数学物理方法 第三章

y z
0
z e
i
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0
2
w1
i
z绕原点一周：w z e
2 i 0 2
z绕原点二周：
e 2 w1 w2 ( 0)
0
0
2+0
x
w e
1 i 0 4 2

e
i
0
2
w1
故z=0是 z 的一阶支点，类似可讨论，∞也是 z 的一阶支点(绕∞的正向与绕有限远点的逆向相同). z=0、∞是
（ 1 ）若z b是g ( z )的m阶零点，则z b是f ( z ) 1 / g ( z )的m阶极点。 （2）形如f ( z ) P( z ) / Q( z )类型的函数 若z b是P( z )的m阶零点，且是Q( z )的n阶零点 当n m时，z b是f ( z )的n m阶极点； 当n m时，z b是f ( z )的可去奇点； 当n m时，z b是f ( z )的m n阶零点；
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推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，而且在D内 某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
（二）解析延拓的唯一性
定理：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数, 在D内某点列{zk}(k=1,2,…) 上f1(z) =f2(z)，而{zk}在D内至少有一个极限点,则：f1 ( z ) f 2 ( z )
点列{z k }如{z k 1 }, 当k 时， z k 0 k
设已知函数f1(z)在区域D1内解析，如果在一个和D1有公共部分D12的
区域D2内存在一个解析函数f2(z)，且在D12内f1(z)=f2(z)，则称f2(z) 为
f1(z)在D1上的解析延拓，反之，则称f1(z)为f2(z) 在D2上的解析延拓。
[ 例] f ( z ) z k
k 0
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思考与讨论题：
1.何谓孤立奇点？有哪些类型？如何判断奇点的类型？ 2.何谓函数的零点？如何判断零点的阶数？
作业：p67：1（1）（3）（5），2，3(1)(3)(5)
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3-2解析延拓 解析函数与全纯函数
就是将解析函数定义域扩大的问题，或扩大解析区域的问题.
（一）解析延拓的概念
( z 1), F ( z ) 1 ( z 1), F ( z) f ( z) ( z 1), 1 z
(Rez 0), F ( z )
f ( z ) e zt dt
0

1 ( z 0), F ( z ) f ( z ) (Rez 0) z
解析函数内部有着严格的约束关系(C—R条件，Cauchy公式等都 表明了这一点)，是可以进行解析延拓的根本原因，其解析延拓是 唯一的.
Γ( z 2) z ( z 1)
(Re z 2, z 0,1)
(Re z (n 1), z 0,1,2, ,n)
…… 一直延拓至除了z=0,-1,-2,…等孤立奇点外的整个z平面.
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作业：p73: 2
§3.5 多值函数
复数中的幅角不唯一，使得在复平面上同 一点有不同的幅角 多值函数值的不同 导数则无从谈起，为此，扩大自变量 ( 宗量 ) 的定义域，使多值函数在更大区 域上单值化.
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（二）零点与极值点的关系
零点：若f (b) 0则z b称为f ( z )的零点， 若f (b) 0，f ' (b) 0， ，f ( m 1) (b) 0，且f ( m ) (b) 0 则z b是f ( z )的m阶零点。
f ( z )可展开为泰勒级数： f ( z ) am ( z b) m am1 ( z b) m1 , 其中am 0
( z D)
推论一：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数,且在某一点的邻域 内(或某一曲线段上)相等，则
f1 ( z ) f 2 ( z ) ( z D)
或者说：设f2(1)(z) 和f2(2)(z)都是f1(z)在区域D2内的解析延拓,则在区域 D2内 f2(1)(z) =f2(2)(z)。 显然解析函数ez、sinz、cosz等分别由实函数ex、sinx、cosx等唯一确定.各 种初等实函数的等式在复变函数中也成立. [例如]sin2z和cos2z都是全平面（不含∞）上的解析函数，在实轴上有sin2z= sin2x,2sinzcosz=2sinxcosx,且已知sin2x=2sinxcosx,可见sin2z与2sinzcosz是同一 解析函数,因此,有sin2z=2sinz cosz
z绕a点二周：
e 2 w1 w2 ( 0)
w e
1 i 0 4 2

e
i
0
2
x
w1
故z=a是 z a 的一阶支点，类似可讨论，∞也是 z a 的一阶支点(绕∞的正向与绕有限远点的逆向相同).
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2 例3 讨论函数 w z 1 的多值性. 解:
第三章 解析延拓与孤立奇点
基本内容：孤立奇点分类、解析延拓、Г函数、 多值函数、二维调和函数
§3.1单值函数的孤立奇点
1 奇点的分类 2 零点与极点联系 3 复变函数在无限远点的性质
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(一) 孤立奇点的分类
这里仅讨论单值函数的奇点。函数f(z)在0<|z-b|<R(0<R<∞) 内 解析，z=b称为f(z)的孤立奇点。 设b为f(z)的孤立奇点，则
经过补充定义可去奇点b成为F(z)的解析点
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( z b) f ( z) F ( z) lim f ( z ) ( z b) z b
(2)极点 展开式中含有限个负幂项
f ( z)
( n m) lim ( z b) n f ( z ) a m 0 (n m) z b 0 ( n m) z f z n (n 0,1,2, ) 例如： 2
f ( z)
k
k a ( z b ) k

(0 z b R1 )
（3.5.1）
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(1)可去奇点
b是f(z)的奇点，但展开式中无(z-b)的负幂项
f ( z) ak ( z b)k (0 z b R1 )
k 0
lim f ( z ) a0
f ( z ) , 则b是f(z)极点，其阶数m: 若 lim z b
m 1, am 0, 则b是f(z)的m阶极点，m=1时为单极点.
k m
k a ( z b ) k

(0 z b R1 )
此时， lim f ( z ) ,
z b


sin z
∵
z=0是单极点，z=n(n=±1, ±2,…)是二阶极点.
z lim ( z n ) n (n 0) 2 z n sin z
2
z lim z n sin 2 z
极点
1 z lim ( z n ) 2 又∵ zn sin z
(n 0) (n 0)
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P65 例题
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（三） 复变函数在无穷远点的性质
f(z)在z=∞邻域上展开)，即：
f ( z)
k
a z (R2 z )，
k k

其中正幂部分为主要部分，负幂部分为解析部分.
可去奇点：无z的正幂项 z m阶奇点，最高正幂项为z m (am 0) 本性奇点，无限多z的正幂项
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复变量Г函数，定义：
t z 1 Γ( z) e t dt (Re z 0,约定 arg t 0) 0

(1) Γ( z 1) zΓ( z),
(n 1) n!
(n正整数 )
π (2) Γ( z )Γ(1 z ) (z 整数), Γ(1) 1, Γ( ) , sin z 2
θ0 w1 w2 w3 . .
z
θ0+2π θ0+4π . .
（一）多值函数及其支点
支点：若z绕某点一周，w=f(z)不复原，则称 该点为多值函数的支点。 支点阶数：若当z绕支点n周时，函数才复原， 则称该点为(n-1)阶支点.
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例1： w z , z ei0 (0 0 2 ) 则 w
依据唯一性进行解析延拓有两类方法用泰勒级数或利用 函数关系进行.
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（三）全纯函数 能在全平面上进行泰勒展开的函数，称为全纯函数。
是单值函数，在全复平面，除无限远点外都解析。
作业：p71: 1
§3.3 Г函数
实变量Г函数，定义：
Γ( x) e t t x 1dt ( x 0)
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z 的二阶支点, 是
n
z (n-1)阶支点.
例2： w z a , z a ei0 (0 0 2 ) 则w z a
y z
0 a 2+0
e
i
0
2
w1
i
z绕a点一周：w z a e
0
2 i 0 2
[ z cosh 易证：
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z]
1
(2n 1)2 2 (n 0,1,2,) 的单极点是0和 4
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(3)本性奇点 含有(zb)的无限多负幂项(有限个负幂项 , 但无限个负幂项
f ( z ) 不存在. 就不存在极限了) lim z b
如z=0是 e
1 z
1 1 1 k e z ( z 0) k 0 k! z 1 的本性奇点 lim e z z x 0 1 z lim e z x 0 0
w ( z 1)(z 1)
z 1 z 1 e
w( z0 )
z0 1 z0 1 e
0 2
1 i 2 1 i (0 0 ) 2
1 1 例： 2 2( k 1) 1 z k 0 z
( z 1),
z
是可去奇点
1 1 e k (0 z ), k 0 k! z
1 z

z
是可去奇点
z=∞是
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e
z
n n1 z a z a0 的n阶极点. 的本性奇点、 是 n1
(3) Γ(2z) 22z-1 1 1 3 Γ( z )Γ( z ), ( z 0, ,1, , ) 2 2 2
(4)利用函数解析延拓 ( z )
…… Γ( z n 1) z ( z 1) ( z n)
( z 1) z
(Rez 1, z 0)
z b
sin z 例如：z=0是 的可去奇点 z 4
sin z 1 2 z (1) k 2 k 1 z z z 3! 5! k 0 ( 2k 1)! lim sin z 1 z 0 z
(0 z )
但f(z)仍不能在 z b R1展开成泰勒级数， ∵z=b是f(z)的奇点，若
0

(1) Γ( x 1) xΓ( x) ( x 0)
(n 1) n!
(2) 余元公式： Γ( x)Γ(1 x)
(n正整数 )
(0 x 1), sin x
1 1 (2n 1)!! Γ(1) 1, Γ( ) , Γ(n ) n 2 2 2