(初二8)连续正整数的性质.
数字的连续整数关系与运算
数字的连续整数关系与运算在数学中，连续整数关系与运算是指一系列正整数相继排列并进行数学运算的关系。
这种关系在数论、代数以及应用数学中有广泛应用。
本文将探讨数字的连续整数关系与运算的性质和应用。
一、连续整数的性质连续整数指的是以整数形式从小到大连续排列的一系列数。
连续整数之间的差值始终为1，例如1、2、3、4、5就是一组连续整数。
1. 连续整数的和连续整数的和可以通过求取首项与末项乘以项数再除以2来计算。
例如，求取整数1到5的和可以使用以下公式：(首项 + 末项) ×项数 ÷ 2 = (1 + 5) × 5 ÷ 2 = 152. 连续整数的乘积连续整数的乘积可以通过求取首项与末项的阶乘之商来计算。
例如，求取整数2到5的乘积可以使用以下公式：末项的阶乘 ÷首项的阶乘 = 5! ÷ 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 × 1 = 120二、连续整数关系的应用1. 素数与连续整数素数是只能被1和本身整除的正整数。
在连续整数中，可以观察到一些特殊的素数关系。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+1将得到2，这是最小的素数；首项+2将得到3，这是连续整数中的第二个素数。
类似地，首项+6将得到7，首项+30将得到31，它们都是素数。
这种关系被称为孪生素数（连续素数之间差距为2）与孪生素数对（如2和3，7和11）。
2. 连续整数与平方数平方数是某个整数的平方。
在连续整数中，可以发现一些平方数的特性。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+2将得到3，首项+3将得到6，首项+4将得到10，这些都不是平方数。
然而，当连续整数的首项为1时，首项+4将得到5，首项+9将得到10，首项+16将得到17，它们都是平方数。
这种关系可以使用以下公式表达：一个连续整数序列中，从第二项开始，每一项的差值递增，所形成的数列即为平方数列。
第35讲 整数性质
这里 M，N∈Z．于是 19981998+20002000－2001=1999M+1999N－1999=1999(M+N－1)， 从而 1999 | (19981998+20002000－2001)． 说明 对于整数的高次方幂的整除，除了运用同余的性质，二项式
定理和因式分解的裴蜀定理是常用的工具。 链接 因式分解公式（裴蜀定理） ： 对大于 1 的整数 n 有 xn－yn =(x－y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+„„+xyn-2+yn-1)； 对大于 1 的奇数 n 有 xn+yn =(x+y)(xn-1－xn-2y+xn-3y2－„„－xyn-2+yn-1)； 对大于 1 的偶数 n 有 xn－yn =(x+y)(xn-1－xn-2y+xn-3y2－„„+xyn-2－yn-1)； 二项式定理：
1
则 d 是 a 的正因数的充要条件是
d= p1 1 p2 2 …pi i …pS S ，其中
0≢βi≢αi，i=l，2，„，s． 由此可知，a 的正因数的个数为 d(a)=(α1+1) (α2+1)„(αs+1) ． 由 a 的标准分解式 a= p1 1 p2 2 …pi i …pS S (i=l，2，„，s)，若 a 是 整数的 k 次方， 则 αi(i=l， 2， „， s)是 k 的倍数． 若 a 是整数的平方， 则 αi(i=l， 2，„，s)是偶数． 推论：设 a=bc，且(b，c)=1，若 a 是整数的 k 次方，则 b，c 也是整数 的 k 次方．若 a 是整数的平方，则 b，c 也是整数的平方．
初中数学竞赛整数的性质及应用(一) 奇数与偶数
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
初中数学竞赛精品标准教程及练习70：正整数简单性质的复习
初中数学竞赛精品标准教程及练习(70>正整数简单性质地复习一. 连续正整数一.n位数地个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数地个数共__________.(n是正整数>练习：1. 一本书共1989页，用0到9地数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成地数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1地两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.4. 从1到100地正整数中，共有偶数____个，含 3地倍数____个；从50到1000地正整数中，共有偶数____个，含3地倍数____个.二. 连续正整数地和：1+2+3+……+n=(1+n>×.把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数地连续数地和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.1+3+5+……+99=____________.5+10+15+……+100=_________.1+4+7+……+100=____________.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______和等于100地连续正整数共有______组，它们是______________________.和等于100地连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写地整数，各位上地数字和整数 123456789各位上地数字和是：(0+9>+(1+8>+…+(4+5>=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99>+(1+98>+…+(49+50>+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上地数字和是_____________.把由1开始地正整数依次写下去，直到第198位为止：这个数用9除地余数是__________.由1到100这100个正整数顺次写成地数1234……99100中：它是一个________位数；它地各位上地数字和等于________；从这一数中划去100个数字，使剩下地数尽可能大，那么剩下地数地前十位是___________________________.四.连续正整数地积：① 1×2×3×…×n 记作n !读作n地阶乘.② n个连续正整数地积能被n!整除.如：2!|a(a+1>, 3!|a(a+1>(a+2>, n !|a(a+1>(a+2>…(a+n－1>. a为整数.③ n!中含有质因数m地个数是++…+.[x]表示不大于x地最大正整数，i=1,2,3… m i≤n如：1×2×3×…×10地积中，含质因数3地个数是：=3+1=4练习：15. 在100!地积中，含质因数5地个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘地积中，末尾共有零_______个17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a2－1>(a+2> a为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.二. 正整数十进制地表示法一. n+1位地正整数记作：a n×10n+a n－1×10n－1+……+a1×10+a0其中n是正整数，且0≤a i≤9 (i=1,2,3,…n>地整数, 最高位a n≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100地任何次幂除以9地余数都是1，即100 n=(99+1> n≡1 (mod 9>∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 >=99 k+(12+33>+(13+32>+…+(22+23>=99k+45×11=99k+99×5.∴A能被99整除.练习：20. 把从19到80地连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二. 常见地一些特例=10 n－1, =(10 n－1>, (10 n－1>.例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中地任何一个，都是两个相邻地正整数地积.证明：第n个数是=×10 n+=(10 n+2>===×. 证毕.练习：21. 化简×+1=_______________________________.22. 化简=____________________________________________.23. 求证是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除.求证：数p=和数q=都能被1987整除.证明：把一个大于1000地正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数地差，能被7(或13>整除，则这个正整数就能被7(或13>整除.求证：×15+1是完全平方数.三. 末位数地性质.一.用N (a>表示自然数地个位数. 例如a=124时，N (a>=4；a=－3时，N (a>=3.1. N (a4k+r>=N (a r> a和k都是整数，r=1,2,3,4.特别地：个位数为0，1，5，6地整数，它们地正整数次幂地个位数是它本身.个位数是4，9地正偶数次幂地个位数也是它本身.N (a>=N (b>N (a－b>=010 |(a－b>.若N (a>=a0, N (b>=b0.则N (a n>=N (a0n>； N (ab>=N (a0b0>.例题1：求①53100 ；和②7地个位数.解：①N (53100>=N (34×24+4>=N (34>=1②先把幂地指数77化为4k+r形式，设法出现4地因数.77=77－7+7=7(76－1>+4+3=7(72－1>(74+72+1>+4+3=7×4×12× (74+72+1>+4+3=4k+3∴N(7>=N(74k+3>=N(73>=3.练习：27. 19891989地个位数是______，9地个位数是_______.求证：10 | (19871989－19931991>.2210×3315×7720×5525地个位数是______.二. 自然数平方地末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方地个位数地和，有如下规律：12，22，32，……，102地个位数地和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方地个位数地和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892地和地个位数地数字是_______.解：∵12，22，32，……，102地个位数地和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，地平方地个位数地和也都是45. 所以所求地个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0>×(12345678+1>地个位数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数地平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法>设五个连续整数地平方和是完全平方数，那么可记作：(n－2>2+(n－1>2+n2+(n+1>2+(n+2>2=k2 (n, k都是整数>5(n2+2>=k2 .∵ k2是5地倍数，k也是5地倍数.设k=5m, 则5(n2+2>=25m2.n2+2=5m2.n2+2是5地倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2地倍数是8或3.但任何自然数平方地末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数地平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数地其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证： a(a+1>+1不是完全平方数证明：∵a(a+1>+1=a2+a+1，且a是正整数∴ a2< a(a+1>+1=a2+a+1<(a+1>2，∵a 和a+1是相邻地两个正整数，a(a+1>+1介于它们地平方之间∴a(a+1>+1不是完全平方数例题4. 求证： (n>1地正整数> 不是完全平方数证明：根据奇数地平方数除以4必余1，即(2k+1>2=4(k+1>+1.但==4k+11=4k+4×2+3=4(k+2>+3即除以4余数为3，而不是1，∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数地平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数>是任意地两个奇数.∵(2a+1>2+(2b+1>2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b>+2.这表明其和是偶数，但不是4地倍数，故任意两个奇数地平方和，都不可能是完全平方数.三.魔术数：将自然数N接写在每一个自然数地右面，如果所得到地新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见地魔术数有：a)能被末位数整除地自然数，其末位数是1，2，5 (即10地一位正约数是魔术数>b)能被末两位数整除地自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100地两位正约数也是魔术数>>能被末三位数整除地自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000地三位正约数也是魔术数>练习：30. 在小于130地自然数中魔术数地个数为_________.四. 两个连续自然数，积地个位数只有0，2，6；和地个位数只有1，3，5，7，9.练习：31.已知：n是自然数，且9n2+5n+26地值是两个相邻自然数地积，那么n地值是：________ ___________.四. 质数、合数1.正整数地一种分类：2.质数中，偶数只有一个是2，它也是最小地质数.3.互质数：是指公约数只有1地两个正整数. 相邻地两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一地，其中地一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求地合数.∵m!+i (2≤i≤n+1> 有公约数i.练习：32. 已知质数a，与奇数b 地和等于11，那么a=___,b=___.33.两个互质数地最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34.写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1>×2， m!=22!那么所求地合数是22!+3，_____,____,____,……35.写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N是不大于11地质数地积>.那么N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求地合数.这是为什么？如果要写15个呢？36.已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n是合数.五.奇数和偶数1.整数地一种分类：2. 运算性质：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数>正整数=奇数，(偶数>正整数=偶数.4. 其他性质：①两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.②奇数地平方被4除余1；偶数地平方能被4整除；除以4余2或3地整数不是平方数.a)2n (n为正整数>不含大于1地奇因数.b)若两个整数地和(差>是奇数，则它们必一奇一偶.c)若n个整数地积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3－n3为偶数地充分必要条件是m－n为偶数.证明：∵m3－n3＝<m－n）(m2+mn+n2>.当m－n为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3－n3都是偶数；∴m－n为偶数是m3－n3为偶数地充分条件.当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，∴m2+mn+n2是奇数，从而m3－n3也是奇数.∴m－n为偶数，是m3－n3为偶数地必要条件.综上所述m3－n3为偶数地充分必要条件是m－n为偶数.例2. 求方程x2－y2=1990地整数解.解：(x+y>(x－y>=2×5×199.若x, y同是奇数或同是偶数，则x+y，x－y都是偶数，其积是4地倍数，但1990不含4地因数，∴方程左、右两边不能相等.若x,y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等.所以原方程没有整数解本题是根据整数地一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程地解地可能性.练习：37. 设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数地和是奇数，那么它们地立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知：求证：n是4地倍数.42.若n是大于1地整数，p=n+(n2－1>试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能.六. 按余数分类1.整数被正整数 m除，按它地余数可分为m类，称按模m分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2.整数除以9地余数，与这个整数各位上地数字和除以9地余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9地余数分别是0，8，6.那么这三个数除以9地余数也分别是0，8，6.3.按模m分类时，它们地余数有可加，可乘，可乘方地性质.如：若a=5k1+1, b=5k2+2.则a+b除以5 余数是3 (1+2>；ab除以5余2 (1×2>；b2除以5余4 (22>.例1. 求19891989除以7地余数.解：∵19891989=(7×284+1>1989，∴19891989≡11989≡1 (mod 7>.即19891989除以7地余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n－1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a是整数，最简分数化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4.运用余数性质和整数除以9地余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ；② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9地余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7，∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9地余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确地，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ；②23366292÷6236=3748.5.整数按模分类，在证明题中地应用例3. 求证：任意两个整数a和b，它们地和、差、积中，至少有一个是3地倍数.证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2>，那么a, b地差是3地倍数；如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b地积是3地倍数；如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b地和是3地倍数.综上所述任意两个整数a，b，它们地和、差、积中，至少有一个是3地倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏>例4. 已知： p≥5，且 p和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数>三类讨论∵p是质数，∴不能是3地倍数，即p≠3k；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1>+1=3(2k+1>. ∴ 2p+1不是质数，即p≠3k+1；只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2>+1=6k+5.∴2 p+1也是质数，符合题设.这时，4p+1=4(3k+2>+1=3(4k+3>是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数地平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a不是5地倍数. 则a8+3a4－4能被100整除.50.已知：自然数n>2求证：2n－1和2n+1中，如果有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c是三个互不相等地正整数，求证a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个能被10整除.七. 整数解1.二元一次方程ax+by=c地整数解：当a,b互质时，若有一个整数地特解那么可写出它地通解2.运用整数地和、差、积、商、幂地运算性质整数±整数=整数，整数×整数=整数，整数÷(这整数地约数>=整数， (整数>自然数=整数3.一元二次方程，用求根公式，根地判别式，韦达定理讨论整数解.4.根据已知条件讨论整数解.例1.小军和小红地生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日地日期地和等于34，小军比小红早出生，求小军地生日.解：设小军和小红地生日分别为x, y，根据题意，得(k=1,2,3,4> 2x=34－7k x=17－k=1, 3时， x没有整数解；当k=2时，当k=4时， (10月份没有31日，舍去>∴小军地生日在10月10日例2.如果一个三位数除以11所得地商，是这个三位数地各位上地数地平方和，试求符合条件地所有三位数.解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，0<a≤9，0≤b, c≤9.那么，且－8<a－b+c<18.要使a－b+c被11整除，其值只能是0和11.( 1>当a－b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理为关于a地二次方程，得2a2+2(c－5>a+2c2－c=0根据韦达定理这是必要而非充分条件.∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a地解.当c=2, 4时，无实数根；当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或a=0. (a=0不合题意，舍去>∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求地三位数是550；(2>当a－b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理为关于a地二次方程，得2a2+2(c－16>a+2c2－23c+131=0.仿(1>通过韦达定理，由c地值逐一以讨论a地解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件地三位数有550和803.练习：52. 正整数x1, x2, x3,……x n满足等式x1＋x2＋x3＋x4+x5=x1x2x3x4x4x5那么x5地最大值是________.53.如果p, q, 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q地值.54.能否找到这样地两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立.试说出你地猜想，并加以证明.55.当m取何整数时，关于x地二次方程m2x2－18mx+72=x2－6x地根是正整数，并求出它地根.若关于x地二次方程<1+a）x2+2x+1－a=0地两个实数根都是整数，那么a地取值是________________.不等边三角形地三条边都是整数，周长地值是28，最大边与次大边地差比次大边与最小边地差大1，适合条件地三角形共有____个，它们地边长分别是：______________________________________________________________.58.直角三角形三边长都是整数，且周长地数值恰好等于面积地数值，求各边长.59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？若1×2×3×4×……×99×100=12n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立地最大自然数，则M是( >(A>.能被2整除，不能被3整除 . (B>.能被3整除，但不能被2整除.(C>.被4整除，不能被3整除. (D>.不能被3整除，也不能被2整除.练习70参考答案：1.9+90×2+900×3+990×4=68492.2893 795630，300，3×10n－1 4. 50, 33, 476, 317 . 5.2550 6.2500. 7. 10501.1717. 9.奇数 (1+1989>× .10有两组：18，19，20，21，22；9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中地两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位>.14. (1>192 (2>901 (3>9999978596 15.+=2416.60个. 计算积中含质因数5地个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5地共有(700－10>÷15+1=47；而25，100，175，……700含有52因数，应各加1个5，共有(100－25>÷75+1=10；且250，625，含有53因数，应再各加1个5，共有 2个；625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是47+10+2+1=60.17. =379+79+15+3=49418. 把a(a2－1>(3a+2>化为a(a+1>(a－1>[(2a+4>+(a－2>]=2(a－1>a(a+1>(a+2>+(a－2>(a－1>a(a+1>.19.根据两个连续整数必互质，把n+1个正整数按非连续数单独分组，因为它们都小于2n,所以最多分为n组，那么n+1个正整数至少有一个不能单独分组，即与n组中地一个互质.20. 易证能被20整除，再证能被99整除21. 原数=(10n－1>2+1×10n+(10n－1>=102n22. 原数=×(102n－1>－2××(10n－1>=……=(>2=(23. 原数=×(101990－1>=×(10995+1>(10995－1>=×(10995+1>(10－1>×N (N为整数>24. p=×(103n+9×102n+8×10n+7>q=×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7>∵10n=9×+1，103n+3，102n+2，10n+1除以地余数分别为103，102，10.∴q地第二因式除以地余数分别为1×103+9×102+8×10+7……25.设A=103 M+N，7|(M－N>.A=103 M+N=103 M+M－M+N=1001M－(M－N>.26. 原数==……27. 1. 28. 71与33地个位数相同. 29 . 0.30.9个(1，25，10，20，25，50，100，125>.31.2，6. 可设9n2+5n+26=m(m+1>, 配方，分解因式32.2，9. 33. 8，9.34.22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135.可设2×3×5×7×11×13×17，那么 N+2，N+3，……N+16即所求.(22n+1>2+(x2n>2+2×22n+1×x2n－4×22n×x2n=(22n+1+x2n>2－(2 ×2m×x n>2……37.奇数. 38 奇数 .39.4个正整数地和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40.若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41.若n为奇数，则与(1>矛盾；若n为偶数，由(1>可知，偶数必成双，再由(2>知n是4地倍数.42.奇数 43. 星期二，∵9 9除以7余数是1.44.除以整数n－1地余数，最多只有n－1种45.六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46.①不对，∵用9除地余数 11－7≠5，②错.8×2=32，除以9余数不是6.47.a=6k±1，a2+23=12k(3k±1>+24把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2,4n+3.其平方后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数地和都不等于6.a8+3a4－4=(a4+4>(a2+1>(a2－1>, a≠5k,则a=5k±1,5k ±2, a2除以5地余数分别为1和4， a4除以5余数均为1.50.2 n 不是3地倍数，可分别设为3k+1，3k－1.51.(同练习69第10题>. 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m>(n－m>=1986 按n+m, n－m同奇，同偶讨论.55. 原方程化为<m2-1）x2-6(3m-1>x+72=0, [(m+1>x-12][(m-1>x-6]=0. x1=；x2=. ∵方程地根是自然数，∴∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x1=4；或 x2=6. 当 m=3时, x1=x2=3.56. a=－3,－2, 0, 1 (x1+x2=－, x1x2=－1+>57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58.6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏一只分别值x,y,z钱，则消去一元，得二元一次方程： 7x+4y=200. 求自然数解，得有四组答案：60. x+y+z=40.61. 选(A>. 根据连续整数地积地性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
整数的整除性
整数的整除性整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个. 特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则（7）如在等式∑∑===mk kni i ba 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论： （1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1. （3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6. （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7. （6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
consecutive在数学中的含义
《探寻连续性：consecutive在数学中的含义》第一部分：导论1. 主题概述连续性是数学中一个重要且神秘的概念，贯穿于各个领域的数学理论和实际应用中。
本文将深入探讨其中一个重要概念——consecutive在数学中的含义。
2. 对consecutive的理解我们需要明确consecutive这个词的含义。
在数学中，consecutive通常指的是紧邻、相邻或连续的意思。
在正整数中，连续的正整数指的是相邻的整数，如1、2、3、4等。
而在其他数学概念中，consecutive的含义可能会有所不同，接下来我们将一一探讨。
第二部分：consecutive在正整数中的应用3. 连续正整数的性质在正整数中，连续的数有着许多有趣的性质。
它们的和是一个等差数列，如1+2+3+4=10，可以表示为n(n+1)/2的形式。
连续的正整数之间有着特定的倍数关系，如3、4、5就是3的倍数，4的倍数和5的倍数。
4. 连续正整数的应用举例在实际生活中，连续正整数的应用也是非常广泛的。
比如在数学题中，常常会出现求连续正整数和的问题，或者是寻找满足特定条件的连续正整数序列。
对于这类问题，掌握连续正整数的性质和特点是非常有帮助的。
第三部分：consecutive在其他数学概念中的应用5. 连续函数的定义除了在正整数中的应用，consecutive在数学中还有着更广泛的应用。
在微积分中，我们常常会接触到连续函数的概念。
连续函数是指在一定区间内，函数图像没有突变或跳跃，而是平滑连续的。
这里的连续同样体现了consecutive的含义。
6. 连续概率分布在概率论与数理统计中，连续概率分布是一个重要的概念。
它描述了一组连续变量的可能取值及其取到这些值的概率。
连续概率分布的研究对于理解随机变量的性质和规律具有重要意义。
第四部分：consecutive的个人理解与总结7. 个人观点和理解对于我个人而言，consecutive在数学中的含义不仅仅是一种概念或性质，更是一种思维方式和方法。
连续函数的性质1
§2连续函数的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 闭区间上连续函数的性质.难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ. 讲授内容一 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）.注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r =则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()021x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． ()1又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．联系(1)得：对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ． 所以 f g 在点0x 连续．注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 00x f g x f g x f g x x x x ==→→． ()2 例1 求()211sin lim x x -→．解 ()21sin x -可看作函数()u u g sin =与()21xx f -=的复合．由(2)式得 ()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ． 注 若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 ))(lim ())((lim 00x f g x f g x x x x →→= ()3 还可证明：()3式不仅对于0x x →这种类型的极限成立，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例2 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xx x sin 2lim 2-∞→. 解 ()112s i n lim 2sin 2lim 100=-=-=-→→xx x x x x ； ()202s i n lim 2sin 2lim 2=-=-=-∞→∞→xx x x x x . 二 闭区间上连续函数的基本性质设f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，本段中我们讨论f 在[]b a ,上的整体性质.定义1 设f 为定义在数集D 上的函数．若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈有()()()()()x f x f x f x f ≤≥00，则称f 在D 上有最大(最小)值，并称()0x f 为f 在D 上的最大(最小)值．例如，x sin 在[]π,0上有最大值1，最小值0．但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值(即使f 在D 上有界)．如()x x f =在()1,0上既无最大值也无最小值．又如()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=，与，10,21,0,1x x x x g ()4它在闭区间[]1,0上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．由()4式给出的函数g 在闭区间[]1,0上无界，什么对函数g 上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()≠a f ()b f ．若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数()()b f a f <<μ(或()μ>a f ()b f >)，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得().0μ=x f这个定理表明，若f 在[]b a ,上连续，又不妨设()()b f a f <，则f 在[]b a ,上必能取得区间()()[]b f a f ,中的一切值，即有()()[][]()b a f b f a f ,,⊂，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号(即()()0<b f a f )，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在()b a ,内至少有一个根．这个推论的几何解释如图4—3所示：若点()()a f a A ,与()()b f b B ,分别在x 轴的两侧，则连接A 、B 的连续曲线()x f y =与x 轴至少有一个交点．应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间I 上连续且不是常量函数，则值域()I f 也是一个区间；特别，若I 为闭区间[]b a ,，f 在[]b a ,上的最大值为M ，最小值为m ，则[]()[]M m b a f ,,=；又若f 为,[a ]b 上的增(减)连续函数且不为常数，则[]()()()[]()()[]()b f a f b f a f b a f ,,,=.下面举例说明介值性定理的应用．例3 证明：若0>r ，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得00(x r x n =称为r 的n 次正根(即算术根)，记作n r x =0)．证 先证存在性．由于当+∞→x 时有+∞→n x ，故必存在正数a ，使得n a r >．因()n x x f =在[]a ,0上连续，并有()()a f r f <<0，故由介值性定理，至少存在一点()a x ,00∈，使得()r x x f n ==00． 再证唯一性．设正数1x 使得r x n =1，则有()()011120101010=+++-=----n n n n n x x x x x x x x ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能010=-x x ，即01x x =.例4 设f 在[]b a ,上连续，满足[]()[]b a b a f ,,⊂． ()5证明：存在[]b a x ,0∈，使得()00x x f =. ()6证 条件()5意味着：对任何[]b a x ,∈有()b x f a ≤≤，特别有()a f a ≤ 以及 ()b b f ≥．若()a f a =或()b b f =，则取a x =0或b ，从而()6式成立．现设()a f a <与()b b f <．令()()x x f x F -=，则()(),0>-=a a f a F ，()()0<-=b b f b F ．故由根的存在性定理，存在∈0x ()b a ,，使得()00=x F ，即().00x x f =从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令()()x x f x F -=)，可收到事半功倍的效果．三 反函数的连续性定理4.8 若函数f 在[]b a ,上严格单调并连续，则反函数1-f 在其定义域()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,上连续．证 不妨设f 在[]b a ,上严格增．此时f 的值域即反函数1-f 的定义域为()a f [，()]b f ．任取()()()b f a f y ,0∈，设=0x ()01y f -，则()b a x ,0∈．于是对任给的>ε0，可在()b a ,内0x 的两侧各取异于0x 的点()20121,x x x x x <<，使它们与0x 的距离小于ε(图4—4)．设与21,x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，由f 的严格增性知201y y y <<令()1002,m in y y y y --=δ，则当()δ;0y U y ∈时，对应的()y f x 1-=的值都落在1x 与2x 之间，故有()()ε<-=---0011x x y f y f ，所以1-f在点0y 连续，从而1-f 在()()()b f a f ,内连续． 类似地可证1-f 在其定义区间的端点()a f 与()b f 分别为右连续与左连续．所以1-f 在()()[]b f a f ,上连续．- 例5 由于x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格单调且连续，故其反函数=y x arcsin 在区间[]1,1上连续．同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如x y arccos =在[]1,1-上连续，x y arctan =在()+∞∞-,上连续等．例6 由于n x y =(n 为正整数)在),0[+∞上严格单调且连续，故n x y 1=在),0[+∞上连续．又若把n xy 1-=(n 为正整数)看作由n u y 1=与x u 1=复合而成的函数，则由复合函数的连续性，n x y 1-=在()+∞,0上连续．综上可知，若g 为非零整数，则q x y 1=是其定义区间上的连续函数．例7 证明：有理幂函数αx y =在其定义区间上连续． 证 设有理数qp =α，这里()0,≠q p 为整数.因为q u y 1=与p x u =均在其定义区间上连续，所以复合函数 ()αx xy q p ==1也是其定义区间上的连续函数．四 一致连续性 函数f 在区间上连续，是指f 在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性．定义2 设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的0>ε，存在()>=εδδ0，使得对任何x 'I x ∈''，只要：δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续．直观地说，f 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使()()ε<''-'x f x f ．例8 证明()()0≠+=a b ax x f 在()+∞∞-,上一致连续．证 任给0>ε，由于()()x x a x f x f ''-'=''-'，故可选取a εδ=，则对任何(),,,+∞∞-∈'''x x 只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ．所以 ()b ax x f +=在()+∞∞-,上一致连续．例9 证明函数xy 1=在()1,0内不一致连续(尽管它在()1,0内每一点都连续)．§4.2连续函数的性质证 按一致连续性的定义，为证函数f 在某区间I 上不一致连续，只须证明：存在某00>ε，对任何正数δ(不论δ多么小)，总存在两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .对于函数x y 1=，可取10=ε，对无论多么小的正数⎪⎭⎫ ⎝⎛<21δ，只要取δ='x 与2δ=''x （图4-5），则虽有 δδ<=''-'2x x ，但1111>=''-'δx x ， 所以xy 1=在()1,0内不一致连续． 函数在区间上连续与一致连续这两个概念有着重要的差别.f 在区间I 上连续，是指任给0>ε，对每一点I x ∈，都存在相应的正数()x ,εδδ=，只要I x ∈'且δ<'-x x ，就有()()ε<'-x f x f ．一般来说，对于I 上不同的点，相应的正数δ是不同的．换句话说，δ的取值除依赖于ε之外，还与点x 有关，由此我们写()x ,εδδ=以表示δ与ε和x 的依赖关系．如果能做到δ只与ε有关，而与x 无关，或者说存在适合于I 上所有点x 的公共的δ，即()εδδ=，那么函数就不仅在I 上连续，而且是一致连续了．所以，f 在区间I 上一致连续是f 的又一个整体性质，由它可推出f 在I 上每一点都连续的这一局部性质(只要在定义2中把x '看作定点，把x ''看作动点，即得f 在点x '连续)．而从例9可见，由f 在区间I 上每一点都连续，并不能推出f 在I 上一致连续．然而，对于定义在闭区间上的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上的一致连续性，即有如下重要定理：定理4．9 (一致连续性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在,[a b ]上一致连续．例10 设区间1I 的右端点为1I c ∈，区间2I 的左端点也为212,(I I I c ∈可分别为有限或无限区间)．试按一致连续性的定义证明：若f 分别在1I 和2I 上一致连续，则f 在21I I I =上也一致连续．x'§4.2连续函数的性质证 任给0>ε，由f 在1I 和2I 上的一致连续性，分别存在正数1δ和2δ，使得对任何,,2I x x ∈'''，只要1δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ； ()7又对任何2,I x x ∈'''，只要2δ<''-'x x ，也有(7)式成立．点c x =作为1I 的右端点，f 在点c 为左连续，作为2I 的左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 连续．故对上述0>ε，存在03>δ，当3δ<-c x 时有()()2ε<-c f x f ． ()8令()321,,min δδδδ=，对任何I x x ∈''',，δ<''-'x x ，分别讨论以下两种情形：(i)x x ''',同时属于1I 或 2I ，则()7式成立；（ii ）x x ''',分属1I 与2I ，设21,I x I x ∈''∈'则3δδ≤<'-''<'-=-'x x x c c x ，故由()8式得()()2ε<-'c f x f .同理得()()2ε<-''c f x f 从而也有()7式成立．这就证明了f 在I 上一致连续．Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数一致连续性的概念,掌握续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质，并利用其讨论相关命题. 掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续.Ⅴ 课外作业: 80P 2、3、4、6、7、8、9、10、12、14、18、19、20.。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）2n（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)21 +-ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759（∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘1.n 个连续正整数的积能被n ！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
整数的性质(全)
整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1.整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数（因子），称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：（1）若且，则（传递性质）；（2）若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质, 易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；（3）若，则或者，或者，因此若且，贝Q；（4）互质，若，则；（5）是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；（6）（带余除法）设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定; 整数被称为被除得的（不完全）商，数称为被除得的余数。
注意：共有种可能的取值：0,1,……，。
若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。
证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则宀h = a 一刃〔於"+产*...+%严+严）；若是正奇数，则；（在上式中用代）（7）如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数;（8）/7个连续整数中，有且只有一个是77的倍数；（9）任何个连续的整数之积一定是加的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6 整除；2.奇数、偶数有如下性质：（1）奇数奇数二偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
初二数学必背知识点总结
初二数学必背知识点总结数学是一门重要的学科，对于初中学生来说，掌握必备的数学知识点是非常必要的。
本文将总结初二数学中的必背知识点，帮助学生们更好地掌握数学。
一、基础知识点1.整数：整数包括正整数、负整数和零，掌握整数的四则运算规则，如加法、减法、乘法和除法。
2.分数：分数由分子和分母组成，掌握分数的加法、减法、乘法和除法运算规则，以及分数化简和比较大小的方法。
3.百分数：百分数表示以100为基数的比例，掌握百分数与小数、分数之间的转换方法，以及百分数的加减乘除运算。
4.基本的几何图形：了解平面图形（如三角形、四边形、圆等）的定义和性质，掌握计算图形的周长和面积的公式。
5.坐标系和坐标：了解平面直角坐标系的定义和使用方法，掌握点的坐标表示和直线的方程。
二、方程与不等式1.一元一次方程：掌握解一元一次方程的方法，例如用逆运算法、等式的性质和图像法等。
2.一元一次不等式：掌握解一元一次不等式的方法，例如用逆运算法、等式的性质和图像法等。
3.二元一次方程组：了解二元一次方程组的定义和解法，包括代入法、消元法和图解法等。
4.一次函数与一次函数方程：了解一次函数的定义和性质，掌握解一次函数方程的方法。
三、数据统计与概率1.数据的收集和整理：了解数据的收集方法和数据的整理方式，包括频数表、频率表和频率分布直方图等。
2.统计图表的读取和绘制：能够读取和绘制直方图、折线图和饼图等统计图表，理解统计图表的意义。
3.数据的分析与解释：能够根据统计图表对数据进行分析和解释，包括中心值、离散值和异常值等。
4.概率的基本概念：了解随机事件、样本空间、事件的概念，掌握计算概率的方法和概率的性质。
四、几何变换1.平移、旋转和翻转：了解平移、旋转和翻转的定义和性质，能够进行简单的平移、旋转和翻转操作。
2.对称性：了解图形的对称性和轴对称图形的性质，能够判断和绘制轴对称图形。
3.相似和全等三角形：了解相似和全等三角形的定义和性质，能够判断和构造相似和全等三角形。
小学数学认识正整数
小学数学认识正整数正整数是我们日常生活中经常遇到的数，也是小学数学学习的基础。
正整数具有很多特性和应用，下面将从整体认识正整数、正整数的性质和正整数的应用三个方面对小学数学中正整数的认识进行探讨。
一、整体认识正整数正整数是指大于零的整数，用符号“+”表示，例如1、2、3等。
正整数是自然数的一部分，自然数是从1开始的数。
在我们的日常生活中，用正整数进行计数、测量和排列等，起到十分重要的作用。
正整数在数轴上表示为右侧的数，可以无限延伸。
数轴上的每个正整数都有它的前一个数和后一个数，这种连续的关系可以帮助我们进行进一步的数学推理和运算。
二、正整数的性质1. 正整数的比较我们可以用“大于”、“小于”以及“等于”来比较正整数的大小。
例如，我们可以说3大于2，4小于5等。
正整数的比较可以通过数轴上的位置来进行判断，靠右侧的数值更大。
2. 正整数的运算正整数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
例如，2 + 3 = 5，4 - 2 = 2，3 × 2 = 6，6 ÷ 2 = 3等。
在进行正整数的运算时，需要注意加法和乘法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和a × b = b × a，以及a + (b + c) = (a + b) + c和a × (b × c) = (a × b) × c。
3. 正整数的整除关系当一个正整数a可以被另一个正整数b整除时，我们可以说a是b的倍数，b是a的因数或除数。
例如，6是3的倍数，3是6的因数。
在进行正整数的除法运算时，需要注意除法的两个基本性质：带余除法和整除性质。
带余除法指的是对于任意两个正整数a和b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，并且0 ≤ r < b。
整除性质指的是如果a能被b整除，那么a的所有因数也都能被b整除。
三、正整数的应用正整数在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用，下面列举几个典型的例子。
初中数学精品试题：第一讲 整数的整除性和带余数除法
第一讲 整数的整除性和带余数除法一. 内容提要 班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中． 二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期 ．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是 ．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是 ．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是 ．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。
第1课 整数的基本性质、有理数
第1课 整数的基本性质、有理数一 、主要知识点：1、整数的十进位数码表示： 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯--- ，其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0.对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -2、正整数指数幂的末两位数字(1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。
(2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。
3、整除的数字特征：(1)一个整数的个位是偶数，则必被2整除；(2)一个整数的末位是0或5，则必被5整除；(3)末两位数字组成的整数被4(或25)整除，则该数被4(或25)整除；(4)末三位数字组成的整数被8(或125)整除，则该数被8(或125)整除；(5)数字之和被3(或9)整除，则该数被3(或9)整除(6)奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除，则此数被11整除。
(7)奇位千进位数段之和与偶位千进位之和的差能被7(11、13)整除，则此数被7(11、13)整除。
例如：123456789，(123+789)-456=456,只要看456能否被7(11、13)整除。
4、质数与合数的性质；质数2的特殊性；最大公因数与最小公倍数；辗转相除法5、奇数与偶数，奇偶分析法二、例题分析1、不超过100的自然数中，将凡是3或者5的倍数的数相加，其和为多少？2、173□是一个四位数，老师说，我在这个□里先后填入3个数字，所得的三个四位数依次能被9.11.6整除。
那么老师先后填入的数字之和是多少？3、已知一个七位数62xy 427是99的倍数，求这个数。
4、讲一个三位数的数字重新排列所得的最大的三位数减去最小的三位数正好等于原来的三位数，求这个数。
什么是整数_整数的性质与应用
什么是整数_整数的性质与应用整数可分为奇数和偶数两类。
那么你对整数了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是整数的内容，希望大家喜欢!整数的概念整数(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。
在整数系中，零和正整数统称为自然数。
-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。
整数不包括小数、分数。
整数的分类我们以0为界限，将整数分为三大类：1° 正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。
2° 零，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。
3° 负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。
(n为正整数)注：现中学数学教材(2005年)中规定：零和正整数统称自然数。
整数也可分为奇数和偶数两类。
正整数它是从古代以来人类计数的工具。
可以说，从“1头牛，2头牛”或是“5个人，6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。
零零不仅表示“没有”(“无”)，更是表示空位的符号。
中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。
印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
负整数中国最早引进了负数。
《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。
减法的需要也促进了负整数的引入。
减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。
为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
奇偶整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。
不能被2整除的数则叫做奇数。
即当n是整数时，偶数可表示为2n(n为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳初二数学知识点归纳：1.整数：- 定义：不带小数点的数，包括正整数、负整数和零。
- 加减法：同号相加、异号相减。
- 乘除法：同号得正、异号得负。
- 整除与余数：一个数能被另一个数整除时，称为整除；两个数相除得到的余数称为余数。
- 最大公约数和最小公倍数：两个数的公约数中最大的数称为最大公约数，两个数的公倍数中最小的数称为最小公倍数。
2.有理数：- 定义：能够表示为两个整数之比的数。
- 正数、负数和零。
- 加减法、乘除法：根据有理数的正负进行运算。
- 绝对值：有理数的绝对值是它与0的距离，表示为正数。
3.分数：- 定义：由一个整数除以一个非零整数得到的数。
- 分子和分母：分数的上部分为分子，下部分为分母；分子表示被分的份数，分母表示分成的份数。
- 分数的化简：将分子和分母同时除以相同的因数，使得分数不能再被进一步化简。
- 分数的比较：如分母相同，则比较分子；如分母不同，则通分后比较分子。
4.代数：- 定义：数与字母的混合运算。
- 代数式：由数、字母和运算符号组成的式子。
- 方程：含有一个未知数的等式。
- 解方程：找出使得方程成立的未知数的值。
5.几何：- 定义：研究空间与图形的形状、大小和位置关系的数学分支。
- 平面图形：点、线、线段、射线、角等。
- 三角形：根据边与角的关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
- 平行线和垂直线：平行线在同一个平面上永不相交，垂直线相交成直角。
- 三视图：俯视图、正视图和侧视图是表示物体外形的三个视图。
6.概率与统计：- 概率：研究事物发生的可能性大小的数学分支。
- 实验与事件：进行试验得到结果，结果称为事件。
- 随机事件的概率：随机事件发生的次数与试验总次数的比值。
- 统计：收集、整理和分析数据的方法。
初二数学知识点归纳：7.整数运算扩展：- 整数运算规则：同号相加、异号相减，其结果的符号由绝对值大的整数决定。
- 括号的运用：使用括号可以改变运算的次序，优先进行括号内的运算。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳初二数学知识点归纳（上）一、整数和分数1. 整数的概念和性质：正整数、负整数、零、相反数、绝对值等。
2. 分数的概念和性质：分数的基本形式、分子、分母、真分数、假分数等。
3. 整数和分数之间的互换：将整数转化为分数，将分数转化为整数。
4. 整数和分数的大小比较：同分母比较大小，异分母比较大小，借助数轴比较大小。
5. 整数和分数的加减运算：同分母加减，异分母加减。
6. 整数和分数的乘法运算：整数与整数的乘法，整数与分数的乘法，分数与分数的乘法。
7. 整数和分数的除法运算：整数除以整数，整数除以分数，分数除以整数，分数除以分数。
8. 分数的化简与约分：寻找最大公约数，约分最简分数。
9. 分数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。
10. 分数的运算混合运用：将整数、分数和小数相互转化，并进行混合运算。
二、代数初步1. 代数表达式的概念和性质：字母、数字和运算符号构成的式子。
2. 代数式化简：合并同类项，消去括号，化简合并。
3. 代数式的加减运算：同类项相加相减。
4. 字母的运算：字母的加减乘除运算。
5. 代数方程与代数方程的解：方程和方程的常数项，方程的解和方程的解集。
6. 代数不等式与不等式的解：不等式的表示和不等式的解集。
7. 代数与生活的关系：应用代数解决实际问题。
8. 平方数与完全平方公式：平方数的性质和完全平方公式的运用。
9. 因式分解：提取公因式，用因式分解求解问题。
10. 二次根式：二次根式的性质和运算。
这些是初二数学中关于整数和分数，以及代数初步的重要知识点。
掌握这些知识，可以帮助学生建立起良好的数学基础，为进一步学习打下坚实的基础。
初二数学知识点归纳（下）三、图形初步1.二维平面图形的认识：点、线、面，以及它们的性质。
2. 直线和线段的认识与构造：直线的性质，线段的性质，直线和线段的构造。
3. 线段的比较：同一直线上的线段比较，不同直线上的线段比较。
4. 角的认识与度量：角的性质，角的度量方法。
整数的性质(全)
整数的性质(全)1整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则；(4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。
注意：共有种可能的取值：0,1，……，。
若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。
证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．211a a a+=+B ．21111a a a -⋅=-+C ．1b a a b b a +=-- D ．0.22100.7710++=--a b a ba b a b2．下列各式中，分式有（ ）个3x ，1n ，15a +，15a b +，2z x y ，()22ab a b +A ．4B ．3C ．2D ．13．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个求，若摸到白球的概率为57，则盒子中原有的白球的个数为（ ） A ．10B ．15C ．18D ．204．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n 是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．下列说法正确的是（ ）A ．分式242x x --的值为零，则x 的值为2±B ．根据分式的基本性质，m n 可以变形为22mx nxC ．分式32xyx y-中的,x y 都扩大3倍，分式的值不变D ．分式211x x ++是最简分式 6．已知x a =时，分式211x x ++的值为m ．若a 取正整数，则m 的取值范围为（ ）A ．112m ≤< B ．312m ≤<C ．322m ≤< D ．522m ≤<7．下列各式中，正确的是（ ）A ．22a a b b =B ．11a ab b +=+ C ．2233a b a ab b= D ．232131a ab b ++=--8．若a ＝1，则2933a a a -++的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-9．若ab ，则下列分式化简中，正确的是（ ）A ．22a ab b+=+ B ．22a ab b -=- C ．33a a b b = D ．22a a b b=10．若0234x y z==≠，则下列等式不成立的是（ ） A ．::2:3:4x y z = B ．27x y z += C ．234x y zx y z+++== D ．234y x z ==11．对于两个非零的实数a ，b ，定义运算*如下：11a b b a*=-．例如：113443*=-．若2x y *=，则xy x y -的值为（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-12．如果分式2121x x -+的值为0，则x 的值是（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．±1二、填空题13．已知方程232a a a -+=，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩只有3个整数解，那么b 的取值范围是_______． 14．已知2a b=，则a ba b +-＝_____．15．关于x 的分式方程211mx =-+无解，则m 的取值是_______． 16．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 17．观察给定的分式，探索规律： （1）1x ，22x，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________；（2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________；（3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a ，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）．18．已知215a a+=，那么2421a a a =++________． 19．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．20．计算：22x x xyx y x -⋅=-____________________． 三、解答题21．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手并肩，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款10万元，乙公司共捐款14万元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A ，B 两种物资，A 种物资每箱1.5万元，B 种物资每箱1.2万元，若购买B 种物资不少于5箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A ，B 两种物资均需购买，并按整箱配送） 22．解下列分式方程（1）42122x x x x ++=--； （2）()()21112x x x x =+++-． 23．解方程： （1）81877--=--x x x； （2）21124x x x -=--． 24．计算（1）()()2222232322a a a a a -⋅+-+（2）()()()2235x x x ---+（3）用简便方法计算：22202020204020-⨯+（4）解分式方程：52332x x x=-- （5）2124111x x x +=+-- 25．今年11月14日，“行孝仗义，柿柿如意”2020第三届孝义柿子文化节在兑镇镇产树原村隆重开幕．柿子是孝义市地理标志农产品，开发柿子产业是转型跨越发展致富的新路．某食品公司有一批新鲜柿子，公司将一部分新鲜柿子直接销售，这批新鲜柿子的总售价为4000元，剩余的一部分加工成柿饼后进行销售，这批柿饼的总售价为80000元．已知柿饼的销售数量比直接销售的新鲜柿子多2000千克，且每千克的售价是新鲜柿子的10倍．求新鲜柿子和柿饼每千克的售价各多少元？26．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据分式的运算法则及分式的性质逐项进行计算即可． 【详解】A ：211a a a a+=+，故不符合题意；B ：()()21111111111a a a a a a a a a a-+--⋅=⋅==-++，故不符合题意；C ：1b a b a a b b a a b a b+=-=-----，故不符合题意； D ：0.22100.7710++=--a b a ba b a b，故不符合题意；【点睛】本题考查分式的性质及运算，熟练掌握分式的性质及运算法则是解题的关键．2．A解析：A 【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可． 【详解】 ∵3x中的分母是3，不含字母， ∴3x不是分式； ∵1n中的分母是n ，是整式，且是字母， ∴1n是分式； ∵15a +中的分母是a+5，是多项式，含字母a ， ∴15a +是分式； ∵15a b+中的分母是15，不含字母， ∴15a b+不是分式； ∵2z x y 中的分母是2x y ，是整式，含字母x ，y ， ∴2z x y是分式；∵()22aba b +中的分母是2()a b +，是整式，含字母a ，b ，∴()22aba b +是分式；共有4个， 故选A ． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．3．D解析：D设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个，根据概率建立方程求解即可． 【详解】设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个， 根据题意，得551057x x +=++，解得x=20，且x=20是所列方程的根， 故选D ． 【点睛】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义，巧妙引入未知数建立方程求解是解题的关键．4．A解析：A 【分析】根据概率公式列出关于n 的分式方程，解方程即可得． 【详解】 解：根据题意可得51n n ++＝13，解得：n ＝3，经检验n ＝3是分式方程的解， 即放入口袋中的黄球总数n ＝3， 故选：A ． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 5．D解析：D 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】A 、分式242x x --的值为零，则x 的值为−2，故此选项错误；B 、根据分式的基本性质，等式m n =22mx nx（x≠0），故此选项错误；C 、分式32xyx y-中的x ，y 都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误；D 、分式211x x ++是最简分式，正确； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义和性质是解题关键．6．C解析：C 【分析】先把211x x ++化为121x -+，再根据条件和a 的范围，即可得到答案． 【详解】∵211x x ++=22-12(1)-112111x x x x x ++==-+++，又∵x a =时，分式211x x ++的值为m ， ∴121m a -=+， ∵a 取正整数，即a≥1， ∴1112a ≤+， ∴13212a -≥+，即m≥32， 又∵101a >+， ∴1221a -<+，即m<2， ∴322m ≤<． 故选C ． 【点睛】本题主要考查分式的运算和化简，把原分式的分子化为常数，是解题的关键．7．C解析：C 【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】A ．22a a b b=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B ．11a ab b+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误； C ．2233a b a ab b=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确； D ．232131a a b b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．8．B解析：B 【分析】根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值． 【详解】2933a a a -++=293a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2， 故选：B ． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键．9．C解析：C 【分析】 根据a b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题； 【详解】∵a bA 、22a ab b+≠+ ，故该选项错误； B 、22a ab b-≠- ，故该选项错误； C 、33a ab b= ，故该选项正确； D 、22a ab b ≠ ，故该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题时需要熟练掌握分式的性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键；10．D解析：D 【分析】 设234x y zk ===，则2x k =、3y k =、4z k =，分别代入计算即可． 【详解】 解：设234x y zk ===，则2x k =、3y k =、4z k =， A ．::2:3:42:3:4x y z k k k ==，成立，不符合题意； B ．23427k k k +=，成立，不符合题意； C.2233441234k k k k k k k k++++===，成立，不符合题意； D. 233244k k k ⨯=⨯≠⨯，不成立，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是通过设参数，得到x 、y 、z 的值，代入判断．11．A解析：A 【分析】根据新定义，把2x y *=转化为分式的运算即可． 【详解】解：根据定义运算*，2x y *=，112y x-=， 去分母得，2x y xy -=， 代入xyx y-得， 122xy xy =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x 、y 之间的关系，再整体代入．12．D解析：D 【分析】直接利用分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式2121xx-+值为0，∴2x+1≠0，210x-=，解得：x=±1．故选：D．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分子为零分母不为零是解题关键．二、填空题13．3≤b＜4【分析】首先解分式方程求得a的值然后根据不等式组的解集确定x的范围再根据只有3个整数解确定b的范围【详解】解：解方程两边同时乘以a得：2-a＋2a=3解得：a=1∴关于x的不等式组则解集是解析：3≤b＜4【分析】首先解分式方程求得a的值，然后根据不等式组的解集确定x的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围．【详解】解：解方程232aa a -+=，两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，解得：a=1，∴关于x的不等式组x a x b≥⎧⎨≤⎩，则解集是1≤x≤b，∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，∴3≤b＜4．故答案是：3≤b＜4．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．3【分析】首先由可设a＝2kb＝k然后将其代入即可求得答案【详解】解：∵∴设a＝2kb＝k∴＝＝3故答案为：3【点睛】本题考查了分式的化简求值本题的关键是能利用设k法设出未知数解析：3【分析】首先由2a b=，可设a ＝2k ，b ＝k ，然后将其代入a b a b +-，即可求得答案． 【详解】 解：∵2a b=， ∴设a ＝2k ，b ＝k ， ∴a b a b +-＝22k k k k+-＝3． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了分式的化简求值，本题的关键是能利用设k 法，设出未知数．15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程无解确定出x 的值代入整式方程计算即可求出m 的值【详解】解：去分母得：由分式方程无解得x+1=0即x=-1把x=-1代入得：解得：m=0故答案为：m=0【解析：0m =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】解：去分母得：21m x =--，由分式方程无解，得x+1=0，即x=-1，把x=-1代入21m x =--得：2110m =-=，解得：m=0，故答案为：m=0．【点睛】本题主要考查分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键． 16．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【详解】 解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷=2()m n m m m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13 故答案为：13【点睛】 本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个 解析：66x 1211x y - 31(1)n n nb a -- 【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x ， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nn b a-- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键18．【分析】将变形为=5a 根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a 即可得到答案【详解】∵∴=5a ∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a 将所求代数式的分母变形为 解析：124【分析】 将215a a+=变形为21a +=5a ，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a +=5a ，即可得到答案．【详解】 ∵215a a+=， ∴21a +=5a ， ∴2421a a a =++()()2222222221242451a a a a a a a a ===-+- 故答案为：124． 【点睛】 此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)a a +-形式，再代入计算是解题的关键． 19．【分析】设该轮船在静水中的速度为x 千米/时则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地已知水流速度为4千米/时所花时间为；从B 地逆流返回A 地水流速度为4千米/时所花时间为根据题意列方程即可【详解】解：设该轮船在静 解析：3636944x x +=+- 【分析】设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为364x +；从B 地逆流返回A 地，水流速度为4千米/时，所花时间为364x -根据题意列方程3636944x x +=+-即可． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为x 千米时，根据题意列方程得：3636944x x +=+- 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可． 20．1【分析】先将第二项的分子分解因式再约分化简即可【详解】故答案为：1【点睛】此题考查分式的乘法掌握乘法的计算法则是解题的关键解析：1【分析】先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可．【详解】22x x xy x y x-⋅=-2()1x x x y x y x -⋅=-， 故答案为：1．【点睛】此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键．三、解答题21．（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有3种购买方案：购买12箱A 种物资、5箱B 种物资或购买8箱A 种物资，10箱B 种物资或购买4箱A 种物资，15箱B 种物资【分析】（1）设乙公司有x 人，则甲公司有(30)x -人，根据对话，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，根据甲公司共捐款10万元，公司共捐款14万元，列出方程，求解出4165m n =-，根据整数解，约束出m 、n 的值，即可得出方案．【详解】解：（1）设乙公司有x 人，则甲公司有()30x -人， 由題意，得10714306x x⨯=- 解得180x =． 经检验，180x =是原方程的解，30150x -=，答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A 种物资n 箱，购买B 种物资n 箱，由题得1.5 1.21014m n +=+， 整理，得4165m n =-又5n ≥，且m ，n 为正整数， 11125m n =⎧∴⎨=⎩ 22810m n =⎧⎨=⎩ 33415m n =⎧⎨=⎩ 答：有3种购买方案：购买12箱A 种物资、5箱B 种物资或购买8箱A 种物资，10箱B种物资或购买4箱A 种物资，15箱B 种物资．【点睛】本题考查了分式方程的应用、方案问题、二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．22．（1）3x =；（2）0x =．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）方程左右两边同乘(2x -)，得422x x x +-=-，移项合并同类项，得26x -=-，系数化为1，得3x =，经险验，3x =是原方程的根；（2）方程左右两边同乘()()12x x +-，得()()()2212x x x x -=++-，去括号，得22222x x x x -=+--，移项合并同类项，得0x =，经检验：0x =是原方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．（1）无解；（2）x ＝﹣32【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）去分母得：()8187x x -+=-，整理得：749x =解得：x ＝7，经检验x ＝7是原方程的增根，∴原方程无解；（2）去分母得：()2214x x x +-=-， 整理得：23x =-解得：x ＝32-， 经检验x ＝﹣32是分式方程的解．【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是化分式方程为整式方程的方法，同时注意检验方程的根．24．（1）46274a a a ++；（2）1519x +；（3）4000000；（4）x=-5；（5）无解．【分析】（1）原式先分别计算积的乘方与幂的乘方，以及单项式乘以单项式，然后再合并同类项即可得到答案；（2）原式分别根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则去括号，然后再合并同类项即可得到答案；（3）原式运用差的完全平方公式进行计算即可；（4）先把方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（5）先把方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()2222232322a a a a a -⋅+-+ =4462924a a a a -++=46274a a a ++（2）()()()2235x x x ---+=()22102556x x x x ++--+=22102556x x x x ++-+-=1519x +（3）22202020204020-⨯+=222020*********-⨯⨯+=2(202020)-=22000=4000000； （4）52332x x x=-- 去分母得，x=-5 经检验，x=-5是原方程的解，∴原方程的解为：x=-5；（5）2124111x x x +=+-- 去分母得，(1)2(1)4x x -++= 解得，x=1经检验，x=1是增根，∴原方程无解．【点睛】此题考查了整式的运算和解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．25．新鲜柿子每千克2元，柿饼每千克20元【分析】设每千克新鲜柿子x元，则每千克柿饼10x元，根据题意列出方程求解即可；【详解】解：设每千克新鲜柿子x元，则每千克柿饼10x元．依题意得，400080000200010x x+=，方程两边乘10x，得40000+20000x=80000，解得，x=2，检验：当x=2时，10x≠0．所以，原分式方程的解为x=2，且符合实际意义，当x=2时，10x=20，答：新鲜柿子每千克2元，柿饼每千克20元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键．26．（1）每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元；（2）学校有三种购买方案，方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；再结合m为整数即可得出各种购买方案；【详解】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意得：12x＝200.2x+，解得：x＝0.3，经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意得：()()1.5800.3800.534m mm m-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩≥，解得：48≤m≤50．又∵m为整数，∴m可以取48，49，50．∴学校有三种购买方案，方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键；。
整数的简单性质(一)
整数的简单性质（一）（一）知识、技能、方法一、整数的离散性任何两个整数,x y 之间的距离至少为1，因此有不等式1x y x y <⇔+≤.二、整数的奇偶性将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可表示为2m （m ∈Z ）的形式，任一奇数可表示为2m+1或2m －1的形式. 奇、偶数具有如下性质：（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；（2）两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若为整数，它必为偶数.（3）奇数的平方都可表示为8m+1形式，偶数的平方都可表示为8m 或8m+4的形式（m ∈Z ）.（4）任何一个正整数n ，都可以写成l n m 2=的形式，其中m 为非负整数，l 为奇数.三、整数的整除性1．定义：设a ，b 是整数，且b ≠０，若存在整数c ，使a ＝bc ，则称b 整除a 或a 能被b 整除，记作b |a ，并称b 是a 的一个约数（因子），称a 是b 的倍数.若不存在上述c ，则称b 不能整除a ，记为b | a .显然，１和-1能整除任意整数，任意整数都能整除０.2．性质：① 若c|b ，b|a ，则c|a . ② 若b|a ，则bc|a c .③ 若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|m a ＋nb . ④ 若b|a c ，且(a ，b)＝1，则b|c . ⑤ 若p 为质数，p | a b ，则p | a 或p | b ，特别地，若p | a n ，*n N ∈，则p | a . ⑥ 若(a ，b)＝1，且a |c ，b|c ，则a b|c .⑦ 带余除法：设b ＞0，对于任意整数a ，总可以找到一对惟一确定的q ，r 满足a =bq+r ，0≤r ＜b .⑧ (a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为正奇数) .⑨ 如果在等式11n m ik i k a a ===∑∑中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c的倍数.⑩ n 个连续整数中有且仅有一个是n 的倍数；任意n 个连续整数之积一定是n ！的倍数.3．整除的判别法：设整数N ＝121a a a a n n -，① 2|1a ⇔2|N ，5|1a ⇔ 5|N ； ② 3|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔3|N ，9|1a ＋2a ＋…＋n a ⇔9|N ；③ 4|21a a ⇔4|N ，25|21a a ⇔25|N ； ④ 8|321a a a ⇔8|N ，125|321a a a ⇔125|N ； ⑤ 7||14n n a a a -－321a a a |⇔7|N ， 11||14n n a a a -－321a a a |⇔11|N ， 11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ⇔11|N ；⑥ 13||14n n a a a -－321a a a |⇔13|N . 四、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数.（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数；（8）奇素数p 能表示成两个正整数的平方和的充要条件是41p m =+；（9）设正整数p m n 2=，其中p 不再含平方因数，n 能表示成两个整数的平方的充要条件是p 没有形如34+q 的质因数；（10）每个正整数都能表示成四个整数的平方和.五、整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为()G a ，()G a 也称为尾数函数.（1）(())()G G a G a =； （2）()(()()())G a b c G G a G b G c +++=+++；（3）()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅； （4）(10)0G a =，(10)()G a b G b +=；（5）若10a b c -=，则()()G a G b =； （6）44*()(),,k G a G a a k N =∈；（7）4*()(),0,04,,,k r r G aG a k r a k r N +=≥<<∈； （8）211124121212()()()()()()()b nb b b G a b b G a G a b b b b G a b b ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数,为偶数时当为偶数,为奇数或为偶数,为偶数时当为奇数,为奇数时.（二）例题分析 例1、求,,a b c ，使它们满足不等式222332(,,)a b c ab b c a b c Z +++<++∈.例2、设,,,a b c d Z ∈，且|a c ab cd -+，求证|a c ad bc -+.例3、能否将{1,2,,972}分成12个互不相交的子集，每个子集中81个元素之和相等？例4、已知b 为各位数码全是9的31位数，a 为各位数码全是9的1984位数，求证|b a .例5、设,p q 都是正奇数，11p q -=+，求证|p q p q p q ++.例6、对于任意整数n ，证明55|n n -.例7、（1）若n 个整数，其和为0，其积为n ，证明：n 是4的倍数；（2）若n 是4的倍数，证明:可以找到个整数，使其和为0，其积为n .例8、已知n 为正整数，证明：22120|(1)(526)n n n n --+.例9、已知,m n 都是正整数，若(21)|(21)m n ++，证明：|m n .例10、设n 是正整数，k 是不小于2的整数.试证：k n 可表示成n 个相继奇数的和.例11、求所有这样的自然数n ，使得n 222118++是一个自然数的平方.例12、设正整数d 不等于2，5，13，证明在集合｛2，5，13，d ｝中可以找到两个元素,a b ，使得ab －1不是完全平方数.练习：1、证明：不存在正整数n ，使22221,31,61n n n +++都是完全平方数.2、若223|()a b +，证明：3|a 且3|b .3、已知n 为奇数，若12,,,n a a a 为1,2,,n 的一个排列，证明：12(1)(2)()n a a a n ---为偶数.4、求满足2(11)|(92)n n n ++-的正整数n .5、设n 为小于100的正整数，且324|(23)n +，求满足条件的n .6、已知m 为正奇数，求证：(12)|(12)m m m n n ++++++. 7、证明：20121001个能被1001整除.8、设1k ≥是一个奇数，证明对任意正整数n ，数12k k k n +++不能被2n +整除. 9、若正整数,m n 满足2m >，证明(21)m -|(21)n +.10、当2n ≥时，证明：111123n++++不是整数. 11、设正整数,,,a b c d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是质（素）数.12、求出有序整数对(,)m n 的个数，其中199m ≤≤，199n ≤≤，2()3m n m n +++是完全平方数.。
连续正整数的整数次幂求和问题探究
(三-3)；
将（三-3）代入（三-1）即可得到结果。
5
张谦
连续正整数整数次幂求和问题探讨
四 计算机编程
在线性代数方法中，引入了矩阵这一数学工具来处理未知的待定系数，自 然容易联想到专业处理矩阵运算的软件 MATLAB。 既然如此， 我们可以通过 MATLAB 编写程序实现该问题的计算机处理。 当然也可以直接编写 M 函数文件或者用其他 软件编程处理。 用 MATLAB 编写如下程序：
i 1
n n i 1
n
n
1 这种形式的求和，我们可以将它展开成有理函数如下： n ( n 1)
1 1 的形式，然后令 i=1,2,3…逐项相加即可求得， 1 n(n 1) n n 1
i 1
n
n(n 1)
i 1
1
1 n 1 n 1 n
i 1
1
1
1；Βιβλιοθήκη 上面的求和过程中使用的方法称为裂项相消法， 其本质就是复变函数理论中 的部分分式展开思想的体现， 即几个多项式的连乘可以展开成相关多项式的代数 和，进而在此基础上可能对原式子求得确定的和式。当只有两个多项式相乘时， 如上式，可以展开成两项的代数和，类似差分的表达式。 那么，我们能否通过相同的方式求得 i 形式的确定解呢？答案是肯定的。
3 [i(i 1)(i 2) i(i 1)(i 1)] i i
2 i 1 i 1 i 1
n
1
n
n
（一Ⅰ-5） ；
n
将（一Ⅰ-5）两边同时求和即可得到 i 2 。
i 1 n 1 n(n 1) n(n 1)(n 2) i 2 3 2 i 1
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初中数学竞赛辅导资料（初二8）连续正整数的性质甲内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是＋1＝184. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759（∵从11到55有奇数＋1＝23个）3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘1. n个连续正整数的积能被n！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a（a+1）(a+2…(a+n能被（n+1）！整除。
2. n！含某因质数的个数。
举例如下：1 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中4＝22含两个质因数2增加了1个其中8＝23含三个质因数2再增加2个2 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中125＝53含三个5再增加2个∴积中含质因数5的个数是32乙例题例1. 写出和等于100的连续正整数解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：1234……99100。
问：①它是一个几位数？②它的各位上的数字和是多少？3 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。
例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？解：∵＝11，＝12∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。
共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。
解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a根据题意，得x(x+1=2(100a+10a+a 即x(x+1=222a （1）把222分解质因数得x(x+1=2×3×37a（2）∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9由（1）可知a可能是1，3，5，6，8分别代入（2）只有6适合x(x+1=36×37答所求的连续正整数是36和37丙练习241. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。
2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。
4. 把由1开始的正整数依次写下去，直写到第198位为止，那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题5. 已知a=, b=那么①ab=______________②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法6. 计算连续正整数的平方和的个位数：1 12+22+32+……+92和的个位数是_______2 12+22+32+……+192和的个位数是______3 12+22+32+……+292和的个位数是______4 12+22+32+……+392和的个位数是______5 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿（1990全国初中数学联赛题7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1它们共有三组：____________，_________________，_____________________。
8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数是多少？(1990年全国初中数学联赛题10. .设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是((A15116 (B15129 (C15144 (D1537611. 计算：① 2+4+6+ (100)②1+4+7+10+ (100)3 +10+15+ (100)12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有(n+1个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。
13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。
将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。
(1988年全国初中数学联赛题提示：先求积中含质因数5的个数答案：1.30，300，3×10 n-12. 475个，317个3.2893，135014.102，906，65.①②1990×96. 5，0，5，0，57. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3 (15)8. 24，249.1710.（B）11.①2550，②1717，③105012.∵小于20的正整数中有10个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有10抽屉，11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。
这一串数是除以3余1的正整数，我们来计算含质因数5的个数：能被5整除且除以3余1的正整数是10，25，40，……700，先各算1个能被52整除且除以3余1的正整数是25，100，175，…700，各多算1个能被53整除且除以3余1的正整数是250，625，再各加1个，能被54整除且除以3余1的正整数是625，再加1个，共含有60个5答积的尾部共有零60个（上述可用式子表示：，，，的整数值）。