凸函数定义等价性的进一步探讨

)
（ 2）
： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， f（ x ） 称为 I 上的凸函数， x2 ∈ I ， 当且仅当： x1 ， λ ∈ （ 0 ， f（ λ x1 + （ 1 － λ ） x2 ） ≤ λ f（ x1 ） + （ 1 － λ ） f（ x2 ）
n i =1
（ 3）
f（ x ） 称为 I 上的凸函数， 定义 4 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： λ1 0 且∑ λ i = 1 （ i = 1， 2， …n ） ， x2 ， …x n ∈ I ， x1 ， 有 f
)
两边同乘以k + 1 ， 减去 f（ t） ， 最后除以 k ， 又t = f
Fra Baidu bibliotek
(
f（ x1 ） + f（ x2 ） + … + f（ x k ） x1 + x2 + … + x k ≤ k k
)
此即（ 2 ） 式对 n = k 也成立。证毕。 下面给出关于凸函数的一个论断， 以引理 1 命名： 1 ： f （ x ） I 引理 若函数 为区间 上的凸函数， 则 f（ x ） 在 I 内部任意一点都连续 。 f' + （ x0 ） ， 原因在于： 凸函数 f（ x ） 在 I 内部任一 x0 都存在左、 右导数： f' － （ x0 ） 、 从而在 x0 连续（ 证明见文 6］ 201 页的例 3 ） 。 5］ ［ 6］中已被证 献［ 进一步有： 开区间 I 上的凸函数 f（ x ） 一定是连续的。 这一点在文献［ 。 明 2 等价。 定理 2 ： 定义 3 与定义 1 ， ） “定义 3 定义 1 ， 2” 。 证明： 1 在（ 3 ） 式中令 λ = 1 可得（ 1 ） 式成立， 即定义 3 蕴含定义 1 ， 由定理 1 2
50
f（ λ x1 + （ 1 － λ ） x2 ） = f（
m m mx1 + （ n － m） x2 ） x2 ） = f + （1 － n n n m个 + n － m个
(
)
≤f
(
x1 + … +x1
x2 + … +x2
n
)
}
}
}
≤
f（ x1 ） + … +f（ x1 ）
=
m m ） f（ x2 ） = λ f（ x1 ） + （ 1 － λ ） f（ x2 ） f（ x1 ） + （ 1 － n n
(
f（ x1 ） + f（ x2 ） + … + f（ x2 k ） x1 + x2 + … + x2 k ≤ k 2k 2
)
k 这表明（ 2 ） 式对一切 n = 2 皆成立。
2 ） （ 证明（ 2 ） 式对 n = k + 1 成立时， 必对 n = k 也成立） 记 t = x k = kt， 可得 t = f（ t） = f
(
)
x1 + x2 x3 + x4 f（ + ≤ = f 2 2 2
≤
x1 + x2 x3 + x4 ） + f（ ） 2 2 2
f（ x1 ） + f（ x2 ） + f（ x3 ） + f（ x4 ） 4 此即（ 2 ） 式当 n = 4 时成立。一般地， 对任一正整数 k ， 重复上面方法， 应用（ 1 ） 式 k 次， 可知 f
(
n
∑λ i x i ≤
i =1
)
n
∑λ f（ x ）
i i i =1
（ 4）
f（ x ） 称为 I 上的凸函数， 定义 5 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： 2， …n ） 不全为零， x2 ， …x n ∈ I ， p i （ i = 1 ， x1 ， 有
n p i f（ x i ） pi xi ∑ ∑ i =1 i =1 f n ≤ n pi ∑p i ∑ i =1 i =1
n
（ 5）
49
f（ x ） 称为 I 上的凸函数， x2 ， …x n ∈ I ， 定义 6 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： x1 ， 且 x1 ＜ x2 ＜ x3 ， 有 f（ x2 ） － f（ x1 ） f（ x3 ） － f（ x1 ） （ 6） ≤ x1 － x2 x3 － x1 x2 f（ x ） 称为 I 上的凸函数， x2 ， …x n ∈ I ， 定义 7 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： x1 ， 且 x1 ＜ ＜ x3 ， 有 1 1 2 1 1 x1 x2 x3 f（ x1 ） f（ x2 ） ≥ 0 f（ x3 ） （ 7）
［ 参 考 文 献］
［ 1］ 王飞． 凸函数等价性讨论［ J］． 广西师范学院学报： 自然科学版， 2003 ， 20 （ 1 ） ： 31 － 34． ［ 2］ 赵丹． 凸函数等义的等价性证明［ J］ ． 乐山师范学院学报， 2008 ， 23 （ 12 ） ： 18 － 21． ［ 3］ 古小敏． 对凸函数定义之间等价性的进一步研究［ J］ ． 重庆工商大学学报： 自然科学版， 2009 ， 26 （ 2 ） ： 171 － 173． ［ 4］ 郭素霞． 关于凸函数定义的讨论［ J］ ． 衡水师专学报， 2000 ， 2 （ 4 ） ： 49 － 52． ［ 5］ 黄世团． 几个凸函数定义的差异性及等价性［ J］ ． 广西师院学报： 自然科学版， 1997 ， 14 （ 1 ） ： 54 － 56． ［ 6］ 华东师范大学数学系 ． 数学分析： 上册 ［ M］． 2 版． 北京： 高等教育出版社， 1991 ： 197 － 203．
1 ） 为有理数的情形得证 。 1 ） 为无理数， 1） （ n = 1， 2， 此即 λ ∈ （ 0 ， 若 λ ∈ （ 0， 则存在有理数 λ n ∈ （ 0 ， …） 使 lim = 。 x + （ 1 － ） x I f （ x ） λ λ 注意到 λ λ 表示的点均是区间 内部的点， 由引理知 在这些点处连 n n 1 n 2 n→ ∞ 续， 从而 f（ λ x1 + （ 1 － λ ） x2 ） = f（ 使 lim （ λ n x1 + （ 1 － λ n ） x2 ） ） = lim f（ λ n x1 + （ 1 － λ n ） x2 ） 。 n→ ∞ n→ ∞ 1） ， 对于有理数 λ n ∈ （ 0 ， 利用上面证明有 f（ λ n x1 + （ 1 － λ n ） x2 ） ≤ λ n f（ x1 ） + （ 1 － λ n ） f（ x2 ） 此式中令 n → ∞ 取极限并联系上式， 有 f（ λ x1 + （ 1 － λ ） x2 ） ≤ λ f（ x1 ） + （ 1 － λ ） f（ x2 ） 2 也蕴含定义 3 ， 1 ） 也成立。故定义 1 ， 证毕。 此即（ 3 ） 式对任意无理数 λ ∈ （ 0 ， 5 等价。 定理 3 ： 定义 3 与定义 4 ， 。“定义 3 定义 4 ” 证明 “定义 4 定义 3 ” 只要在（ 4 ） 式中令 n = 2 即得 采用数学归纳法可证（ 定义 4 “Jensen 不等式” ， 6 ］ ） 。“定义 4 定义 5 ” 即为 证明见文献［ 明显， 故定理 3 得证。 7 等价。 定理 4 ： 定义 3 与定义 6 ， x2 － x1 ， x2 ， x3 ∈ I ， ， 1） ， 证明 “定义 3 定义 6 ” x1 ， 且 x1 ＜ x2 ＜ x3 ， 令λ 则 λ ∈ （ 0， 且 x2 = λ x3 + （ 1 x3 － x1 － λ ） x1 ， 又由（ 3 ） 式知： f（ λ x3 + （ 1 － λ ） x1 ） ≤ λ f（ x3 ） + （ 1 － λ ） f（ x1 ） 即 f（ x2 ） ≤ x2 － x1 x3 － x2 f（ x1 ） + f（ x3 ） x3 － x1 x3 － x1
“≤”若改为 “＜ ” ， 上述定义中的 则得 f（ x ） 为 I 上的严格凸函数。区间 I 上可导或二阶可导的凸函数 1］ ［ 2］ ［ 3］ ）， 还可借助导数 f' （ x ） 的单调递增或 f″（ x ） 来判定或定义（ 见文献［ 这一点本文不再赘述 。
2
定义之间等价性的证明与探讨
首先给出几个定理： 定理 1 ： 定义 1 与定义 2 等价。 ： “定义 1 定义 2 ” 。 证明 ： “定义 2 定义 1 ”显然成立， 在（ 2 ） 式中令 n = 2 即得（ 1 ） 式。只要证明 采用反向归纳法。 1 ） 由（ 1 ） 式知： 当 n = 2 时（ 2 ） 式成立。 x2 ， x3 ， x4 ， 现证 n = 4 时（ 2 ） 式成立。 事实上， x1 ， ∈ I， 由（ 1 ） 式有 x + x2 + x3 + x4 f 1 4
2 等价， 知定义 1 ， 故定义 3 也蕴含定义 2 。 2 ） “定义 1 ， 2 定义 3 ” 。x1 ， x2 ， （ 3 ） 式显然成立） ， 1） ， ∈ I （ 若 x1 = x2 ， 不妨设 x1 ≠ x2 ， λ ∈ （ 0 ， m 1 ） （ m ＜ n 为正整数） 时成立。事实上： 先证（ 3 ） 式当 λ 为有理数 λ = ∈ （ 0， n
3
结束语
由上述定理可知上文所给的凸函数几个基本定义是等价的，区别仅是呈现的形式或各自的几何意义
有所不同， 但均是对凸函数本质的概述 。定义或概念是对事物本质属性的精确概括 。具体教学中， 强调学 生对概念的理解， 目的就在于希望学生能够抓住事物的本质属性 。定义 3 更能体现凸函数的本质属性， 其 “凸” 几何意义对凸函数描述很直观， 现代数学中多采用这种定义 。值得一提的是， 区间 I 上的凸函数的 性 仅由区间 I 内部函数的属性来体现， 而与函数在区间端点的取值无关 。文中引理表明， 在区间 I 内部凸函 “下凸” 数是连续的， 对应的曲线是连续曲线且呈 趋势。同时也表明， 凸函数的间断点只可能出现在区间的 端点上。
0
引言
凸函数是一重要的概念 。已有的文献中， 在给定的区间 I 上， 给出了凸函数多种不同形式的定义， 并 1］～ ［ 5］ 。下文拟对一般区间 I 上的凸函数最基本的定义作 对定义之间等价性作了分析与证明， 见文献［ 一概述， 进一步探讨与证明它们之间的等价性 。
1
凸函数的基本定义
下面给出凸函数几种定义： f（ x ） 称为 I 上的凸函数， x2 ∈ I ， 定义 1 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： x1 ， 有 f
x1 + x2 + … + x k ， 则 x1 + x2 + … + k
(
x1 + x2 + … + x k + t 。假若（ 2 ） 式对 n = k + 1 成立， 则有 k +1
f（ x1 ） + f（ x2 ） + … + f（ x k ） + f（ t） x1 + x2 + … + x k + t ≤ k +1 k +1 x1 + x2 + … + x k ， 从而可得 k
第 30 卷
第6 期
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY
Vol． 30
No． 6
2010 年 11 月
November， 2010
凸函数定义等价性的进一步探讨
张 金
（ 宿迁高等师范学校 数学系， 江苏 宿迁 223800 ）
摘
要： 凸函数在数学规划， 最优化理论、 变分不等式等领域中具有十分重要的作用 。 本文在已有凸函数文献基础
上， 讨论了凸函数的七种不同形式的定义， 这些概念从不同方面刻画了凸函数的特征 。 为表明这些定义之间的等 价性， 对各种定义之间的等价性进行了完整的分析和证明， 并对凸函数教学提出了进一步的改进与完善 。 关键词： 凸函数； 差异性； 等价性 作者简介： 张金（ 1978 － ） ， 男， 江苏宿迁人， 宿迁高等师范学校数学系讲师， 从事微积分研究。 中图分类号： O174． 13 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0063 （ 2010 ） 06 － 0049 － 03 收稿日期： 2010 － 04 － 11
(
f（ x1 ） + f（ x2 ） x1 + x2 ≤ 2 2
)
（ 1）
f（ x ） 称为 I 上的凸函数， x2 ， …， x n ∈ I， 定义 2 ： 设函数 f（ x ） 在区间 I 上有定义， 当且仅当： x1 ， 有 f 定义 3 1） ， 有
［6 ］
(
f（ x1 ） + f（ x2 ） + … + f（ x n ） x1 + x2 + … + x n ≤ n n
“定义 3 定义 6 ” 1） ， x2 ∈ I ， ， 此式化简变得（ 6 ） 式， 故 成立。 反之 λ ∈ （ 0 ， x1 ， 不妨设 x1 ＜ x2 ， 令 x0 = λ x2 + （ 1 － λ ） x1 ， x ＜ x ＜ x ， 6 ） 3 ） “ 6 3 ” 则 1 式并化简可得（ 式也成立， 故 定义 定义 也成 0 2 从而由（ “定义 6 定义 7 ”成立，于是定理得证。 立。注意到（ 6 ） 式与（ 7 ） 式只是公式的等价变形， 所以