二次根式及其化简 公开课教案 教案

2．7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简

1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)

一、情境导入

问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)

上述结果有什么共同特征？

二、合作探究

探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义

下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)2；(2)4；(3)3

3；(4)1x ＋y

；

(5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2

＋8；

(7)－x 2

－12.

解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．

方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．

【类型二】 二次根式有意义的条件

当x________，x ＋3＋

1

x ＋1

在实数范围内有意义． 解析：要使x ＋3＋1

x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母

x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1.

方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不

为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简

化简下列二次根式．

(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；

(3)（－36）×169×（－9）.

解析：本题主要考查运用

ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；

(2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab；

(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.

方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．

探究点三：最简二次根式

在二次根式8a，

c

9

，a2＋b2，a2

中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：8a中有因数4；

c

9

中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A.

方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．

三、板书设计

二次根式

⎩⎪

⎨

⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a（a≥0）的式子

有意义的条件：a≥0

性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0）

最简二次根式

本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等．

4．4一次函数的应用

第1课时确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数y ＝(m －4)m 2

－15的表达式．

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：由正比例函数的定义知m 2

－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式

【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，

∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的

图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝3

4，即正比例函数的表达

式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42

＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的

坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－5

2＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，

得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －5

2

.

方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，

然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5

解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪

⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）