第4章刚体运动学基础4学时介绍
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式中
、y 、z x 字母头上加一点表示相应量对时间的一阶导数， 以下用字母头上加两点等表示相应量对时间的二 阶导数 、 、 x y z
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矢径法—质点的速度和加速度
加速度矢量定义为速度矢量v对时间t的一阶导数或 者矢径r对时间t的二阶导数，记为
Dv dv d 2 r a(t ) lim 2 Dt 0 Dt dt dt 加速度矢量a(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿 三个方向的分加速度，加速度分量式为
ds v vτ , v s dt
式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解为质点
在dt时间里通过的路程，t表示在运动轨迹曲线上t时刻 质点所在位置处的单位切线矢量。
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自然轴系中的速度公式
τ vs 上式表明：要计算速度的大小，只 需用弧坐标s=s(t)关于时间参数t求一 阶导数即可。 该式也可利用速度矢量的定义式和 计算复合函数导数的方法，得到 dr dr ds τ v s dt ds dt
是曲线上A、B两点的单位切线矢量，则 A点的主法线矢量n的方向定义为当Dj趋 近于零，Dt（其大小约等于Dj）的极限 方向，它与该点的切线矢量垂直，并可 按下列公式定义单位长度矢量n和b ：
dτ dr n , b τ n, τ dj ds
其中b称为单位副法线矢量。由t 、n、b三个相互垂直的方 向组成的坐标系称为自然轴系，它是一种局部坐标系，随 点的位置变化而改变三个单位矢量的方向。
21
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自然轴系中的加速度公式
根据加速度矢量的定义式及函数乘积导数公式，有
a( t ) dv d τ vτ ( vτ ) v dt dt
式中最右端第一项是一个矢量，其方向沿轨迹的切线
方向，其大小等于速度大小对时间的一阶导数，第二 项等于速度的大小乘以单位切线矢量 t 对时间的一阶 导数，下面来计算该导数。 根据求复合函数导数的方法可得到单位切线矢量 t 对 时间的一阶导数如下：
3
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质点运动的描述方法
运动和变化是物质世界的基本属性。宇宙的万事万物都
在不停地运动和变化。 在描述物体运动的时候，必须选定参照系。 所谓参照系是为了研究某物体的位置变化而选定的另一 物体。 所谓“坐地日行八万里”，是说我们即使坐在地上一动 不动，一天下来我们跟随地球在太空居然移动了八万里 路程。这里所说的一动不动，是以地面上某个固定不动 的物体为参照系；如果以太空中某颗恒星为参照系，我 们无时无刻不在跟随地球而运动。
5
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质点运动的描述方法
自然法：用s=s(t)描述质点的运动
这里：t是指某时刻； s是质点由初始时刻t0到t时刻移动的路程， s称为质点运动的弧长坐标； t-t0是质点移动路程s所需的时间; 自然坐标法是一种描述路程的方法。 路程等于质点始末两个位置运动轨迹的长度。 从运动轨迹的形状来看，质点的运动只有两种情况： 直线运动和曲线运动。
4
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质点运动的描述方法
在工程上，为了研究物体的运动，通常选择地面上 某个固定不动的物体为参照系，并称这样的参照系 为固定参照系。 数学上，可以采用不同的描述方法，即采用不同的 坐标系来描述物体的空间位置和运动。
参照系与坐标系的区别：参照系是物理概念，坐标 系是数学概念。 通常对于同一个参照系，可以选用不同的坐标系来 描述物体的空间位置和运动，例如直角坐标、极坐 标、自然坐标等等。
/τ nτ b τ n
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例1：半径为r的轮子在水平地面上纯滚动，已知轮心的速度 u是 常量，求轮缘上一点M的运动方程、速度和加速度。
y
M
r
C
u
O
x
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y
M
v
rD
φ
C u
B
[解]：设 t = 0时刻M 位于坐标原点， 在t 时刻，M 位于图示位置 轮子作纯滚动，所以
a ax i a y j az k x , a y v y , a z v z ax v x y z
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自然轴系Hale Waihona Puke Baidu的速度公式
在研究质点的圆周运动等曲线运动
时，采用自然坐标轴系计算质点的 速度和加速度比较方便。 因为质点的速度矢量沿轨迹曲线的切线方向，根据任 一矢量可以用其大小和代表其方向的单位矢量表示的 性质，质点在任意时刻的速度矢量可以写为
间位置A和B，那么A、B两点之间的位 移可以用矢量差 r r 来表示， Dr r r 记为 即位移矢量可用矢径的增量Dr来表示。 质点在任意时刻t的瞬时速度矢量，简称为速度，记为 v=v(t)，定义为：
Dr dr v lim Dt 0 Dt dt
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分别表示质点在t、t+Dt时刻所在的空
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自然轴系中的几个概念
密切面是理解自然坐标轴系的重要概念。
对于任意一条空间曲线，曲线上不同点的切线矢 量t 、主法线矢量n 、副法线矢量b是随点的位置
发生变化的，在这个意义上，自然坐标轴系是曲 线上一点的局部坐标系。 为了得到加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式， 还需要用到曲率或曲率半径的概念。 下面，我们来推导质点运动的加速度公式。
9
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质点运动的描述方法
位移与路程的区别：路程是标量，位移是矢量。
如果质点沿曲线轨迹运动，位移矢量的大小并不
等于路程，因为质点运动的路程等于始末两点曲 线轨迹的长度。
描述质点位移最方便的方法是上面介绍的矢径法。
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矢径法—质点的速度和加速度
如果
r r(t ), r r(t Dt )
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矢径法—质点的速度和加速度
因此，质点在任意时刻t的瞬时速度是一个矢量，它等
于质点的矢径 r 关于时间参数 t 的一阶导数，其方向沿 矢端曲线即运动轨迹曲线的切线方向，速度矢量v(t)的 大小代表质点运动的快慢。 速度矢量v(t)的分量表达式：
dr dx dy dz v (t ) i j k dt dt dt dt
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质点运动的描述方法
矢径法：用 r=x(t)i+y(t)j+z(t)k 描述质点的运动，
这里x，y，z仍然是质点在t时刻所占据的空间位置 坐标，r是从坐标原点引出并指向质点的矢径，通
过矢径r的端点跟踪质点的运动。 矢径r的端点描出的曲线，称为矢端曲线。显然， 矢端曲线就是质点运动的轨迹曲线。 矢径法是一种描述位移的方法，它与直角坐标法 的区别是：运用矢量运算的方法，在公式推导时， 有时更为方便。
速度矢量为 式中导数dr/ds =t 表示t时刻质点所在位置处轨迹曲线的
切线方向的单位矢量。
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自然轴系
为了推导加速度矢量在自然坐标轴系中的表达 式，首先需要定义关于空间曲线的自然坐标轴系 的两个单位法线矢量，它们是单位主法线矢量n和 单位副法线矢量b。 对于由运动方程
x x(t ), y y(t ), z z (t )
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自然轴系：
dτ dr n , b τ n, τ dj ds
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自然轴系中的几个概念
由一点的切线矢量和主法线矢量所确定的平面称为曲
线上该点的密切面。 将密切面绕一点的切线矢量 t 旋转90°所得平面称为 该点的切平面。 将密切面绕一点的主法线矢量n 旋转90°所得平面称 为该点的法平面。 空间曲线上一点的密切面可以这样理解：它至少包含 该点领域里部分曲线。一般情况下，切平面和法平面 在相切的位置处只与曲线上一个点相交，即只包含该 点领域里曲线上一个点。
给出的空间曲线（对于平面曲线， z 坐标恒等于 零 ），其上一点的单位切线矢量t 可以表示为
i y j z 2 y 2 z k ) / v, v x 2 τ (x
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自然轴系
设Dt =t ′ -t，其中t =t (j),t ′=t (j+Dj)
结论：速度方向指向最高点D.
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MH ut j r r
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dv x u 2 ut ax sin , dt r r
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单位切线矢量导数公式
dτ dτ dj ds τ dt dj ds dt
式中dt为dt时间里质点前后位置单位切线矢量 t的增量，
dj、ds分别为前后两个位置单位切线矢量的夹角以及 在dt时间里质点通过的路程。 dt =ndj，导数 dj/ds 反映曲线在一点的弯曲程度，称 为曲线在该点的曲率，记为k。曲率的倒数称为该点的 曲率半径，记为 r ，对于圆周曲线，曲率半径等于圆 的半径。导数ds/dt =v为速度的大小。
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质点运动的描述方法
其它方法 用极坐标、柱坐标、球坐标等等描述 质点运动的方法。
关于位移的几点说明：位移是质点运动学的基本
概念。所谓位移是指质点在移动过程中，始末两 个位置的改变。 考虑到移动具有方向性，所以位移必须用矢量来 描述。简言之，位移是矢量，具有大小和方向。 位移的大小等于质点始末两个位置之间的直线距 离，方向由始末两点确定，由起点指向终点。
MH OH rj
OA
H
x
ut ut x = OH - AH = ut - rsin y = HC - BC = r - rcos r r ut ut j 2 2 v u sin , v x u(1 - cos ), y v v x v y 2usin r r 2 vy vx j j cos(v, x) sin , cos( V , y) cos v 2 v 2
矢径 r 的三个坐标 x 、 y 、 z 对时间的一阶导数分别等于
速度矢量v(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿三个方 向的分速度，简记为如下形式。
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矢径法—质点的速度和加速度
速度矢量的分量式
v vx i v y j vz k , v y y , vz z vx x
2 a at2 an
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自然轴系中的单位矢量公式汇总
只要给定了质点的运动方程
x x(t ), y y(t ), z z (t )
可按下述方式确定质点运动轨迹曲线上一点的单位切
线矢量t 、单位主法线矢量n和单位副法线矢量b
τ
i y j z k x 2 y 2 z 2 x
第4章
刚体运动学基础
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第4章 刚体运动学基础
质点运动的描述方法
自然坐标法、直角坐标法、矢径法、其它方法 速度和加速度公式
刚体的简单运动
刚体的平行移动—各点的轨迹、速度和加速度
刚体的定轴转动—速度和加速度
2
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本章首先介绍质点运动的描述方法，包括 质点的运动轨迹、空间位置、位移、速度和加 速度的描述方法；然后介绍刚体的两种简单运 动：平行移动和定轴转动刚体上各点的运动轨 迹，速度和加速度的分布规律、表示方法和计 算公式。
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自然轴系中的加速度公式
τ vτ a(t ) v
根据
dτ n, dj
dj 1 k , ds r
ds v s dt
τ
dτ dτ dj ds v n dt dj ds dt r
得到自然坐标轴系中的加速度公式
a (t ) at τ an n 2 dv v2 s , an at v s dt r r
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质点运动的描述方法
在已知质点的运动轨迹时，采用自然坐标法计算速度
和加速度比较方便，质点做圆周运动是最常见的曲线 运动。 直角坐标法：用x=x(t), y=y(t), z=z(t) 描述质点的运动， 这里x，y，z是质点在t时刻所占据的空间位置坐标。 直角坐标法是一种描述位移（位置的改变）的方法。 运用直角坐标法可以很方便地计算质点沿三个坐标轴 方向的分速度和分加速度。
、y 、z x 字母头上加一点表示相应量对时间的一阶导数， 以下用字母头上加两点等表示相应量对时间的二 阶导数 、 、 x y z
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矢径法—质点的速度和加速度
加速度矢量定义为速度矢量v对时间t的一阶导数或 者矢径r对时间t的二阶导数，记为
Dv dv d 2 r a(t ) lim 2 Dt 0 Dt dt dt 加速度矢量a(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿 三个方向的分加速度，加速度分量式为
ds v vτ , v s dt
式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解为质点
在dt时间里通过的路程，t表示在运动轨迹曲线上t时刻 质点所在位置处的单位切线矢量。
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自然轴系中的速度公式
τ vs 上式表明：要计算速度的大小，只 需用弧坐标s=s(t)关于时间参数t求一 阶导数即可。 该式也可利用速度矢量的定义式和 计算复合函数导数的方法，得到 dr dr ds τ v s dt ds dt
是曲线上A、B两点的单位切线矢量，则 A点的主法线矢量n的方向定义为当Dj趋 近于零，Dt（其大小约等于Dj）的极限 方向，它与该点的切线矢量垂直，并可 按下列公式定义单位长度矢量n和b ：
dτ dr n , b τ n, τ dj ds
其中b称为单位副法线矢量。由t 、n、b三个相互垂直的方 向组成的坐标系称为自然轴系，它是一种局部坐标系，随 点的位置变化而改变三个单位矢量的方向。
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自然轴系中的加速度公式
根据加速度矢量的定义式及函数乘积导数公式，有
a( t ) dv d τ vτ ( vτ ) v dt dt
式中最右端第一项是一个矢量，其方向沿轨迹的切线
方向，其大小等于速度大小对时间的一阶导数，第二 项等于速度的大小乘以单位切线矢量 t 对时间的一阶 导数，下面来计算该导数。 根据求复合函数导数的方法可得到单位切线矢量 t 对 时间的一阶导数如下：
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质点运动的描述方法
运动和变化是物质世界的基本属性。宇宙的万事万物都
在不停地运动和变化。 在描述物体运动的时候，必须选定参照系。 所谓参照系是为了研究某物体的位置变化而选定的另一 物体。 所谓“坐地日行八万里”，是说我们即使坐在地上一动 不动，一天下来我们跟随地球在太空居然移动了八万里 路程。这里所说的一动不动，是以地面上某个固定不动 的物体为参照系；如果以太空中某颗恒星为参照系，我 们无时无刻不在跟随地球而运动。
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质点运动的描述方法
自然法：用s=s(t)描述质点的运动
这里：t是指某时刻； s是质点由初始时刻t0到t时刻移动的路程， s称为质点运动的弧长坐标； t-t0是质点移动路程s所需的时间; 自然坐标法是一种描述路程的方法。 路程等于质点始末两个位置运动轨迹的长度。 从运动轨迹的形状来看，质点的运动只有两种情况： 直线运动和曲线运动。
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质点运动的描述方法
在工程上，为了研究物体的运动，通常选择地面上 某个固定不动的物体为参照系，并称这样的参照系 为固定参照系。 数学上，可以采用不同的描述方法，即采用不同的 坐标系来描述物体的空间位置和运动。
参照系与坐标系的区别：参照系是物理概念，坐标 系是数学概念。 通常对于同一个参照系，可以选用不同的坐标系来 描述物体的空间位置和运动，例如直角坐标、极坐 标、自然坐标等等。
/τ nτ b τ n
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例1：半径为r的轮子在水平地面上纯滚动，已知轮心的速度 u是 常量，求轮缘上一点M的运动方程、速度和加速度。
y
M
r
C
u
O
x
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y
M
v
rD
φ
C u
B
[解]：设 t = 0时刻M 位于坐标原点， 在t 时刻，M 位于图示位置 轮子作纯滚动，所以
a ax i a y j az k x , a y v y , a z v z ax v x y z
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自然轴系Hale Waihona Puke Baidu的速度公式
在研究质点的圆周运动等曲线运动
时，采用自然坐标轴系计算质点的 速度和加速度比较方便。 因为质点的速度矢量沿轨迹曲线的切线方向，根据任 一矢量可以用其大小和代表其方向的单位矢量表示的 性质，质点在任意时刻的速度矢量可以写为
间位置A和B，那么A、B两点之间的位 移可以用矢量差 r r 来表示， Dr r r 记为 即位移矢量可用矢径的增量Dr来表示。 质点在任意时刻t的瞬时速度矢量，简称为速度，记为 v=v(t)，定义为：
Dr dr v lim Dt 0 Dt dt
11
分别表示质点在t、t+Dt时刻所在的空
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自然轴系中的几个概念
密切面是理解自然坐标轴系的重要概念。
对于任意一条空间曲线，曲线上不同点的切线矢 量t 、主法线矢量n 、副法线矢量b是随点的位置
发生变化的，在这个意义上，自然坐标轴系是曲 线上一点的局部坐标系。 为了得到加速度矢量在自然坐标轴系中的表达式， 还需要用到曲率或曲率半径的概念。 下面，我们来推导质点运动的加速度公式。
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质点运动的描述方法
位移与路程的区别：路程是标量，位移是矢量。
如果质点沿曲线轨迹运动，位移矢量的大小并不
等于路程，因为质点运动的路程等于始末两点曲 线轨迹的长度。
描述质点位移最方便的方法是上面介绍的矢径法。
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矢径法—质点的速度和加速度
如果
r r(t ), r r(t Dt )
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矢径法—质点的速度和加速度
因此，质点在任意时刻t的瞬时速度是一个矢量，它等
于质点的矢径 r 关于时间参数 t 的一阶导数，其方向沿 矢端曲线即运动轨迹曲线的切线方向，速度矢量v(t)的 大小代表质点运动的快慢。 速度矢量v(t)的分量表达式：
dr dx dy dz v (t ) i j k dt dt dt dt
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质点运动的描述方法
矢径法：用 r=x(t)i+y(t)j+z(t)k 描述质点的运动，
这里x，y，z仍然是质点在t时刻所占据的空间位置 坐标，r是从坐标原点引出并指向质点的矢径，通
过矢径r的端点跟踪质点的运动。 矢径r的端点描出的曲线，称为矢端曲线。显然， 矢端曲线就是质点运动的轨迹曲线。 矢径法是一种描述位移的方法，它与直角坐标法 的区别是：运用矢量运算的方法，在公式推导时， 有时更为方便。
速度矢量为 式中导数dr/ds =t 表示t时刻质点所在位置处轨迹曲线的
切线方向的单位矢量。
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自然轴系
为了推导加速度矢量在自然坐标轴系中的表达 式，首先需要定义关于空间曲线的自然坐标轴系 的两个单位法线矢量，它们是单位主法线矢量n和 单位副法线矢量b。 对于由运动方程
x x(t ), y y(t ), z z (t )
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自然轴系：
dτ dr n , b τ n, τ dj ds
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自然轴系中的几个概念
由一点的切线矢量和主法线矢量所确定的平面称为曲
线上该点的密切面。 将密切面绕一点的切线矢量 t 旋转90°所得平面称为 该点的切平面。 将密切面绕一点的主法线矢量n 旋转90°所得平面称 为该点的法平面。 空间曲线上一点的密切面可以这样理解：它至少包含 该点领域里部分曲线。一般情况下，切平面和法平面 在相切的位置处只与曲线上一个点相交，即只包含该 点领域里曲线上一个点。
给出的空间曲线（对于平面曲线， z 坐标恒等于 零 ），其上一点的单位切线矢量t 可以表示为
i y j z 2 y 2 z k ) / v, v x 2 τ (x
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自然轴系
设Dt =t ′ -t，其中t =t (j),t ′=t (j+Dj)
结论：速度方向指向最高点D.
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MH ut j r r
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dv x u 2 ut ax sin , dt r r
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单位切线矢量导数公式
dτ dτ dj ds τ dt dj ds dt
式中dt为dt时间里质点前后位置单位切线矢量 t的增量，
dj、ds分别为前后两个位置单位切线矢量的夹角以及 在dt时间里质点通过的路程。 dt =ndj，导数 dj/ds 反映曲线在一点的弯曲程度，称 为曲线在该点的曲率，记为k。曲率的倒数称为该点的 曲率半径，记为 r ，对于圆周曲线，曲率半径等于圆 的半径。导数ds/dt =v为速度的大小。
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质点运动的描述方法
其它方法 用极坐标、柱坐标、球坐标等等描述 质点运动的方法。
关于位移的几点说明：位移是质点运动学的基本
概念。所谓位移是指质点在移动过程中，始末两 个位置的改变。 考虑到移动具有方向性，所以位移必须用矢量来 描述。简言之，位移是矢量，具有大小和方向。 位移的大小等于质点始末两个位置之间的直线距 离，方向由始末两点确定，由起点指向终点。
MH OH rj
OA
H
x
ut ut x = OH - AH = ut - rsin y = HC - BC = r - rcos r r ut ut j 2 2 v u sin , v x u(1 - cos ), y v v x v y 2usin r r 2 vy vx j j cos(v, x) sin , cos( V , y) cos v 2 v 2
矢径 r 的三个坐标 x 、 y 、 z 对时间的一阶导数分别等于
速度矢量v(t)沿坐标轴分量的大小，称为质点沿三个方 向的分速度，简记为如下形式。
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矢径法—质点的速度和加速度
速度矢量的分量式
v vx i v y j vz k , v y y , vz z vx x
2 a at2 an
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自然轴系中的单位矢量公式汇总
只要给定了质点的运动方程
x x(t ), y y(t ), z z (t )
可按下述方式确定质点运动轨迹曲线上一点的单位切
线矢量t 、单位主法线矢量n和单位副法线矢量b
τ
i y j z k x 2 y 2 z 2 x
第4章
刚体运动学基础
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第4章 刚体运动学基础
质点运动的描述方法
自然坐标法、直角坐标法、矢径法、其它方法 速度和加速度公式
刚体的简单运动
刚体的平行移动—各点的轨迹、速度和加速度
刚体的定轴转动—速度和加速度
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本章首先介绍质点运动的描述方法，包括 质点的运动轨迹、空间位置、位移、速度和加 速度的描述方法；然后介绍刚体的两种简单运 动：平行移动和定轴转动刚体上各点的运动轨 迹，速度和加速度的分布规律、表示方法和计 算公式。
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自然轴系中的加速度公式
τ vτ a(t ) v
根据
dτ n, dj
dj 1 k , ds r
ds v s dt
τ
dτ dτ dj ds v n dt dj ds dt r
得到自然坐标轴系中的加速度公式
a (t ) at τ an n 2 dv v2 s , an at v s dt r r
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质点运动的描述方法
在已知质点的运动轨迹时，采用自然坐标法计算速度
和加速度比较方便，质点做圆周运动是最常见的曲线 运动。 直角坐标法：用x=x(t), y=y(t), z=z(t) 描述质点的运动， 这里x，y，z是质点在t时刻所占据的空间位置坐标。 直角坐标法是一种描述位移（位置的改变）的方法。 运用直角坐标法可以很方便地计算质点沿三个坐标轴 方向的分速度和分加速度。