数值分析第七章
数值分析第七章
7.2.1 欧拉法
例1 用Euler公式计算下列初值问题(取步长h=0.1)：
y y x 1 y (0) 1
解：Euler公式的计算格式为
(0 x 0.5)
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn +0.1 （-yn xn +1） 0.9 yn 0.1xn 0.1 由 y (0) 1进行递推计算得： y (0.1) y1 0.9 1 0.1 0 0.1 1
7.2.2 隐式Euler公式
隐式Euler公式除了可以用上一小节中的方法来推导外，亦可以用差商近似 导数的方法来推导。 在 xn1 点处列出式(7.1)中的常微分方程，得
y( xn 1 ) f ( xn1 , y( xn 1 ))
在式(7.5)中用差商 y ( xn1 ) y( xn ) 代替导数 y ( xn 1 ) ，可得 h y( xn1 ) y ( xn ) f ( xn1 , y( xn 1 )) h 用 yn 代替 y ( xn )，用 y n 1代替y( xn1 )，上式可写成
计算精度。
其余计算结果见表7-2。由表7-2可以看出，隐式Euler公式并未提高
7.2.2 隐式Euler公式
表 7-2 欧拉公式、隐式 Euler 公式与精确解计算结果
xn
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Euler公式yn
1 1.000000 1.010000 1.029000 1.056100 1.090490
隐式Euler公式yn
1 1.009091 1.026446 1.051315 1.083014 1.120922
精确解y ( xn )
数值分析的第七章
第七章 常微分方程的数值解法在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。
然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。
在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。
这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。
还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。
利用计算机解微分方程主要使用数值方法。
我们考虑一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy在区间[a, b]上的解，其中f (x, y )为x, y 的已知函数，y 0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y (x )。
数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点b x x x x a n =<<<<= 210这里差i i i x x h -=+1，i = 0,1, …, n 称为由x i 到x i +1的步长。
这些h i 可以不相等，但一般取成相等的，这时nab h -=。
在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。
泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。
把这个相应问题的解y n 作为y (x n )的近似值。
这样求得的y n 就是上述初值问题在节点x n 上的数值解。
一般说来，不同的离散化导致不同的方法。
§1 欧拉法与改进欧拉法1.欧拉法 1．对常微分方程初始问题(9.2))((9.1)),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。
欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。
从（9.2）式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(9.3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为y (x 1)的近似值。
最新（完美版）第七章习题答案_数值分析
第七章习题解答2、试确定系数a ，b 的值使220[()cos ]ax b x dx p+-ò达到最小解：设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx p=+-ò确定a ，b 使(,)I a b 达到最小，必须满足0,0I Ia b ¶¶==¶¶即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx xxdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx p p p p p p p pp p p p p ììì+=-+-=+=ïïïïïïÞÞíííïïï+=+-=+=ïïïîîîòòòòòòòò解得：0.6644389, 1.1584689a b »-»5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解：作变量代换，将区间[-1, 3]变为[-1, 1]，令21x t =+，即12x t -=则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-££对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==å，其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j j P f j C F t P t dt j P P -+===ò20121()=1,()=t,()=(31)2P t P t P t t - 则有：1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t tdt t tdt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=òòòòòò 01251145()()()()4864S t P t P t P t \=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式*01222151111451()()()()()()2428264251114511=()((3()1))4826422135+82243512x x x x S t S t S P P P x x x x ----===++--++-+=7、确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据ix123iy0.2 0.5 1.0 1.2并求平方误差2d解：设2012()1,(),()x x x x x j j j ===由题，拟合函数须过原点 则令001122()()()()f x C x C x C x j j j =++，其中00C =，即212()f x C x C x =+ 12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y f f æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G f f f f f f f f æöæö==ç÷ç÷èøèø 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y f f æöæö==ç÷ç÷èøèø得法方程GC F = 121436 6.1369815.3C C æöæöæö=ç÷ç÷ç÷èøèøèø解方程得：120.61840.0711C C »»-2()0.61840.0711f x x x \=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j YC Y Y Y df f f ==-=-´+´=å8、已知一组数据ix1 2 3iy3 2 1.5试用拟合函数21()S x a bx =+拟合所给数据解：令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x j j ==01()()()f x a x b x j j =+则123113111114,219213y A F y y æöæö÷ç÷çæöç÷ç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷èøç÷ç÷ç÷ç÷èøèøT T a A A A F b æö\=ç÷èø，即331422514983a b æöç÷æöæö=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøç÷èø解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+=从而有21()0.30950.0408S x x =+补充题：用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ，并估计误差 解：作变量替换1(1)2x t =+，将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n p+=+=+ 0120.933001270.50.0669873x x x ===利用这些点做插值商表i xi y一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则：20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-£==+其中(3)3max ()M f x = 由于1(1)2x t =+，即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=Î281()243R x \£=。
数值分析第七章非线性方程的数值解法
数值分析第七章非线性方程的数值解法在数值分析中，非线性方程和非线性方程组的求解是非常重要的问题。
线性方程是指变量之间的关系是线性的，而非线性方程则指变量之间的关
系是非线性的。
非线性方程的数值解法是通过迭代的方式逼近方程的解。
非线性方程的求解可以分为两类：一元非线性方程和多元非线性方程组。
接下来，我们将对这两类方程的数值解法进行介绍。
对于一元非线性方程的数值解法，最常用的方法是二分法、牛顿法和
割线法。
二分法是一种直观易懂的方法，其基本思想是通过迭代将方程的解所
在的区间逐渐缩小，最终找到方程的解。
二分法的缺点是收敛速度较慢。
牛顿法是一种迭代法，其基本思想是通过选择适当的初始值，构造出
一个切线方程，然后将切线方程与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
牛顿法的优点是收敛速度较快，但其缺点是初始
值的选择对结果影响很大，容易陷入局部极值。
割线法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过选择两个初始值，构造
出一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直
到满足精度要求。
割线法的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
对于多元非线性方程组的数值解法，最常用的方法是牛顿法和拟牛顿法。
牛顿法的思想同样是通过构造切线方程来进行迭代，但在多元方程组中，切线方程变为雅可比矩阵。
牛顿法的优点是收敛速度快，但同样受初
始值的选择影响较大。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过逼近Hessian矩阵来进行迭代，从而避免了计算雅可比矩阵的繁琐过程。
拟牛顿法的收敛性和稳定性较好，但算法复杂度相对较高。
完整版数值分析第7章答案
1数值分析第七章第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程f(x)?0(7.1)f(x*)?0x*x*x*为也称为方程的根是指求(7.1).（实数或复数），使得称的根,m f(x)?(x?x*)g(x)f(x)f(x)函数的零点.若可以分解为g(x)g(x)?0x*x*为单称m=1满足时,是方程(7.1)的根.,则当其中m为正整数,g(x)x*x*是方程(7.1)的m称,充分光滑,为m重根.若重根,则有根;当m>1时(m?1)(m)f(x*)?f'(x*)?...?f(x*)?0,f(x*)?0f(x)f(a)f(b)?0,则方程(7.1)在(a,b)[a,b]若上连续且内至少有一个实根,称在[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法f(x)f(a)f(b)?0f(x)?0f(x)?0*x在上连续,再设内有根,则设.在(a,b)在[a,b]1x?(a?b)a?a,b?bf(x)f(x)?0000计算和.,若则(a,b)内仅有一个根.令20000a?xb?b[a,b])f(a)f(x?0x*?x;,则令,结束计算;若若得新的有根区间,10,11001a?ab?x0)?(f(a)fx,得新,则令的有根区间0110,0011b?a?(b?a)x?(a?b)[a,b][a,b]?[a,b]f(x)0101111再令计算,.,.同上法得221110101[a,b],如此反复进行出新的有根区间,可得一有根区间套22...?[a,b]?[a,b]?...?[a,b]001?n1?nnn2数值分析第七章11a?x*?b,n?0,1,2,...,b?a?(b?a)?...?(b?a)0n0?1nnn?1nn且. 221lim(b?a)?0,lim x?lim(a?b)?x* nnnnn故2????n??nn1x?(a?b)f(x)?0nnn的近似根,可作为,且有误差估计因此21(b?a)|x?x*|?n1?n(7.2)22.迭代法?(x?)x等价变形为将方程式(7.1) (7.3)??(x*)?)(xf(x*)?0x**xx*的一个不动点为函数.;反之亦然则.若要求称满足?(x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也求方程(7.1)的根等价于求称简单迭代法)为?(x),k?0,1,2...x?(7.4)k1?k?(x),k??x0,1,2...?(x)称为迭代函数.函数如果对任意,由式(7.4)产生的序列??x有极限kk??k则称不动点迭代法(7.4)收敛.kk?1x?x*lim?(x)?C[a,b]满足以下两个条件: 定理7.1(不动点存在性定理)设?(x)??b;x?[a,b]a有1.对任意??(y)|?|x?y|?,y[a,b]|(x)?x 2.存在正常数使对任意, ,都有(7.5)1?L?(x)[a,b]x*.则在上存在惟一的不动点?(x)?C[a,b]满足定理7.2(定理不动点迭代法的全局收敛性定理)设7.1中的两个??x]b,?x[a?(x)并条件,由,(7.4),的不动点式得到的迭代序列则对任意到.收敛k0有误差估计式3数值分析第七章L|x?*|?x||x?x1kkk?(7.6)L1?k L|x?x*|?|x?x|1?kkk L1?(7.7)和??'(xx))(xx**的某,为设在的不动点定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)?'(x)|?|1,则迭代法(7.4)局部收敛个邻域连续,且.?(xx?)x*,的根如果迭代误差收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程e?x?x*k??时成产下列渐近关系式当kk e k?1?C(常数C?0)e(7.8) k则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.(K)?(x)x*的邻近连续,并定理7.4(收敛阶定理在所求根)对于迭代过程(7.4),如果且(p?1)???(x*)?...?*)?'(x*)?0''(x(p)?(x*)?0(7.9)*x的邻近是收敛的,则该迭代过程在点并有e1)(p?1k?*)x?lim(p!ep??k (7.10)k斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为??(y?)(x),zy?kkkk2)?x(y kk x?x?kk?1z?2y?x kkk k?0,1,2,...(7.11)4数值分析第七章此法也可写成如下不动点迭代式?(x),kx??0,1,2,...kk?12?)?x(x)(?(x)?x????(x)?2?(x(x))(7.12)?(x)x**x是为式(7.12)中则的不动点7.5(定理斯蒂芬森迭代收敛定理)设,?(x)???1*)''(x)?'(x(x)*x的不动点,存在,的不动点;设则,则斯蒂芬森迭代法是(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为f(x)k,x?k?0,1,2,...?x k?k1)xf'(其迭代函数为(7.13)k f(x)??(x)?x f'(x)f(x*)?0,f'(x*)?0,f''(x*)?0时牛顿迭代法的收敛速度当,容易证f''(x*)??0*)?''(x 0'(x*)?ff'(x*),由定理,明,7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且ef''(x*)1?k?lim2*)f'(ex2??k(7.14)k f(x)?0(m?2)*x时,迭代函数的m重顿重根情形的牛迭代法当根是f(x)1??x)?(x?'(x*)?1??0?'(x*)|?1|)xf'(*x.所以牛顿迭代法求处的导数在,且m x*的重数m知道,重根只是线性收敛.若则迭代式f(x)k,k?0,1,2,...??xx?m kk?1)'(xf(7.15)k f(x)??x()f'(x)*x此时迭代式,的单重零点一定是函数,未知时m当.求重根二阶收敛5数值分析第七章?(x)f(x)f'(x)kkk?xx??x?kk?1k?)f''(x)x)]?f(x'(x)[f'(kkkk k?0,1,2,...(7.16)也是二阶收敛的.f(x)k,?k?0,1,2,...x?x k1k?)xf'(如下迭代法简化牛顿法0称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4.弦截法f'(x)xxf(x)在,处的一阶差商来代替,将牛顿迭代法(7.13)中的即可得弦用kkk?1截法f(x)k(xx?x??x)1kk?1k?k f(x)?f(x)(7.17)??x*|:|x??*x内具有二阶连续导数,的邻域在其零点定理7.6假设且对任1kk?)(xfx,x??10f'(x)?0?x?,又初值,,意则当邻域充分小时,有弦截法(7.17)将按阶?1?5?p?1.6182???1?0?*x2的正根收敛到是方程..这里p5.抛物线法(x,f(x)),(x?f(x))两点的直线方程的根近似替弦截法可以理解为用过kk?1kk?1xxx0x)?(fx)?0f(用,过三若的根.已知个近似根,的2kk?1k?(x,f(x)),(x,f(x)),(x,f(x))f(x)?0的根,的抛物线方程的根近似代替2??k?k121k?kkk所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.f(x)f'(x*)?0*x,则抛物线法局部收敛当,在,的邻近有三阶连续导数且收敛阶p?1.839?1.84. 为数值分析第七章二、知识结构图三、常考题型及典型题精解3上有一个实根x*,并用二分法2]在[1,?1?例7-1 证明方程x0?x-6-3,需二分区间[1,2]10.若要求|x-x*|?求这个根,要求|x-x*|?10kk多少次?3在[1,2],则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0x?解设f(x)=x1?2在[1,2]时,f'(x)>0,即f(x)=0-1,所以当x?上有根x*.又因f'(x)=3x上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.[1,2]7-1表k abxf(x)的符号kkkk+ 2 0 1 1.5- 1.5 1 1 1.25+ 2 1.25 1.51.3751.3125 3 1.251.375 -1.375 1.3438 1.3125 4 +1.312551.3282+1.1341.3125-861.32041.32041.32827-1.32431.32431.32821.3263+87数值分析第七章9 1.3243 1.3282 1.3253 +1.32631-3-3,可以作为x*的近??10此时x=1.3253满足|x-x*|?10?0.97799102似值.1-6?6,只需|x10-x*|?-x*|即可,解得k+1?19.932, 若要求|x?10?kkk+12即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.x=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动e例7-2 已知函数方程(x-2)点迭代公式使之对任意初始近似x?[a,b],迭代方法均收敛;(3)用所构0?3.|?10造的公式计算根的近似值,要求|x?x1k k?xx因此区间[2,3]0,e解 (1)令f(x)=(x-2)-1>-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=e x x)=-1,f(,lim,lim f(x)=+?是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1)e???xx???1-1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-?,+?)内f'(1)=-e有且仅有一根x*,即x*?[2,3].x?xx?.由于当?将(x-2)e[2,3].则=1等价变形为x=2+ee(x)=2+,x(2)2??x??<1'(x)|=|-e?e[2,3]x?时2?|(x)?3,|x?[2,3]均收敛.??故不动点迭代法x=2+e x,k=0,1,2,...,对k0k+1x?进行迭代计算,结果如表7-2所示.e(3)取x=2.5,利用x=2+k k+10表7-28数值分析第七章此时x已满足误差要求,即x*?x?2.120094976.44例7?3考虑求解方程2cos x?3x?12?0的迭代公式2 x=4+cos x,k=0,1,2,...k k+13(1)试证:对任意初始近似x?R,该方法收敛;0-3;10-x|?(2)取x=4,求根的近似值x,要求|x k0k+1k+1(3)所给方法的收敛阶是多少?2?(x)=4+cos x,解 (1)由迭代公式知,迭代函数322?(x)的值域介于(4-)与(4+由于)之间,且(??,??).x?3322?'(x)|=|-sin x|??1|33?(x)在(??,??)内存在惟一的故根据定理7.1,7.2知,??收敛于x*.x?x?R,迭代公式得到的序列不动点x*,且对k0(2) 取x=4,迭代计算结果如表7-3所示.0表7-3x*?xx?3.347529903已满足误差要求，即此时55?'(x*)?0.136323129?0，故根据定理7 .4）由于（3知方法是线性收敛的，并e?1k?'(x?*)lim e??k。
数值分析第7-8章
作为主元素 解：选择所有系数中绝对值最大的40作为主元素， 选择所有系数中绝对值最大的 作为主元素， 交换第一、二行和交换第一、 交换第一、二行和交换第一、二列使该主元素位于 对角线的第一个位置上， 对角线的第一个位置上，得 40x2 - 20x1 + x3 =4 -19x2+10x1 - 2x3=3 4x2+ x1 +5x3=5 (4) (5) (6)
(5)- l21(4), (6)- l31(4)得
x2 – 1.5x3=5 选6为主元素 为主元素 6x2 + 5.05x3=5.2 (9) x2 – 1.5x3=5 (10) 计算l 计算 32=1/6=0.16667， ， (10)- l32(9) 得 -2.34168x3=4.13332 (11) (7) 6x2 + 5.05x3=5.2 (8)
记笔记
计算l21=-19/40=0.475， l31=4/40=0.1 (5)- l21(4), (6)- l31(4)得
0.5x1 –1.525x3=4.9 3x1 + 4.9x3=4.6 选4.9为主元素 为主元素 4.9x3 + 3x1=4.6 1.525x3 +0.5x1=4.9 (7) (8) (9) (10)
| a i k , k | = max | a ik | ≠ 0
k ≤i≤n
10 − 9 例： 1
1 1
1 2
⇒
1 10 − 9
1 1
2 1
⇒
1 0
1 1
2 1
⇒
x2 = 1 ,
x1 = 1
注：列主元法没有全主元法稳定。 列主元法没有全主元法稳定。
例：用高斯消去法解方程组
数值分析第七章
(6) 切比雪夫多项式的极值性质
Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中
1 ~ Tn ( x) n 1 Tn ( x) 2
与零的偏差最小，且其偏差为
即，对于任何
1 2 n 1
， p ( x) H n ( x) 有
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近
max 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x[ a ,b ] f ( x) p( x)
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
x k cos k
n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
( x) e
x2
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
1 2 n 1
~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0
1 x 1 1 x 1
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
数值分析-第七章小结
第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结姓名 班级 学号一、 学习体会本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法．构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造方法和基于泰勒展开的构造方法．后一种方法更灵活，也更具有一般性．泰勒展开方法还有一个优点，它在构造差分公式的同时可以得到关于截断误差的估计．常微分方程初值问题的数值解法的基本思想就是对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间[a,b]上的一系列离散节点处的函数值的近似值.数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值。
本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法,包括单步法和多步法。
单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法，多步法是Adams 法。
它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。
用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。
实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。
谢谢半年多来的老师和助教的辛勤劳动！二、 知识梳理7.1 常微分方程初值问题的数值解法一般概念基本思想:将初值问题离散化步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩ 的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-显式Euler 公式10(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +=+⎧⎨=+=⎩隐式Euler 公式1110(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +++=+⎧⎨=+=⎩7.2 显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-单步法的局部截断误差111()()[,(),]n n n n n R y t y t h t y t h φ---=--整体截断误差()n n n y t y ε=-定理7.2.1 单步法的阶设增量函数在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
数值分析课件 (第7章)
上页
下页
首页
结束
二、二分法
设 f ( a ) f (b) 0, 取 x0 ( a b) / 2. 假如 f ( x0 ) 是f ( x)的零点， 那么输出 x0 , 停止. 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x0 ) 同号，则 a1 x0 , b1 b; 否则 a1 a, b1 x0。
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
取初值x 0 1.5.
k
xk
k
xk
1 2 3
1.484248034 1.472705730 1.468817314
由于 x6 x5
x
4 5 6
3
1.467047973 1.466243010 1.465876820
证明：先证不动点存在 性。 若(a ) a或(b ) b，显然( x )在[a, b]上存在不动点。 因a ( x ) b, 定义函数 f ( x ) ( x ) x 显然f ( x ) C[a, b], 且满足 f ( a ) ( a ) a 0, f ( b ) ( b ) b 0 由连续函数性质可知存 x (a, b )使 f ( x ) 0, 即 在 x ( x ), x 即为( x )的不动点。
3/ 2
1 2(1.6 1)
1,
发散。
由于(2)的L较小，故取(2)中迭代公式计算。 要求结果具有四位有效数字 ,因 xk x
*
L 1 L
xk xk 1 1 L L
1 2
10 ，故只需 10
3
3
数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法.
y
,这样就可得缩小有根区间 a1 , b1
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 x1 a2 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
23/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.2 二分区间法 ② 对压缩了的有根区间 a1 , b1 施行同样的手法, b 即取中点 x a 2 ,将区间 a1 , b1 再分为两半,然 后再确定有根区间 a 2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的 二分之一。
长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0 的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。
y
0 A
a1 b1 a2 b2
B
x
20/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言
数值解法的三个步骤 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。（隔离根） ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种格式 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
10/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
3/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言 当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
数值分析_第七章_解线性方程组的直接解方法.
因‖R０‖＜１，故lim‖R０‖k→∞２k＝０．则２k‖Rk‖≤‖R０‖→０（k→∞），－１即Rk→０（k→∞）．Rk＝I－ACk，故当Rk→０时，Ck→A．四、习题１畅用Gauss消去法解方程组２x１＋x２＋x３＝４，３x１＋x２＋２x３＝６，x１＋２x２＋２x３＝５．２畅（１）设A是对称矩阵且a１１≠０，经过Gauss消去法一步后，A约化为a１１０证明A２是对称矩阵．（２）用Gauss消去法解对称方程组０畅６４２８x１＋０畅３４７５x２－０畅８４６８x３＝０畅４１２７，０畅３４７５x１＋１畅８４２３x２＋０畅４７５９x３＝１畅７３２１，－０畅８４６８x１＋０畅４７５９x２＋１畅２１４７x３＝－０畅８６．３畅（１）用表达式（７畅４）证明其中aij＝aij．（１）a１TA２．aij＝aij－li１a１j－li２a２j－…－li，k－１ak－１，j，i，j≥k，（k）（１）（１）（２）（k－１）（r）（２）使Gauss消去法中arj＝urj（j≥r），利用（１）证明urj＝arj－k∑lrkukj（j＝r，r＋１，…，n），＝１lir＝（air－k∑likukr）／urr（i＝r＋１，…，n）．＝１４畅设方程组x１＋２x２＋３x３＝１，５x１＋４x２＋１０x３＝０，３x１－０．１x２＋x３＝２．r－１r－１３１８（１）试用Gauss全主元消去法求解．（２）试用Gauss列主元消去法求解．５畅设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A＝LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零．２，…，n－１）时，则有６畅由Gauss消去法证明：当Δi≠０（i＝１，A＝LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵．７畅设A为n阶矩阵，若｜aii｜＞j∑｜aij｜（i＝１，２，…，n），则称A＝１j≠in为对角优势矩阵．试证明：设A是对角优势矩阵，又设经过Gauss消去法一步后，A具有形式a１１０α１TA２，则A２是对角优势矩阵．且由此推断：对于对称的对角优势矩阵，用Gauss消去法和部分（列）主元Gauss 消去法可得到同样的结论．８畅设Lk为指标是k的初等下三角矩阵，即１筹Lk＝１mk＋１，k…mnk１筹１．（除第k列对角元下元素外，Lk与单位阵I相同）求证当i，j＞k时，L珟k＝IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij 为初等排列矩阵．９畅试推导矩阵A的Crout分解的计算公式：A＝LU，其中L为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵．１０畅设UX＝b，其中U为三角矩阵．（１）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式．（２）计算解三角形方程组UX＝b的乘除法次数．３１９（３）设U为非奇异矩阵，试推导求U３２３T－１的计算公式．１１畅用平方根法（Cholesky分解）解方程组２２０３５９１－２１０３０１２５９１７０１－２１－２A＝－４－６４１８２x１x２x３x１x２x３００１－２８－１６．－２０，b＝５＝３．７１０＝１６．３０１１０－１－１１２畅用LDL分解法解方程组３３５－２A＝１００１３畅用追赶法解三对角方程组AX＝b，其中．１４畅求矩阵A的LU分解，并利用分解结果计算A．１５畅下述矩阵能否分解为A＝LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵．若能分解，那么分解是否唯一？１A＝２４２４６３７０．６０．１０．５０．３１３１２３１１１６２５１５６１５．４６１，B＝２１，C＝２１６畅设A＝F唱范数．１７畅求证：，计算A的行范数、列范数、２唱范数及（１）‖X‖∞≤‖X‖１≤n‖X‖∞，３２０（２）‖A‖F≤‖A‖２≤‖A‖F．n×n１８畅设P∈R范数．定义且为非奇异矩阵，又设‖X‖为R上一向量‖X‖P＝‖PX‖．n试证明‖X‖P是R上向量的一种范数．１９畅设X∈R，X＝（x１，x２，…，xn），求证：p→∞nTn２０畅证明：当且仅当与Y线性相关且XY≥０时，才有Tlim（i∑｜xi｜＝１np）１＝１max｜xi｜＝‖X‖∞．≤i≤n‖X＋Y‖２＝‖X‖２＋‖Y‖２．２１畅设A∈Rn×n，求证特征值相等λ（AA）＝λ（AA）．TT２２畅证明：如果A＝（α１，α２，…，αn）是按列分块的，则‖A‖２F＝‖α１‖２＋‖α２‖２＋…＋‖αn‖２．２２２－１２３畅证明：如果‖B‖＜１，则‖I－（I－B）‖≤‖B‖．２４畅证明：对任何矩阵算子范数有‖I‖＝１（其中I是单位矩阵），‖A‖‖A－１‖≥１．nj≠i２５畅（１）如果A是对角优势矩阵，即｜aii｜＞j∑｜aij｜（i＝１，２，＝１…，n），证明aii≠０（i＝１，２，…，n）．（２）设A为对角优势矩阵，使A＝DB，其中D＝diag（aii），证明B＝I－C，其中‖C‖∞＜１，因此由定理（７畅１６），A是非奇异阵．（３）证明：如果应用Gauss消去法解对角优势方程组，则所有元素akk≠０．（k）２６畅设‖A‖s、‖A‖t为任意两种R明存在常数c１、c２＞０，使n×n上矩阵算子范数，证n×nc１‖A‖s≤‖A‖t≤c２‖A‖s（对一切A∈R）．３２１２７畅设A＝１００９９９９９８，计算A的条件数cond（A）ν（ν＝２，∞）．２８畅证明：如果A是正交阵，则Cond（A）２＝１．２９畅设A，B∈Rn×n且‖·‖为Rn×n上矩阵的算子范数，证明TT３０畅设A为对称正定矩阵，且其分解为A＝LDL＝WW，其中W＝L，求证：T１Cond（A·B）≤Cond（A）·Cond（B）．（１）cond（A）２＝（cond（W）２）．２（２）cond（A）２＝cond（W）２·cond（W）２．３１畅设对称正定矩阵A＝试计算‖A－１T２－１－１２，λ２，且找出b１‖２＝１／λ，‖A‖２＝λ２及cond２（A）＝（常数）及扰动δb，使‖δb‖２‖δX‖２＝cond２（A）．２２３２畅求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计‖δX‖．２４０－１７９２４０－１７９畅５－３１９２４０２４０x１x２＝x１x２３４＝，即AX＝b，３４，即（A＋δA）（X＋δX）＝b．－３１９畅５３３畅已知Hilbert矩阵３２２１H３＝１１T１＝b时，若H３及b有微小误‖δX‖∞．∞７畅０００３－７T．（１）计算H３的条件数cond∞（H）．１１１３４７（２）解方程H３X＝差（取３位有效数字），估计解X的误差３４畅设A＝２畅０００１－２－１１，b＝，已知方程组AX＝b的精确解为X＝（３，－１）．（１）计算条件数cond∞（A）．计算剩余r＝b－AX珚．（２）若近似解X珚＝（２．９７，－１．０１），（３）利用定理７畅２０计算不等式右端，并与不等式左端比较，此结果说明什么？３５畅填空题（１）X＝（２，３，－４），则‖X‖１＝，‖X‖２＝，‖X‖∞TT＝．１－３２－１０２０１，则‖A‖１＝，ρ（A）＝．０－１则cond２（A）＝．２０a，为使A可分解为A＝LL，其中L为３２３T（２）A＝－１２－１１２（３）A＝（４）设A＝１０a２对角线元素为正的下三角形矩阵，a的取值范围，取a＝１，则L＝．五、习题解答１畅解为消去第２、３两个方程中的x１，取l２１＝，l３１＝．将第２个方程减去－l２１倍的第１个方程，第３个方程减去－l３１倍的第１个方程，得２x１＋x２＋x３－＝４，x２＋x３＝０，x２＋x３＝３．为消去第３个方程中的x２，取l３２＝－３．将第３个方程减去－l３２倍的第２个方程，得三角方程组２x１＋x２＋x３＝４，－１１x２＋x３＝０，３x３＝３．回代，算出方程组的解x３＝３／３＝１，x２＝０－１x３（１）－１＝１，x１＝（４－x２－x３）／２＝１．２畅解（１）记A＝（aij）＝（aij）．经Gauss消元一步后，A２的元素为a（２）ij（１）＝a（１）ij（１）i１（１）－a１j．１１（１）（１）（１）因A是对称的，所以有aij＝aji，ai１＝aj１，于是有３２４a故A２是对称的．（２）ij＝a（１）jij１（１）（２）－a１i＝aji．１１（１）（２）用Gauss消去法求解所给对称方程组，得X＝（４畅５８６０３５，－０畅６３１５２２８，２畅７３５１９９）．倡T ３畅解（１）因aij＝aij（k）（k－１）－li，k－１ak－１，j，（k－１）而故aij＝aij（k）（k－２）（１）aij（k－１）＝aij（k－２）－li，k－２ak－２，j，（k－２）（k－１）－li，k－２ak－２，j－li，k－１ak－１，j＝…（k－２）（１）（２）（k－２）（k－１）＝aij－li１a１j－li２a２j－…－li，k－２ak－２，j－li，k－１ak－１，j，i，j≥k．（２）由（１）有urj＝a又０＝air由此解出（r＋１）（r）rj＝arj－k∑lrkakj（j＝r，r＋１，…，n）．＝１（k）r－１＝air－li１u１r－li２u２r－…－lirurr．lir＝likukrair－k∑＝１rrr－１．４畅解（１）选主元为１０，将第一行与第二行交换，第１列与第３列交换，得１０x３＋４x２＋５x１＝０，３x３＋２x２＋x１＝１，x３－０．１x２＋３x１＝２．消去第２、３方程中的x３，得１０x３＋４x２＋５x１＝０，０畅８x２－０．５x１＝１，－０．５x２＋２．５x１＝１．第２次选的主元为２畅５．将上述第２个方程与第３个方程交３２５换，第２列与第３列交换，得１０x３＋５x１２畅５x１消去第３方程中的未知数x１，得１０x３＋５x１＋４x２＝０，２畅５x１－０．５x２＝２，０．７x２＝１．４．回代求得，x２＝２，x１＝１．２，x３＝－１．４．得（２）列主元为５，将第１行与第２行交换，再消去x１，５x１＋４x２＋１０x３＝０，１畅２x２＋x３＝１，－２．５x２－５x３＝２．列主元为－２．５，将第２行与第３行交换，再消去x２，得５x１＋４x２＋１０x３＝０，－２畅５x２－５x３回代求得x３＝－１．４，x２＝２，x１＝１．２．５畅证设A、L、U的k阶顺序主子矩阵分别为Ak、Lk、Uk（k＝１，２，…，n），显然Ak＝LkUk．由A＝LU分解的定义可知，L１U的各阶顺序主子式均不为零，即故det（Lk）＝１，det（Uk）≠０．det（Ak）＝det（Lk）det（Uk）≠０，k＝１，…，n，＝２，－１畅４x３＝１畅９６．＋４x２＝０，－０．５x２＝２，－０．５x１＋０．８x２＝１．即A的各阶顺序主子式均不为零．（i）６畅证因Δi≠０，（i＝１，２，…，n－１）（Δi是i阶顺序主子式），所以aii≠０（i＝１，２，…，n－１），则Gauss消去法可进行到底，即存３２６在指标为i的初等下三角阵Li，使Ln－１Ln－２…L１A＝U，故A＝L１其中L＝L１－１－１－１（２）－１…Ln－２Ln－１U＝LU，－１－１…Ln－２Ln－１为下单位三角阵，U是上三角阵．aij＝aij－（２）７畅证记A２＝（aij），则有i１a１j．１１nj≠in又A是对角优势矩阵，可知｜aii｜＞j∑｜aij｜，i＝１，２，…，n．故＝１∑｜a｜＝j∑j＝２＝２（２）ijj≠innnj≠ii１aij－a１j１１≤j∑｜aij｜＋j∑＝２＝２j≠i｜ai１｜｜a１j｜１１j≠in｜aij｜n∑｜a１j｜＝j∑｜aij｜－｜ai１｜＋＝１１１j＝２j≠ij≠i≤｜aii｜－＝｜aii｜－≤｜aii｜－≤aii－ni１（｜a１１｜－j∑｜a１j｜）＝２１１j≠ini１（｜a１１｜－j∑｜a１j｜＋｜a１i｜）＝２１１ni１｜a１i｜（｜a１１｜－j∑｜a１j｜＞０．）＝２１１i１（２）a１i＝｜aii｜（i＝２，…，n）．１１即A２也是对角优势矩阵．若A是对角优势矩阵，经Gauss消元一步后．A→A（２）＝a１１０αTA２．由上述证明及第２题结论知，A２仍是对角优势矩阵，即｜a｜＞j∑｜aij｜（i＝２，…，n）．＝２（２）ii（２）j≠in由对称性也有３２７｜a｜＞i∑｜a｜＝i∑｜aij｜，（j＝２，…，n）．＝２＝２（２）jj（２）ji（２）i≠ji≠jnn这正好与Gauss顺序消去而第二步消元前所选列主元应为a２２，（k）法的主元相同．以此类推第k次所选主元就是akk，所以用Gauss （２）顺序消去法和列主元消去法得到同样的结果．８畅证因１筹Lk＝１mk＋１，k…mnk０，１，０，…，０）．故ek＝（０，…，T第k列＝I－lkek．筹１TT其中I是单位阵，lk＝（０，…，０，－mk＋１，k，…，－mik，…，－mn，k），L珟k＝IijLkIij＝Iij（I－lkek）Iij＝IijIIij－（Iijlk）（ekIij）＝I－lkek′TTT仍是指标为k的初等下三角阵，其中lk＝（０，…，０，－mk＋１，k，…，mjk，…，－mik，…，－mnk）．′T９畅解设A＝LU，即a１１a１２…a１na２１a２２…a２n…………an１an２…ann根据矩阵乘法，有ai１＝li１u１１＝li１，i＝１，…，n，a１j＝l１１u１j，得u１j＝３２８a１j，j＝２，…，n．１１＝l１１l２１l２２……筹ln１ln２…lnn１u１２１…u２３筹……筹筹u１nu２n…un－１，n１．现设L的前k－１列与U的前k－１行已算好，因akk－１ik＝r∑＝１lirurk＝r∑＝１lirurk＋likukk（i＝k，…，n，ukk＝１），k－１所以lik＝aik－r∑＝１lirurk（i＝k，…，n）．同样akk－１kj＝r∑＝１lkrurj＝r∑＝１lkrurj＋lkkukj（j＝k＋１，…，n），k－１kj所以u－r∑＝１lkrurjkj＝akk，j＝k＋１，…，n．综上，Crout分解公式li１＝ai１，i＝１，２，…，n，u１j＝a１j／l１１，j＝２，…，n，lk－１ik＝aik－r∑＝１lirurk，i＝k，…，n，uk－１kj＝（akj－r∑＝１lkrurj）／lkk，j＝k＋１，…，n．１０畅解（１）设U为上三角阵，则有u１１……u１nx１b１u２２…u２nx２筹……＝b２…．unnxnbn由unnxn＝bn，得xn＝bn／unn．一般地，由uiixi＋ui，i＋１xi＋１＋…＋uinxn＝bi，得nxbi－j＝∑ijxji＝ui＋１ii（i＝n－１，n－２，…，１）．当U是下三角矩阵时，有３２９u１１u２１…un１u２２…un２筹…unnx１x２ (x)n＝b１b２…bn．由u１１x１＝b１，得x１＝b１／u１１．一般地，由ui１x１＋ui２x２＋…＋uiixi＝bi，i＝２，…，n，得xi＝（bi－j∑uijxj）／uii，i＝２，…，n．＝１（２）乘法次数，对固定的i有n－i次，i从１到n，所以总乘法次数R （n－i）＝i∑i＝R＝i∑＝１＝１除法次数D，D＝n．＋n故总的乘除法次数＝＋n＝．２nn－１i－１．（３）设Uu１１…筹－１＝V，这里V也是上三角阵，即u１n…unnv１１…筹v１n (v)nnj１＝UV＝１筹１．V按行计算，i＝n－１，…，１，vij＝－k＝i＋１∑uikvkjii，j＝i＋１，…，n．vii＝，i＝１，２，…，n．ii２２３＝２＞０，Δ３＝２３２２０３０１２＞０．１１畅解因系数矩阵顺序主子式Δ１＝３＞０，Δ２＝３２且系数矩阵对称，故为正定方程组．按照算法（７畅９）得３３０l１１＝，l２１＝２／，l３１＝，l２２＝则有３２３２２０３０１２由２／得再由２／y１＝－y１y２y３５＝３，７＝２／－２／－．，l３２＝－，l３３＝．５１１，y２＝－，y３＝．x１x２x３＝５／－１／，１／－得x３＝１１，x２＝，x１＝１．１２畅解此方程组的系数矩阵为对称正定矩阵，因此可用改进的平方根法，用算式（７畅１１）得到d１＝a１１＝３，t２１＝a２１＝３，l２１＝d２＝a２２－t２１l２１＝５－３＝２，t３２＝a３２－t３１l２１＝９－１＝８，l３２＝t２１３＝＝１，１３１５＝，１t３１＝a３１＝５，l３１＝３２８２＝＝４，d３＝a３３－t３１l３１－t３２l３２＝．２３３１１则A＝LDL＝T３１２１１１５／３２．１５／３２１２／３１由LY＝b，即１y１１０１１y２＝１６，５／３２１y３３０得y１＝１０，y２＝６，y３＝４／３．再解DLTX＝Y，得x３＝２，x２＝－１，x１＝１．１３畅解设－２１００１u１d１１－２１０l２１u２d２０１－２１＝l ３１u３００１－２l４１由分解公式（７畅１５）计算得d１＝１，d２＝１，d３＝１，u１＝－２，l２＝－１，u２＝－３，l３＝－２，u３＝－４，l４＝－３，u４＝－５．由公式（７畅１６）解１y１１－１１LY＝b＝痴y２１－２１y＝３０，－１y４－１得y１＝１，y２＝３，y３＝１，y４＝－１．再由公式（７畅１７）解３３２d３．u４－２UX＝Y痴１－x１１－４１－x２x３＝１３１，１－x４１３７６得x４＝，x３＝－，x２＝－，x１＝－．１４畅解由矩阵的三角分解公式（７畅６），计算得１－２４８A＝LU＝２１０１０－３２．３－１１００－７６１００－０．５０畅２－０畅１３６９－１－１L＝－２１０，U＝０畅１－０畅０４２１１．－５１１－０畅０１３１６所以－０畅２１５５０畅０６３１－０畅１３６９－１－１－１A＝UL＝０畅０１０５５０畅０５７８９－０畅０４２１１．０畅０６５３－０畅０１３１６－０畅０１３１６１５畅解设A能分解，则有１A＝LU＝l２１l３１０１l３２００１u１１００u１２u２２０u１３u３３u３３１＝２４２４６３１．７由分解公式（７畅６）知，u１１＝１，u１２＝２，u１３＝３，l２１＝２，l３１＝４，u２２＝０，而a３２＝l３２u２２＋l３１u１２＝０＋４×２＝８与a３２＝６矛盾，故A的LU分解不能进行．但A为非奇异阵，所以存在排列阵P，使PA＝LU．即将A的１行与２行交换，则可分解为LU．设B＝LU，则１２３１２３１１＝１１l２１l３１０１l３２００１u１１００u１２u２２０u１３u２３u３３３３３．由分解公式（７畅６）知，u１１＝u１２＝u１３＝１，l２１＝２，l３１＝３，u２２＝０．而由３＝l３１u１２＋l３２u２２，得３＝３＋l３２u２２．故l３２可任选，即B的三角分解存在且不唯一．因C的各阶顺序主子均不为０，故由定理７畅４知，C的三角分解存在且唯一．１６畅解A的行范数６＋０．５，０．１＋０．３｝＝１．１．‖A‖∞＝max｛０．A的列范数６＋０．１，０．５＋０．３｝＝０．８．‖A‖１＝max｛０．‖A‖F＝（０．３６＋０．２５＋０．０１＋０．０９）AA＝T１／２＝０．８４２６．０畅３３０畅３４．０畅６０畅５０畅１０畅３０畅６０畅１０畅６０畅３＝２０畅３７０畅３３｜λI－AA｜＝TTλ－０畅３７－０畅３３－０畅３３λ－０畅３４＝λ－０．７１λ＋０．０１６９＝０．所以λmax（AA）＝０．６８５，则‖A‖２＝１７畅证（１）由定义知，‖X‖∞≈０畅８３．n＝１max｜xi｜≤i∑｜xi｜≤i≤n＝１＝‖X‖１≤i∑max｜xi｜＝n‖X‖∞，＝１１≤i≤n∞n从而‖X‖２∞≤‖X‖１≤n·‖X‖TT．（２）由范数定义有‖A‖２＝λmax（AA）≤λ１（AA）＋λ２（AA）＋…＋λn（AA）TT＝AA的对角元之和＝i∑a＋i∑a＋…＋i∑ani＝１＝１＝１T２１i２２２i２nnn＝j∑∑a＝i∑∑aij＝‖A‖F．＝１i＝１＝１j＝１２ji２nnnn又‖A‖２＝λmax（AA）２T３３４≥＝从而TTT［λ１（AA）＋λ２（AA）＋…＋λn（AA）］１２‖A‖F．‖A‖F≤‖A‖２≤‖A‖F．注：此处用到了矩阵的特征值之和等于其对角线上元素之和的概念．从所证不等式也知道，矩阵的２唱范数可由F唱范数得到控制；矩阵的２唱范数与F唱范数是等价的．１８畅证只要证明‖X‖P＝‖PX‖满足范数定义的（１），（２），（３）．（１）因P非奇异，故对任意X≠0，PX≠0，则‖X‖P＝‖PX‖＞０；当X＝0时，PX ＝0，则‖X‖（２）对任意实数α，‖αX‖P＝‖PαX‖＝‖αPX‖＝｜α｜‖PX‖＝｜α｜‖X‖（３）‖X＋Y‖PPP＝‖PX‖＝０；当‖X‖P＝‖PX‖＝０时，则PX＝0，即X＝0．．＝‖P（X＋Y）‖＝‖PX＋PY‖≤‖PX‖＋‖PY‖＝‖X‖P＋‖Y‖P．综上所述，‖X‖P是R上的一种向量范数．１９畅证因‖X‖p∞n＝１max｜xi｜≤i∑｜xi｜≤n·１max｜xi｜＝n·‖X‖≤i≤n≤i≤n＝１‖X‖∞≤（i∑｜xi｜）＝１np１／ppnppp∞，两边开p次方有≤n‖X‖∞．１而plim＝１，故→∞２０畅证由Cauchy不等式，有｜（X，Y）｜≤‖X‖２‖Y‖２，且当且仅当X、Y线性相关时，有３３５lim（i∑｜xi｜）p→∞＝１pn１／p１＝‖X‖∞．｜（X，Y）｜＝‖X‖２‖Y‖２；又当且仅当XY≥０时，有｜（X，Y）｜＝（X，Y）．T故（X，Y）＝‖X‖２‖Y‖２当且仅当X、Y线性相关，且XYT≥０时，所以‖X＋Y‖２＝（X＋Y，X＋Y）＝（X，X）＋２（X，Y）＋（Y，Y）２＝‖X‖２＋２‖X‖２‖Y‖２＋‖Y‖２２２＝（‖X‖２＋‖Y‖２）２当且仅当X、Y线性相关，且X，Y≥０时，即‖X＋Y‖２＝‖X‖２＋‖Y‖２迟痴X，Y线性相关，且XY≥０．T２１畅证由于I－A及记B＝μIATTOμI－AIμIAATTAμIAμI＝＝μIO２２AμI－AATT，．（７畅２６）（７畅２７）μIOAμIμIμI－AAATOμI．对（７畅２６）、（７畅２７）两式两边取行列式得μdet（B）＝μdet（μI－AA），nnnn２２T记λ＝μ≠０，故２μdet（B）＝μdet（μI－AA）．TTT２２畅证设A＝（α１α２…αn）按列分块，即αj＝（α１j，α２j，…，αnj）（j ＝１，２，…，n），则‖αj‖＝i∑αij．而＝１２２２Tndet（λI－AA）＝det（λI－AA）．‖α１‖＋‖α２‖２２nn２ij２２＋…＋‖αn‖＝j∑‖αj‖２＝１２２２nn２２n＝j∑（∑α）＝j∑∑αij＝‖A‖F．＝１i＝１＝１i＝１２３畅证因‖B‖＜１，由定理７畅１６知I－B可逆且‖（I－B）－１‖≤，所以３３６‖I－（I－B）－１‖＝‖（I－B）≤‖（I－B）≤－１－１（I－B－I）‖‖‖B‖‖B‖．２４畅证由矩阵算子范数定义有‖I‖＝maxX≠O由矩阵范数的相容性有‖A‖‖A优势矩阵，则j＝１j≠i０－１‖IX‖‖X‖＝max＝１．X≠O‖≥‖AA－１‖＝‖I‖＝１．２５畅证（１）用反证法．若有某个i０使ai０i０＝０，因A是对角∑｜ai０j｜＜｜ai０j０｜＝０．n这是不可能的．得证．（２）因A＝DB，即a１１A＝a２１…an１而１B＝a２１２２…n１nn１２１１１………………１n１１a２n２２…１＝１１１１３３７…………a１na２n…anna１１a２２筹ann１２１２２…n１nn a１２１１１………………a１n１１２n２２…１＝DB．＝０－－－a２１２２n１nn－１２１１０…………－１n１１＝I－C．a２n２２０‖C‖∞＝maxi∑j＝１nj≠iaijii＝max∑ij＝１n｜aij｜＜１iij≠in｜aij｜＜｜aii｜）．所以由定理（这是因为A是对角优势矩阵，则j∑＝１j≠i７畅１６知，B＝I－C为非奇异阵．由（１）aii≠０，故D非奇异．因此A＝DB 非奇异．２，…，n．而a１１（３）设A为对角优势阵，由（１）知aii≠０，i＝１，＝a １１，所以a１１≠０．又设经Gauss消元一步后A具有形式：（１）（１）a１１０（２）（k）α１TA２．（２）由习题７知，A２也是对角优势矩阵．又由（１）知aii≠０，i＝２，…，n，即有a２２≠０．如此类推akk≠０．２６畅证因‖A‖s＝maxX≠O‖AX‖s．s对一切X都有由定理７畅１０知，存在a１，a２＞０，b１，b２＞０，a１‖AX‖s≤‖AX‖t≤a２‖AX‖s，与b１‖X‖s≤‖X‖t≤b２‖X‖s．于是１‖AX‖s‖AX‖t２‖AX‖s≤≤．１st２s令１２＝c１＝c２，故有１２c１‖AX‖s‖AX‖t‖AX‖s≤≤c２．sts３３８c１maxX≠0即‖AX‖s‖AX‖t‖AX‖s２max≤max≤c．X≠0X≠0stsc１‖AX‖s≤‖AX‖t≤c２‖AX‖s．１００９９A－１２７畅解A＝９９９８＝，则－９８９９‖A－１９９－１００．‖A‖∞＝１９９，‖A－１‖∞＝１９９，所以∞因A是对称矩阵，故cond（A）∞＝‖A‖‖∞＝１９９×１９９＝３９６０１．λmax（A）．min＝λ－１９８λ－１＝０，２cond（A）２＝由det（λI－A）＝得即λ－１００－９９－９９λ－９８λ１＝１９８畅００５０５０３，λ２＝－０畅００５０５０３５．cond（A）２＝λ１＝３９２０６．２T－１２８畅证因A是正交阵，故A＝Acond（A）２＝max＝min，则max＝１．minmax＝min－１－１２９畅证由条件数的定义及矩阵范数的相容性，有cond（AB）＝‖AB‖‖（AB）＝‖A‖‖AT－１‖‖‖A－１－１≤‖A‖‖B‖‖B‖‖‖‖B‖‖B＝cond（A）cond（B）．３０畅证（１）因A＝WW，所以cond（A）２＝‖A‖２‖A ２－１－１T‖２＝‖WW‖２‖（WW）TT－１‖２＝‖W‖２‖W‖２＝（cond（W）２）．２２T（２）由习题２１知，λ（WW）＝λ（WW），则３３９‖W‖２＝TTTmax＝－T故由（１）得，cond（W）２＝‖W‖２‖Wmax＝‖W‖２．－１‖２＝‖W‖２‖W２T‖２＝cond（W）２．３１畅解由cond（A）２＝［cond（W）２］＝cond（W）２cond（W）２．｜λI－A｜＝λ－２１１λ－２＝λ－４λ＋３＝０，２解得所以‖A设b＝－１λ１＝１，λ２＝３．‖２＝１，‖A‖２＝３，cond（A）２＝，δb＝１１，这时有λ２＝３．１１－１‖δX‖２‖δb‖２＝cond（A）２．２２事实上，设X＋δX＝Y，则A（X＋δX）＝b＋δb，即２－１解得y１＝又解得x１＝所以δX＝１１‖δX‖２＝２－１２y１y２＝２０，４２，y２＝．２－１１１，x２＝－．－１２x１x２＝１－１，＋＝＝３．而cond（A）２＝３４０‖δb‖２＝cond（A）２２＝cond（A）２＝３，故‖δX‖２‖δb‖２＝cond（X）２．２２３２畅解记A＝T２４０－１７９－３１９２４０T，δA＝０－０畅５－０畅５０则AX＝b的解X＝（４，３），而（A＋δA）（X＋δX）＝b的解（X＋δX）＝（８，６）．故‖X‖而A－１∞＝４，‖δX‖＝２４０１７９－１－１∞＝４．，∞∞３１９２４０‖A‖‖δA‖‖δA‖cond∞（A）＝‖A∞‖‖∞∞＝６２６畅２，＝０畅５６０１２．＝０畅５，‖A由推论７畅１９畅２得‖δX‖∞∞‖δA‖∞∞０畅５６０１２≤＝≤１畅２７４，∞１－cond∞（A）∞∞‖δX‖∞≤１畅２７４‖X‖∞≤５畅１０，表明估计‖δX‖∞＝４略大，是符合实际的．９３３畅解（１）H３－１－３６１９２－１８０３０－１８０；１８０＝－３６３０‖H３‖∞＝所以c ond∞（H３）＝７４８．－１，‖H３‖∞＝４０８，（２）方程组在H３及b有微小变化时为１畅０００畅５０００畅３３３０畅５０００畅３３３０畅２５００畅３３３０畅２５００畅２００x１＋δx１x２＋δx２x３＋δx３１畅８３＝１畅０８０畅７８３３４１简记为（H３＋δH３）（X＋δX）＝b＋δb，它的精确解为X＋δX＝（１畅０８９５１２５３８，０畅４８７９６７０６２，１畅４９１００２７９８）．T而H３X＝b的精确解X＝（１，１，１），于是δX＝（０畅０８９５，－０畅５１２０，０畅４９１０）．‖δH３‖∞‖δb‖∞－３≈０畅１８×１０＜０畅０２％，≈０畅１８２％３∞∞而‖δX‖∞≈５１畅２％．∞这表明H３及b的相对误差不超过０畅３％，而引起解的相对误差超过５０％．由推论７畅１９畅２，可得‖δX‖∞≤∞≤３∞１－cond∞（H３）３∞‖δb‖∞‖δH３‖∞＋３∞∞TT４０８（（０畅０００２）＋０畅００１８２）≤０畅８９７４＝８９畅７４％．这个估计结果比实际误差大是合理的．３４畅解（１）先算出A于是cond∞（A）＝‖A（２）r＝b－AX珚＝＝７畅０００３－７－１＝‖∞１００００２００００‖A‖－∞１００００２０００１２畅０００１－２＝，－１＝４０００１×３畅０００１≈１２００１２．－１１０畅０５－０畅０５．２畅９７－１畅０１７畅０００３－７－６畅９５０３－６畅９５∞∞（３）依定理７畅２０，右端为cond∞（A）而左端为３４２‖r‖＝１２００１２×０畅０５≤８５７畅１９２，‖X－X珚‖∞０畅０３＝＝０畅０１．∞这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余‖r‖很小，误差估计仍然较大，因此，当A病态时用‖r‖大小作为检验解的准确度是不可靠的．３５畅解（１）‖X‖１＝９，‖X‖２＝２（３）由１１２０a＞０，得a＜３，故a的取值范围－＜a＜２，‖X‖∞＝５．２（２）‖A‖１＝４，ρ（A）＝１（｜λI－A｜＝（λ－１），λ１，２＝１）．０a２，取a＝１时，L＝１００００．２３４３。
数值分析-第七章第一部分 (1)讲解
b
a
l2 ( x )dx
a
b
a
f ( x )dx L2 ( x )dx
a
b
b
a
ba ab [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2 ba ab f ( x )dx f (a ) 4 f ( ) f (b) 6 2
向后差商公式
f ( x )
向前差商公式
xh
f ( x h) f ( x h) f ( x ) 中心差商公式 3 2h
x
x h ( h 0)
差商型求导公式的截断误差：
h f ( x h) f ( x ) 向前：f ( x ) O( h) f ( ) 2 h f ( x ) f ( x h) h 向后 : f ( x ) O( h) f ( ) 2 h 2 f ( x h) f ( x h ) h 2 中心 : f ( x ) O( h ) f ( ) 2h 6
f (4) ( )
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (1 ) 2! 3! 4!
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (2 ) 2! 3! 4!
h为相邻节点的距离
f(x)
L(x)
x a0
h
ax 1b 2
h
x2 b
x
21
3 Simpson ' s 公式 : 8
x3 x0
f ( x )dx
数值分析第七章电子教案(欧阳洁)
a
i=0
Ai f (xi ) +
b a
f (n+1) (ξ )
(n +1)!
ωn+1
(
x)dx
∫b
其中 Ai = a li (x)dx。
∫ 称为求插积值系型数求由积公Ai式=。ab li (x)dx 确定的求积公式
欧阳洁
14
定理 n+1个求积节点的数值求积公式是插值型 的充分必要条件是该公式至少有n次代数精度。
称为求积公式。xi (i = 0,1,2,Ln) 称为求积节点 。
Ai (i = 0,1,2,Ln) 称为求积系数。
En ( f ) 称为求积公式的余项（截断误差）；
Ai
仅与求积节点 xi
的选取有关，它不依赖于f(x)。 欧阳洁
3
二 求积公式的代数精（确）度
∫ ∑ 定义：如果
b
n
a f (x)dx ≈ i=0 Ai f (xi )
∑ 由
f (x) =
n
li (x) f (xi ) +
i=0
f (n (n
+1) (ξ )
+ 1)!
ωn+1
(
x)
∫ ∑ ∫ ∫ 得
b
nb
a f (x)dx = i=0 ( a li (x)dx) f (xi ) +
b a
f (n+1) (ξ )
(n +1)!
ωn+1
(
x)dx
∫ ∑ ∫ 故得
b
n
f (x)dx =
0
2
中的待定参数，使其代数精度尽量高，并
指明所构造的求积公式具有的代数精度。
数值分析(颜庆津)第7章 学习小结
第7章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、 本章学习体会本章的主要内容是要掌握如何用数值解代替其精确解，这对于一些特殊的微分方程，特别是一些不好解其通解方程是非常有用的。
对于本章我总结如下几点：1、本章计算量相对较小，重要是其思想。
在做题过程中，要理解各种方法的原理及推导过程。
2、本章对泰勒展开法有一定要求。
无论是求方法的阶数还是推导数值解法的公式经常用到泰勒展开。
因此，我们对于泰勒级数要有很清楚的认识。
3、在求数值解法的公式推导时，经常用到第六章的插值型求积公式。
可见，在整本书中，知识往往是贯通的。
二、 本章知识梳理将初值问题离散化 数值微分法（离散变量法）数值积分法 局部截断误差Taylor 级数法 ]),(,[)()(11h t y t h t y t y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差n n n y t y -=)(ε初值问题数值解法的一般形式：k M n k y y y t F k n n n n -==++,,1,0,0),,,,,(1 常微分方程初值问题的数值解法的分类 显式方法隐式方法一般形式 ,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ局部截断误差 ),,(11h y t h y y R n n n n n ϕ--=++整体截断误差 n n n y t y -=)(ε显示单步法 局部截断误差与整体截断误差的关系若)(11++=p n h O R ，则)(1p n h O =+ε若数值方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称这种数值方法的阶数是p显式欧拉公式),,(1n n n n y t h y y ϕ+=+欧拉法隐式欧拉公式),(111++++=n n n n y t h y y ϕ基本思想⎩⎨⎧=≤≤='000)(),,(y t y T t t y t f y等价于10)],(,[)())(,()()(11<<+++=+=⎰++θθθh t y h t hf t y dt t y t f t y t y n n n t t n n n n ),(y x f龙格-库塔法不同点的数值解加权平均代替)](,[h t y h t f n n θθ++而使得截断误差的阶数尽可能高N 级R-K 方法的形式,2,1,0),,,(1=+=+n h y t h y y n n n n ϕ，∑==Ni i i n n k c h y t 1),,(ϕ相容性，收敛性和绝对稳定性1、相容性：设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对h 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法至少是一阶的方法2、收敛性;（1）定义：若对任意的0y 及任意的),(0T t t ∈，极限)(lim )0(t y y n tt n h n ==∞→→则称单步法是收敛的（2）单步法的收敛的充要条件：)(0∞→→n n ε（3）收敛与相容的关系:设增量函数),,(h y t ϕ在区域}0,,|),,{(00h h y T t t h y t D ≤≤<∞≤≤=上连续，且对y 满足Lipschitz 条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法是收敛的3、稳定性（描述初始值的误差对计算结果的影响）4、绝对稳定性：线性多步法的基本思想线性多步法的一般形式∑∑==--++=r i ri i n i i n i n f h y y 011βα线性多步法 Simpson 公式Admas 公式 基于数值积分方法Milne 公式线性多步法的构造基于泰勒展开的待定系数法∑∑=-=--++'--=r i ri i n i i n i n n x y h x y x y R 0111)()()(βα三、 本章思考题试用数值积分法建立常微分方程的初值问题： ),()(00y x f dxdyy x y =⎪⎩⎪⎨⎧=的数值求解公式：)(211n n n n f f h y y ++=++ 解：由),(y x f dxdy =得：dx y x f dy ),(= （1） 对于（1）式。
数值分析第7章教材
仍取迭代初值 x0 1.5 ，则有
x1 2.375, x2 12.39.
结果会越来越大，不可能趋于某个极限.
图7-3
这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3.
一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结
果也是毫无价值的.
21
7.2.2
不动点的存在性与迭代法的收敛性
首先考察 ( x ) 在 [a, b]上不动点的存在唯一性. 定理1 1. 2. 设 ( x) C[a, b] 满足以下两个条件： 对任意 x [a, b] 有 a ( x) b 存在正常数 L 1 ，使对任意 x, y [a, b]都有
方程 x ( x) 的求根问题在 xy平面上就是要确定曲 线 y ( x) 与直线 y x 的交点 P *. 对于 x *的某个近似值 x0，在曲线 y ( x) 上可确定
一点 P ，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于 ( x0 ) x1. 0
过 P0 引平行 x轴的直线，设此直线交直线 y x 于点 Q1 ， 然后过 Q1 再作平行于 y 轴的直线， 与曲线 y ( x) 的交点
f ( x) 0
（1.1）
其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间. 如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f ( x)的零点.
2
若 f ( x)可分解为
f ( x) ( x x*)m g ( x),
如果同号，说明所求的根 x * 在 x0
的右侧,这时令 a1 x0 , b1 b; 否则 x * 必在 x0 的左侧， 这时令 a1 a, b x . 1 0 见图7-1.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10/17
例4. 两点埃尔米特插值推导数值求积公式
解: 取 h b a ( x a) / h
H( x) f (a)0( x) f (b)1( x) f (a)0( x) f (b)1( x)
b
b
a f ( x)dx a H ( x)dx R[ f ]
b
a H ( x)dx A0 f (a) A1 f (b) B0 f (a) B1 f (b)
2
f ( )
f (x) lk (x) f (xk )
k0
3!
( x x0 )( x x1 )( x x2 )
l0 ( x)
1 2h2
(xx1 )Leabharlann xx2 )l1 (
x)
1 h2
(
x
x0
)(x
x2
)
1
l2 ( x) 2h2 ( x x0 )(x x1 )
A0
b
a l0 ( x)dx
n
右矩形和 Sn f ( x j )h j 1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
n1
左矩形和 Sn f ( x j )h j0
5/17
数值求积公式的一般形式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk ) R[ f ]
k0
R[f ] —— 数值求积公式余项
x0, x1, ···, xn —— 求积结点
A0
b
a 0 ( x)dx
h
1
(1
0
2 )(1 )2 d
h 2
A1
b
a 1( x)dx
h
1
[1
0
2(1 )]
2d
h 2
11/17
B0
b a
0(
x)dx
h2
1 (1 )2d
0
h 12
B1
b a
1
(
x)dx
h2
1(1 ) 2d
0
h 12
b f ( x)dx h [ f (a) f (b)] h2 [ f (b) f (a)] R[ f ]
a
2
12
数值求积公式的余项
R[ f ] 1 b f (4)( )(x a)2( x b)2 dx 4! a
12/17
定义: 对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项
b
n
R[P] P( x)dx a
Ak P( xk ) 0
k0
且有m+1次多项式不具有这样的性质, 则称
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
具有m阶的代数精确度
例. 梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
代数精度为1
13/17
类似有: Simpson公式具有3阶代数精度
对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式
n
l
j
(
x
)
x
k j
xk
j0
n
A
j
x
k j
b xkdx
a
j0
7/17
插值型求积公式的余项
R[ f ]
b
a [ f ( x) Ln ( x)]dx
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)dx
例2.用线性插值公式推导梯形公式
A0
b b x dx 1 (b a)
a ba
2
b xa
1
A1
a
dx (b a) ba 2
b
ba
f ( x)dx
1 e2 cos 2 tdt
0
/ 2 1 e2 cos 2 tdt ? 0
2/17
椭圆周长计算的数值方法:
取正整数n, 令
2 /(n 1),
tk k , (k 0,1, , n 1)
xk yk
a cos tk , b sin tk
n
Ln
( xk1 xk )2 ( yk1 yk )2
n
Lagrange插值 f ( x) l j ( x) f ( x j )
j0
b
nb
f ( x)dx
a
[ a l j ( x)dx] f ( x j )
j0
令
b
Aj a l j ( x)dx,( j 0,1,2, ,n)
b
n
f ( x)dx
a
Aj f ( x j ) R[ f ]
《数值分析》第七章
数值求积方法 复合求积公式及外推法 高斯型求积公式 数值求导方法
1/17
椭圆:
x =a cos t y =b sin t
0≤ t ≤2
周长计算的解析方法:
/2
L4
a2 sin2 t b2 cos 2 tdt
0
记 e c / a a2 b2 / a
/2
L 4a
x2 x0
(
x
x0 )(x 2h2
x1
)dx
1 (b a) 6
2 (b a) 3
1 (b a) 6
b
ba
ab
a f ( x)dx
[ f (a) 4 f ( ) f (b)] R[ f ]
6
2
即 Simpson 公式,求积余项为
R[ f ]
1 3!
b a
f (3) ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 )dx
b
A1
a l1( x)dx
A2
b
a l2 ( x)dx
b
a f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) R[ f ]
9/17
A0
x2 x0
(
x
x1 )(x 2h2
x2
)dx
A1
x2 x0
(
x
x0 )(x h2
x2
)dx
A2
a
[ f (a) f (b)] R[ f ] 2
b f ( )
f () b
R[ f ] a
( x a)(x b)dx 2
2
a ( x a)(x b)dx
即
R (b a)3 f ()
12
8/17
例3. 二次插值方法推导数值求积公式. 取 h (b a) / 2
x0 a , xk = x0 + kh ( k = 0, 1, 2 )
A0, A1, ···, An —— 求积系数
例1. 梯形公式:
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
b
a f ( x)dx A0 f (a) A1 f (b)
a
b
A0 = (b – a )/2
A1 =(b – a )/2
6/17
插值型求积公式
对 [a，b]做分划: a≤ x0 < x1 < x2 < …… < xn≤b
k0
3/17
1.5
b
S a f ( x)dx
0
5
积分数值计算要解决的问题:
1. 定积分与线积分的计算?
2. 重积分的数值计算?
3. 由离散数据计算面积和体积？
4. 数值积分的误差和精度？
4/17
定积分与积分和式
1.5 1
0.5
b
n
a
f ( x)dx lim h0 j1
f ( x j )h
j0
所以, R[xk] = 0, (k = 0,1,2,···,n)
(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.