高二数学 综合质量评估

综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使x02-x0+1>0C.∃x0∈R,使x02-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f ′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于 ( )A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.f ′(x)=3x 2+2ax+3.由题意知f ′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 的值为 ( ) A.1 B.12C.-12D.-1【解析】选A.y ′=2ax,于是曲线y=ax 2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P 是双曲线x 2a-y 29=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于 ( ) A.7 B.6 C.5 D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF 2|. 【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x ±ay=0, 则a=2,双曲线中c=√13,b=3, 由|PF 1|=3知P 为双曲线左支上一点, 则|PF 2|=|PF 1|+4=7.7.椭圆x 2a+y 2b=1(a>b>0)的离心率为√32,则双曲线x 2a-y 2b=1(a>0,b>0)的离心率为 ( ) A.54B.√52C.23D.√54【解析】选B.由题意知√a 2−b 2a =√32,得a 2=4b 2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e=√a 2+b 2a =√4b 2+b 22b=√52.【补偿训练】设双曲线x 2a2-y 2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ) A.54 B.5C.√52D.√5【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x 2+1相切,联立方程得{y =kx,y =x 2+1,整理得x 2-kx+1=0,则Δ=k 2-4=0,解得k=±2,即b a =2,故双曲线的离心率e=ca =√a 2+b 2a =√1+(b a)2=√5.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=12x 2-9lnx 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,2] B.[4,+∞) C.(-∞,2] D.(0,3] 【解析】选A.f ′(x)=x-9x=(x+3)(x−3)x(x>0),令f ′(x)≤0得0<x ≤3. 所以f(x)在(0,3]上单调递减, 所以{a −1>0,a +1≤3,解得1<a ≤2.9.已知双曲线x 2a-y 2b =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√3x,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( ) A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y 227=1 C.x 2108-y 236=1 D.x 227-y 29=1【解析】选B.因为双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a 2+b 2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=√3x,所以ba=√3,解得a 2=9,b 2=27,所以双曲线的方程为x 29-y 227=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,M 是抛物线C 上的点,若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则p 的值为 ( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM 的外接圆与抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线相切,所以 △OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6, 又因为圆心在OF 的垂直平分线上,|OF|=p2,所以p 2+p4=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx+c 在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,满足x 1∈(-1,0),x 2∈(0,1),则a +2b+4a+2的取值范围是 ( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3] 【解析】选B.因为f(x)=13x 3+12ax 2+bx+c,所以f ′(x)=x 2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值, 所以f ′(x)=x 2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根, f ′(0)<0,f ′(-1)>0,f ′(1)>0,即{b <0,1−a +b >0,1+a +b >0,在aOb 坐标系中画出其表示的区域,如图,a +2b+4a+2=1+2×b +1a+2,令m=b +1a+2,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<b +1a+2<1,则1<a +2b+4a+2<3,所以a +2b+4a+2的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O 和点F(-2,0)分别是双曲线x 2a2-y 2=1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则O P →·F P →的取值范围为 ( ) A.[3-2√3,+∞) B.[3+2√3,+∞) C.[−74,+∞) D.[74,+∞)【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a 2+1=4,即a 2=3,所以双曲线方程为x 23-y 2=1,设点P(x 0,y 0)(x 0≥√3),则有x 023-y 02=1(x 0≥√3),解得y 02=x 023-1(x 0≥√3),因为F P →=(x 0+2,y 0),O P →=(x 0,y 0),所以O P →·F P →=x 0(x 0+2)+y 02=x 0(x 0+2)+ x 023-1=4x 023+2x 0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-34,因为x 0≥√3,所以当x 0=√3时,O P →·F P →取得最小值43×3+2√3-1=3+2√3,故O P →·F P →的取值范围是[3+2√3,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是. 【解析】因为f′(x)=1x,所以f′(e)=1e,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex.答案:y=1ex14.若命题“∃x0∈R,a x02+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是. 【解析】因为∃x0∈R,a x02+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,{a>0,Δ≤0,即{a>0,1−4a≤0,所以a≥14,所以a的取值范围为a≥14或a=0.答案:a≥14或a=015.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=1x.所以f′(x0)=1x0=k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以{y=kx0,①y0=lnx0,②把k=1x0代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k=1x0=1e .答案:1e16.(2016·北京高考)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(√5,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±bax,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以ba=2①.焦点(√5,0),所以c=√5.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x ∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a 的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 和q 一真一假, (1)若p 真q 假,则{−2<a <2,a ≥1,所以1≤a<2. (2)若p 假q 真, 则{a ≤−2或a ≥2,a <1,所以a ≤-2.综上可知,所求实数a 的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+ax 在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x 3+ax 2+3x+1在R 上有极值.若“p ∨q ”为真,求实数a 的取值范围. 【解析】若p 真,f ′(x)=1-ax 2.因为f(x)=x+ax 在区间[1,+∞)上是增函数, 则f ′(x)=1-ax ≥0在[1,+∞)上恒成立,即a ≤x 2在[1,+∞)上恒成立, 所以a ≤(x 2)min ,所以a ≤1. p:A={a|a ≤1}.若q 真,f ′(x)=3x 2+2ax+3.要使得f(x)=x 3+ax 2+3x+1在R 上有极值, 则f ′(x)=3x 2+2ax+3=0有两个不相等的实数解, Δ=4a 2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3. q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p ∨q ”为真,所以A ∪B={a|a ≤1或a>3}. 所以所求实数a 的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x 3-12x 2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x 轴平行的切线,求b 的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x ∈[-1,2]时,f(x)<c 2恒成立,求c 的取值范围. 【解析】(1)f ′(x)=3x 2-x+b,f(x)的图象上有与x 轴平行的切线,则f ′(x)=0有实数解.即方程3x 2-x+b=0有实数解. 所以Δ=1-12b ≥0, 解得b ≤112.(2)由题意,得x=1是方程3x 2-x+b=0的一个根,设另一个根为x 0,则{x 0+1=13,x 0×1=b 3,解得{x 0=−23,b =−2.所以f(x)=x 3-12x 2-2x+c,f ′(x)=3x 2-x-2.当x ∈(−23,1)时,f ′(x)<0;当x ∈(1,2]∪[−1,−23)时,f ′(x)>0.所以当x=-23时,f(x)有极大值2227+c,又f(-1)=12+c,f(2)=2+c,所以当x ∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c. 因为当x ∈[-1,2]时,f(x)<c 2恒成立.所以c 2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),离心率e=√32. (1)求此椭圆的方程.(2)设直线l :y=x+m,若l 与此椭圆相交于P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.【解析】(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0),则c=√3,c a =√32, 所以a=2,b 2=a 2-c 2=1. 所以所求椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由{y =x +m,x 2+4y 2=4,消去y,得5x 2+8mx+4(m 2-1)=0,则Δ=64m 2-80(m 2-1)>0,得m 2<5(*). 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4(m 2−1)5,y 1-y 2=x 1-x 2,|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√2[(−8m 5)2−16(m 2−1)5]=2.解得m 2=158,满足(*),所以m=±√304.20.(12分)已知函数f(x)=-13x 3+2ax 2-3a 2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-73,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式. (2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a 的取值范围.【解析】(1)f ′(x)=-x 2+4ax-3a 2=-(x-a)(x-3a),令f ′(x)≥0,得a ≤x ≤3a,令f ′(x)≤0,得x ≥3a 或x ≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a 处取得极小值,在x=3a 处取得极大值.由已知有{f (a)=−73,f(3a)=−1, 即{−13a 3+2a 3−3a 3+b =−73,−13×27a 3+18a 3−9a 3+b =−1, 解得{a =1,b =−1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=-13x 3+2x 2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有{a ≤1,3a ≥2,3a ≤6,解得实数a 的取值范围为[23,1]. 21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点F的直线l 与抛物线C 交于A(x 1,y 1)(y 1>0),B(x 2,y 2)两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1)若T A →·T B →=1,求直线l 的斜率.(2)求∠ATF 的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l 与x 轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时T A →·T B →=(2,2)·(2,-2)=0,这与T A →·T B →=1矛盾.故直线l 与x 轴不垂直.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l 的方程为y=k(x-1). ①将①代入y 2=4x 整理得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.所以x 1+x 2=2k 2+4k ,x 1x 2=1.所以y 1y 2=k 2(x 1-1)(x 2-1)=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=-4,所以T A →·T B →=(x 1+1,y 1)·(x 2+1,y 2)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+y 1y 2=1+2k 2+4k 2+1-4=4k 2=1. 解得k=±2.(2)因为y 1>0,所以tan ∠ATF=y 1x 1+1=y 1y 124+1=4y 1+4y 1≤1. 当且仅当y 1=4y 1即y 1=2时取等号.故∠ATF 的最大值为π4. 22.(12分)已知函数f(x)=-13x 3+a 2x 2-2x(a ∈R). (1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x ∈[1,+∞)都有f ′(x)<2(a-1)成立,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-13x 3+32x 2-2x, 得f ′(x)=-x 2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-13x 3+a 2x 2-2x, 得f ′(x)=-x 2+ax-2,因为对于任意x ∈[1,+∞)都有f ′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x ∈[1,+∞)都有f ′(x)max <2(a-1).因为f ′(x)=-(x −a 2)2+a 24-2,其图象开口向下,对称轴为x=a 2. ①当a 2≤1即a ≤2时,f ′(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以f ′(x)max =f ′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a ≤2. ②当a 2>1即a>2时,f ′(x)在[1,a 2]上单调减增,在(a 2,+∞)上单调递减,所以f ′(x)max =f ′(a 2)=a 24-2,由a 24-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a 的取值范围为(-1,8).。