2021学年高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案含解析北师大版必修3.doc

2．3 互斥事件

知识点一互斥事件

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1．互斥事件

不能同时发生的两个事件叫作互斥事件(或称互不相容事件)．

2．事件A与B的并(或和)

一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事件C称为事件A与B的并(或和)，记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．

3．互斥事件的概率加法公式

(1)如果A、B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(2)如果事件A1，A2，…A n两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪A n”发生(是指事件A1，A2，…A n中至少有一个发生)的概率等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．

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1．怎样正确理解事件A与事件B的和？

提示：并(和)事件具有三层意思：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A，B同时发生．即事件A，B中至少有一个发生．

与集合的并集的性质A∪B＝B∪A类似，事件A与事件B的并(和)事件等于事件B与事件A的并(和)事件，即A∪B＝B∪A.

例如在掷骰子的试验中，事件C，D分别表示投掷骰子出现2点、3点，则C∪D＝{出

现2点或3点}．

知识点二对立事件

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4．对立事件

(1)定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A.

(2)概率公式：P(A)＝1－P(A)．

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2．怎样正确理解互斥事件与对立事件？

提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个要发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．

1．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生．(2)事件A 不发生且事件B发生．(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生且事件B不发生．②事件B发生且事件A不发生．对立事件是互斥事件的特殊情形．

2．关于概率的加法公式：

(1)使用条件：A、B互斥．

(2)推广：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．

(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．

类型一互斥事件与对立事件的判断

【例1】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

【思路探究】判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生．【解】(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

规律方法互斥事件和对立事件的判断方法

(1)判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．

(2)判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，这两个事件就不是对立事件．

事实上，解决此类问题的关键是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等关键词．

抛掷一枚质地均匀的骰子，用图形画出下列每对事件所含结果构成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件．

(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；