一级倒立摆分析.
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
一级倒立摆系统
直线一级倒立摆建模与性能分析直线一级倒立摆建模及性能分析一、数学模型建立在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
u 为外界作用力；x 为小车位移； 为摆杆与铅垂方向的夹角；O 、G 分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M 为小车的质量；m 为摆杆的质量；J 为摆杆绕G 的转动惯量；l 为O 到摆杆质心的距离,L 为摆杆的长度；0f 为小车与导轨间的滑动摩擦系数，1f 为摆杆绕 O 转动的摩擦阻力矩系数。
对于上图的物理模型我们做以下假设： M ：小车质量 m ：摆杆质量 b ：小车摩擦系数l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。
因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2（1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ （1-2） 1.1 微分方程模型设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dt d θ。
一级倒立摆的建模与控制分析
研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析学院：机械工程学院班级：机研131姓名：尹润丰学号： 2013212020162014年6月2日目录1. 问题描述及状态空间表达式建立............................ - 1 -1.1问题描述................................................................. - 1 -1.2状态空间表达式的建立..................................................... - 1 -1.2.1直线一级倒立摆的数学模型........................................... - 1 -1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 ...................................... - 5 -2.应用MATLAB分析系统性能.................................. - 6 -2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析......................................... - 6 -2.2 系统可控性分析.......................................................... - 7 -2.3 系统可观测性分析........................................................ - 8 -3. 应用matlab进行综合设计................................. - 8 -3.1状态反馈原理............................................................. - 8 -3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真........................................ - 9 -4.应用Matlab进行系统最优控制设计......................... - 11 -5.总结.................................................... - 13 -1.问题描述及状态空间表达式建立1.1问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆实验报告
专 业 实 验 报 告 实验名称倒立摆实验 实验时间 姓名 学号一、实验内容1、直线一级倒立摆建模1.1 受力分析针对直线一级倒立摆，在实际的模型建立过程中，可忽略空气流动阻力和其它次要的摩擦阻力，则倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如图所示。
图1 小车系统各参数定义：M ：小车质量m ：摆杆质量β：小车摩擦系数l: 摆杆转动轴心到杆质心的长度I ：摆杆惯量F ：加在小车上的力X ：小车位置Ф：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角摆杆受力和力矩分析图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H摆杆竖直方向受力为：V由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩&&&&&& （1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。
当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG sml I s mgl=+-（2）倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量，kgm=0.109 % 摆杆质量，kg0.1β=% 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，mI= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G ss=-（3）1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x xθθ=&&（4）由2()I ml mgl mlxθθ+-=&&&&得出状态空间模型01001000000013300044xxxxxgglμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&（5）μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11&&xxxy（6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）111()()n n n n f s sI A BK s a s a s a --=--=++++L （11）设期望特征根为***12,,,n λλλL ，则期望特征多项式为：***1111()()()n n n n n f x s s s b s b s b λλ--=--=++++L L （12）由*()()f s f s =求得矩阵K 。
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
现控实验一级倒立摆状态反馈设计及时间响应实验总结
控制实验一级倒立摆的状态反馈设计可以分为以下几个步骤：
1. 系统建模：根据实际倒立摆的物理特性，建立系统的数学模型，包括倒立摆的运动方程和输出方程。
2. 设计状态反馈控制器：根据系统模型，设计状态反馈控制器的反馈矩阵K，使得系统在闭环下能够稳定并达到期望的性能指标。
3. 实施状态反馈控制器：根据设计好的控制器，对倒立摆系统进行实施。
4. 时间响应实验：进行时间响应实验，观察控制系统在不同输入下的响应情况。
可以通过给定不同的参考输入信号，如阶跃信号、正弦信号或任意波形信号等，来测试控制系统的性能。
根据实验结果进行总结时，需要注意以下几个方面：
1. 稳定性分析：观察控制系统是否能够保持稳定状态，即系统是否能够回到平衡位置并保持在该位置。
2. 超调量和调整时间分析：观察控制系统的过渡过程，检查系统是否出现过大的超调量和调整时间是否满足要求。
3. 鲁棒性分析：考察控制系统对参数变化、不确定性以及外部扰动的鲁棒性能。
4. 性能指标分析：根据实验结果，评估控制系统的性能指标，如误差大小、稳态误差、响应速度等。
总结实验时，尽量基于客观的实验数据和分析，对实验结果进行客观的评价和总结。
请注意，以上回答仅涉及到了一级倒立摆的状态反馈控制设计及时间响应实验总结的一般步骤，具体设计和总结要根据具体情境和实验要求进行。
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
直线一级倒立摆系统实验报告
直线一级倒立摆系统实验报告1. 实验目的：通过对直线一级倒立摆系统进行分析，掌握系统的基本原理、参数设置和控制策略；提高学生实际动手能力和科学实验能力。
2. 实验内容：（1）搭建直线一级倒立摆系统实验平台；（2）设置系统的动力学模型，采集系统的状态变量；（3）根据系统的特性设计控制策略，实现系统的稳定控制；（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。
3. 实验原理：直线一级倒立摆系统是一种经典的非线性控制系统，其原理和稳定性分析可以使用动力学建模方法来描述。
系统由直线弹簧、质量块、直线导轨和质量块的摆杆组成。
当摆杆处于垂直状态时，系统处于平衡状态；当摆杆被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
在实验中，我们选取了单摆系统作为直线一级倒立摆系统的原形。
单摆系统由一个质点和一个线性弹簧组成，其状态变量为质点的位置和速度。
当质点处于平衡位置时，系统拥有稳定状态；当质点被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
因此，我们可以使用单摆系统来研究直线一级倒立摆系统的控制策略。
4. 实验步骤：（1）搭建实验平台：搭建直线一级倒立摆系统实验平台，包括直线导轨、摆杆、质点、力传感器、位移传感器和控制电路等。
将质点放置在导轨上，并用摆杆将其固定在弹簧上。
使用力传感器和位移传感器来测量系统的状态变量。
（2）设置系统模型：对实验平台的动力学模型进行建模，将系统的状态变量与控制策略联系起来。
（3）设计控制策略：根据系统的特性设计相应的控制策略，使系统保持稳定状态。
常用的控制策略包括模型预测控制、PID控制、滑模控制等。
（4）记录实验数据：实验过程中需要记录系统的状态变量和控制参数，并进行数据处理和分析，得到实验结论。
5. 实验结果分析：通过对直线一级倒立摆系统的实验研究，我们发现系统的稳定控制需要根据其特性和实际情况来确定相应的控制策略。
在实验中，我们采用了模型预测控制策略，通过对系统的状态变量进行预测和调节，成功实现了系统的稳定控制。
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的成立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的成立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些要紧相关因素之间的精准的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测和操纵一个系统的理论基础。
因此，关于实际系统的数学模型的成立就显得尤其重要。
系统数学模型的构建能够分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模确实是通过在研究对象上加上一系列的研究者事前确信的输入信号，鼓励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手腕成立起系统的输入－输出关系。
机理建模确实是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手腕成立起系统内部的输入－状态关系。
关于倒立摆系统，由于其本身是不稳固的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在必然的困难。
可是通过警惕的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部份遵守牛顿运动定律，其电子部份遵守电磁学的大体定律，因此能够通过机理建模取得系统较为精准的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量散布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，如此就能够够通过力学原理成立较为精准的数学模型。
咱们能够应用牛顿力学的分析方式或欧拉－拉格朗日原理成立系统的动力学模型。
关于直线一级倒立摆如此比较简单的系统，咱们采纳通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了成立直线一级倒立摆的数学模型，采纳如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆彼此作使劲的水平和垂直方向的分量。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
一级倒立摆分析
一级倒立摆的极点配置及仿真摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是一级倒立摆，首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型，采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型。
然后通过输入单位阶跃信号分析系统的开环稳定性，由线性化得到的状态方程判断系统的能控性和能观性，结合系统的稳定性条件、调整时间以及超调量找到合适的极点，运用极点的配置方法（Matlab的acker函数）算出状态反馈增益矩阵K，运用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律，并判断加入反馈矩阵K后的能观性和能控性是否改变。
最后应用Matlab中的Simulink建立相应框图，得到输出变量水平位置和角度随时间的变化曲线，验证加入反馈矩阵K后一级倒立摆系统的稳定性。
关键词：一级倒立摆状态反馈极点配置Matlab Simulink目录1、一级倒立摆系统简介 (2)2、一级倒立摆系统的数学模型 (3)2.1、数学模型的建立 (3)2.2、运动分析 (4)2.2.1、沿水平方向运动（直线运动） (4)2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动） (6)3、状态空间极点配置 (8)3.1、系统开环稳定性分析 (8)3.2、开环系统的能控性分析 (10)3.3、开环系统的能观性分析 (11)3.4、系统极点配置 (12)3.5、闭环系统的能控性和能观性分析 (15)4、一级倒立摆系统Matlab仿真 (16)4.1、系统开环Simulink搭建及仿真 (16)4.2、系统极点配置后的Simulink仿真 (19)5、总结 (23)6、参考文献 (24)1、一级倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
一级倒立摆实验报告
一级直线倒立摆极点配置控制实验一、实验目的1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、PID 控制分析等内容。
2.熟悉利用极点配置方法来进行倒立摆实验的原理方法。
3.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用。
3.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。
二、实验设备计算机及MATLAB相关软件元创兴倒立摆系统的软件元创兴一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三、倒立摆系统介绍倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
四、倒立摆工作原理和物理模型以及数学模型（简述）1、工作原理：数据采集卡（也称运动控制卡，安装于计算机机箱的PCI插槽上）采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。
控制量由计算机通过运动控制卡下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现闭环控制。
一级倒立摆实验(状态反馈)
第1章倒立摆系统介绍1.1 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
1.2 倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。
直线一级倒立摆实验报告
Gs KDs2 KPs KI
s
相当于给系统增加了一个位于原点的开环极点和两个位置可变的开环零点，因此 对于低阶已知数学模型的系统，根据期望的性能指标可以采用根轨迹法确定PID 参数。
2、频域法确定PID参数 对于已知频率特性曲线的系统，PID控制器相当于 给频率特性曲线增加了积分环节和一个二阶微分环节，通过调整PID参数，可以 改变PID控制器的频率特性，进而改变闭环系统的频率特性。
当摆杆被控时，小车的运动的位移也受到导轨实际长度的限制。因此，输出量除 了摆杆角度外，还有一个小车运动的位移。位移与输入量小车加速度之间的关系 为：
X (s) 1
Rs s2
控制系统结构图:
1
s2
Transfer Fcn1
Pos
3
In1 Out1
Step
s2+-29.4
Addห้องสมุดไป่ตู้
Transfer Fcn
Step 0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
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由曲线可以看出，系统角度超调量为33.6%，调整时间接近0.55秒，位移变化平 稳，角度输出稳定。故这组参数可以作为PID控制参数；
2、基于计算机MATLAB 平台进行现场倒立摆控制，绘制实验曲线； 直线一级倒立摆系统是小车在光滑的导轨上运动，小车上铰链了一根摆杆，
一级倒立摆数学模型
一级倒立摆数学模型一、啥是一级倒立摆嘿，小伙伴们！咱们来聊聊一级倒立摆这个有趣的玩意儿。
其实啊，一级倒立摆就是一个简单又神奇的系统。
想象一下，一根杆子，上面顶着个重物，然后这根杆子还能自由地转动。
咱们要研究的就是怎么让这个杆子不倒，还能稳定地保持平衡。
是不是感觉有点难理解？没关系，接着往下看！二、为啥要研究它你可能会问，研究这东西有啥用啊？这用处可大了去啦！它能帮助我们理解和控制很多不稳定的系统。
比如说走路、飞机的平衡控制，甚至是火箭的姿态调整。
通过研究一级倒立摆，咱们能掌握让这些复杂系统稳定运行的方法和技巧。
而且，这也是学习控制理论的一个很好的例子，能让我们更深入地理解那些抽象的数学概念。
三、数学模型咋建立好啦，重点来啦！咱们来说说怎么建立一级倒立摆的数学模型。
咱们得搞清楚这个系统的物理特性，像杆子的长度、重物的质量、转动的摩擦力等等。
然后，根据牛顿定律和一些数学知识，就能列出一堆方程啦。
这里面会涉及到微分方程、线性代数这些知识，可别被吓到哦！其实就是把物理现象用数学语言描述出来。
比如说，咱们可以用一个角度来表示杆子的倾斜程度，然后根据力和力矩的平衡关系，就能得到描述这个系统动态变化的方程。
当然，这只是个简单的介绍，真正的模型建立可要复杂得多，但只要咱们一步一步来，也能搞明白的！四、模型有啥特点这个数学模型有一些很有趣的特点哦！比如说，它是非线性的，这就意味着它不像咱们平时学的那些简单方程那么好处理。
而且，它对初始条件很敏感，一点点小的变化可能就会导致系统的行为完全不同。
不过，咱们可以通过一些方法，把它近似地转化为线性模型，这样就能用我们熟悉的控制方法来研究啦。
好啦，小伙伴们，关于一级倒立摆的数学模型就先讲到这里，希望大家能对它有个初步的认识和了解，要是感兴趣的话，还可以自己深入研究研究哦！。
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统分析一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。
摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。
我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。
首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程：1.支撑杆垂直方向受力平衡方程：-mgl sinθ = 0其中g为重力加速度。
2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系：τ=Iα其中τ = ml^2/3α。
3.摆杆绕旋转中心的转动方程：τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ可以得到α与θ之间的关系：α = -3g/(2l)sinθ。
以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。
其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。
接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。
线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。
我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。
根据第一条方程，当θ=0时，系统达到平衡。
在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。
接下来，我们对系统进行线性化。
首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即：θ=θ_e+Δθ+δθ其中θ_e为平衡点的角度。
将上述表达式带入到第三条方程中，并只保留一阶项，可以得到线性化的转动方程：α = -3g/(2l)(sinθ_e + cosθ_e Δθ +cosθ_e δθ)。
我们可以进一步线性化该方程，即将sinθ_e和cosθ_e在一阶项展开，并忽略二阶项，得到：α=-3g/(2l)(θ_e+Δθ+δθ)。
一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计 ppt课件
•
21.4174 28.3480 计算 A GC 6.3224 122.1830
1 3.9281 0 0 78.5615 0 0 27.9079 1 0 152.8225 0.6747
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• 带状态观测器的状态反馈系统为
• 比较 p(s) a s • 可求得
0.6747 5.9747k 4 k 2 24.2 58.6118 5.9747k 0.6747k k 193 3 2 1 0.6747k1 58.6118k 2 600 - 58.6118k1 900
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• 解得 k1 15.3551 , k2 10.4136 , k3 45.8588 , k4 5.6804 • 则反馈增益阵为
K -15.3551-10.4136 45.8588 5.6804
• 状态反馈通过调整K能任意配置闭环系统的极点 ，有效地改善系统的性能。同时，系统解耦、镇 定、渐近跟踪以及最优控制等都离不开状态反馈 。但状态反馈的前提条件是必须得到系统内部的 各个状态变量，而系统的状态变量往往比较难获 取，甚至是无法测量，因此需要设计状态观测器 来重构系统的状态。
一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与 观测器设计
ppt课件
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1.建立一级倒立摆数学模型
•
图1过程中忽略了空 气阻力和弹性形变等。
ppt课件 2
• 首先对摆杆进行受力分析，如图2所示。其中H表 示摆杆受到的水平方向力，N表示摆杆所受的竖直 方向的力，摆杆所受的旋转摩擦力矩用 c 表示， 则得到摆杆平面运动微分方程。
• 可知系统完全能观，满足全维观测器极点配置条 件。
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。
然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。
倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。
倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6） 把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8） 其中])())([(22ml ml I m M q -++=。
一阶倒立摆模型建立与正确性分析实验报告
一阶倒立摆模型建立与正确性分析【实验目的】学会建立一阶倒立摆模型建立，并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性。
【实验设备与软件】MATLAB/Simulink【实验原理】对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程下面我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型一阶倒立摆系统的数学模型.微分方程的推导：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一阶倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统.图一直线一阶倒立摆系统图取小车质量M=1.096kg，摆杆质量m=0.109kg，摆杆与小车间的摩擦系数b1=0.001N.m.s.，小车水平运动的摩擦系数b2=0.1N.m.s.，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度l=0.25m，加在小车上的力F，小车位置X，摆的角度θ摆杆惯量J。
一．忽略摩擦摆杆绕其重心的转动方程为：J=—l （1）摆杆重心的水平运动可描述为：=m(x+) （2）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为：—mg= m(x+l) （3）小车水平方向运动可描述为：F—=M （4）由式(2)和式（4）得到：（M+m ）x+ml （—）=F （5）由式（1）式（2）和式（3）得：J+mml=mgl （6）整理式（5）和式（6）得：（7）若只考虑θ=0 在其工作点附近（0*<θ<10）的细微变化，这时可近似认为 ， sin θ=θ，cos θ=1,J=由此得到的简化近似模型为：代入数值得本实验中倒立摆的简化模型：二．有摩擦定义逆时针转动为正方向。
设摆杆的重心为（）,则（1）根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程：（1） 摆杆绕其重心转动的力学方程为：J=l+l b1 （2）式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：2312123J mL L ml ==。
这里，杆重力的转动力矩为0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为0。
一级倒立摆摆起研究
感谢老师对我的指导！ 感谢同学们对我的帮助！
立摆起摆所要解决的问题就是在最短的 时间内使摆杆由初始的垂直向下的位置摆 起到竖直向上的位置并保持稳定
起摆控制
★按位置摆起
★按时间摆起
稳定控制
★模糊控制
★线性二次型最优状态 调节器 （LQR）
按位置摆起
按时间摆起
两种起摆方式的总结 比较位置控制和时间控制两种方法，从实际曲线上 看，时间控制较位置控制在时间上要快一个周期。实 验中，位置控制需要来回摆动2.5次，到达最值，而时 间控制需要来回摆动1.5次，即可到达最值。表面看来， 这是两种不同的方法。但通过我的分析，发现其最本 质的控制同样是基于其摆杆的频率而言的。换句话说， 只是表现的形式不同罢了。总的来看，这两种方法都 能在很短的时间里起摆，控制较迅速。但缺点也是显 而易见的。由于两种方法都基于其频率，因此，对外 界环境的要求较高，也就是其鲁棒性不高。比如：要 保证摆杆处于绝对静止状态，整个倒立摆的实验设备 安装水平，皮带无较明显的摩擦。否则会引起一定的 谐振，使摆杆不能到达切换位置或过快超过切换位置。
隶属度与概率的区别
假如你在沙漠中不幸迷了路，而且已经 好几天没有见到水了。这是你突然看到 两个装着液体的瓶子，其中一个贴有标 签表示它盛有纯净水的概率是0.91，而另 一个瓶子上的标签表示瓶中液体属于纯 净水的隶属度是0.91。很显然，你会选择 后者的瓶子。因为前者可能会是有毒液 体，后者尽管不干净，但是一定能喝。
一级倒立摆摆起方法的研究
倒立摆系统在控制过程中能有效地反映控制 中的许多关键问题，如非线性、系统鲁棒性、 随动、镇定及跟踪问题等。当新的控制理论 与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和 实用性加以物理验证，并对各种方法进行快 捷、有效、生动的比较。许多抽象的控制理 论概念如系统的稳定性、可控性和抗干扰能 力等都可以通过倒立摆实验直观的表现出来， 还能将控制理论涉及的三个主要基础学科: 力学,数学和电学进行有机的综合应用。所 以倒立摆一直是进行教学和理论研究的典型 对象。由于倒立摆系统与双足机器人，火箭 飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性， 因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理 论和实践意义。
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
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一级倒立摆的极点配置及仿真摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是一级倒立摆，首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型，采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型。
然后通过输入单位阶跃信号分析系统的开环稳定性，由线性化得到的状态方程判断系统的能控性和能观性，结合系统的稳定性条件、调整时间以及超调量找到合适的极点，运用极点的配置方法（Matlab的acker函数）算出状态反馈增益矩阵K，运用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律，并判断加入反馈矩阵K后的能观性和能控性是否改变。
最后应用Matlab中的Simulink建立相应框图，得到输出变量水平位置和角度随时间的变化曲线，验证加入反馈矩阵K后一级倒立摆系统的稳定性。
关键词：一级倒立摆状态反馈极点配置Matlab Simulink目录1、一级倒立摆系统简介 (3)2、一级倒立摆系统的数学模型 (4)2.1、数学模型的建立 (4)2.2、运动分析 (5)2.2.1、沿水平方向运动（直线运动） (5)2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动） (7)3、状态空间极点配置 (9)3.1、系统开环稳定性分析 (9)3.2、开环系统的能控性分析 (11)3.3、开环系统的能观性分析 (12)3.4、系统极点配置 (13)3.5、闭环系统的能控性和能观性分析 (16)4、一级倒立摆系统Matlab仿真 (17)4.1、系统开环Simulink搭建及仿真 (17)4.2、系统极点配置后的Simulink仿真 (20)5、总结 (24)6、参考文献 (25)1、一级倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。
它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。
在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。
小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。
直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。
图1一级倒立摆装置简图由图1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。
导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。
倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。
控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，PID 控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。
2、一级倒立摆系统的数学模型2.1、数学模型的建立一级倒立摆系统示意图如下图所示，系统由小车、小球和轻质杆组成。
倒摆通过转动关节安装驱动小车上，杆子的一端固定在小车上，另一端可以自由地左右倒下。
通过对小车施加一定的外部驱动力，使倒摆保持一定的姿势。
图2 一级倒立摆系统示意图一级倒立摆系统所用到的各变量的取值及其意义如下表1所示：表1 各变量的取值及其意义2.2、运动分析假设轨道是光滑的，忽略摆杆的质量，系统所受的外力包括小球受到的重力和小车水平方向的驱动力u。
x(t)和θ(t)分别表示小车的水平坐标和倒摆偏离垂直方向的角度。
由此分析可知一级倒立摆有两个运动自由度：一个是沿水平方向运动（直线运动）；另一个是绕轴线的转动（旋转运动）。
2.2.1、沿水平方向运动（直线运动）通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程：图3 倒立摆系统水平方向受力分析图X 轴方向：u x dt d m x dt d M G =+2222 ①小球的重心坐标满足：⎩⎨⎧=+=θθcos sin l y l x x G G ②将小球的重心坐标代入①式得：u l x dt d m x dt d M =++)sin (2222θ ③联立①②③式得：u ml ml x m M =+-+..2...)(cos )(sin )(θθθθ2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动）图4 倒立摆系统转动受力分析图小球的力矩平衡方程：lmg l F l F y x )sin ()sin ()cos (θθθ=-④④式中x F 、y F 分别为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+-==...222...2..22])(sin )(cos [])(cos )(sin [θθθθθθθθl l m y dt d m F l l x m x dt d m F G y G x ⑤将⑤式代入④式整理得：θθθsin cos ....mg ml x m =+最后得到倒立摆系统的动力学方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+.......2..sin cos )(cos )(sin )(θθθθθθθmg ml x m u ml ml x m M ⑥ 显然该系统为明显的非线性系统。
但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位置（θ＝0）附近进行线性化处理。
2.3、模型转化(微分方程→状态方程)由倒摆系统的动力学模型⑥式，取如下状态变量：θ=1Z 1..2Z Z ==θ x Z =3 .3.4Z x Z == 可得到倒摆系统的状态方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-++-++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12112214122211112..cos sin cos )(sin )(cos )sin (cos sin )(cos z m m M zz mg z z ml u z l m M z ml z z z ml z g m M z u z x x dt d z dt d θθ2.4、状态方程的线性化采用Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为：u M Ml z M mg Ml g m M dt dz ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=10100001000000)(0010假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x 轴坐标，则系统的输出方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=..00100001x x CZ x y θθθ3、状态空间极点配置3.1、系统开环稳定性分析由状态方程的标准形式：X AX Bu Y CX Du•=+=+结合表1中各变量的值可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0004905.010********.200010A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5.0010B⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00100001C⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00D 上面已经得到系统的状态方程式，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB 指令区中键入以下命令：A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ]; B=[0 ;-1; 0;0.5 ]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=[0;0]; step(A,B,C,D);图5 系统稳定性仿真图可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置(x)和摆杆角度(θ)都是发散的。
即系统是不稳定的。
3.2、开环系统的能控性分析采用状态反馈对系统进行任意配置极点的充要条件是系统完全能控，因此本小节对所建立的系统状态方程运用Matlab 进行能控性的分析。
系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。
对于n 阶线性定常系统：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)()()()()()(.t Du t Cx t y t Bu t Ax t x能控性矩阵为[]BA B A AB B U n c 12...-=当rankUc=n 时，系统状态完全能控，否则系统不能控。
在Matlab 中，可利用ctrb()函数直接求出能控性矩阵，从而确定系统的状态能控性，它的调用格式为：Uc=ctrb(A,B)。
在MATLAB 指令区中键入以下命令：A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ]; B=[0 ;-1; 0;0.5 ]; Uc=ctrb(A,B); n=4;if (n==rank(Uc)) disp('系统能控')End其结果为：系统能控。
可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
3.3、开环系统的能观性分析控制系统大多数采用反馈控制形式。
在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态组合而成。
但并非所有的系统的状态变量在物理上能侧取到，于是提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的观测问题。
对于n 阶线性定常系统：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)()()()()()(.t Du t Cx t y t Bu t Ax t x能观测性矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n c CA CA C V当rankVc=n 时，系统的状态完全能观测，否则系统状态不能观测。
在Matlab 中，可利用obsv()函数直接求出能观性矩阵，从而确定系统的状态能观测性，它的调用格式为：Vc=obsv(A,C)。
在MATLAB 指令区中键入以下命令：A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0 ]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; Vc=obsv(A,C); n=4;if (n==rank(Vc)) disp('系统能观') End其结果为：系统能观。
系统的状态完全能观性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全能控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数，所以系统能观。
3.4、系统极点配置下面采用极点配置的方法计算反馈矩阵。
1、检验系统可控性由上节的系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数4，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量的维数2，所以系统可控。