （1）由于区域D 是由曲线21y x =-和0y =所围成的（如图3.2.1所示），其面积为()12141.3D x dx -=-=⎰ 所以(),X Y 的联合密度为()23,01,40, y xf x y ⎧≤≤-⎪=⎨⎪⎩其他图3.2.1⑵ X 的边缘密度函数为()()()()2120331,11,11,440, 0, x X x x dy x f x f x y dy -+∞-∞⎧⎧⎪--<<⎪-<<===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 而Y 的边缘密度函数为()()3,011,40, 0, Y dx y y f y f x y dy +∞-∞⎧<<⎪<<===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他其他 ⑶ 记(){}2,:G x y y x =≥，则G D ⋂为图3.2.2阴影部分，从而()()()()2221,,33 .442Gx G Dx P Y X P X Y G f x y dxdydxdy dxdy -⋂≥=∈====⎰⎰⎰⎰⎰【寓意】 本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定. 图 3.2.2例3.2.6 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为 (), 0,,0, Ay Ae x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他⑴ 确定常数A ；⑵ 求随机变量X 的密度()X f x ；⑶ 求概率()1P X Y +≤. (后二问为1992年考研题) 【解】⑴ 记D 为(),f x y 的零区域，即 (){},:0D x y x y =<< 其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，从而有()01, .AyAyDxI f x y dxdy Aedxdy dx Ae dy A+∞+∞+∞+∞---∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因此，A=1. ⑵ X 的边缘密度为 ()(), 0, 0,0, 00, 0yx X x e d yx e x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰⑶ 设(){},:1G x y x y =+≤，则D G ⋂如图3.2.4所示.故()()1112121, 12.xyyGD GxP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy e e -----⋂+≤====+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰- 66 -图 3.2.3 图3.2.4【技巧】 在利用(),1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰确定(),f x y 中的常数时，若(),0f x y ≠的区域为D ，则只需用(),1Df x y dxdy =⎰⎰就可以了.例3.3.1 设(),X Y 的联合分布律为求：⑴ 常数a; ⑵ 联合分布函数在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值31,;22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⑶ ()1|0.P X y ==【解】⑴ 由联合分布律的性质1ij ijp =∑∑知 1111,446ij ijp a ==+++∑∑ 求得1.3a =⑵(),X Y 的联合分布函数(),F x y 在点31,22⎛⎫⎪⎝⎭处的值 ()()3131111,,1,11,0.2222442F p X Y P X Y P X Y ⎛⎫⎛⎫=≤≤===-+===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ ()()()11,0341|0.110743P X Y P X Y P X ========+ 【解毕】 【技巧】 求联合分布函数(),F x y 时，只需把取值满足,i j x x y y ≤≤的点(),i j x y 的概率ij p 找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2 已知随机变量X 和Y 联合概率密度为 ()4, 01,01,,0, xy x y f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其他求⑴ 条件密度()||X Y f x y 及()||;Y X f y x ⑵ X 和Y 的联合分布函数(),F x y .(第二问为1995年考研题) 【思路】 根据条件密度的定义，我们首先要求出X 与Y 的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏. 【解】⑴ 由于X 的边缘密度为 ()()104, 012, 01 ,0, 0, X x y d yx x x f x f x y dy +∞-∞⎧≤<≤<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他.其他同理，有 ()()2, 01,,0, Y y y f y f x y dx +∞-∞≤<⎧==⎨⎩⎰其他故当01y <<时，()Y f y >0，且 ()()()|4, 01,,2|0, X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其他从而，在{}Y y =条件下，X 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, X Y x x y f x y ≤<<<⎧=⎨⎩其他同样可得，在{}X x =条件下，Y 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, Y X y y x f y x ≤<<<⎧=⎨⎩其他⑵ 对联合分布函数()(),,F x y P X x Y y =≤≤要分区域讨论.对于0x <或0y <，有 ()(),,0;F x y P X x Y y =≤≤= 对于01,01,x y ≤<≤<有 ()2200,4;yx F x y uvdudv xy ==⎰⎰对于1,1x y ≥≥，有 (),1;F x y = 对于1,01,x y ≥≤<有 ()()2,1,;F x y P XY y y =≤≤= 对于1,01,y x ≥≤<有 ()()2,,1;F x y P X x Y x =≤≤= 从而，X 和Y 的联合分布函数为 ()22220, 00,01,01,,, 01,1,, 1,01,1, 1,1x y x y x y F x y x x y y x y x y<<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≤⎨⎪≤≤<⎪≤≤⎪⎩或【技巧】 由于本题中，X 与Y 的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对- 68 -称性即可得到，此对称性在(),F x y 中也有很好的体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求(),X Y 的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：()(),,.F x y P X x Y y =≤≤对一切,x y 都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明. 例3.4.1 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()()2,01,0,,0, ky x x y x f x y ⎧-≤≤≤≤=⎨⎩其他试求常数k ,并问X 与Y 是否相互独立？【思路】 常数k 的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立()()(),,X Y f x y f x f y =为此，首先要求出X 与Y 的边缘密度()X f x 与()Y f y .【解】 由联合密度的性质知()()()1010151,22,24xx y f x y dxdy ky x dxdy k dx x ydy k +∞+∞-∞-∞≤≤≤≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以，24.5k =(),X Y 关于X 的边缘密度为()()()()2024122, 012, 0 1,550, 0, x X x ydy x x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他.其他而(),X Y 关于Y 的边缘密度为()()()()122412, 01,34,01,52,50, 0, Y y ydx y y y y y x f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤<-+≤≤⎪⎪-===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其他其他 很明显，当01,0,x y x <<<<时，有 ()()(),,X Y f x y f x f y ≠ 所以X 与Y 不互相独立. 【注】本例中，(),X Y 的联合密度(),0f x y ≠的区域是三角形区域(){},:01,0D x y x y x =≤≤≤≤.虽然(),f x y 在D 上可表达成分离变量形状 ()()()12,f x y kg x g y =，这里，()12,g x x =-()2.g y y =但需要注意的是，只有当D 为矩形区域(){},:,D x y a x b c y d =≤≤≤≤（包括全平面、半平面等）时，()()()12,f x y kg x g y =才是使X 与Y 相互独立的充要条件.从而本题中X 与Y 不是相互独立的.如果(),X Y 的联合密度改为()()~~2,01,01,,0, k y x x y f x y ⎧⎪-≤≤≤≤=⎨⎪⎩其他则此时，X 与Y 必相互独立.例3.4.2 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从区间()0,1上的均匀分布，Y 服从参数12λ=的指数分布，求a 的二次方程220a Xa Y ++=有实根的概率.【思路】 方程220a Xa Y ++=有实根当且仅当2440,X Y ∆=-≥故本题是求概率()2P X Y ≥,而要计算此概率必须知道X 与Y 的联合密度，因此 首先必须根据题中独立性的假定求出(),.f x y【解】 有题设知，X 与Y 的概率密度分别为 ()1 010, X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 和 () 00, y 0Y x f y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩y-21e 2.由于,X Y 相互独立，故X 与Y 的联合密度为 ()()(), 01,0,0, X Y x y f x y f x f y ⎧<<>⎪==⎨⎪⎩y-21e 2其他又因为方程220a Xa Y ++=有实数当且仅当2440,X Y ∆=-≥故所求概率为()()()()2221120000101, 1 1110.x x yx y x y P X Y f x y dxdy dxdy dx dy dx dx ≥≥<<>⎛⎫≥====- ⎪ ⎪⎝⎭=-=Φ-Φ⎤⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22y y x ---222x -211e e e 22e而()()10,10.8432Φ=Φ=（查正态分布表），故方程220a Xa Y ++=有实根的概率为0.1448. 【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，要求读者熟悉均匀分布，指数分布的定义，掌握独立性和概率计算的基本方法，知道怎么利用独立性构造联合分布.同时，要求大家在计算形如2-Ax e的积分时，如何应用正态分布的性质和特征，这种计算技巧，在概率论、微积分中是常用的.例3.4.3 一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为 ()()0.50.50.51,0,0,,0, x y x y e e e x y F x y -+--⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他⑴ 问X 和Y 是否独立； ⑵ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.α【解】 （方法1）直接利用分布函数计算. ⑴ X 与Y 的边缘分布函数分别为()()0.51, 0,,0, 0.x X e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 与 ()()0.51, y 0,,0,y 0.y Y e F y F y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩ 故有 ()()(),, ,,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞ 从而，X 与Y 相互独立. ⑵ 由于X 与Y 相互独立，故- 70 -()()()()()()()0.050.050.10.1,0.10.10.110.110.1 10.110.1 .x y P X Y P X P Y P X P Y F F eeeα---=>>=>>=-≤-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--==⎡⎤⎣⎦⎣⎦（方法2）利用概率密度进行计算.⑴ 以(),f x y ，()(),X Y f x f y 分别表示(),,,X Y X Y ，的概率密度，则()()()0.5,0.25, 0,0,,0, x y F x y e x y f x y x y -+⎧∂≥≥⎪==⎨∂∂⎪⎩其他. ()()0.50.5,0,,0, x X e x f x f x y dy +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. ()()0.50.5,0,,0, y Y e y f y f x y dx +∞--∞⎧≥==⎨⎩⎰其他. 由()()(),, (,)X Y f x y f x f y x y =-∞<<+∞知X 与Y 独立. ⑵()()0.50.10.10.10.1,0.10.25.x y P X Y dy edx e α+∞+∞-+-=>>==⎰⎰ 【解毕】【技巧】 用分布函数和概率密度均可以判定随机变量的独立性，具体应用哪种方法要依题而定.一般较为常用的是概率密度的方法，但本题中用前一方法反而简单些.在本题的计算时，读者要注意X 与Y 的对称性，不必重复计算，另外，利用分布函数(),F x y 的性质也可以直接计算出α，即()()()()()0.10.1,0.1,0.1,,0.10.1,0.1.P X Y F F F F e α-=>>=+∞+∞-+∞-+∞+=例3.5.1 设二维随机变量的联合分布律为求：（1）1;Z X Y =+（2）2Z X Y =（3）3;Z Y=（4）()4max ,Z X Y =的分布律 【思路 】 思路与一维离散型随机变量的函数的分布律的计算类似，注意上面介绍的技巧.【解】 我们将(),i j x y 的取值与取这些值的概率以及要计算的所有随机变量的函数()1,2,3,4k Z k =的Y X Y从而得到：（1）1Z X Y =+的分布律为（2）2Z X Y =的分布律为 Y（3）3XZ=的分布律为（4）()4,Z max X Y =分布律为【注】（1）二维离散型随机变量的函数的分布律的计算是有一定的方法可循的，读者在利用上述方法计算时要搞清楚它的背景.在求XY的分布律时，注意要求()00.P Y =≠ （2）如果已知X 与Y 独立，且X 与Y 的分布律给定时，求(),Z g X Y =的分布律的方法是：首先利用独立性构造出X 与Y 的联合分布律表，然后再按本题类似的技巧处理. 例3.5.2 (1987年考研题)设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为()1,01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.和 (), 0,0, y 0y Y e y f y -⎧>=⎨≤⎩. 求随机变量2Z X Y =+的概率密度函数. 【思路】 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题，可有两种解法，一是通过2Z X Y =+的分布函数来求解.另一是利用卷积公式来计算. 【解】 （方法1）分布函数法.因为,X Y 相互独立，所以(),X Y 的联合概率密度函数为()()(), 01,0,,0, y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他.故2Z X Y =+的分布函数为 ()()()22,.Z X Y ZF z P X Y Z f x y dxdy +≤=+≤=⎰⎰记(),0f x y ≠的区域为(){},:01,0D x y x y =≤≤>，积分区域为(){},:2,G x y X Y Z =+≤于是().y Z D GF z e dxdy -⋂=⎰⎰为此，考虑区域D G ⋂的情形.① 当0z ≤时，D G ⋂≠∅（见图3.5.1），于是，()0.Z F z = ② 当02z <≤时，D G ⋂为图3.5.2中的阴影部分，于是()()()22220111.2z xyyx z z Z D GF z e dxdy dxe dy e dx z e ππ-----⋂===-=-+⎰⎰⎰⎰⎰图3.5.1 图3.5.2当2z >时，D G ⋂为图3.5.3中的阴影部分，于是()()1220111.2z xyy z Z D GF z e dxdy dxe dy e e ----⋂===--⎰⎰⎰⎰所以，随机变量2Z X Y =+的概率密度为 ()()()()'20, 0,11, 02,211, 2.2z z z zz f z F z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩（方法2）卷积公式法.若记2W X =，为求W 的密度函数，我们先考虑W 的分布函数()()()()2220, 0,, 02,21, 2.W wXw F w P WwP Xw P X w w f x d x w w-∞⎛⎫=≤=≤=≤⎪⎝⎭≤⎧⎪⎪==<≤⎨⎪>⎪⎩⎰故W 的概率密度为()1, 02,20, W w f w ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩其他.图3.5.3因为,X Y 相互独立，所以W 与Y 也相互独立，从而2Z X Y W Y =+=+的概率密度可按卷积公式计算，即 ()()()z W Y f z f wf z wd w+∞-∞=-⎰为使被积函数非零，则必须满足条件 02,0,w z w <≤⎧⎨->⎩ 即 02,.w w z <≤⎧⎨<⎩ 从而，分情况讨论：① 若0,z ≤则{}{}02,w w z <≤⋂<=∅于是 ()0;z f z = ② 若02,z <≤则 {}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()0111;22zz w zz f z e dw e ---==-⎰ ③ 若2z >，则{}{}{}020,w w z w z <≤⋂<=<<故 ()()()220111.22z w z z f z e dw e e ---==-⎰ 综上知 ()()()20, 0,11, 02,211, 2.2z z zz f z e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩【技巧】 这类问题的求解，主要工作量是求分段函数的积分和积分上、下限的确定，希望读者仔细体会此题求解的方法，得到举一反三的效果.第一种分布函数的方法是通常的方法，第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形.其实，对两随机变量和的线性组合，我们也有如下推广的卷积公式：设(),X Y 的联合概率密度为(),f x y ，则()0,0Z aX bY a b =+≠≠的概率密度为()11,,.z z ax z by f z fx dx f y dy b b a a +∞+∞-∞-∞--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰不妨用此公式去验证一下本题的结论. 例3.5.3 设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为 ()(), 0,0,,0, x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他求Z X Y =-的概率密度. 【思路】 用分布函数法.【解】 显然，当0z ≤时，有 ()()()0;z F z P Z z P X Y z =≤=-≤= 当0z >时，有 ()()()()()00,.x y z x y zx y zy F z P Z z P X Y z f x y dxdy e dxdy -+-≤-≤>>=≤=-≤==⎰⎰⎰⎰此积分的积分区域如图3.5.4所示.因此，化此重积分为累次积分，得()()()()03331112221.z x zx zx y x y z zx zz z z z z F z dxedy dxedye e e e e ++∞+-+-+------=+⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰所以有 ()1, 00, 0.z Z e z F z z -⎧->=⎨≤⎩从而Z X Y =-的概率密度为()(), 0,0, 0.z Z Z e z df z F z dz z -⎧>==⎨≤⎩ 图3.5.4 【寓意】 本题考查的是给定(),X Y 联合概率密度的条件下，求X 和Y 的函数的分布函数，关键是对二重积分确定其积分区域.例3.5.4 设二维随机变量(),X Y 服从取区域(){},:0,0D x y x a y a =<<<<上的均匀分布，试求：（1）XZ Y=的概率密度；（2）()max ,M X Y =的概率密度. 【思路】 利用分布函数法来处理，先分别求出Z 和M 的分布函数，然后再求导.【解】 （1）由于(),X Y 的概率密度为 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故当0z <时，()0.Z X F z P Z Y ⎛⎫=≤=⎪⎝⎭而当01z <<时，有()()201,.2zya Z xz yX z F z P z f x y dxdy dy dx Y a ≤⎛⎫=≤=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当1z ≥时，有 ()()2011,1.2a aZ xx z yzX F z P z f x y dxdy dx dy Y a z≤⎛⎫=≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰从而XZ Y =的概率密度为 ()()20, 0,1, 0<z<1,21, 1.2Z Z z d f z F z dz z z<⎧⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎩（2）由于 ()21, 0,0,,0, x a y a f x y a ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他故 ()()1, 0,,0, X x a f x f x y dy a+∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他. ()()1, 0,,0, Y y a f y f x y dx a +∞-∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩⎰其他.从而，X 与Y 相互独立，且均服从()0,a 上的均匀分布，故对()max ,M X Y =的分布函数有()()()()()()()()()22max ,,, 0,0, M X Y F z P M z P X Y z P X z Y z P X z P Y z z z a F z F z a =≤=≤=≤≤=≤≤⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他,.由此得()max ,M X Y =的概率密度为 ()()22, 0<z<a,0, .M M zd f z F z adz ⎧⎪==⎨⎪⎩其他 【注】 此题时考查对随机变量的商及极值函数的分布的计算，其中的关键仍然时积分区域的确定.当然，商运算等也已有现成的公式，我们在此一并介绍给读者.若(),X Y 的联合密度为(),f x y ，则有()()()()()()(),; ,;11,; ,.X Y X YXY X Y f z f x z x dx f z f x x z dx z f z f x dx f z f zy y dy x x y +∞+∞+--∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰综例3.6.1 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数.求：（1）(),X Y 的联合分布律；（2）,X Y 的边缘分布律；（3）X 和Y 是否独立； （4）在 0X =的条件下，Y 的条件分布律.【解】 ⑴ 依题设知X 只能取0，1，2，Y 只能取0，1，2，3.显然，当2i j +<或3i j +>时，有 (),0.P X i Y j ===当23i j ≤+≤时，由古典概率知 ()()3271310,0,1,2,0,1,2,3.i j i j C C C P X i Y j i j C --===== 将这些一一计算并列表后，即得(),X Y 的分布律的具体表示. ⑵ ,X Y 的边缘分布律也列于分布律表中，具体形式如下：⑶ 而()()000,120P X P Y ===≠因此，X 与Y 不相互独立. ⑷ 在0X =的条件下，Y 的条件概率为 ()()()0,|0,0,1,2,3.0P X Y j P Y j X j P X =======因此Y 的条件分布律如下：【寓意】本例时二维离散型随机变量的综合题，首先要求读者了解如何用古典概型来求解相关的概率，进而考查联合分布律与边缘分布律的关系及独立性的判别，条件分布律的计算只需知道条件概率的定义便可给出.综例 3.6.2 设12,34,,ξξξξ独立同分布，且 ()()00.6,10.4,1,2,3,4.i i P P i ξξ=====（第一问为1994年考研题）求：（1）行列式1234ξξξξξ=的概率分布；（2）方程组112231420,0x x x x ξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的概率.【思路】 要求行列式ξ的分布律，先要将ξ的所有可能取值找到，然后利用独立性将取这些值的概率计算出来，而第二问就是求系数行列式0ξ≠的概率. 【解】（1）记114223,,ηξξηξξ==则 142312ξξξξξηη=-=-由于12,34,,ξξξξ相互独立，故12,ηη也相互独立，且12,ηη都只能取0，1两个值,而()()()()()122323111,1110.16,P P P P P ηηξξξξ==========()()120010.160.84.P P ηη====-= 随机变量12ξηη=-有3个可能取值-1，0，1，易见()()()()121210,1010.840.160.1344,P P P P ξηηηη=-=======⨯= ()()()()121211,0100.160.840.1344,P P P P ξηηηη========⨯= ()()()01110.7312.P P P ξξξ==-=--== 于是行列式ξ的概率分布为（2）由于齐次方程 112231420,0.x x x xξξξξ+=⎧⎨+=⎩ 只有零解的充要条件是系数行列式不为0，故此题就简化为求概率 ()()01010.73120.2688.P P ξξ≠=-==-=【技巧】 本题实质上是求多维离散型随机变量的函数分布的问题，通过引入变量12,ηη将其化为二维随机变量函数分布问题，问题的解决最关键的是用到了独立性的性质：若随机变量12,,,n ξξξ相互独立，则()112,,,m g ξξξ与()212,,,m m n g ξξξ++也相互独立.综例3.6.3 设随机变量(),X Y 服从(){}22,:0,1D x y y xy =≥+≤上的均匀分布，定义随机变量,U V如下：0, 0,1, 0,2, .X U X Y X Y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0, 3,1, 3.XV X⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求(),U V 的联合概率分布，并计算()0.P UV ≠【思路】 写出(),U V 的所有可能取值，并利用均匀分布的特征计算其取值的概率.【解】 由题设知，(),X Y 的联合密度函数为 ()()()2, ,,,0, ,.x y D f x y x y D π⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩(),U V 有6个可能取值：()()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,2,0和()2,1.由,U V 的定义知()()()()()()()()000,0,1,0,1,10,021, .4AOC BCE x yx yP U V P P U V P P U V P X Y X P X Y S f x y dxdy dxdy S π≤<≤<===∅===∅===≤<<=≤<====⎰⎰⎰⎰扇其中，AOC S 扇和BCE S 分别表示图3.6.1中扇形AOC 与半圆BCE 的面积.同理有()()()()()()()()()10,10,0 ,212,0, ,612,1,.12BCE BCE AOF BCE S P U V P X X P X S S P U V P Y X X P X S S P U V P Y X X P Y X S ===<<=<=====≤≥=≥=====≤≥=≤<==扇COE 扇BOF 扇所以，(),U V 的联合概率分布为图 3.6.1从而 ()()()01,12,1.4123P UV P U V P U V ≠===+===+= 【技巧】 本题是求连续型随机变量的离散值函数的分布问题，解题过程中巧妙地应用了均匀分布的性质从而简化了计算.综例3.6.4 设随机变量(),X Y 的联合概率密度为 (), 0,,0, .y cxe x y f x y -⎧<<<+∞=⎨⎩其他⑴ 求常数c; ⑵ X 与Y 是否独立？为什么？ ⑶ 求()()|||,|X Y Y X f x y f y x ； ⑷ 求()()1|2,1|2;P X Y P X Y <<<= ⑸ 求(),X Y 的联合分布函数； ⑹ 求Z X Y =+的密度函数； ⑺ 求()1P X Y +<; ⑻ 求()()min ,1P X Y <.【解】 （1）根据(),1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰得 ()20013.22y yy ccdy cxe dy y e dy c +∞+∞--===Γ=⎰⎰⎰这里利用了特殊函数()10x x e dx αα+∞--Γ=⎰的性质：()()1,αααΓ+=Γ故 1.c =（2）先分别计算X 和Y 的边缘密度.()(),0, 0,,0, 0.0,0yxX x xe dy x xe x f x f x y dy x x +∞-+∞--∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰()()21, 0, y 0,,20, y 0.0, 0y y yY xxe dx y y e f y f x y dx y -+∞--∞⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪≤⎩≤⎩⎰⎰由于在0x y <<<+∞上，()()(),X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 不独立. （3）由条件分布密度的定义知()()()2|2,0,,|0, .X Y Y xx y f x y yf x y f y ⎧<<<+∞⎪==⎨⎪⎩其他 ()()()|,,0,|0,.x y Y X X f x y e x y f y x f x -⎧<<<+∞==⎨⎩其他 （4）直接由条件概率定义知()()()()()1212120222201,121,221|2.21512yxy Y dx xe dyf x y dxdy e e P X Y P X Y P Y ef y dyy e dy ----∞-∞---∞--<<<<====<-⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由条件密度的性质知 ()()1|1|2|2X Y P X Y f x dx -∞<==⎰而 ()|,02,|220, .X Y xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ()111|2.24x P X Y dx <===⎰（5）由于()(),,,F x y P X x Y y =≤≤故有： 当0x <或0y <时，(),0.F x y = 当0y x ≤<<+∞时，有()()2200011,,11.22y yv vv y F x y P X x Y y dv ue du v e dv y y e ---⎛⎫=≤≤===-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当0x y ≤<<+∞时，有()()()()2001,,11.2y x xvu y x y u F x y P X x Y y dv ue dv u e e du x e x e -----=≤≤==-=-+-⎰⎰⎰综上知 ()()220, 00,1,11, 0,2111, 02yx y x y F x y y y e y x x e x e x y ---⎧⎪<<⎪⎪⎛⎫=-++≤<<+∞⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≤<<+∞⎪⎩或 （6）根据两个随机变量和的密度公式 ()(),,z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰ 由于要被积函数(),f x z x -非零，只要当0x z x <<-，即02zx <<时，从而有： 当0z <时， ()0;z f z =当0z ≥时， ()()22201;2zz x zxzz z f z xedx e xe dx e e ππ-----⎛⎫===+- ⎪⎝⎭⎰⎰因此， ()21, 0,20, 0.zz z z e e z f z z --⎧⎛⎫+-≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩（7）由于已经求出了Z X Y =+的密度，故()()1111220111.2z z z z P X Y f z dz e e dz e e -----∞⎡⎤⎛⎫+<==+-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰（8）()()()()()2111min ,11min ,111,115 11 1.22v vvP X Y P X Y P X Y dv ue du v e dv e +∞+∞---<=-≥=-≥≥=-=-=-⎰⎰⎰【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，几乎涵盖了其中的主要内容.在常数确定c 时，应用了Γ函数的定义和性质，当然，读者也可以直接用分部积分法计算.概率()1|2P X Y <=的求法，要利用条件密度()||2X Y f x 进行计算，其计算过程同一般的一维密度的计算方法.()1P X Y +<的计算，我们利用了第(6)问的结论，在不需要求X Y +密度的情形下，只要直接计算就可以了，即 ()111212011.xyxP X Y dxxe dy ee ----+<==--⎰⎰综例3.6.5 设[]~0,1,X U 且在{}X x =的条件下，[]~0,,0 1.Y U X x ≤≤求（1）()221|,01;P X Y X x x +≤=≤≤ （2）()221.P X Y +≤【思路】第一问等价于求(),P Y x ≤=故只需利用条件密度()||Y X f y x 来计算，而第二问的计算，首先要知道(),X Y 的联合分布密度(),f x y . 【解】 由题设知，X 的密度函数为 ()1, 01,0, X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.而在{}X x =条件下，Y 的条件密度为()|1, 01,|0, .Y Xy x f y x x⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 从而(),X Y 的联合密度函数为： ()()()|1, 01,,|0, X Y X y x f x y f x f y x x⎧≤≤≤⎪==⎨⎪⎩其他① 对01x ≤≤，有()()()22221|1|P X Y X x P Y x X x P Y X x +≤==≤-==≤=()((|11|min min .Y X y y f y x dy dx x x x===- 82 -②()()(22221422001101111,ln 1.cos x y x y y x P X Y f x y dxdy dxdy dr rd x r πθθ+≤+≤≤≤≤+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰极坐标变换【注】 本题中的()||Y X f y x 和(),f x y 虽然具有相同的表示式，但其含义却截然不同. ()||Y X f y x 是y 的一元函数，而不是二元函数，x 在此视为常量，这相当于微积分中，当二元函数一个自变量固定时，它只是另一个变量的一元函数.当x 变化时，Y 的条件密度函数也变化. 综例3.6.6 设二维随机变量(),X Y 在矩形 (){},:02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度().f s【解】 由题设知，二维随机变量(),X Y 的概率密度为 ()()()1,,,,20,,.x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩若若设()(),S X Y F s P S s ==≤为S 的分布函数，则：当0s <时，()()0,F s P XY s =≤= 当2s ≥时，()()1,F s P XY s =≤= 当02s ≤<时，曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(),1s （见图3.6.1），于是 ()()(),F s P S s P XY s =≤=≤因而，S XY =的概率密度为 ()()1ln 2ln ,02,20, s s f s ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他.【解毕】【寓意】 本题实质上是求两随机变量的乘积的概率密度.第四章 随机变量的数学特征例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望EX 和方差DX . 【思路】 关键是求出X 的分布律，然后用定义计算EX .【解】 引入事件：{}i=1,2,3.i A i =第个部件需要调整 根据题设，三部件需要调整的概率分别为()()()1230.10,0.20,0.30.P A P A P A ===由题设部件的状态相互独立，于是有()()()()()1231230 0.90.80.70.504.P X P A A A P A P A P A ====⨯⨯=()()12312312310.10.80.70.90.20.70.90.80.3 0.398P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()12312312320.10.20.70.10.80.30.90.20.3 0.092;P X P A A A A A A A A A ==⋃⋃=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=X从而00.50410.39820.09230.0060.6,i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑22222200.50410.39820.09230.0060.820.i i iEX x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑故 ()2220.8200.60.46.DX EX EX =-=-=【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件i A ，将X 的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求X 的分布.同时，方差的计算一般均通过公式()22DX EX EX =-来进行.例4.2.2 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p ，求射击次数X 的数学期望和方差.【解】 由题意可求得X 的分布律为()1, 1,2,,1.k P X k pq k q p -====-于是 1111.k k k k EX kpqp kq ∞∞--====∑∑为了求级数11k k kq∞-=∑的和，我们利用如下的技巧：由于11, 0<q<1.1k k q q∞==-∑- 84 -对此级数逐项求导，得1001,kk k k k k d dq q kq dq dq ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑ 因此()12111,11k k d kq dq q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑ 从而 ()22111.1EX ppp pq ===- 为了求DX ,我们先求2EX .由于 ()()212121111.k k K k EX k k pqpq k k q p p ∞∞--===-+=-+∑∑ 为了求()221k k k k q∞-=-∑得值，注意到()()123112.11k k d d kq dq dq q q ∞-=⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 从而()2322121.1q EX p qp p pq =+=+- 因此 ()22221.p qDX EX EX p p-=-== 【寓意】 本题实质上是求几何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求11k k kq∞-=∑和211k k kq ∞-=∑，这种手段在级数求和或数学期望和方差的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于X 的取值都是正数，所以只要正项级数1kk k xp ∞=∑收敛，则一定绝对收敛，即1k k k x p ∞=∑的和就为EX .而实际情况中，可能存在级数1k k k x p ∞=∑是条件收敛的，此时，X 的数学期望就不存在（虽然1kk k xp ∞=∑本身仍是收敛的），因此判断离散型随机变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法.例4.2.3 设X 是一随机变量，其概率密度为()1, 10,1, 01,0, x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.求DX .(1995年考研题) 【解】()()()()()()()011011222221110..11211 6EX xf x dx x x dx x x dx EX x f x dx x x dx x x dx x x dx +∞-∞-+∞-∞-==++-===++-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是 ()221.6DX EX EX =-=【解毕】 【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下()f x 的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶函数的积分公式简化求解，比如本题中，()f x 为偶函数，故()0.EX xf x dx +∞-∞==⎰同样DX 的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量X 的密度函数为 ()221, -<x<+.xx f x -+-=∞∞求EX 与DX .(1987年考研题) 【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知()()()()()()222211111 1.x x x x EX xf x dx xedx edx x e dx e dx +∞+∞+∞+∞-------∞-∞+∞--===+-==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()22222212111 .2x t t DX E X EX x f x dx x dxt e e dt +∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞=-=-=-==⎰⎰⎰⎰（方法2） 利用正态分布定义.由于期望为μ，方差为2σ()()222.x x μσ---∞<<+∞所以把()f x 变形为- 86 -()()221212x f x π--⨯=易知，()f x 为11,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭的概率密度，因此有 11,.2EX DX ==【解毕】 【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分2kx e dx +∞--∞⎰等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求2EX . (1995年考研题) 【解】 由题意知()~10,0.4X B 于是100.44,EX =⨯=()100.410.4 2.4.DX =⨯⨯-=由()22DX EX EX =-可推知()2222.4418.4.EX DX EX =+=+=【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量X 的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 ()1010221000.410.4kk k K EX k C -==-∑的计算是繁琐的.例4.2.6 设X 服从参数1λ=的指数分布，求()2XE X e -+.（1992年考研题）【解】 由题设知，X 的密度函数为(), 0,0, 0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩且1EX =，又因为()22201,3Xxx xEeef x dx e e dx +∞+∞-----∞===⎰⎰ 从而 ()22141.33XX E X eEX Ee --+=+=+= 【解毕】 【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例4.2.7 设二维随机变量(),X Y 在区域(){},:01,G x y x y x =<<<内服从均匀分布，求随机变量21Z X =+的方差.DZ【解】 由方差的性质得知()214DZ D X DX =+=又由于X 的边缘密度为()()1, 01,0, .2, 010, xX xdy x f x f x y dy x x +∞--∞⎧<<⎪==⎨⎪⎩<<⎧=⎨⎩⎰⎰其他其他.于是()112200222212, 2,32121.2318EX x xdx EX x xdx DX EX EX ====⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰因此 ， 1244.189DZ DX ==⨯=【解毕】 【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求X 的期望于方差时，可以从X 的边缘密度函数出发，而不必从X 与Y 的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量X 和Y 独立，且X 服从均值为1Y 服从标准正态分布，试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于X 和Y 相互独立且都服从正态分布，所以Z- 88 -作为,X Y 的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ 和DZ ，则Z 的概率密度函数就唯一确定了. 【解】 由题设知，()()~1,2,~0,1X N Y N .从而由期望和方差的性质得2235,29.EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=又因Z 是,X Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知()~5,9Z N ，于是，Z 的概率密度为 ()()2529, .z Z f z z --⨯=-∞<<+∞ 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量 0, ,1, .k Y k X Y k ≤⎧=⎨>⎩若若 ()1,2k =（1） 求1X 和2X 的联合概率分布； （2） 求()12E X X +. 【解】 显然，Y 的分布函数为()1, 0,0, 0.y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩10, 11 1.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 20, 21 2.Y X Y ≤⎧=⎨>⎩若，，若 （1）()12X X +有四个可能取值：()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,且()()()()()()()()()()()()()()121121212120,01,21 11,0,11,20,1,01,212 21,1,11,22 P X X P Y Y P Y F e P X X P Y Y P X X P Y Y P Y F F e e P X X P Y Y P Y --===≤≤=≤==-===≤>====>≤=<≤=-=-===>>=>()2 12.F e -=-=于是得到1X 和2X 的联合分布律为（3） 显然，12,X X 的分布律分别为1X 0 1 2X 0 1P 11e -- 1e - P 21e -- 2e -因此 1212,.EX e EX e --==故 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+ 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求X 与Y 的联合分布律，也可直接求出()12E X X +，这是因为 ()()()1111011.EX P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=而 222,EX PY e -=>= 因此 ()121212.E X X EX EX e e --+=+=+不仅如此，我们还能求12,X X 其他函数的期望.例如求()12E X X ，此时，由于121, 2,0 .Y X X >⎧=⎨⎩若，其他故 ()()()()21212022.E X X P Y P Y P Y e -=⨯>+⨯≤=>=例4.2.10 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，其密度函数为()()22121,2x y f x y e π-+= 求随机变量Z .【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.。
难做概率论与数理统计去年试卷分析
2010–2011学年 秋冬 学期《 概率论与数理统计》试卷注：~(0,1),(){}:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.98X N x P X x Φ=≤Φ=Φ=Φ=Φ=212(),(),(,)t n n F n n αααχ分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2χ分布和F 分布的上α分位点： 22220.9750.950.050.025(9) 2.70,(9) 3.32,(9)16.92,(9)19.02χχχχ====，==0.050.025(9) 1.83,(9) 2.26t t ，0.050.05(2,9) 4.26,(9,2)19.4F F ==。
一、填空题 (每小格3分，共42分，每个分布均要写出参数)1．设,A B 为两随机事件，已知()0.6,()0.5,()0.3P A P B P AB === ，则()P A B ⋃= ___，()P A A B ⋃=_ _。
2．一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2,800()0,800ax f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则a =_ _，随机取一件产品，其寿命大于1000小时的概率为_ ；若随机独立抽取6件产品，则至少有两件寿命大于1000小时的概率为_ _；若随机独立抽取100件产品，则多于76件产品的寿命大于1000小时的概率近似值为_ _。
3．设随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，已知~(0,1),~(1,4)X N Y N ，0.5ρ=-。
设123,74Z X Y Z X Y =-=+，则1Z 服从_ __分布,12Z Z 与的相关系数12Z Z ρ=__ ___，12Z Z 与独立吗？为什么？答： 。
4．设总体2~(,),,(0)X N μσμσ>是未知参数，110,,X X 为来自X 的简单随机样本，记2X S 与为样本均值和样本方差，则22X μ是的无偏估计吗？答：__ __；若22{}0.95P S b σ≤=，则b =_ _； 22{}P S σ==_ _；μ的置信度为95％的单侧置信下限为_ ；对于假设2201:1,:1H H σσ≥<的显著性水平为5％的拒绝域为_ _。
概率论与数理统计的期末考试试卷答案详解
《概率论与数理统计》试卷A一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B =U ()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+UC 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 CD、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==L ，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14D 、14-13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12 D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。
全国概率论与数理统计答案详解
2022年4月高等教育自学考试（概率论与数理统计）〔经管类〕答案解析一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕1.甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标〞，B表示“乙命中目标〞，C表示“命中目标〞，则C=〔〕A.AB.BC.ABD.A∪B（答案）D（解析）“命中目标〞=“甲命中目标〞或“乙命中目标〞或“甲、乙同时命中目标〞，所以可表示为“A∪B〞，应选择D.（提示）注意事件运算的实际意义及性质：〔1〕事件的和：称事件“A，B至少有一个发生〞为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并A∪B或A+B.性质：①,；②假设，则A∪B=B.〔2〕事件的积：称事件“A，B同时发生〞为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；② 假设，则AB=A.〔3〕事件的差：称事件“A发生而事件B不发生〞为事件A与B的差事件，记做A－B.性质：①；②假设，则；③.〔4〕事件运算的性质〔i〕交换律：A∪B=B∪A, AB=BA；〔ii〕结合律：〔A∪B〕∪C=A∪〔B∪C〕, 〔AB〕C=A〔BC〕；〔iii〕分配律：〔A∪B〕∩C=〔A∩C〕∪〔B∩C〕〔A∩B〕∪C=〔A∪C〕∩〔B∪C〕.〔iv〕摩根律〔对偶律〕,2.设A，B是随机事件，，P〔AB〕=0.2，则P〔A－B〕=〔〕A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4（答案）A（解析），，应选择A.（提示）见1题（提示）〔3〕.3.设随机变量X的分布函数为F〔X〕则〔〕A.F〔b－0〕－F〔a－0〕B.F〔b－0〕－F〔a〕C.F〔b〕－F〔a－0〕D.F〔b〕－F〔a〕（答案）D（解析）依据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见（提示）.（提示）1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：①0≤F〔x〕≤1；②对任意x1，x2〔x1< x2〕，都有；③F〔x〕是单调非减函数；④，；⑤F〔x〕右连续；⑥设x为f〔x〕的连续点，则f′〔x〕存在，且F′〔x〕=f〔x〕.3.已知X的分布函数F〔x〕，可以求出以下三个常用事件的概率：①；②，其中a<b；③.4.设二维随机变量〔X，Y〕的分布律为0 1 20 1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0则〔〕A.0B.0.1C.0.2D.0.3（答案）D（解析）因为事件，所以，= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3应选择D（提示）1.此题考察二维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚此题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率为各事件概率之和.5.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则〔〕A.0.25B.0.5C.0.75D.1（答案）A（解析）积分地域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以应选择A.（提示）1.二维连续型随机变量的概率密度f〔x，y〕性质：①f〔x，y〕≥0；②；③假设f〔x，y〕在〔x，y〕处连续，则有，因而在f〔x，y〕的连续点〔x，y〕处，可由分布函数F〔x，y〕求出概率密度f〔x，y〕；④〔X，Y〕在平面地域D内取值的概率为.2.二重积分的计算：此题的二重积分的被积函数为常数，依据二重积分的几何意义可用简单方法计算：积分值=被积函数0.5×积分地域面积0.5.6.设随机变量X的分布律为X﹣2 0 2P 0.4 0.3 0.3则E〔X〕=〔〕A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4（答案）B（解析）E〔X〕=〔﹣2〕×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2应选择B.（提示）1.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量的分布律为，1，2，….假设级数绝对收敛，则定义的数学期望为.2.数学期望的性质：①E〔c〕=c，c为常数；②E〔aX〕=aE〔x〕，a为常数；③E〔X+b〕=E〔X+b〕=E〔X〕+b，b为常数；④E〔aX+b〕=aE〔X〕+b，a，b为常数.7.设随机变量X的分布函数为，则E〔X〕=〔〕A. B. C. D.（答案）C（解析）依据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得，所以，=，应选择C.（提示）1.连续型一维随机变量概率密度的性质①;②;③;④；⑤设x为的连续点，则存在，且.2.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为.8.设总体X服从区间,]上的均匀分布〔〕，x1，x2，…，x n为来自X的样本，为样本均值，则A. B. C. D.（答案）C（解析），，而均匀分布的期望为，应选择C.（提示）1.常用的六种分布〔1〕常用离散型随机变量的分布〔三种〕：X0 1概率q pA.两点分布①分布列②数学期望：E〔X〕=P③方差：D〔X〕=pq.B.二项分布：X～B〔n，p〕①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望： E〔X〕=nP③方差： D〔X〕=npq.C.泊松分布：X～①分布列：，0，1，2，…②数学期望：③方差：＝〔2〕常用连续型随机变量的分布〔三种〕：A.均匀分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｂ.指数分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｃ.正态分布〔A〕正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：③数学期望：＝,④方差：＝，⑤标准化代换：假设X～，，则～.〔B〕标准正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：，－∞＋∞③数学期望：E〔X〕＝0,④方差：D〔X〕＝1.2.注意：“样本〞指“简单随机样本〞，具有性质：“独立〞、“同分布〞.9.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，且，记，，，，则的无偏估量是〔〕A. B. C. D.（答案）A（解析）易知，，应选择A.（提示）点估量的评价标准：〔1〕相合性〔一致性〕：设为未知参数，是的一个估量量，是样本容量，假设对于任意，有，则称为的相合〔一致性〕估量.〔2〕无偏性：设是的一个估量，假设对任意，有则称为的无偏估量量；否则称为有偏估量.〔3〕有效性设，是未知参数的两个无偏估量量，假设对任意有样本方差，则称为比有效的估量量.假设的一切无偏估量量中，的方差最小，则称为的有效估量量.10.设总体～，参数未知，已知.来自总体的一个样本的容量为，其样本均值为，样本方差为，，则的置信度为的置信区间是〔〕A.，B.，C.，D.（答案）A（解析）查表得答案.（提示）关于“课本p162，表7-1：正态总体参数的区间估量表〞记忆的建议：①表格共5行，前3行是“单正态总体〞，后2行是“双正态总体〞；②对均值的估量，分“方差已知〞和“方差未知〞两种情况，对方差的估量“均值未知〞；③统计量顺序：, t, x2, t, F.二、填空题〔本大题共15小题，每题2分，共30分〕11.设A，B是随机事件，P 〔A〕=0.4，P 〔B〕=0.2，P 〔A∪B〕=0.5，则P 〔AB〕= _____.（答案）0.1（解析）由加法公式P 〔A∪B〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔AB〕，则P 〔AB〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔A∪B〕=0.1故填写0.1.12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.（答案）（解析）设第三次取到0的概率为，则故填写.（提示）古典概型：〔1〕特点：①样本空间是有限的；②根本领件发生是等可能的；〔2〕计算公式.13.设随机事件A与B相互独立，且，则________.（答案）0.8（解析）因为随机事件A与B相互独立，所以P 〔AB〕=P 〔A〕P 〔B〕再由条件概率公式有=所以，故填写0.8.（提示）二随机事件的关系〔1〕包含关系：如果事件A发生必定导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且；〔2〕相等关系：假设且，则事件A与B相等，记做A=B，且P 〔A〕=P 〔B〕；〔3〕互不相容关系：假设事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为＝，且P 〔AB〕=0；〔4〕对立事件：称事件“A不发生〞为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.〔5〕二事件的相互独立性：假设, 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件A与B，与B，A与，与其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：假设A, B相互独立，且P 〔A〕＞0, 则.14.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则________.（答案）（解析）参数为泊松分布的分布律为，0，1，2，3，…因为，所以，0，1，2，3，…，所以=，故填写.15.设随机变量X的概率密度为，用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则________.（答案）（解析）因为，则～，所以，故填写.（提示）注意审题，X判定概率分布的类型.16.设二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D： x2+ y2≤1上的均匀分布，为其概率密度，则=_________.（答案）（解析）因为二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D：上的均匀分布，则，所以故填写.（提示）课本介绍了两种重要的二维连续型随机变量的分布：〔1〕均匀分布：设D为平面上的有界地域，其面积为S且S>0，如果二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则称〔X，Y〕服从地域D上的均匀分布，记为〔X，Y〕～.〔2〕正态分布：假设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔，〕，其中，，，，都是常数，且，，，则称〔X，Y〕服从二维正态分布，记为〔X，Y〕～.17.设C为常数，则C的方差D 〔C〕=_________.（答案）0（解析）依据方差的性质，常数的方差为0.（提示）1.方差的性质①D 〔c〕=0，c为常数；②D 〔aX〕=a2D 〔X〕，a为常数；③D 〔X+b〕=D 〔X〕，b为常数；④D 〔aX+b〕= a2D 〔X〕，a，b为常数.2.方差的计算公式：D 〔X〕=E 〔X2〕－E2〔X〕.18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E 〔e-2x〕= ________.（答案）（解析）因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.（提示）连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.设随机变量X～B 〔100，0.5〕，则由切比雪夫不等式估量概率________.（答案）（解析）由已知得，，所以.（提示）切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.设总体X～N 〔0，4〕，且x1，x2，x3为来自总体X的样本，假设～，则常数C=________.（答案）1（解析）依据x2定义得C=1，故填写1.（提示）1.应用于“小样本〞的三种分布：①x2－分布：设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2－分布，记为x2～x2〔n〕.②F－分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F－分布，记为F～F〔m，n〕，其中称m为分子自由度，n为分母自由度.③t－分布：设X～N 〔0，1〕，Y～x2〔n〕，且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t－分布，记为t～t 〔n〕.2.对于“大样本〞，课本p134,定理6-1：设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，为样本均值，〔1〕假设总体分布为，则的X分布为；〔2〕假设总体X的分布未知或非正态分布，但，，则的渐近分布为.21.设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，且，为样本均值，则________.（答案）（解析）课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.（说明）此题是依据例7-14改编.因为的证明过程比拟复杂，在2022年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本〔也是学员朋友们使用的课本〕中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本（高等数学〔二〕第二分册概率统计）P164,例5.8.22.设总体x服从参数为的泊松分布，为未知参数，为样本均值，则的矩估量________.（答案）（解析）由矩估量方法，依据：在参数为的泊松分布中，，且的无偏估量为样本均值，所以填写.（提示）点估量的两种方法〔1〕矩法〔数字特征法〕估量：A.根本思想：①用样本矩作为总体矩的估量值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估量值.B.估量方法：同A.〔2〕极大似然估量法A.根本思想：把一次试验所出现的结果视为全部可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估量值.B.定义：设总体的概率函数为，，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，…，x n是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；假设某统计量满足，则称为的极大似然估量.C.估量方法①利用偏导数求极大值i〕对似然函数求对数ii〕对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii〕解方程或方程组得即为的极大似然估量.②对于似然方程〔组〕无解时，利用定义：见教材p150例7－10；〔3〕间接估量：①理论依据：假设是的极大似然估量，则即为的极大似然估量；②方法：用矩法或极大似然估量方法得到的估量，从而求出的估量值.23.设总体X服从参数为的指数分布，x1，x2，…，x n为来自该总体的样本.在对进行极大似然估量时，记…，x n〕为似然函数，则当x1，x2，…，x n都大于0时，…，x n=________.（答案）（解析）已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而…，=，故填写.24.设x1，x2，…，x n为来自总体的样本，为样本方差.检验假设：，：，选取检验统计量，则H0成立时，x2～________.（答案）（解析）课本p176，8.3.1.25.在一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，n，且，，…，相互独立.令，则________.（答案）（解析）由一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，，且，，…，相互独立，得一元线性回归方程，所以，，则～由20题（提示）〔3〕得，故填写.（说明）课本p186，关于此题内容的局部讲述的不够清楚，请朋友们注意.三、计算题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求〔1〕甲取到黑球的概率；〔2〕乙取到的都是黑球的概率.（分析）此题考察“古典概型〞的概率.（解析）〔1〕设甲取到黑球的概率为p，则.〔2〕设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.某种零件直径X～〔单位：mm〕，未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值，样本标准差s=0.8，问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？〔〕〔附：〕（分析）此题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验〞类型.（解析）设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，依据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025〔15〕=2.1315，从而得到拒绝域，依据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.（提示）1.假设检验的根本步骤：〔1〕提出统计假设：依据理论或经验对所要检验的量作出原假设〔零假设〕H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为以下三种情况之一：：，其中i〕为双侧检验，ii〕，iii〕为单侧检验.〔2〕选择适当的检验统计量，满足：① 必须与假设检验中待检验的“量〞有关；② 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.〔3〕求拒绝域：按问题的要求，依据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.〔4〕求统计量的样本值观察值并决策：依据样本值计算统计量的值，假设该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估量对比分类记忆.四、综合题〔本大题共2小题，每题12分，共24分〕28.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔1〕求〔X，Y〕关于X，Y的边缘概率密度；〔2〕记Z=2X+1，求Z的概率密度.（分析）此题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.（解析）〔1〕由已知条件及边缘密度的定义得=，〔〕所以；同理可得.〔2〕使用“直接变换法〞求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx〔x〕、Fz〔Z〕，则，由分布函数Fz〔Z〕与概率密度的关系有由〔1〕知，所以=.（提示）求随机变量函数的概率密度的“直接变换法〞根本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g〔X〕的概率密度解题步骤：1.；2..29.设随机变量X与Y相互独立，X～N〔0,3〕，Y～N〔1,4〕.记Z=2X+Y，求〔1〕E〔Z〕，D〔Z〕；〔2〕E〔XZ〕；〔3〕P XZ.（分析）此题考察随机变量的数字特征.（解析）〔1〕因为X～N〔0,3〕，Y～N〔1，4〕，Z=2X+Y，所以E〔Z〕=E〔2X+Y〕=2E〔X〕+E〔Y〕=1D〔Z〕=D〔2X+Y〕=4D〔X〕+D〔Y〕=16〔2〕而随机变量与相互独立，所以 E〔XZ〕=6.〔3〕因为，所以.五、应用题〔10分〕30.某次考试成绩X服从正态分布〔单位：分〕，〔1〕求此次考试的及格率和优秀率；〔2〕考试分数至少高于多少分能排名前50%？〔附：〕（分析）此题考察正态分布的概率问题.（解析）已知X～N〔75，152〕，设Z～N〔0，1〕，为其分布函数，〔1〕==即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.〔2〕设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.。
概率论与数理统计试卷分析
填 1/4 。
12. 设随机变量 X 服从二项分布 B(100, 0.2)，则 EX=
，E(2X+1)=
。
【讲评】考点：二项分布 X~B(n,p)的数学期望 EX=np；
期望算子的性质: E(aX+bY)=aEX+bEY。
本题 X~B(100, 0.2), 则 EX=np=100×0.2=20. E(2X+1)=2EX+1 = 41.
4. 设随机变量 X 满足：E(X2)=8，D(X)=4，EX>0，则 EX=
()
A、1
B、2
C、3
D、4
【讲评】考点：随机变量的数字特征的基本性质：D(X)=E(X2) - (EX)2 .
本题 (EX)2=E(X2)-D(X)=8 – 4 = 4, ⇒ EX = 2
选B 。
5. 总体 X~N(μ,1), μ为未知参数，X1,X2,X3 为 X 的一个样本，下面 4 个关于μ的无偏估计量中最
。
【讲评】考点：泊松分布：X~P(λ)；分布律为
P{X=k}=
λk k!
e-λ
(k=0,1,2,3,…) 。
本题
P{X=1}=P{X=2} ⇒
λ1 1!
e-λ
λ2 =2!
e-λ ⇒ λ=2.
所以
λ3 P{X=3}=3!
e-λ =
43e-2 .
填 43e-2。
9. 设 X~N(μ,σ2)，且概率密度 f(x)= 1 e-(x-62)2 ，则 μ=
DX 16
≈ 1- Φ(2.5) = 1-0.9938 = 0.0062
19.总体 X 服从参数为λ的指数分布：f(x)= ⎩⎨⎧λ0e-λx
概率论与数理统计试卷分析(精品).doc
4.基本理论与基本方法题，考察学生对随机事件运算的掌握情况。
5.基本理论与基本方法题，考察学生对分布函数性质的掌握情况。
二、选择题
6、基本理论与基本方法题，考察学生对两独立事件、两对立事件、两互不相容事件概念的掌握情 况。
7、基本理论与基本方法题，考察学生对分布函数性质的掌握情况。
4基本概念和基本定理学生掌握较好基本概念和基本定理学生掌握较好本次试卷考察基本概念和基本定理题目共80分约百分之七十的学生在该类题目上失分较少达到良好以上这说明学生的对概率论中的基本概念和基本定理学生掌握较好
山东建筑大学理学院试卷分析（试卷类）
20典-20虬学年第 二 学期
课程名称：概率论与数理统计答题时间：120分钟
2、学生的综合计算能力较强
本次试卷的求解题共60分，并且其计算量较大，但约百分之八十的学生在计算题上失分较多，这 说明学生的计算能力总体性不强。
3、逻辑推理能力较强
本次试卷的求解题中逻辑推理题共22分，但约百分之八十的学生在求解题上失分较少，这说明学 生的逻辑推理能力较强。
4、基本概念和基本定理学生掌握较好
3、加强《概率论》中知识产生背景的教学，帮助学生加深理解和掌握《概率论》中的基本概念和 基本科学方法。
任课教师（签字）：
教研室主任（签字）：年—月_日
注：1.表中使用的字符选中的用♦,未选中的用◊-
2.得分率=平均得分/标准题分-
3.题目类型是指：选择、填空、计算、简答、证明等'
65
%
%
基本理论与 方法、综合运 用
成绩分数段
0~59
60-69
70 〜79
概率论与数理统计典型例题与解析(期末考试与考研必备的超强资料)
概率论与数理统计典型例题分析（期末考试与考研必备）1.在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？(3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立．2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？ 解 由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+=== ()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？3.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题 怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示 利用事件的关系与运算导出．4.设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解 由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===5.某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解 设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 6.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解 这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P7.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析 这是一个条件概率问题．解 因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 8.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P9.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P 所以 ⋅=⨯=514154)(2A P10.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．11.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．12.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率． 答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或． 13.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？分析 本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式．解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有,16.04.04.0)()()()(2121=⨯===B P B P B B P A P于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即.026.53979.024.0lg 01.0lg ≈--==n 因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．14.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、⋅12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？ 解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：,103)(1=A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,52)(4=A P,41)|(1=A B P ,31)|(2=A B P ,121)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有⋅=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=203052121101315141103)|()()(41i i i A B P A P B P (2)由逆概率公式 ),4,3,2,1()|()()|()()|(41==∑=i A B P A P A B P A P B A P jj j i i i得到.0)|(,181)|(,94)|(,21)|(4321====B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．15.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P并且.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P同理)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P (B 2)＝0.44；P (B 3)＝0.21．利用全概率公式便得到)|()()(30i i i B C P B P C P ∑==＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的．练习：两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．16.某类电灯泡使用时数在1000 h 以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h 以后最多只坏一个的概率．解 这是一个n ＝3，p ＝0.8二项概型问题P 3(μ≤1)＝P (μ＝0)＋P (μ＝1)．17.袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率．解 方法1 设A ＝{恰有2个白球}，由古典概型，有310=n , 8232⨯⨯=m ，因此 ⋅⨯⨯=3210823)(A P 方法2 由二项概型，有⋅⨯⨯====321223310823)108()102()2()(C P A P μ18.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．分析 设A i ＝{第i 次取到白球}，根据古典概型，我们有⋅==104)(110141C C A P 由于 ,)(212111222A A A A A A A ΩA A +=+==并且,94106)|()()(,93104)|()()(1212112121⨯==⨯==A A P A P A A P A A P A P A A P 因此 ⋅=⨯⨯+⨯=1049104634)(2A P 同理 ⋅=104)(5A P 19.有一批产品，其中正品有n 个，次品有m 个，先从这批产品中任意取出l 个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )．方法1 设A k ＝{前l 次中恰有k 个正品}，k ＝q ，q ＋1，…，p ；其中q ＝max(l －m ，0)，p ＝min(n ，l )．又设B ＝{第l ＋1个恰为正品}，有,)(,1nm k l m k n k p q q C C C A P ΩA A A +-+==+++ 而 ,)|(11ln m k n C C A B P l n m k n k -+-==-+- 由全概率公式有⋅+==∑=nm n A B P A P B P k k p q k )|()()( 举例说明：(1)n ＝3，m ＝5，l ＝4，这时k ＝0，1，2，3．⋅=+++=8)4/()0306015()(48C B P⋅=+++=8)4/()5609020()(48C B P 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到⋅+n m n 方法3 前l ＋1次取到正品的概率减去前l 次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一定方便)方法4 (全排列方法)令第l ＋1个位置上为正品，由于有n 个正品，故有n 种方法，于是⋅+=+-+=nm n n m n m n B P )!()!1()( 方法5 将第l ＋1次看成第1次，于是⋅+==+nm n C C B P n m n 11)( 20.袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )．分析 设A ＝{前3次取到红球}，根据古典概型，有⋅==53)(352411C C C A P说明 利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P {第3次取到红球}＝P {前3次取到红球}－P {前2次取到红球}⋅=-=-=515253251411352411C C C C C C 注意 这里实际用到了互斥情况下的加法公式．21.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．情况下的加法公式，有P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )， 即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P 说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立．(2)由ABC ＝⇒∅P (ABC )＝0，反之不真．22.设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立．分析 (1)由于事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0．可见，AB ≠∅，即事件A 与B 不互斥(相容)．(2)由于事件A 与B 互斥，即AB ＝∅，因此P (AB )＝0，而P (A )＞0，P (B )＞0，故P (AB )≠P (A )P (B )，即事件A 与B 不可能相互独立．说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然．(2)在P (A )＞0，P (B )＞0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的．(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”．23.设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析 由公式()()()(|),(|),()()1()P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A ===- 由题设 ),|()|(A B P A B P =即,)(1)()()(A P B A P A P AB P -= 于是，有 ()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=即A 、B 相互独立．说明 (1) )|()|(A B P A B P =是A ，B 独立的一个充要条件．(2)若此题换成下述选择题：设……，则______ (A)).|()|(B A P B A P = (B)(|)(|).P A B P A B =/(C)P (AB )＝P (A )P (B )． (D )P (AB )≠P (A )P (B )．时，能否认为(A )与(B )，或(C )与(D )之中必有一个成立．24.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则 P (A )＝______，P (B )＝______．分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7) 由于)()(B A P B A P =，有 ),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=于是由式(1－6)，式(1－7)有,))((21))(()(222A P A P A P +=- 即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是,41))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P 因此 ⋅==21)()(B P A P 问题 比较上述两种方法，哪个更简单一些，还有没有其他方法？25.设随机事件A 与B 的和事件的概率为0.6，且积事件B A ⋅的概率为0.3，则事件A 的概率P (A )＝( )．分析 因为B A B A +=⋅，所以.4.06.01)(1)()(=-=+-=+=⋅B A P B A P B A P又因为,)(B A B A B B A ΩA A +=+==故 .7.04.03.0)()(=+=+=B A B A P A P26.甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )．分析 这是一个古典概型问题，有1422,5C m n ⨯==，因此P (A )＝0.32．问题 (1)如何将信投入信箱转化为在信封上写号问题？ (2)本题是否可用(有放回)摸球问题来解决？27.袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球．从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率．分析 这一个古典概型问题，样本空间中样本点的总数为⋅=310C n方法1 设A ＝{至少有1个白球}，有⋅=++=65)(310063416242614C C C C C C C A P 方法2 设B ＝{取出的全是红球}，有⋅-=-=3104361)(1)(C CC B P A P方法3 先从4个白球中任取一个，然后再从剩下的9个球(有红球又有白球)中任取2个，因此⋅=3102914)(C CC A P问题 上述三种方法都对吗，为什么？28.一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品．如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率．解 设A i ＝{被检查的第i 件产品是废品}，i ＝1，2，3，4，5；B ＝{该批产品被拒绝接收}．方法1 由于,54321A A A A A B ++++=于是1234512345()1()1()P B P A A A A A P A A A A A =-++++=-1213124123512341()(|)(|)(|)(|),P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A =-而 ,9893)|(,9994)|(,10095)(213121===A A A P A A P A P ⋅==9691)|(,9792)|(432153214A A A A A P A A A A P因此 .23.09691979298939994100951)(=⨯⨯⨯⨯-=B P方法2 .23.01)(1)(5100595=-=-=C C B P B P29.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．由全概率公式可知)()|()(31i i i A P A B P B P ∑==05.01.015.090.08.098.0333⨯+⨯+⨯= 8624.0≈．由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是,8731.08624.08.098.0)()()|()|(3111≈⨯==B P A P A B P B A P,1268.08624.015.090.0)()()|()|(3222≈⨯==B P A P A B P B A P.0001.08624.005.01.0)()()|()|(3333≈⨯==B P A P A B P B A P由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．30.掷两枚匀称的骰子，X ＝{点数之和}，求X 的分布． 答案是：⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡36/136/236/11232~ X 31.设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,0,0,11)(2x x x x f f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解 由于,2πd )(=⎰+∞∞-x x f 所以f (x )不是分布密度函数．令⎪⎩⎪⎨⎧≤>+⋅==.0,0,0,11π2)(π2)(2x x x x f x p则p (x )是分布密度函数．32.设随机变量X 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x Cx x p求(Ⅰ)常数C ；(Ⅱ)P (0.3≤X ≤0.7)；(Ⅲ)P (－0.5≤X ＜0.5)．解 (Ⅰ)由p (x )的性质，有,21|2d d )(110210C x C x Cx x x p =⋅===⎰⎰∞+∞-所以C ＝2．(Ⅱ).4.0|d 2)7.03.0(7.03.027.03.0===≤≤⎰x x x X P(Ⅲ).25.0|d 2d 0)5.05.0(5.0025.0005.0==+=≤≤-⎰⎰-x x x x X P问题 若连续型随机变量X 的分布密度函数p (x )为不可求积函数，如何计算P (X ∈D )呢？33.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X 的分布列和分布函数，并求⋅≤<)2521(X P 解 先求X 的分布列，X 的所有可能取值为0，1，2，由古典概型的概率计算公式知3122113213213323151********(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C =========⋅ 故X 的分布列为四个区间．当x ＜0时，F (x )＝P (X ≤x )＝0．当10<≤x 时，⋅===3522)0()(X P x F 当12x ≤<时，⋅==+==3534)1()0()(X P X P x F 当x ≥2时，F (x )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1． 综上有X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,3534,10,3522,0,0)(x x x x x F由分布函数可求出⋅=-=-=≤<351335221)21()25()2521(F F X P 34.设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-,0,0,0,e )(22x x B A x F x求系数A 和B ．解 由lim ()1n F x →+∞=，知A ＝1．再由F (x )在x ＝0处的连续性可知,)e(lim )(lim 02200B A B A x F x x x +=+==-+→→故 B ＝－A ＝－1．35.设连续型随机变量X 的分布函数为()1xAF x e-=+， +∞<<∞-x ， 求(Ⅰ)常数A ． (Ⅱ)X 的分布密度函数p (x )． (Ⅲ)P {X ≤0}．答案是：(Ⅰ)A ＝1．(Ⅱ)2)e 1(e )(x xx p --+= +∞<<∞-x ． (Ⅲ)⋅==<21)0()0(F X P 问题 (1)离散型随机变量的概率分布与分布函数之间有什么关系？(2)连续型随机变量的概率分布密度与分布函数之间有什么关系？ (3)如何利用分布函数计算P (X ∈D )？其中D ＝(a ，b ]． (4)如何确定分布函数中的待定常数？36.设X 服从指数分布，则Y ＝min{X ，2}的分布函数( )．(A)连续． (B)至少有两个间断点． (C)阶梯函数． (D)恰有一个间断点． 答案是：D ．分析 方法1 由题设可知X ～E (λ)，有⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x p x λλ 令X 1＝X ，X 2＝2，则⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧>-≤=-.2,1,2,0)(;0,e 1,0,0)(21x x x F x x x F xλ于是，Y ＝min{X ，2}＝min{X 1，X 2}的分布函数为))(1))((1(1)(21y F y F y F ---=○一⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-.2,1,20,e 1,0,0y y y y λ 可见它只有一个间断点y ＝2．方法2 从图2－1中，容易看出它只有一个间断点y ＝2．图2－137.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数．解 X 的可能取值为3，2，1．,106/)1(,103/)2(,101/)3(352435233522=========C C X P C C X P C C X P 即X 的分布阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101103106321, 从而X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,109,21,106,1,0)(x x x x x F38.设X ～U (a ，b )，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,1)(其他b x a a b x p则⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1,,,,0)(b x b x a a b a x a x x F 其图形是一条连续的曲线，见图2－3．图2－339.设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056．P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788．40.设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有.5.0,2--=-σμασμβ 于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．41.若X ～N (μ，σ2)，求(Ⅰ)P {μ－σ＜X ＜μ＋σ}； (Ⅱ)P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}； (Ⅲ)P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}． 解 (Ⅰ)由于X ～N (μ，σ2)，故)()(}{σμσμσμσμσμσμ----+=+<<-ΦΦX P ＝Ф(1)－Ф(－1)＝2Ф(1)－1＝0.6826≈0.68．同理有：(Ⅱ) P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}＝2Ф(2)－1＝0.9545≈0.95． (Ⅲ) P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}＝2Ф(3)－1＝0.9973≈0.99．42.设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3}＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}}322322{21}3232{21⨯+<≤⨯-++<≤-=X P X P.815.0295.0268.0=+≈(Ⅱ)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2}.975.021295.0=+≈(Ⅲ)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3}.995.0299.021=+≈43.设X ～N (3，σ2)，并且P (3≤X ≤7)＝0.4，求P (X ≤－1)．答案是：0.1． 分析(略)44.设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ＝10.05，σ＝0.06的正态分布，规定长度在范围(10.05±0.12)cm 内为合格品，求螺栓的次品率．答案是：0．0455(或0．05)． 分析(略)．求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即,21)2()2()5(==+-===X P X P Y P ,103)1()1()2(==+-===X P X P Y P ⋅====51)0()1(X P Y P 所以46.设X ～U (0，1)，并且Y ＝X ，求Y 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎩⎨⎧∈=.,0],1,0[,1)(1其他x x p 对于函数y ＝x 2，当x ∈[0，1]时，α＝min{x 2}＝0，β＝max{x 2}＝1，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10*,,0,0)(y y y y F 当0＜y ＜1时)()()()(2y X P y X P y Y P y F ≤=≤=≤=.d 1d 0d )(01y x x x x p yy=+==⎰⎰⎰∞-∞-由 ,21)()()(2yy y F y p ='='=故随机变量Y 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,10,21)(2其他y yy p47.设随机变量)2π,2π(~-U X ，求随机变量Y ＝sin X 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.0,],2π,2π[,π1)(1其他x x p因为y ＝sin x 在)2π,2π(-内单调增加，所以存在反函数x ＝arc sin y ，其导数为 ⋅-='211yx y利用公式求出Y 的分布密度函数，首先计算,1}{sin min 2π2π-==≤≤-x x α ππ22max {sin }1,x x β-≤≤== 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-'⋅=-.,0,11|,|))(()(112其他y x y f p y p y⎪⎩⎪⎨⎧<<--=.,0,11,11.π12其他y y 48.X ～U (0，π)，Y ＝sin X ，求p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],π,0[,π1)(1其他x x p0π0πmin{sin }0,max{sin } 1.x x x x αβ≤≤≤≤====当0＜y ＜1时，F (y )＝P (Y ≤y )＝P (sin X ≤y )＝P (0≤X ≤arc sin y )＋P (π－arc sin y ≤X ≤π),sin arc π2y =所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,,11,0,sin arc π20,,0)(y y y y y F 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,1π2)(22其他y yy p 49.(1).,,2,1,}{N k NAk X P ⋅⋅⋅=== (2) ,!}{k B k X P kλ⋅==k ＝0，1，2，…，λ＞0且λ为常数，试确定常数A 和B ．解 (1)由分布律的性质可知,)(111A N NAN A k X P Nk N k =⋅====∑∑== 因此，A ＝1．于是，X 的分布律为).,,2,1(1)(N k Nk X P === 称这样的分布为离散型的均匀分布．(2)由分布律的性质，有,e !!10λλλ⋅===∑∑∞=∞=B k B k Bkk kk解得B ＝e －λ．于是.e !)(λλ-==k k X P k这表明X 服从参数为λ的泊松分布．50.设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成(如图2－5)，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．图2－5分析 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=51.设随机变量X 具有连续的分布函数F 1(x )，求Y ＝F 1(X )的分布函数F 2(y )．(或证明题：设X 的分布函数F 1(x )是连续函数，证明随机变量Y ＝F 1(X )在区间(0，1)上服从均匀分布．)分析 由于F 1(x )为X 的连续分布函数，可知α＝min{F 1(x )}＝F 1(－∞)＝0， β＝max{F 1(x )}＝F 1(＋∞)＝1． 因为F 1(x )是单调递增函数，所以11-F (y )存在(单调函数必有单值反函数存在)，因而有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤.1,1,10*,,0,0)()(def2y y y y Y P y F 当0≤y ＜1时，*＝F 2(y )＝P (F 1(X )≤y )＝P (X ≤11-F (y )) ＝F 1(11-F (y ))＝y ．代入F 2(y )表达式有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F 因此，Y 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1)(2其他y y p即 ).1,0(~U Y52．设X ～E (2)，证明Y ＝1－e －2X～U (0，1)分析 由于X ～E (2)，因此⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x p x 当x ＝0时，y ＝0＝α；当x →＋∞时，y →1＝β：因为y ＝1－e －2x单调增加，所以其反函数为)1ln(21y x --=，有 .e 21112111212x yy y x =-=---='方法1(公式法)⎩⎨⎧≤≤'=--.,0,10|,))((|))(()(1112其他y y f y f p y p⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=-.,0,10,e 21e 222其他y xx ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y 即Y ～U (0，1)．方法2(定义法) 由分布函数的定义⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1,10*,,0,0)(2y y y y F 当0≤y ≤1时，有))1ln(21()e 1()()(22y X P y P y Y P y F X --≤=≤-=≤=-12(ln(1))211(ln(1))1e 2---=--=-y F y,)1(1y y =--=因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,1,1,10,,0,0)(y y y y y F即Y ～U (0，1)．53.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0],8,1[,31)(32其他x x x fF (x )是X 的分布函数．求随机变量Y ＝F (X )的分布函数．解 易见，当x ＜1时，F (x )＝0；当x ＞8时，F (x )＝1． 对于x ∈[1，8]，有.1d 31)(1332-==⎰xx t t x F设G (y )是随机变量Y ＝F (X )的分布函数．显然，当y ≤0时，G (y )＝0；当y ≥1时，G (y )＝1．对于y ∈(0，1)，有}1{})({}{)(3y X P y X F P y Y P y G ≤-=≤=≤=,])1[(})1({33y y F y X P =+=+≤=于是，Y ＝F (X )的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,0)(y y y y y G即Y ～U (0，1)．54.设随机变量X ～U (0，5)，求方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的概率． 分析 因为X 在(0，5)上服从均匀分布，故X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,50,51)(其他x x p方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的条件是∆＝16X 2－16(X ＋2)≥0，即 (X ＋1)(X －2)≥0．解 得X ≤－1或X ≥2．舍去X ≤－1，最后得2≤X ≤5．因此，所求概率为⋅==≤≤⎰53d 51)52(52x X P 问题 本题可否使用其他方法？55. 设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X |≤1，且===-=)1(,81)1(X P X P41，在事件{－1＜X ＜1}出现的条件下，X 在(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求X 的分布函数F (x )及P (X ＜0)(即X 取负值的概率)．分析 (1)由题设，我们有x ＜－1时，F (x )＝0；x ≥1时，F (x )＝1．以下考虑－1＜x ＜1时的情形．由于1＝P (|X |≤1)＝P (X ＝－1)＋P (－1＜X ＜1)＋P (X ＝1)， 故 ⋅=--=<<-8541811)11(X P 另据条件，有),1(21)11|1(+=<<-≤<-x X x X P 于是，对于－1＜x ＜1，有(－1，x ]⊂(－1，1)，因此P (－1＜X ≤x )＝P (－1＜X ≤x ，－1＜X ＜1)＝P (－1＜X ＜1)P (－1＜X ≤x |－1＜X ＜1)),1(165)1(2185+=+⨯=x x ⋅+=≤<-+-≤=1675)1()1()(x x X P X P x F综上，有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.1,1,11,16/)75(,1,0)(x x x x x F (2)P (X ＜0)＝P (X ≤0)－P (X ＝0)＝F (0)＝7/16．56.射击用的靶子是一个半径为R 的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比．设随机变量X 表示击中点与靶心的距离，求X 的分布密度函数．分析 根据分布函数的定义及几何概型，由图2－6有图2－6),0(ππ)()(2222R x R x R x x X P x F ≤≤==≤=于是 22()(),xp x F x R='=因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2)(2其他R x R xx p 说明 (1)注意其分布函数应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.,1,0,,0,0)(22R x R x R x x x F 57.点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数p 1(x )．(2)落点与点(－R ，0)的弦长的概率分布密度函数p 2(y )． (提示：落点的极角θ均匀地分布在(0，2π)上)分析 设落点的极角为Θ，落点P 的横坐标为X ，落点与(－R ，0)点的弦长为Y ，则由题设可知Θ～U (0，2π)，即()1,02π,2π0,.p θθΘ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他 由图2－7不难看出⋅==2cos2,cos ΘR Y ΘR X图2－7(1)定义法试求点P 的横坐标X ＝R cos Θ的密度函数．因为x ＝R cos θ(0≤θ＜2π)不是单调函数，由图2－8得到，使R cos θ≤x 成立的θ应满足⋅-≤≤Rx R x cos arc π2cosarc θ图2－8于是，对－R ≤x ≤R ，有θθθd )()cos ()()(cos ΘxR X p x ΘR P x X P x F ⎰≤=≤=≤=⋅-==⎰-Rx Rx Rx os arcc π11d 2π1arccosπ2arccosθ 对x ＜－R ，有.0)()cos ()()(=∅=≤=≤=P x ΘR P x X P x F X对x ＞R ，有,1)()cos ()()(==≤=≤=ΩP x ΘR P x X P x F X即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤=.,1,,cos arc π11,,0)(R x R x R R xR x x F X 所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=.,0,,π1)()(22其他R x R x R x F x p X X(2)公式法设θ∈(－π，π)．由,2cos 2θR y =有当0≤θ≤π时，单调递减，⋅--='=2242,2cosarc 2y R R y y θθ 当－π≤θ≤0时，单调递增，2arccos,2y y R θθ=-=' 可见p Y (y )＝P θ(f －1(y ))|y y f'-))((1|⋅-=--+-=22222241π2|42|2π1422π1yR y R y R 因此⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=.,0,20,4π2)(22其他R y y R y p Y58.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=.,0],6,3[,92],1,0[,31)(其他x x x p若使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是________． 分析 由图2－9可知图2－9,32)36(92)63(=-⨯=≤≤X P 因此k ∈[1，3]时，⋅=≤≤=≥32)63()(X P k X P 59.设随机变量X 的分布函数为F (x )，则Y ＝－2ln F (X )的概率分布密度函数P Y (y )＝______．分析 用定义法求出Y 的分布，首先求出Y 的分布函数． 当y ＞0时，有F (y )＝P (Y ≤y )＝P (－2ln F (X )≤y ))e )((2y X F P -≥= ))e ((21y F X P --≥= ))e ((121y F F ---=.e 12y--=当y ≤0时，F (y )＝0．因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(2y y y F y 再求出Y 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-.0,0,0,e 21)()(2y y y F y p yY60.设)2π,2π(~-U X ，并且y ＝tan x ，求Y 的分布密度函数p (y )． 分析 由)2π,2π(~-U X ，有⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.,0],2π,2π[,π1)(1其他x x p 下面利用公式法求出Y ＝tan X 的分布，为此先求出：α＝－∞，β＝＋∞．,tan arc )(1y y f x ==-⋅+='='-2111))((yy f x y y 于是有121()(())|(1'())|y p y p f y f y --=⋅').(11.π12+∞<<-∞+=y y61.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，则(X ，Y )的联合分布及边缘分布为62.设(X ，Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧≥≥=+-.,0,0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )．解 (1)由p (x ，y )的性质，有y x C y x y x p y x d d e d d ),(1)43(0+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰==3401e d e d ,12x y C x y C +∞+∞--=⋅⋅=⎰⎰ 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有y x y x p D Y X P Y X P Dd d ),(}),{(}20,10{⎰⎰=∈=<<<<).e 1)(e 1(d e d e 12d d e 128342310)43(----+---===⎰⎰⎰⎰y x y x y x y x D(3)先求X 的边缘分布：①当x ＜0时，p (x ，y )＝0，于是10()(,)d 0.p x p x y y +∞==⎰②当x ≥0时，只有y ≥0时，p (x ，y )＝12e－(3x ＋4y )，于是⎰+∞∞--+-==.e 3d e 12)(3)43(1x y x y x p因此⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 3)(31x x x p x 同理⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 4)(42y y y p y 63.设二维连续型随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中D ＝{(x ，y ):|x ＋y |≤1，|x －y |≤1}，求X 的边缘密度p X (x )．解 区域D 实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为2，面积S D ＝2，因此(X ，Y )的联合密度是图3－9⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 11111d ,10,21()(,)d d ,01,20,.x x x X x y x p x p x y y y x +--+∞--∞-⎧-≤≤⎪⎪⎪==<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他即 1,10,()1,01,0,.X x x p x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 64.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----.,0,0,0,333),(其他y x C y x F y x y x求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：yx Fy x p ∂∂∂=2),(有3ln 33ln 3,x x y Fx--∂=-∂ .)3(ln 3)3ln 33ln 3(22y x y x x yyx F -----=-∂∂=∂∂∂故 ⎩⎨⎧≥≥=--.,0,0,0,)3(ln 3),(2其他y x y x p y x65.设D 2是x ＝0，y ＝0，y ＝2x ＋1围成的区域，ξ＝(X ，Y )在D 2上均匀分布，求F (x ，y )．答案是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅∈∈-∈+∈-+∈=54232221),(,1,),(,2,),(,)12(,),(,)12(2,),(,0),(D y x D y x y y D y x x D y x y x y D y x y x F 其中区域D 1，D 2，D 3，D 4，D 5如图3－10所示．图3－1066.求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解(1)由公式),3,2,1()(====∑⋅i p x X p p ijji i),2,1()(====⋅j p y Y p p ijij j(2)计算下面各条件概率：,8380.030.0)(),()|(,16380.015.0)(),()|(1121211111======y p y x p y x p y p y x p y x p⋅===16780.035.0)(),()|(11313y p y x p y x p因此，X 关于Y(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为67.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布密度为.e π1),()52(2122y xy x y x p ++-=求(1)X 与Y 的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解 (1)由公式y y y x p x p y xy x d e π1d ),()()52(21122++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰==)10125(d e 52e e π1222)10125(102x y x y x x +=⎰∞+∞-+-- ,e 5π2πe 52π1224.04.0x x --=⋅=这里应用了.πd e2=-+∞∞-⎰u u 同理，可求得Y 的边缘分布密度为.e π2)(222y y p -=(2)在给定Y ＝y 的条件下，X 的条件分布密度为,e 2π1)(),()|(2)(5.02y x y p y x p y x p +-==而在给定X ＝x 的条件下，Y 的条件分布密度为.e 2π5)(),()|(2)5(1.01y x x p y x p x y p +-==69.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1),2418161=-=考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，⋅===4161241}{1x X P所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为70.设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立． 证 X 的分布函数为⎩⎨⎧≥<=.0,1,0,0)(1时当时当x x x F 设Y 的分布函数为F 2(y )，(X ，Y )的分布函数为F (x ，y )，则当x ＜0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P {X ≤x ，Y ≤y }＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P (∅∩{Y ≤y })＝P (∅)＝0＝F 1(x )F 2(y )．当x ≥0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P {Y ≤y }＝F 2(y )＝F 1(x )F 2(y )．因此，对任意的x ，y 均有F (x ，y )＝F 1(x )F 2(y )，即X 与Y 相互独立．71.设(X ，Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.,0,1||,1||,41),(其他y x xy y x p试证明：(1)X 与Y 是相依的． (2)X 2与Y 2是相互独立的．证 (1)先求X 的边缘分布密度．当|x |＜1时，有⋅=+==⎰⎰-+∞∞-21d 41d ),()(111y xy y y x p x p当|x |≥1时，p 1(x )＝0，因此⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(1其他x x p 同理⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(2其他y y p 可见，当|x |＜1，|y |＜1时p (x ，y )≠p 1(x )·p 2(y )，所以X 与Y 不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X 2，η＝Y 2，其分布函数分别为F 1(x )和F 2(y )，于是当0≤x ＜1时，有)()()(21x X x P x X P x F ≤≤-=≤=⎰-==x x x x ,d 21因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(1x x x x x F同理可求得Y 2的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F如图3－11所示，将Oxy 平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F 3(x ，y )，则图3－11①当x ＜0或y ＜0时，F 3(x ，y )＝0． ②当0≤x ＜1，y ≥1时，.)(),(),(2223x x X P y Y x X P y x F =≤=≤≤=③当0≤y ＜1，x ≥1时，同理.),(3y y x F =④当0≤x ＜1，0≤y ＜1时， F 3(x ，y )＝P (X 2≤x ，Y 2≤y )),(y Y y x X x P ≤≤-≤≤-=1d 4sxs t +==⑤当x ≥1，y ≥1时，.1d d 41),(),(1111223=+=≤≤=⎰⎰--y x xyy Y x X P y x F综合起来得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤<≤≥<≤≥<≤<<=.1,1,1,10,10,,1,10,,1,10,,00,0),(3y x y x xy x y y y x x y x y x F 或不难验证，对于所有x ，y 都有F 3(x ，y )＝F 1(x )·F 2(y )，所以ξ与η相互独立，即X 2与Y 2相互独立．72. 设(X ，Y )的联合分布为求(Ⅰ)Z 1＝X ＋Y ；23解 (Ⅰ)Z 1＝X ＋Y 的正概率点为0，1，2，3．因为。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案概率论与数理统计是应用广泛的数学学科，用于研究随机现象的规律与统计推断。
下面为您提供一系列概率论与数理统计试题及答案，希望能对您的学习和理解有所帮助。
题目一：某超市近一周每天销售的商品数量数据如下：23、45、17、34、26、37、19。
1. 请计算这组数据的平均值、中位数和众数。
2. 计算数据的方差和标准差。
答案一：1. 平均值 = (23 + 45 + 17 + 34 + 26 + 37 + 19) / 7 = 26中位数 = 排序后的中间值 = 26众数 = 无，因为没有重复的值2. 计算方差：方差 = [(23-26)² + (45-26)² + (17-26)² + (34-26)² + (26-26)² + (37-26)²+ (19-26)²] / 7= (9 + 361 + 81 + 64 + 0 + 121 + 49) / 7= 140 / 7= 20题目二：一辆汽车在高速公路上行驶，每小时的速度数据如下：100、90、110、80、120。
请计算这组数据的以下统计量：1. 平均速度2. 速度的中位数3. 速度的众数4. 方差和标准差答案二：1. 平均速度 = (100 + 90 + 110 + 80 + 120) / 5 = 1002. 排序后的速度数据为：80、90、100、110、120。
中位数 = 1003. 众数 = 无，因为没有重复的值4. 计算方差：方差 = [(100-100)² + (90-100)² + (110-100)² + (80-100)² + (120-100)²] / 5= (0 + 100 + 100 + 400 + 400) / 5= 200题目三：甲乙两枚硬币独立抛掷一次，甲的硬币正面向上的概率为0.4，乙的硬币正面向上的概率为0.6。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
概率论与数理统计样卷分析
(B) a=2/3, b= 2/3
(C) a= 1/2, b= 3/2
(D) a=1/3, b= 3/2
[]
7. 已知随机变量X、Y相互独立且都来自参数为>0的指数 分布，试用两种方法求出Z＝X＋Y的概率密度。
8. 设随机变量X概率密度是
x, 0 x 1
f ( x) 2 x, 1 x 2
分布, 记
U
0, 1,
若X Y , 若X Y;
V
0, 1,
若X 2Y , 若X 2Y;
试求(1)U和V的联合概率分布; (2) U和V的相关系数.
8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点 的第5分钟,第25分钟, 第55分钟从底层起行, 假设某游客在早 八点第X分钟到达底层侯梯处, 且X在[0, 60]上均匀分布, 求该 游客等候时间的数学期望.
一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求
（1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率；
（2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原
来是二等品的概率。
3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（4，p）的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则 P{Y≥1}= ；
7. 设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文 体节目，其中各班的女生分别为3名、7名和5名。随机地选一个 班级，再从中先后选取两人做一个节目。
（1）求先选到的一人为女生的概率；
（2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概 率。
8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相
互独立
同时成立.
二、随机变量及其分布
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0。
3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。
2． 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______.答案:161-e解答:λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP,则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。
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河海大学理学院数学系 2010.07 一、古典概率
（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型 内容提要：随机事件、概率及其性质、 与几何概型、条件概率、乘法公式、 与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公 事件的独立性、伯努利概型. 式、事件的独立性、伯努利概型 （二）相关问题 1. 已知P(A)=0.3, P(A∪B)=0.4, 则 P ( A ∪ B ) = ；
5. 设
1 / 3, X ~ f ( x ) = 2 / 9, 0,
x ∈ [0, 1] x ∈ [ 3, 6] 其它
.
使得P{X ≥ k}=2/3, 则k的取值范围是 若k 使得 的取值范围是
6. 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的分布函数 为使 的分布函数, 与 分别为 F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 在下列给定的各组 是某一r.v.的分布函数 − 是某一 的分布函数, 数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
7. 已知随机变量 、Y相互独立且都来自参数为λ>0的指数 已知随机变量X、 相互独立且都来自参数为 相互独立且都来自参数为λ 的指数 分布，试用两种方法求出Z＝ ＋ 的概率密度 的概率密度。 分布，试用两种方法求出 ＝X＋Y的概率密度。
8. 设随机变量X概率密度是
0≤ x ≤1 x, f ( x ) = 2 − x , 1 < x ≤ 2 0, 其它.
i
− X)
2
2
( X i − µ )2 ∑
σ
~
;Байду номын сангаас
i =1
σ
2
~
.
2.设X1, …, Xn是来自正态总体N(µ, σ2)的一个样本, 则
1 n Z n = ∑ ( X i − µ ) 服从 n i =1
.
3.设X～N(µ1 ，σ 12)，Y～N(µ2 ，σ 22)，X1,…,Xn1 ；Y1,…,Yn2 分别是两总体相互独立的样本，则 X − Y 的分布 是 .
2. 若P(X=k)=λke−λ/k!, (k = 0, 1, 2, …), 则λ的极大似然估计量 = .
3. 设总体 的概率函数为 设总体X的概率函数为
e−( x−µ ) , x > µ f (x; µ)＝ ＝ x≤µ 0,
为未知参数， 为来自总体X的一个样本 的一个样本。 其中µ 为未知参数，X1，…, Xn为来自总体 的一个样本。 的矩估计量和极大似然估计量； （1） 试求未知参数µ的矩估计量和极大似然估计量； ） 的极大似然估计量的无偏性， （2） 讨论未知参数µ的极大似然估计量的无偏性，并说明理 ） 由. 4. 设总体 的概率密度为 设总体X的概率密度为
五、参数估计
（一）内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估 内容提要：估计量与估计值、矩估计、 估计量的评价、区间估计、 计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区 间. （二）相关问题 1. 设总体X的密度函数为
− ( x − µ )2 1 f ( x; µ ) = e 18 , −∞ < x < ∞ 3 2π 其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的 极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。 1
(θ + 1) x θ , 0 < x < 1 f ( x) = 0, 其它
是未知参数, 是来自总体X的一个容量为 其中θ > −1是未知参数 X1, … , Xn是来自总体 的一个容量为 是未知参数 n 的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 θ 的简单随机样本, 的估计量. 的估计量
0 , 若 X ≤ Y , U = 1, 若 X > Y ; 0, 若 X ≤ 2Y , V = 1, 若 X > 2Y ;
试求(1)U和V的联合概率分布 和 的联合概率分布 的联合概率分布; 试求
(2) U和V的相关系数 的相关系数. 和 的相关系数
8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 的第5分钟 分钟,第 分钟 分钟, 分钟从底层起行, 的第 分钟 第25分钟 第55分钟从底层起行 假设某游客在早 分钟从底层起行 八点第X分钟到达底层侯梯处 分钟到达底层侯梯处, 上均匀分布, 八点第 分钟到达底层侯梯处 且X在[0, 60]上均匀分布 求该 在 上均匀分布 游客等候时间的数学期望. 游客等候时间的数学期望 9. 设X是r.v., EX=µ, DX=σ2, 则对任意常数 必有 µ 是 σ 则对任意常数C, (A) E(X−C)2= EX2−C2 (B) E(X−C)2= E(X− µ)2 − − − (C) E(X−C)2< E(X− µ)2 (D) E(X−C)2 ≥ E(X− µ)2 − − − − [ ]
3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（4，p）的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则 P{Y≥1}= ； 4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指 数分布，其密度函数为，
1 −x/ 2 e , x > 0, f ( x) = 2 0, x≤0 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月 要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的 次数，求出的分布律，并求P{Y≥4}。
8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相 互独立 同时成立.
二、随机变量及其分布
（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变 内容提要：随机变量及其分类、 分布律及其性质、分布函数及其性质、 量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变 密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 随机变量的独立性、随机变量函数的分布. 随机变量的独立性、随机变量函数的分布 （二）相关问题 1．已知随机变量X的分布函数F(x)＝A + Barctgx, 则A＝ B＝ , 概率密度f (x)＝ . ,
2. 设某类电子管的使用寿命X (以小时计)的概率密度是
x 1 − 100 e , x>0 f (x) = 100 0, x≤0 一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80 ~ 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等 品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从 一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率； （2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原 来是二等品的概率。
2. 袋中有 只黄球 只白球 二人依次从中任取一球 则第 袋中有20只黄球 只白球, 二人依次从中任取一球, 只黄球30只白球 二人抽得黄球的概率为 . . 3．已知P( A )＝0.5, P(B)＝0.4, P(A| B)＝0.6, 则P(A∪ B )＝ 4．设事件A与B相互独立, 已知P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, ． ； 则 P ( AB ) = 5. 设A, B为任意两事件 且A⊂B, P(B)>0,则下列不等式正确 为任意两事件, 为任意两事件 ⊂ > 则下列不等式正确 的是: 的是 (A) P(A) <P(A|B) (C)P(A) > P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (D) P(A) ≥ P(A|B) [ ]
10. 设二维 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布 则r.v.ξ=X+Y与 服从二维正态分布, 服从二维正态分布 ξ 与 η=X−Y不相关的充分必要条件为 − 不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)−[E(Y)]2 − − [ ]
(C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2
4. 设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本， 时，统计量X服从χ2分布， X = X12 + a(X2 − 2 X3)2 ，则当a = 自由度为 ； 5. 设X～N(µ1，σ12)，Y～N(µ2，σ22)，X1,…,Xn; Y1,…,Ym分 别是两相互独立的样本，则 X − Y ~ X=a(X1 −2X2)2+b(3X3 −4X4)2, 则当 = 则当a 量服从χ 分布, 量服从χ2分布 其自由度为 . ,b= . 时, 统计 6. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体 是来自正态总体 正态总体N(0, 22)的简单随机样本 的简单随机样本, 的简单随机样本
6. 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人 击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被 击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落， 求因被两人击中而被击落的概率。 7. 设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文 设有来自三个班级的各10名 15名和 名和25名学生参加一个文 体节目，其中各班的女生分别为3名 名和5名 体节目，其中各班的女生分别为 名、7名和 名。随机地选一个 名和 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 （1）求先选到的一人为女生的概率； ）求先选到的一人为女生的概率； （2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概 ）已知后选到的一人为男生， 率。
4. 设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为
2, 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = 其它 0,