数学111正弦定理人教A版必修16页PPT
合集下载
6.4.3正弦定理(一)-课件--高一年级数学人教A版必修第二册
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝_2_R_（__R圆_为_半_三_径_角_）；形外接
(3)a＝__2_R_s_in__A___，b＝__2_R_s_in__B___，c＝__2_R_s_in__C___；
a
b
c
(4)sin A＝__2_R____，sin B＝__2_R____，sin C＝__2_R____.
题型一 已知两角及一边解三角形 例1 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. [解] ∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理，得c＝assiinnAC＝10 2， b＝assiinnAB＝10ssiinn3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)， ∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
则 a∶b∶c＝( D )
A．1∶2∶3
B．3∶2∶1
C．2∶ 3∶1
D．1∶ 3∶2
2．已知△ABC 外接圆的半径是 2，∠A＝60°，则 BC 边长为___2__3______. 3.在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，则assiinnBC＝___83_________.
正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
1．已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．
2．已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形．
常见变形 (1)sin A∶sin B∶sin C＝_a_∶__b_∶__c____；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
高一下学期数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理课件(一)
三角形的4个元素，应用方程思想，已知 其中3个元素可以求出第4个元素.
所以 c 4 .
小结：余弦定理可以用来解决“已
知两边和其中一边的对角求第三边”的
问题.
知识拓展
归纳步骤 在 ABC 中 , 已知 a , b , A , 如何解三角形 .
第一步：由余弦定理 , 得 a2 b2 c2 2bc cos A ;
a2 b2 c2 2bc cos A
602 342 2 60 34 cos 41 1676.78 , 所以 a 41 (cm).
由余弦定理的推论 , 得
cos B c2
a2
b2
342
412
602
763
,
2ca
2 34 41
2788
因为 0 B 180 , 利用计算器 , 可得 B 106 . 所以 C 180 ( A B) 180 (41 106) 33 .
探究新知
思考：试试使用几何法证明余弦定理.
证明：如图 , 当 ABC 是锐角三角形时 , 过点 B 作 BD AC , 垂足为 D , 则
BC2 =CD2 BD2 AC AD2 BD2
=AC2 2 AC AD AD2 BD2 =AC2 AB2 2AC AD
因为 BC a , AC b , AB c , 在 RtADB 中 AD AB cos A c cos A , 所以 a2 b2 c2 2bc cos A.
探究新知
如图 , 当 ABC 是钝角三角形时 , 不妨设 A 为钝角 . 过点 B 作 AC 的垂线 , 与 CA 的延长线相交于点 D , 则
BC2 =CD2 BD2 AC+AD2 BD2
=AC2 +2 AC AD AD2 BD2 =AC2 AB2 +2AC AD 因为 BC a , AC b , AB c ,
高中数学人教A版必修正弦定理PPT精品课件
由c sin C
=
a sin A
得
c 16
=
5 12
，解得c=
4 3
65 13
证明：作外接圆O，过B作直径BC’，
连接AC’
∵ BAC 90, C C '
sin C sin C ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
B
a
O
C
b
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C’
a b c 2R sin A sin B sin C
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法1：都化为边
把sinA= a , sin B b 代入上式，得
2R
2R
a a =b b 2R 2R
[例 3] 在△ABC 中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC 的形状．
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法2：都化为角 把a=2R sin A，b=2R sin B代入上式，得 2R sin2 A=2R sin2 B
a sin A sin A
sin A
=2 cos A=2 3 = 3 42
例4.三角形ABC中 （3）b=2asinB，则A=______.
2R sin B=2 2RsinAsinB 1=2sinA sin A= 1 A=300 或1500
2
下课了!
Байду номын сангаас
正 弦定 理
第二课时
正弦定理: a b c
sin A sin B sin C 已知两角及一边解三角形
例1.在ABC中，a=8，B=600，C=750，求c边。
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
三角函数解三角形正弦定理余弦定理的应用举例课件理ppt
2023
三角函数解三角形正弦定 理余弦定理的应用举例课
件理ppt
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件理应掌握正 弦定理、余弦定理 及其应用举例
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
公式
(1)已知a、b、A和B，其中C=180-A-B；(2)利用正弦定理求出sinC，进而求出C的度数； (3)利用余弦定理求出第三边c的长度。
应用举例
例如，已知一个三角形ABC的两边长分别为3和4，其中角A为30度，角B为60度，求该三 角形的第三边长c和角C的度数。根据公式(2)，可计算出角C的度数为75度；根据公式(3) ，可计算出第三边长c为5。
三角形解法及分类
01
三角形解法
对于一个已知三边长度的三角形，求解其角度的过程叫做三角形解法
。
02
三角形分类
根据角度大小的不同，可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和
直角三角形。
03
直角三角形解法
对于一个直角三角形，如果已知其中两个边的长度，可以通过勾股定
理求正弦定理和余弦定理解决直角三角形问题
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
三角函数的定义域为实数集，且取值范围为全体实数。
三角函数具有周期性，即对于任意的角度x，都有sin(x+2kπ)=sin(x)、 cos(x+2kπ)=cos(x)和tan(x+kπ)=tan(x)，其中k为整数。
正弦定理与余弦定理
三角函数解三角形正弦定 理余弦定理的应用举例课
件理ppt
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件理应掌握正 弦定理、余弦定理 及其应用举例
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
公式
(1)已知a、b、A和B，其中C=180-A-B；(2)利用正弦定理求出sinC，进而求出C的度数； (3)利用余弦定理求出第三边c的长度。
应用举例
例如，已知一个三角形ABC的两边长分别为3和4，其中角A为30度，角B为60度，求该三 角形的第三边长c和角C的度数。根据公式(2)，可计算出角C的度数为75度；根据公式(3) ，可计算出第三边长c为5。
三角形解法及分类
01
三角形解法
对于一个已知三边长度的三角形，求解其角度的过程叫做三角形解法
。
02
三角形分类
根据角度大小的不同，可以将三角形分为锐角三角形、钝角三角形和
直角三角形。
03
直角三角形解法
对于一个直角三角形，如果已知其中两个边的长度，可以通过勾股定
理求正弦定理和余弦定理解决直角三角形问题
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
三角函数的定义域为实数集，且取值范围为全体实数。
三角函数具有周期性，即对于任意的角度x，都有sin(x+2kπ)=sin(x)、 cos(x+2kπ)=cos(x)和tan(x+kπ)=tan(x)，其中k为整数。
正弦定理与余弦定理
数学人教A版必修第二册6.4.3.2正弦定理课件
探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，
已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是
否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，
再根据正弦函数的定义，
a = sinA, c
b = sinB, c
A c
b
a
ab
=
= c. sinC = 1 C
B
sinA sinB
j
则 j AC j CB j AB，
A
B C
| j || AC | cos90 | j || CB | cos(90 C) | j || AB | cos(90 A).
∴ asinC=c sinA.
ac sin A sin C
同理，过点C作与 CB
垂直的单位向量
j，Βιβλιοθήκη 得c b. sin C sin B
cos A cos B c
tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－ －sinB sin C.
①求A.
②若 2a＋b＝2c，求sin C．
解析：①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝b 得cos A＝b2+2cb2c−a2＝12.
解析：∵ a
sin
A＝sinc
C，∴sin
C＝c
sin a
A＝
6
sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝cssininCB＝ 6sisnin607°5°＝ 3＋1；
高中数学人教A版必修(第二册)(正弦定理)
c sinC
B
当△ABC是钝角三角形时(如右图)，同理可 j
得
a
b
c
sinA sinB sinC
A
C
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册正）弦6定. 4理.3) 第2课时 (正弦 定理)（ 共10张 PPT）
三、正弦定理 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册正）弦6定.4理.3) 第2课时(正弦定理)（共10张PPT）
二、探究新知 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第2课时(正弦定理)（共10张PPT）
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边
直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直
接解三角形的公式呢？先看下面实例.
探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离，在帐 •B
篷旁边选定100米长的基线AC，并测得∠C=90°，
1.正弦定理：
a=b=c sinA s的问题？ ①可以解决已知两角和一边，解三角形问题； ②可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形问题.
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册正）弦6定. 4理.3) 第2课时 (正弦 定理)（ 共10张 PPT）
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
a=b=c sinA sinB sinC
你能用其他方法 证明正弦定理吗？课
外完成.
这个公式表达形式的 统一性、对称性，不仅使 结果更加和谐优美，而且 更突显了三角形边角关系 的本质.
利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？ ①可以解决已知两角和一边，解三角形问题； ②可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形问题.
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
人教A版高中数学必修第二册《正弦定理》名师课件
,
2
与的夹角为
2
=
=
− .仿照上述方法,同样可得
探究新知
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=
=
思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
2
2
2
2
求证：(1) cos2A − cos2B = − ; (2)
2 −2
2
=
sin(A−B)
sinC
.
证明
（1）左边= 2 1 − 2sin2 A − 2 1 − 2sin2 B = 2 − 2 − 2(b2 sin2 A −2 sin2 B).
由
=
, 得 bsinA = sinB , ∴ 2 sin2 A − 2 sin2 B = 0
sinA sinB
∴ 左边 = 2 − 2 = 右边
∴ 2 cos2A − 2 cos2B = 2 − 2
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
典例讲授
例4、在△ABC中,: : = 2: 3: 10,则cosC =________.
解析
设角, , 的对边分别为, , ,
∵ : : = 2: 3: 10,
∴ : : = 2: 3: 10.
设 = 2, = 3, = 10, > 0,
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3.2正弦定理(共45张ppt)
）
√
）
练习巩固
题型一：已知两角和一边解三角形
例7：在∆ABC中，已知B = 45°，A = 15°，c = 3 + 3，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
= 180° − ( + ) = 180° − (15° + 30°) = 120°.
由正弦定理，得： =
=
转化
转化
定量计算的公式：余弦定理及其推论
定量计算的公式
新知探究
问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想
它们之间的联系.
A
根据锐角三角函数，在∆中，有:
= ， = ，
c
b
则：
=
= .
又因为 = 90° = 1，所以
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
a
b
c
新知探究
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
辨析1：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（
×
×
）
）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（
相关主题