第三章 运输问题新

所有约束条件都是等式约束； 各产地产量之和等于各销地销量之和。
练习：P87 第1题
§2 运输问题的表上作业法
§2 运输问题的表上作业法
表上作业法（又称运输单纯形法）是根据单纯形
法的原理和运输问题的特点，设计的一种在表上运算 的求解运输问题的简便而有效的方法.
主要步骤： 1、求一个初始调运方案（初始基可行解）；
B2
x12 c21
… …
Bn
x1n c1n
产量 a1
s.t.
x
j 1
n
ai
,m
A1
i 1, 2,
ij
A2
ミ Am
x21
c21 c22
x22
…
… …
x2n
c2n
a2
ミ am
x
i 1
m
bj
ミ
xm1 cm1
ミ
xm2 cm2
ミ
xmn cmn
j 1, 2,
, n 销量
b1
b2
bn
xij 0 i 1, 2,
x
j 1
n
ai
,m
s.t.
x
j 1
n
ai
,m
i 1, 2,
ij
i 1, 2,
ij
x
i 1
m
bj
,n
x
i 1
m
bj
,n
j 1, 2,
j 1, 2,
xij 0 i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, n xij 0 i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, m; j 1,2,
, n)
第三章
运输问题
设 xij 表示产地 Ai 运往销地 Bj (i=1,2,…,m; 运价表
j=1,2,…,n) 的运量.
1、产销平衡问题
min z cij xij
i 1 j 1
ij
即
产地
a b
i 1 i j 1
销地
m
n
j
m
n
B1
x11 c11
z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 x12 + x21 + x22 = 150 = 150
s.t. x11+ x12 + x13
x13
+ x23 = 200
xij≥0 (i=1,2；j=1,2,3）
系数矩阵
j


Ai
B1
B2
B3
B4
ai
检验数表
Bj
A1
A2
10 4 5
40 30 20 10 20 10
5 3 6
25
2 1 3
10 10
3 2 4
5 15 10
70
20
Ai
B1
B2
B3
-5 0
B4
A1 A2 A3
-5 -1 4 6
A3
bj
10
15
5 1 6
5 6
50
25
10
考研真题：
1．（10分，同济大学）已知运输问题的产销 平衡表和单位运价表如表所示，求该运输模型 的最优解。
3、若表中有m行n列，则表上填写（m+n-1）个数字， B 即为基变量的值。 B1 B2 B3 B4 ai A z 10 40 5 25 50 10 40 25 5 A1 10 70 60 1 5 2 3 3 2 3 5 1 10 10 10 20 0 A2 20 4 3 1 1 2 2 3 2 10 5 10 填了几个数字？ 10 0 10 A3 10 5 6 3 1 4 620
1 1 1 0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
1
1 0 0
1
0 1 0
1
0 0 1
由此可知运输问题具有下述特点:
1.约束条件系数矩阵的元素等于0或1； 2.约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素， 这说明每一个变量在前m个约束方程中出现一 次，在后n个约束方程中也出现一次。
对产销平衡运输问题，除上述两个特点外， 还具有以下特点：
存在负检验数， 非最优解 位势法检验数表
B4 ui (11) 0
B1 B2 B3 A1 1 2 (4) A2 (2) 1 (3) A3 10 (5) 12 vj 3 10 4
-1 (6) -5 11 -1
cij ui v j
第三章
运输问题
见 Ex. 1 最小元素法得到的初始基可行解
10 4 5
+
70
20
B1
B3
0
B4
-
A1
A3
bj
10
15
A2
A3
-5
-1 6 6 6
50
25
10
结论：1、当所有检验数
ij 0 ，则找到唯一最优方案。
2、当所有检验数非负但存在0，则找到最优方案，但不唯一。 3、当存在负的检验数即 ij 0 ，则方案不是最优，需要调整。
§2 运输问题的表上作业法 2、位势法
化为平衡运输问题： 产大于销，可通 s.t. 过虚设销地，类似
min z cij xij
j 1 m 1
i 1
x
nຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1 j 1
ij
ai
bj
i 1, 2, j 1, 2,
, m, m 1 ,n
建立平衡运输模型
x
ij
xij 0 i 1, 2,
, m, m 1; j 1, 2,
管 理 运 筹 学
Operations Research
第三章
运输问题
第三章
本 章 重 点 本 章 内 容
运输问题
产销平衡运输问题的数学模型
产销平衡运输问题的表上作业法 运输问题的数学模型
表上作业法
运输问题的扩展
第三章
运输问题
运输问题（Transportation Problem，简记为TP） 是一类常见而且极其特殊的线性规划问题.它最早是从 物资调运工作中提出来的，是物流优化管理的重要的 内容之一 。 从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一
种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法，
用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计
算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
加速物资流转 一、运输问题的数学模型 设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 降低流通费用
销量
3
6
5
6
第三章
运输问题
检验数
二、最优解的判别 （检验数的求法）
1、闭回路法
21 4 2 3 10 5
Bj Ai
ij
ai
5 10
奇顶点
c
Bj
ij
-
偶顶点
c
B2
ij
B1
-
B2
40 5 3 10 6 25 2 1 3
B3
3 10 2 4
B4
+
检验数表
Ai
A1
A2
Bj Ai
B1
40 10 4 10 5 6 5 3
B2
25 2
B3
3 10 1 3 2 4
B4
5 10
A1
A2 A3
位势法检验数表
Bj Ai
B1
(10)
-5 (5) 7 10
B2
(5)
-1 6 5 2
B3
0 (1) 6 2 -1
B4
(3)
(2) 6 0 3
ui
0 3 -1 2 -5 -2
A1
A2 A3 vj
2、判别当前方案是否为最优，若是则迭代停止，否则
转下一步；
3、改进当前方案，得到新的方案（新的基可行解），
再返回 2 。
第三章
运输问题
Ex. 1 已知某商品有三个产地A1、A2、A3和四个销地 B1、B2、B3、B4 ，产量、销量及单位运价如表.问应 Note : 在填入一个数时，如果行和列同时饱和， 如何调运，在满足各销地需要的情况下，使总的运费
规定只划去一行或一列 支出为最少？
解： 一、初始方案的确定 1、西北角法
z : 10 50 5 20 规则 从运输表的西 A1 3 5 1 10 北角开始,优先安排 A2 2 5 4 10 编号小的产地和销地 填了几个数字？ A3 675 的运输任务.
产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1，
B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1，
2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
ai 0, bj 0, cij 0 (i 1,2,
Ai
Bj
B B 11
10 10 44 55 50 0 5 3 6
B2
20 5 2 1 3
B3
3 10 2 4
B4
ai 70 50
5
20 10
10
bj
50 50
25
10
15
§2 运输问题的表上作业法 2、最小元素法 Note 1、在某行（或列）填入最后一个数时，如果 规则: :优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输 行和列同时饱和，规定只划去该行（或列）。 任务. 2、当表中只剩一个元素时，这时在产销平衡表上填 这个数字时，应在运价表上同时去掉一行和一列。
j i
bj
50
25 20
10
15 10
§2 运输问题的表上作业法 按最小元素法
z 8 5 3 1 1 3 46
3、Vogel 法 (元素差额法) 规则：计算各行各列的最小元素与次小元素的差额， 优先安排差额最大的所 在行或列的单位运价最
Bj Ai
B1
8 3 52 1 4 2 1
A3
销量 3
6
6 5
3
6
9
二、最优解的判别 （检验数的求法）
1、闭回路法 闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或 垂直)直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继续 前进，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格存在唯一闭回路。
产 A1 A2 A3 销 B1 3 6 B2 B3 5 B4 2 1 3 供量 7 4 9
,n
例 2. 某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个 销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销 量和各产地运往各销地每件物品的运费如表 7-3 所示， 问：应如何调运可使总运输费用最小？
例3. 石家庄北方研究院有三个区，即一区，二区， 三区，每年分别需要用煤 3 000 t、1 000 t、2 000 t，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价 格、质量相同。供应能力分别为 1 500 t、4 000 t， 运价如表 所示。
,n
例1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三 个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地 的销量和各产地运往各销地每件物品的运费 如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？
解: 产销平衡问题：总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量， 得到下列运输量表：
min
第三章
m
运输问题
n
Note : 通常建立运输模
四、产销不平衡运输问题 当
型指的是平衡运输模型
a b
i 1 i j 1
j
可以虚设一个产地 Am+1, 其产量为 并假设产地 Am+1 运
j 1 i 1 往各销地的单
am1 b j ai
n
m
m 位运价为 cm+1, j = 0 ( j = 1 , 2 , … , n ) .1 n则原问题可转
, m; j 1, 2,
,n
§1 运输问题及其数学模型
2、产销不平衡问题
当
a b
i 1 i j 1
m
n
j
当
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min z cij xij
i 1 j 1
ij
m
n
min z cij xij
i 1 j 1
ij
m
n
s.t.
B2
3 3
ai 5 4
差额
A1 A2 bj
差额
6 2
小的产地与销地之间的
运输任务
zV 8 2 3 4 2 3 34
6 5
3 1
练习：P74 例3-2
考研真题：
1．（10分，同济大学）已知运输问题的产销 平衡表和单位运价表如表所示，求该运输模型 的最优解。
二、最优解的判别 （检验数的求法） 1、闭回路法 闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水(或 垂直)直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继 续前进，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格存在唯一闭回路。 产 A1 A2 销 B1 3 B2 B3 5 B4 2 1 供量 7 4
§2 运输问题的表上作业法
st min ij ij 0,1 i m,1 j n
能转运多少？
三、基可行解的改进 Note : 若在闭回路上有几个偶点处的运量相等，则 选择进基变量
可任取其中一个作为出基变量（运量擦去），其余几 则取非基变量 xst 为进基变量 个点的值调整后变为 0. ( 但应填入，说明这些变量还 确定出基变量 调整量 min xij xkl 闭回路上偶顶点 在基内，这时就出现了退化) 则基变量 xkl 出基（运量擦去） 问：从A2到B4的单位运价c24在什么范围变化时，所得 ，偶点减去 ij 0 调整方法：在该闭回路上，奇点运量加 因为 ， 所以此运输方案为最优方案 最优调运方案不变 . c 在什么范围变化呢？ 12 B
ui 称为行位势， vj 称为列位势
例2 求最小元素法所给方案的检验数
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 A2 A3 4 2 8 12 10 5 4 3 11 11 9 6
初始方案
B1 B2 B3 B4 产量 A1 10 6 A2 8 2 A3 14 8 销量 8 14 12 14 16 10 22