离散数学-- 集合代数

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n
n
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6.1 集合的基本概念
证明（方法2）：
设A＝{a1,a2,……，an}，则：
一方面：对于A的任何子集S可以表示为一个 n位二进制数b1b2……bn，其中
0 bi 1
ai S ai S , n)
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(i 1, 2,
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第二部分 集合论
引言 第6章 集合代数 第7章 二元关系 第8章 函数
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集合论
集合论：
研究集合的数学理论
起源
George Cantor (1845-1918，德国)
重要性
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以 它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其
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答： (1) { { 1 , 2}, }
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6.2 集合的基本运算及恒等式
思考：
下列等式可能成立吗？若可能，刻画等式出现的全部
条件。 A－B＝A
A－B＝B
A－B＝B－A A－B＝
答： A∩B＝ ；
A＝B；
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A＝B＝ ；
AB
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独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。 说集合论正是构成这座大厦的基石。
集合论广泛地应用于计算机科学领域
如：形式语言、自动机理论、人工智能、数据库等。
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第6章 集合代数
6.1 集合的基本概念
6.2 集合的基本运算及恒等式
6.3 集合中元素的计数
本章小结
方法2： 找到一个集合T，满足：P T，T Q
则 P Q
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合的证明方法
2.证明 P＝Q
方法1： 对任意的x， x ∈P ………… x ∈Q 方法2：反证法 方法3：集合恒等式代入法
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6.2 集合的基本运算及恒等式
证：对任意的元素x
x∈(A∩B )∩ C x∈(A∩B) ∧x∈C
(x∈ A ∧x∈B) ∧x∈C x∈ A ∧(x∈B ∧x∈C )
x∈A ∧x∈(B∩C )
x∈A∩(B ∩ C) 由x的任意性，知 (A∩B )∩ C＝ A∩(B ∩ C)成立。
性质
A
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B
A－B
A －A ＝ φ A －φ＝A φ－A ＝φ
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6.2 集合的基本运算及恒等式
例 1：
设 A＝{1，2，4 ，5}, B＝{3，4，6} 计算：
A－B B－A A－A A－φ φ－A
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合广义交
定义 6.11
设：A={A1,A2,…,An}
A A 1 A2 An
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6.2 集合的基本运算及恒等式
2.并集的定义
A∪B＝{x|x∈A∨x∈B} A∪A＝ A
性质

A∪ φ ＝ A
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6.1 集合的基本概念
显然：
(1) φ A (2) A A (3) 若A B ∧ BC ，那么A C
推论：
空集是唯一的。
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6.1 集合的基本概念
幂集：
设A为一个集合，A的幂集ρ(A)是A的所有子集的集合，
A
可以看出
B
A∪ E＝ E
A∪ B＝ B∪ A (A∪B)∪ C＝ A∪(B ∪ C)
A∪(B∩ C)＝ (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C)
A∩(B∪ C)＝ (A ∩ B ) ∪(A ∩ C) A∪(A∩ B)＝ A
A A B, B A B
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A∩(A∪ B)＝ A
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(2) 任意a, b
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6.1 集合的基本概念
集合的基数
集合A中的不同元素个数称为集合A的基数，记做|A|。 集合的分类：
有限集合 无限集合
空集Ф
注意： Ф和{Ф}的区别
全集E
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6.1 集合的基本概念
集合间的关系的定义
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6.2 集合的运算及恒等式
1.交集的定义
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}
性质
A
可以看出
B
A B A, A B B
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A∩ A ＝ A A∩φ＝φ A∩ E ＝ A A∩ B ＝ B∩ A （ A∩ B ） ∩ C＝ A∩ （ B ∩ C）
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例 3：
求在1到1000 000之间（含1和1000 000在内）
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6.1 集合的基本概念
集合
集合是数学中的一个基本概念，一般地，由一些可区
分的对象组成的一个整体，称为集合。
通常用大写字母A、B、……表示集合。
集合的元素
集合中的对象称为集合的元素。 通常用小写字母a、b、c、……表示集合的元素。
注：
集合由它的元素所决定。
设A、B是任意两个集合
1. A B x(x ∈A → x ∈B) 2. A＝B A B ∧ BA x(x ∈A x ∈B) 3. A≠B x(x ∈A∧ x B ）∨ x(x ∈B∧ x A ）
4.A B (x)( x A x B) (y)( y B y A) A B A B
A B ( A B) ( A B)
A
B
A B B A A A A A A ( B C ) ( A B) C
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A⊕B
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6.2 集合的基本运算及恒等式
例
设A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，计算A⊕B。
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6.3 有穷集的计数
1. 设A，B为任意两个有穷集合，则
|A∪B|＝|A | ＋|B|－|A∩B|
A
B
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6.3 有穷集的计数
例 1：
有100名程序员，其中47名熟悉C#语言，35名熟悉
JAVA语言，23名熟悉两种语言。
问：有多少人对这两种语言都不熟悉？
i 1
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Ai A 1
A2
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合广义并
定义 6.10
设：A={A1,A2,…,An}
A A1 A2 An
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6.2 集合的基本运算及恒等式
3.集合的相对补（差集）
A－B＝{x|x∈A∧x B}
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6.2 集合的基本运算及恒等式
证明：A ∩ (B∪ C)＝ (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
证明：对于任意的x，若
x A (B C) x A xB C x A (x B x C) ( x A x B) ( x A x C ) x A B x A C x(A
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6.1 集合的基本概念
定理：若|A|＝n, 则|ρ(A)|＝2n；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ明（方法1）
∵对每个i(0≤i≤n)，A的恰有i个元素的子集的个数即是从
A的n个元素中选取i个元素的组合数.
∴
( A) C n C n C n 2
0
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合的交运算的推广
A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 记做： n
Ai A 1
A2
An
i 1
也可推广到无穷多个集合：
i 1
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Ai A 1
A2
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6.1 集合的基本概念
集合的元素的性质:
确定性
设a为任意元素，S为任意集合， 则a∈S或a S，二者必居其一，且只居其一。
集合中的元素是互异的; 集合中的元素无次序和大小之分; 抽象性
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6.1 集合的基本概念
练习:
(1) { a , b }＝{ a, b, c} (2) { a, b, a }＝{a,b} (3) { {a, }, b, {c} }＝{ {} }
求使得下列集合等式成立时，a, b, c, d应该满足的条件：
答：
(1) a＝c或c＝b
(3) a＝c＝,且b＝{}
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6.2 集合的基本运算及恒等式
4.集合的绝对补的定义：
A ＝{x|x∈E∧x A}
＝ {x|x A}
A A A A
A E A B A B A B B
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A A
A
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A
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6.2 集合的基本运算及恒等式
5.对称差的定义：
A⊕B＝（A－B）∪（B－A）
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6.2 集合的基本运算及恒等式
例 2：
设集合A＝{ 1 , 2 , {1,2} , }, 试计算：
① ② ③
④ ⑤ A－{ 1, 2 }; A－;
A－{ };
{ {1 ,2 } }－A; －A;
⑥
(4) ;
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{ }－ A
(2) A; (5) ; (3) {1 , 2, {1,2}} ； (6)
即：ρ(A)＝{B|B A}
例：
若A＝ φ，则ρ(A)={φ}； 若A＝ {a}，则ρ(A)={φ,{a}}； 若A＝ {a,b}，则ρ(A)={φ,{a},{b},{a,b}}； 若A＝ {a,b,c}，则
ρ(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}};
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6.2 集合的运算及恒等式
例：证明 (A∩B)∩ C＝ A∩(B ∩ C)
证明： ( A B) C { x | x A B x C} { x | x A x B x C} {x | x A ( x B x C )} {x | x A x B C )} {x | x A ( B C )} =A ( B C )
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6.1 集合的基本概念
集合表示方法
列举法
A＝{1，2，3，4} N＝{0，1，2，3，……} S＝{x|P(x)} 如： B＝{x|x∈R∧x2－1＝0} {{d}} }
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谓词表示法: 用谓词描述出集合元素的属性（特征）形如：
树形图表示法
如：A＝{ a, {b,c} , d,
解：
A－B＝{ 1，5 } B－A＝{ 4 } A⊕B＝{1,4,5}
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合的恒等式（集合的算律）（P92）
集合运算性质的重要结果（P94）
证明方法
（1）证明 P Q
方法1： 对任意的x， x ∈P ………… x ∈Q
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6.1 集合的基本概念
另一方面：
对于任意一个n位二进制数b1b2…bn，也可以 唯一地对应一个A的子集S
S {ai | bi 1 (i 1, 2,
, n)}
因此，n个元素的集合的子集个数与n位二进 制的个数相同，即|ρ(A)|＝2n成立。
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解：
设A、B分别表示熟悉C#和JAVA语言的程序员的集合，
则 法1：根据容斥原理求解 法2：使用文氏图求解
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6.3 有穷集的计数
例 2：
设|A|=3，|P(B)|=64， |P(A∪B)|=256，
求|B|，|A∩B|，|A－B|， |A⊕B|。
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B)
(A
C)
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由x的任意性知:A∩ (B ∪C)＝ (A ∩B ) ∪(A∩C)成立
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6.2 集合的基本运算及恒等式
集合的并运算的推广
A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
记做：
n i 1
Ai A 1
A2
An
也可推广到无穷多个集合：