《概率论与数理统计》样卷分析

0 , 若 X ≤ Y , U = 1, 若 X > Y ; 0, 若 X ≤ 2Y , V = 1, 若 X > 2Y ;
试求(1)U和V的联合概率分布 和 的联合概率分布 的联合概率分布; 试求
(2) U和V的相关系数 的相关系数. 和 的相关系数
8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 的第5分钟 分钟,第 分钟 分钟, 分钟从底层起行, 的第 分钟 第25分钟 第55分钟从底层起行 假设某游客在早 分钟从底层起行 八点第X分钟到达底层侯梯处 分钟到达底层侯梯处, 上均匀分布, 八点第 分钟到达底层侯梯处 且X在[0, 60]上均匀分布 求该 在 上均匀分布 游客等候时间的数学期望. 游客等候时间的数学期望 9. 设X是r.v., EX=µ, DX=σ2, 则对任意常数 必有 µ 是 σ 则对任意常数C, (A) E(X−C)2= EX2−C2 (B) E(X−C)2= E(X− µ)2 − − − (C) E(X−C)2< E(X− µ)2 (D) E(X−C)2 ≥ E(X− µ)2 − − − − [ ]
8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相 互独立 同时成立.
二、随机变量及其分布
（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变 内容提要：随机变量及其分类、 分布律及其性质、分布函数及其性质、 量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变 密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 随机变量的独立性、随机变量函数的分布. 随机变量的独立性、随机变量函数的分布 （二）相关问题 1．已知随机变量X的分布函数F(x)＝A + Barctgx, 则A＝ B＝ , 概率密度f (x)＝ . ,
3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（4，p）的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则 P{Y≥1}= ； 4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指 数分布，其密度函数为，
1 −x/ 2 e , x > 0, f ( x) = 2 0, x≤0 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月 要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的 次数，求出的分布律，并求P{Y≥4}。
4. 设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本， 时，统计量X服从χ2分布， X = X12 + a(X2 − 2 X3)2 ，则当a = 自由度为 ； 5. 设X～N(µ1，σ12)，Y～N(µ2，σ22)，X1,…,Xn; Y1,…,Ym分 别是两相互独立的样本，则 X − Y ~ X=a(X1 −2X2)2+b(3X3 −4X4)2, 则当 = 则当a 量服从χ 分布, 量服从χ2分布 其自由度为 . ,b= . 时, 统计 6. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体 是来自正态总体 正态总体N(0, 22)的简单随机样本 的简单随机样本, 的简单随机样本
2. 袋中有 只黄球 只白球 二人依次从中任取一球 则第 袋中有20只黄球 只白球, 二人依次从中任取一球, 只黄球30只白球 二人抽得黄球的概率为 . . 3．已知P( A )＝0.5, P(B)＝0.4, P(A| B)＝0.6, 则P(A∪ B )＝ 4．设事件A与B相互独立, 已知P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, ． ； 则 P ( AB ) = 5. 设A, B为任意两事件 且A⊂B, P(B)>0,则下列不等式正确 为任意两事件, 为任意两事件 ⊂ > 则下列不等式正确 的是: 的是 (A) P(A) <P(A|B) (C)P(A) > P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (D) P(A) ≥ P(A|B) [ ]
2. 若P(X=k)=λke−λ/k!, (k = 0, 1, 2, …), 则λ的极大似然估计量 = .
3. 设总体 的概率函数为 设总体X的概率函数为
e−( x−µ ) , x > µ f (x; µ)＝ ＝ x≤µ 0,
为未知参数， 为来自总体X的一个样本 的一个样本。 其中µ 为未知参数，X1，…, Xn为来自总体 的一个样本。 的矩估计量和极大似然估计量； （1） 试求未知参数µ的矩估计量和极大似然估计量； ） 的极大似然估计量的无偏性， （2） 讨论未知参数µ的极大似然估计量的无偏性，并说明理 ） 由. 4. 设总体 的概率密度为 设总体X的概率密度为
概率论与数理统计重修
河海大学理学院数学系 2010.07 一、古典概率
（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型 内容提要：随机事件、概率及其性质、 与几何概型、条件概率、乘法公式、 与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公 事件的独立性、伯努利概型. 式、事件的独立性、伯努利概型 （二）相关问题 1. 已知P(A)=0.3, P(A∪B)=0.4, 则 P ( A ∪ B ) = ；
四、样本与抽样分布
（一）内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、统计 内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、 中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论. 中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论 （二）相关问题 1. 设X1, …, Xn是来自正态总体N(µ, σ2)的一个样本, 则
n
n
∑(X
i =1
求(1) F(x); (2) Y=aX + b的概率密度，其中a>0、b为常数。 9. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 X −1 0 Y 1/8 1/8 −1 0 1/8 0 1 1/8 1/8
1 1/8 1/8 1/8
试验证X与Y是不相关的，也不是相互独立的。
三、随机变量的数字特征
（一）内容提要：随机变量的数学期望、随机变量函数的 内容提要：随机变量的数学期望、 数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、 数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、协方差与相关系 数. （二）相关问题 1．设r. v. X、Y相互独立, D(X)＝2, D(Y)＝4, 则D(2X－Y) ＝ . 2. 设随机变量X与Y独立同分布, 且U＝X－Y, V＝X＋Y, 则 协方差cov (U, V) = . 3. 已知随机变量X ~ N(0，1), µ, σ > 0，为常数，试证明: σX +µ ~ N(µ, σ2).
2. 设某类电子管的使用寿命X (以小时计)的概率密度是
x 1 − 100 e , x>0 f (x) = 100 0, x≤0 一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80 ~ 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等 品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从 一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率； （2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原 来是二等品的概率。
10. 设二维 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布 则r.v.ξ=X+Y与 服从二维正态分布, 服从二维正态分布 ξ 与 η=X−Y不相关的充分必要条件为 − 不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)−[E(Y)]2 − − [ ]
(C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2
i
Байду номын сангаас
− X)
2
2
( X i − µ )2 ∑
σ
~
;
i =1
σ
2
~
.
2.设X1, …, Xn是来自正态总体N(µ, σ2)的一个样本, 则
1 n Z n = ∑ ( X i − µ ) 服从 n i =1
.
3.设X～N(µ1 ，σ 12)，Y～N(µ2 ，σ 22)，X1,…,Xn1 ；Y1,…,Yn2 分别是两总体相互独立的样本，则 X − Y 的分布 是 .
5. 设
1 / 3, X ~ f ( x ) = 2 / 9, 0,
x ∈ [0, 1] x ∈ [ 3, 6] 其它
.
使得P{X ≥ k}=2/3, 则k的取值范围是 若k 使得 的取值范围是
6. 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的分布函数 为使 的分布函数, 与 分别为 F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 在下列给定的各组 是某一r.v.的分布函数 − 是某一 的分布函数, 数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
6. 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人 击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被 击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落， 求因被两人击中而被击落的概率。 7. 设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文 设有来自三个班级的各10名 15名和 名和25名学生参加一个文 体节目，其中各班的女生分别为3名 名和5名 体节目，其中各班的女生分别为 名、7名和 名。随机地选一个 名和 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 （1）求先选到的一人为女生的概率； ）求先选到的一人为女生的概率； （2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概 ）已知后选到的一人为男生， 率。
ax+ b, 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0,
且E(X)=1/3，则a =
，b =
；
6. 设随机变量X在区间[−1, 2]上服从均匀分布, 随机变量Y是X 的函数, 且 1, X > 0 Y = 0, X = 0 − 1, X < 0 则方差D(Y)= . 7. 设二维 设二维r.v.(X, Y)在矩形 在矩形G~{(x, y)|0≤x≤2, 0≤y ≤1}上服从均匀 在矩形 ≤ ≤ ≤ 上服从均匀 分布, 分布 记
4. 设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为
2, 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = 其它 0,
求:（1）关于X和Y的边缘密度函数f X (x) ，f Y ( y)； （2）Y的期望和方差E(Y )，D(Y )； （3）X与Y的协方差Cov( X，Y )； （4）Z= max( X, Y )的密度函数。 5. 设连续型随机变量的密度函数为
五、参数估计
（一）内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估 内容提要：估计量与估计值、矩估计、 估计量的评价、区间估计、 计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区 间. （二）相关问题 1. 设总体X的密度函数为
− ( x − µ )2 1 f ( x; µ ) = e 18 , −∞ < x < ∞ 3 2π 其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的 极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。 1
(θ + 1) x θ , 0 < x < 1 f ( x) = 0, 其它
是未知参数, 是来自总体X的一个容量为 其中θ > −1是未知参数 X1, … , Xn是来自总体 的一个容量为 是未知参数 n 的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 θ 的简单随机样本, 的估计量. 的估计量
7. 已知随机变量 、Y相互独立且都来自参数为λ>0的指数 已知随机变量X、 相互独立且都来自参数为 相互独立且都来自参数为λ 的指数 分布，试用两种方法求出Z＝ ＋ 的概率密度 的概率密度。 分布，试用两种方法求出 ＝X＋Y的概率密度。
8. 设随机变量X概率密度是
0≤ x ≤1 x, f ( x ) = 2 − x , 1 < x ≤ 2 0, 其它.